第二章：数字集合论与组合逻辑模型

第二章:数字集合论与组合逻辑方程数字集合论是数字电路的理论基础，包括：数字集合，数字关系与数字逻辑函数三部分。

经典集合论在数字电路领域的具体应用演绎出数字集合论，布尔逻辑代数在数字电路应用方面的元理论解释，同样建立在数字集合论的基础上。

布尔代数用来化简数字电路，发现具体逻辑函数之间的转换关系。

这些知识的层次关系：集合论+物理数字电路=数字集合论→布尔代数+数字集合论=数字代数。

在数字集合论的基础上，构造数字电路与集成电路的基本单元：逻辑功能器件，以进一步实现应用级的各种数字系统。

逻辑功能器件分为数值逻辑器件和数量逻辑器件，数值逻辑器件包括：逻辑门电路，编码器，译码器/数据分配器，数据选择器，只读存储器，奇偶校验器等；数量逻辑器件有数值比较器，算术运算电路。

近似数字系统级的可编程逻辑电路有PLA，FPLA，PAL，MGA等。

逻辑门电路产生在布尔代数理论上,使用三极管实现；其它数值逻辑器件基于数字集合论,在组合逻辑基础上实现,称为组合逻辑功能器件(没有用到布尔代数).严格地说,数量逻辑与数字集合论没有直接的理论-实践关系，而是数学上量的计算使用数字电路实现，实质是数值逻辑的复合运算，在电路规模上与数值逻辑器件不属一个量级。

计算机的核心器件ALU(算术逻辑器件)综合了这两类功能，实现了逻辑功能的集大成。

可以认为:实现逻辑门电路,用到晶体管逻辑;实现数字组合器件,使用数字集合论;用数字器件实现数字系统(器件之间的联系),则用到布尔（数字）代数. 从组合逻辑器件的共性得到组合逻辑模型,从数字集合论同样可以推理出这些器件的方程.解释了器件产生的理论来源.数字集合论与数字电路的一个原则：从元素和集合两个角度出发。

从集合的角度出发化简数字函数；从元素的角度考虑，找到数字函数的不同实现形式和方法。

基础知识[1]:包括集合论，排列组合，概率论与布尔代数的概念：集合，集合的基数，集合的等势；多重集合，函数值序列；集合的求和法则（互斥），乘积法则（独立）；排列，组合，可重复排列，可重复组合；互斥，独立（概率论）；非逻辑，与逻辑，或逻辑。

此外还有，线性无关，蕴含等基本概念。

def1集合把一些确切的对象汇集在一起而当作一个单一的总体来考虑时，这一个总体就被称为集合[1-2]。

有n个不同元素的集合称为n元集。

用大写字母A,B…表示集合。

集合中的元素用小写字母a,b…表示，且不能在集合中重复出现（这些字母是变量的表示）.集合中的元素属于（∈）这个集合。

包含有限个元素的集合称为有限集，有无穷多个元素的集合称为无限集。

一个集合可作为另一个集合的元素，英国数学家罗素用层次来描述其中的不同。

def2集合的基数[1-1]有限集中不同元素的数目称为这个集合的基数或势。

集合A的基数A。

def3集合的等势若集合A与B之间存在一个双射函数:f A B,则称A与B具有相同的基数或称A与B等势,A B.def3多重集合[1-1]集合中的某些元素可以重复出现，称为多重集合。

元素在集合中出现的次数称为重复度。

不说明时，集合一般不是多重集合。

多重集合是特殊域使用的集合，其中，元素的可重复性是对集合概念的根本性改变。

一般而言,集合的基数概念不用于多重集合.说明:常用多重集合表示某一个自变量集合的函数值序列集合.def4集合的求和法则(互斥集)若A 1,A 2,…,A n 是不相交的集合，它们并集的基数是每个集合的基数之和. Fom1121...nin i AA A A ==+++def5乘积法则(独立集)若一个过程可分解成两个任务,完成第一个任务有n 1种方式, 完成第二个任务有n 2种方式,则完成这个过程有n 1×n 2种方式. def6 排列(以集合为基础)有不同元素(个体)的集合的一个排列是这些元素的一种有序安排。

集合的某一个r 子集的一个排列称为r -排列(0r n ≤≤).一个n 元集的全部r -排列数(,)P n r ,可用乘积法则求出: Fom2 !(,)(1)...(1)&(,)!()!n P n r n n n r P n n n n r =--+==- 注:排列数与两个集合的函数数的等价性,排列不仅与乘积法则相关,那是很低层的理解. def7组合从某一个集合中无序选取r 个元素称为一个r -组合,同时是一个r 元子集.一个n 元集的全部r -组合数: Fom3 !(,)!()!n n C n r r r n r ⎛⎫=⎪-⎝⎭。

说明:组合不基于乘积法则。

排列与组合的关系公式Fom4 (,)(,)(,)P n r C n r P r r =⨯说明:在这里将排列(,)P n r 看成先组合再全排列的两个过程，与Fom2的r 个过程不同。

Fom5 (,)(,)C n r C n n r =-→可重复排列（取出放回或字母组成单词和句子）时，n 元集的全部r-排列数：Fom6 (,)r m P n r n =→可重复组合时，n 元集的全部r -组合数： Fom7 (,)(1,)m C n r C n r r =-+说明:可用取出放回解释，只是元素的不同对r 好像没有影响。

也可用有n 类元素，每类的数目都在r 之上来解释。

证明：n 元集可重复r -组合，可用n -1条竖线和r 颗星组成的图形表示，其中n -1条竖线用来标记n 个不同的单元。

当选择第i 个元素时，第i 个单元就包含一颗星。

这构成了n -1+r 个位置，从中选取r 个置放r 颗星，因为每一类的位置是固定的，不能任意排列，因此是组合而不是排列。

包含n -1条竖线和r 颗星组成的一个图形对应一个n 元集可重复r -组合，全部数目有(1,)C n r r -+个。

（是否应该区分这些类型） Th1 设类型1中相同的物体有n 1个，类型2有n 2个，类型k 有n k 个,这些物体的总量是n ，则全部排列数： Fom8 *12!(,)!!...!k n P n r n n n =证明：用乘积法则，第一步在n 位置中选择n 1个放第1类物体，第二步在n - n 1位置中选择n 2个放第2类物体，…，第n k 步，在最后的n k 位置放第k 类物体，每类物体是相同的所以没有全排列的过程，可得：（多步组合）*11212!(,)(,)(,)...(,)!!...!k k k n P n r C n n C n n n C n n n n n =⨯-⨯⨯=下面是概率论的两个概念 def8互斥样本空间S 的两个事件(子集合)A 与B ,若A B =∅ ,则称事件A 与B 是互斥的(互不相容). 说明:互斥的事件不能同时发生. def9独立设事件A 与B ,若有()()()P A B P A P B =⨯ ,则称A 与B 是相互独立的事件. A 和B 独立则A 发生或B 发生对对方没有限制，可认为是两个积事件。

→①事件A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ，A 与B 相互独立。

②A 和B 相互独立与A 和B 互斥不能同时成立。

A 和B 互斥说明互为补事件或者&A C B C A B ⊂⊂⇒⋂=∅;A 和B 相互独立,则可能有:A ,B 不互斥,A 与B 相交,A 与B 相等或者作为元素来自不同的集合。

def10 函数值序列以自然数n 为自变量的函数()n a f n =,把函数值依次写出,就叫做一个数列.def11 线性无关若集合12{,,..,}n a a a 有方程式:1122...0n n k a k a k a +++=,只有在系数值12{,,...,}n k k k 全为0时,方程式成立.则称12{,,..,}n a a a 线性无关(linearly independent).说明:一个向量的各分量之间线性无关,所以可以认为这里的加法是数量加或者布尔加,而不是矢量加. def12 蕴涵设P ，Q 是逻辑变量（命题），逻辑函数（命题）“如果P ，则Q”称为P 蕴涵Q ，记以P Q 。

规定，PQ 是假的当且仅当P 是真的而Q 是假的。

def13 两变量非逻辑，或逻辑，与逻辑只有两个逻辑变量都为1,与逻辑函数值为1,其余输入对时都为0;当两个变量都为0时,或逻辑函数才为0,其余输入对时为1;非逻辑又称为取反,求补运算,1的非是0,0的非是1. def14同构 辨析一个概念：数字逻辑变量与命题逻辑变量命题逻辑变量用来表示自然语言的真假判断。

§1数字集合论[1-2]及编译码器集合分成三类：元素的集合及序偶与多元组的集合。

元素的集合有二值集合{0,1}到n 值{0,1,2,...,1}n -集合；序偶与多元组的集合分成二值类型和n 值类型。

从操作数位数的角度看，前者提供一位操作数而且是后者的源集合，n 元集是典型的第一类集合。

后者产生两位以上的操作数。

还有一类集合的集合,以子集为元素,常用的有：幂集.这些全集之间一般存在同构关系,子集之间存在同态关系.数字集合论在经典集合论计算的基础上，研究序偶和多元组所构成集合的性质,同构关系与等势集合,相互转换等等.变量与常量的实现。

一．序偶与多元组集def1.1 设A 为一个集合，则集合A 的幂集被定义如下，并简记为()A ϕ，即：{}()df A x x A ϕ=⊆说明：幂集是集合A 的伴随集之一，它的元素是A 的所有子集，亦即A 中元素的所有组合。

Th1.1 设集合011{,,...,}n A a a a -=，则()A ϕ有2n 个元素，()2n A ϕ= 。

012...2nnn n n n C C C C ++++=。

可从二项式定理得到证明。

def1.2 序偶,{{},{,}}df x y x x y <>=说明：序偶的两个元素与次序相关，可重复排列,不遵守集合的吸收律。

序偶的定义方法，表示0与{0}的不同。

实际上最常用在一元函数里，表示一对原象和象；用在有向图中表示一条弧。

def1.2.1三元组123123,,,,df x x x x x x <>=<<>>说明:123112123,,{,{,},{,,}}df x x x x x x x x x <>≠.没有赋予x 3不同的语义:若x 3为重复值，使第2，3集合相同，退化成序偶的定义。

一般来说，123123,,,,x x x x x x <<>>≠<<>>。

def1.2.2多元组12121,,...,,,...,,n df n n x x x x x x x -<>=<<>>说明：序偶和多元组的性质与排列类似，幂集与组合相似。

集合元素间的关系与多元组的元素间关系的区别在于没有顺序性，不可重复。