27.4正多边形和圆(华师版)

6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四 边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三 角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点 在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都 相似，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D 4个 7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关 系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
A E
O D
C
F
正多边形中的有关概念： 中心 半径 中心角 边心距
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 圆中满足AB=BC=CD=DE=EA
那么弦AB、BC、CD、DE、EA B 之间又什么关系？ ∠A、∠B、 ∠C、 ∠D、∠E之间又什么关系？
C
A E
D
定义：把圆分成n（n＞2）等份，
A M B O . N M O . N A O . C D
M C
B N
C B
练习；





1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正 六边形的面积之比等于________ 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________ 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心 距是________ 4．已知圆内接正方形的边长为4，则该圆的内 接正六边形边长为__________． 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六 边形的半径为________；边心距_____．
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠C OA=120°． ②用量角器或30°角 的三角板度量，使 ∠BAO=∠oAc=30 °．
你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？
A O ·
如图，其他正多边形也有类似的结论。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
E
D
F
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
中心角
. O
半径R
C B
边心距r
A
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
新课讲解 B
A
B
rR
D
C
P
由于ABCDEF 是正六边形，所以 F 360 它的中心角等于 60， 6 A OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
E
. .O
r R=4
D
P ∴亭子的周长 L=6×4=24(m) BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2
根据勾股定理，可得边 心距r
抢答题：
△ABC的中心，它是△ABC的 外接圆 1.o是正 与 内切圆 的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 半径
它是正△ABC的 外接圆 的半径。
3、OD叫作正△ABC的 边心距
它是正△ABC的 内切圆 的半径。
.O D
C
B
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距

• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° • 10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四 角，使它成为正n边形，那么正n边形的面 积为（ ）
A.(3 2 3)a
2
• 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手 的开口b最小应是( ) 1 3 3 A、3a B、 a C. a D.
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
中心 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角， 它的度数是 72度 D
E C
.O A F B
∠AOB） 8、图中正六边形ABCDEF的中心角是（ 它的度数是（60度 ）
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的一个内接正n边形.
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆. 2.怎样由圆得到多边形呢？ 思考1: 把一个圆4等分, 并依次连 接这些点,得到正多边形吗??
B
C A
D
弦相等（多边形的边相等）
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
例：利用尺规作图，作出已知圆的内接 正方形和内接正六边形．
90°
D
B O
A E
F
E O ·
60°
·
72°
A
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？
F E O ·
A
D
B
C
以半径长在圆周 上截取六段相等的弧， 依次连结各等分点， 则作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三角形， 正十二边形，正二十 四边形………
定理： 把圆分成n（n≥3）等份：
E D
F
O
C
R B
r
A
H
例3：如图，正三角形ABC的边心距
r3 =2,求：R, a3 . S3 A
O
B
D
C
例4: 已知正六边形ABCDEF的半径 为R,求这个正六边形的边长a6、周 长l6、面积S6 . E F D
O A GB
C
当堂训练 1.课本P107第1题
正多边形 内 中心 角 角 边数 3 60° 120 90 90 4 120 60 6
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
解答：正六边形的半径与边 长数量关系是相等 因为：正六边形的中心角 F 是60度和半径组成的三角
E
D
.O
C
形是等边三角形，所以边
长与半径相等。
Aபைடு நூலகம்
B
例1、 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边 形， 求地基的周长和面积
F
E
O . .
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
做一做
分别画出图中各正多边形的对称轴，看看你能发 现什么规律？
以正五边形为例，如图，我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些 对称轴都交于一点O。根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正 五边形各边的垂直平分线，因而点O到正五边形各个顶点的距离相等， 记为R。那么以点O为圆心，R为半径的圆就过正五边形的各个顶点， 它是该正五边形的外接圆。另外，这些对称轴也是正五边形各内角的 平分线，根据角平分线的性质，点O到各边距离都相等，记为r，那么 以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五 边形的内切圆。
你能尺规作出正四边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆 内接正方形，再过圆 心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角 的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正 十六边形、正三十二 边形、正六十四边 形……
你能尺规作出正六边形吗？
F
E O ·
A
D
B
C
以半径长在 圆周上截取六段 相等的弧，依次 连结各等分点， 则作出正六边形. 先作出正 六边形，则可作 正三角形，正十 二边形，正二十 四边形………
B
C
4 2
2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，
（1）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。 （2）求正六边形ABCDEF的边心距。 解：（1） 作半径OA、OB； E D ∵OA=OB，∠AOB=60°
半 径
边 边心 周 面 长 距 长 积
2 2 3 2 2 2 2
1
1 3
6 33 3
8 4 12 6 3
例5:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上 的点,且BM=CN. (1)求图①中∠MON的度数; (2)图②中∠MON= ; 图③中∠MON= ; (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关 系.；四边形MONB的面积与正n边形面积之间的 E 关系 D A
2 2 3
7 2 B. a 9
2 2 C. a 2
D. (2 2-2)a 2
• 巩固提高： • 1、如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则 下列结论错误的是（ D）
• 2、周长相等的正方形和正六边形的面积分 别为S4和S6，则S4和S6的大小关系为 S4＜S6 ___________ • 3、已知圆的半径为6，则它的内接三角形、 正方形、正六边形的边长分别为_______ • 4、若同一个圆的内接三角形、正方形、正 六边形的边心距分别为r3,r4,r6,则 r3:r4:r6=____________ • 5、边长为a的正三角形的高h=_____,外接 圆半径R=_____,内切圆半径r=______
• 6、如图，正六边形ABCDEF中，阴影部 分的面积为 ，则此正六边形的 边长为_______
• 例7、如图，已知⊙O的内接等腰△ABC， AB=AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、 ∠ACB，BE=BC，求证：五边形 AEBCD是正五边形
• 例8、如图，有一个圆O和两个正六边形 T1、T2， T1的6个顶点都在圆周上，T2 的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分 别为圆O的内接正六边形和外切正六边 形）．设T1，T2的边长分别为a，b，圆 O的半径为r，求r：a及r：b的值