陕西省2018年高教学质量检测试题(一)文数试题

2018年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学（文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,0,2}A =-,2{|20}B x x x =--=，则A B ⋂=( ) A ．∅ B ．{2} C ．{0} D ．{2}-2.z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ⋅=-，则复数z 的虚部为( ) A ．i - B ．-1 C ．i D ．13.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin 2y x =的图像( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81126a a =+，则9S =( ) A ．27 B ．36 C.45 D ．545.设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()||sgn f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ． C. D ．6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2 B．4+C.4+．4+7.若变量,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．1B ．2 C.3 D ．48.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是( )A ．5B ．6 C.7 D ．89.设函数()312f x x x b =-+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 在(),1-∞-上单调递增 B ．函数()f x 在(),1-∞-上单调递减C.若6b =-，则函数()f x 的图像在点(2,(2))f --处的切线方程为10y =D ．若0b =，则函数()f x 的图像与直线10y =只有一个公共点10.从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( ) A ．12 B ．13C.14 D ．15 11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.若抛物线24y x =的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( ) A ．43 B ．43- C.43± D ．169-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量45(2sin ,cos )36a ππ= ，(),1b k = .若//a b ，则k = ．14.若直线20x y c -+=是抛物线24x y =的一条切线，则c = ．15.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为 ．16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，且222()a b c +-(cos cos )a B b A ⋅+abc =，若2a b +=，则c 的取值范围为 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求100S 的值.18.在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2AB =，O 、D 分别是AB PB 、的中点.（1）求证：//OD 平面PAC ； （2）连接PO ，求证PO ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥A PBC -的体积.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 和2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2F 和1F .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点1F 的直线和椭圆交于两点,A B ，求2F AB ∆面积的最大值. 21.已知函数()=ln f x x ，()1g x x =-.（1）求函数()y f x =图像在1x =处的切线方程； （2）证明：()()f x g x ≤；（3）若不等式()()f x ag x ≤对于任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x t y αα=⎧⎨=⎩，（0,t α>为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程sin()34πθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21||1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤.（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明2313t t t+≥+.试卷答案一、选择题1-5:BDDDC 6-10:CCACA 11、12：BB 二、填空题13.2 14.-4 15.12π 16.[1,2) 三、解答题17.解：（Ⅰ）由{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-. ∵3a 是1a 和9a 的等比中项，∴2319a a a =，即2(22)2(28)d d +=+，解之，得0d =（舍），或2d =. ∴1(1)2n a a n d n =+-=. （Ⅱ）11111()(1)2(1)21n n b n a n n n n ===-+++.12100n S b b b =+++=111111(1)2223100101-+-++- 1150(1)2101101=-=. 18.解：（1）∵,O D 分别为,AB PB 的中点，∴//OD PA . 又PA ⊂平面PAC ,OD ⊄平面PAC ,∴//OD 平面PAC .（2）连接OC .∵AC CB =2AB =,∴90ACB ∠= . 又O 为AB 的中点, ∴OC AB ⊥,1OC =.同理,PO AB ⊥,1PO =.又PC =而2222PC OC PO =+=,∴PO OC ⊥. 又AB OC O ⋂=,AB ⊂平面ABC ,OC ⊂平面ABC ∴PO ⊥平面ABC .（3）由（2）可知PO ⊥平面ABC ， ∴PO 为三棱锥P ABC -的高,且1PO =. 三棱锥A PBC -的体积为:13A PBC P ABC ABC V V S PO --∆==⋅=111(21)1323⨯⨯⨯⨯=.19.解：（Ⅰ）由列联表可知，22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.∵2.198 2.072>，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （Ⅱ）（1）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（2）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为,,a b c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为,d e ，则从5人中选出2人的所有可能结果为()()()(),,,,,,a b a c a d a e ()()(),,,,,,b c b d b e ()()(),,,,,c d c e d e ，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20.解：（Ⅰ）由条件，得b =3a c +=. 又223a c -=，解得2a =，1c =.∴椭圆的方程22143x y +=. （Ⅱ）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为1x my =-，直线与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得，22(34)690m y my +--=. ∵直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交. ∴122634m y y m +=+，122934y y m =-+.∴21212121||||||2F AB S F F y y y y ∆=-=-===令211t m =+≥，设1()9f t t t =+，易知1(0,)3t ∈时，函数()f t 单调递减，1(,)3t ∈+∞函数单调递增，∴当211t m =+=，设0m =时，min 10()9f t =，2F AB S ∆的最大值为3. 21.解：（1）∵()1f x x'=∴()11f '=. 又由()10f =，得所求切线()()():111l y f f x '-=-， 即所求切线为1y x =-.（2）设()()()ln 1h x f x g x x x =-=-+，则()11h x x'=-，令()0h x '=，得1x =，得下表：∴()()()max 10h x h x h ≤==，即()()f x g x ≤. （3）()1,x ∀∈+∞，()0f x >，()0g x >. （ⅰ）当1a ≥时，()()()f x g x ag x ≤≤；（ⅱ）当0a ≤时，()0f x >，()0g x ≤不满足不等式；（ⅲ）当01a <<时，设()()()()ln 1x f x ag x x a x ϕ=-==-，()1x a xϕ'=-， 令()0x ϕ'=，得1x a=.得下表：∴()()max 1()10x aϕϕϕ=>=.即不满足不等式. 综上，1a ≥.22.解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=，曲线22:1C x y +=.∴曲线C 为圆，且圆心O 到直线l的距离d ==∴曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为1（Ⅱ）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立.)3αϕ-<（其中1tan tϕ=）恒成立.3.又0t >，∴解得0t <<∴实数t的取值范围为.23.解：（Ⅰ）依题意，得3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，于是得1()333x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩，或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩，或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（Ⅱ）()()|1|g x f x x =++=|21||22||2122|3x x x x -++≥---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号，∴[3,)M =+∞. 原不等式等价于2331t t t-+-22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t -+≥. ∴2313t t t+≥+.。