奥数大难题

奥数大难题
跟你说：这难题太难了，我都不能写出来，你能写出来就太厉害了。

平均数问题
一、同步检测
1．小锋4次语文测验的平均成绩是89分,第5次得了97分,5次测验的平均成绩是多少?
2．小军期终考试，语文、英语、科学三门课的平均成绩是78分，数学成绩公布后，四门的平均成绩提高了5分，小军数学考
了多少分？
3．设有A，B，C三个数，其中A和B相加是200，A和C相加是150，B和C相加是160，求A，B，C这三个数的平均值。

4．甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行使30千米。

到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小
时行使60千米。

这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？
5．小伟与四名同学一起参加一次数学竞赛，另外四名同学的成绩分别为91分、82分、79分、78分，小伟的成绩比五人的平均
成绩高6分，小伟的成绩是多少分？
6．某商店将4千克水果糖和6千克奶糖混合成什锦糖，已知水果糖每千克4.2元，奶糖每千克5.6元，那么什锦糖每千克多少
元？
7．学校足球队18人合影留念，照六寸照片洗3张价格是5.1元，另外加洗每张0.5元。

如果每人各得一张照片，平均每人需付
多少元？
8．六（1）班数学期中考试结束，王老师叫小明计算这次考试的全班平均分。

小明由于粗心，把其中一个分数98分看成了89分，计算的结果全班平均分是79.8分，后来，王老师重新计算了一遍，发现小明算错了，正确的平均分应该是80分，问六
（1）班有多少学生？
二、课外拓展
1．有五个数A，B，C，D，E，每次去掉一个数，将其余4个数求平均数，这样计算了5次，得到下面5个数：17，25，27，
32，39，求A，B，C，D，E这五个数的平均数。

2．在一次登山活动中，张明上山每分钟走50米，到达山顶沿原路下山，每分钟走75米，张明上山、下山的平均速度是多少？
3．某班买来单价1元的练习本若干本，如将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本，如只分给男生，平均每人可得10本，
那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱？
4．六年级两个班学生人数在70—99之间，迎宾前发给这两个班学生彩色气球。

发放方法为一部分学生是一人发2个，另一部分学生是一人发4个，结果两个班平均每人得气球1.35个。

那么两班学生共有人。

包含与排除
一.同步检测
1.有100位旅客,其中10人既不懂英语也不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语.问"既懂俄语又懂英语的有人?
2.五(5)班同学参加体育活动,每人都参加,其中踢足球的有22人,打篮球的有15人,2种类型都参加的有5人,五(5)班有
人?
3.在参加数学竞赛的46人中,做对第二题的有32,做对第四题的有24人,两道都做对的有20人,两道都没做对的有人?
4.在1~100的自然数中,能被3或7整除的有个?
5.爸爸和小刚今年共56岁,妈妈和小刚共54岁,爸爸妈妈共82岁,小刚今年岁?
6.某校有学生960人,其中510人订阅<中国少年报>,330人订阅<少年文艺>,120人订阅<中小学数学报>,其中有270人订阅两种报刊,有58人订阅了三种报刊,问:这些学生中没订阅任何报刊的有人?
7.甲班和乙班共有88人,乙班和丙班共有97人,丙班和丁班共有94人,问:甲班和丁班共有
人?
8.有3个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌面上,3个纸片共同重叠的面积是8平方厘米,3个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米,问图中阴影部分面积之和是 ?(图在书上第19页)
二.课外拓展
1.在春光小学"创造杯"展览会上,展品中有26件不是六年级的,有25件不是五年级的.已知一共有35件展品,那么五年级有件?
2.在1,2,
3......,1998这1998个数中既不能被8整除,也不能被12整除的数有个?
3.甲．丙．乙三个人共解出20道数学题，每个人都解出了其中的12道题，每道题都有人解出。

只有1人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫中等题，3人都解出的题叫做容易题。

难题比容易题多题。

4．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。

那么这个班至少有人这三项运动都会。

最大与最小
一、同步检测
⒈用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园,围成菜园的最大面积是.
⒉要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位,都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?
⒊有一类自然数,从第三个数开始,每个数字恰好是它前面两个数字之和,如134,1459等等,求这类数中最大的的自然数和最小的自
然数.
⒋把17分成几个自然数的和,怎么分才能使它们的乘积最大?
⒌用10元钱买4角、8角、1元的画片共15张,则最多可买几张1元的画片?
⒍如图,一个边长为10厘米的正方形ABCD,在两边AB和AD上分别有点E和点F,AE=5厘米,AF=6厘米,请你在BC或CD上选
一点,并与E、F两点连成一个三角形,使三角形的面积尽可能地大,求使这个三角形面积达到最大的点的位置.（见图P26）
⒎一把要是开一把锁,现有4把匙4把锁,但不知道哪把钥匙开拿把锁,最多要试多少次才能将所有的锁打开?
⒏某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次,最后返回金坛.以知各城市之间的路费如表所示,请他为设计一条路费最省的
路线.(单位:元)
二.课外拓展
⒈要把1米长的优质铜管锯成长38毫米的和长90毫米两种规则的小铜管,每锯一次都要损耗1毫米的钢管,那么只有当锯得的38
毫米的钢管和90毫米的钢管多少段时,所损耗的钢管才能最少?
⒉有一个天平，只有5克和30克砝码各一个，现在要把300克盐分成三等份，问最少需要用次天平。

⒊有1992粒纽扣，两人轮流从中取几粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。

问：保证一定获胜的对策是什么？
⒋现有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨集装箱7个,最少需要用
多少辆载重量为4.5吨的汽车才能一次全部运走这些集装箱(要求给出一种方案)?
鸡兔同笼问题
1、若干只鸡和兔在同一只笼子里，从上面看有29个头，从下面看有92只脚，那么笼子了鸡和兔子分别有多少只？
2、盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个重7克，盒中大钢珠、小钢珠各有
多少个？
3、一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票100张，总值18元8角。

这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
抽屉问题
一、同步检测
1、一个旅行团共有13位旅客，那么在这些旅客中至少有人的生肖是一样的。

2、五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。

已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩
均在75～95分之间，问至少有名学生的成绩相同。

3、在长度为2米的线段上任意点上11个点，至少有个点之间的距离不大于20厘米。

4、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。

请你证明，这5个人至少有两个小朋友摸出棋子
的颜色的配组是一样的。

5、把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到4本书，那么，这个班最多有。

6、五（1）班俞老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。

张老师说，可肯定全班
同学中至少有6名学生各题的得分相同，那么，这个班最少有人。

7、从起点开始，每隔1米种一棵树，如果把三2块“爱护树木”的小木牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂
牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？
8、一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现，从石子堆中任意选出五堆，其中至少有两堆石子数
之差是4的倍数，你说他的结论对吗？为什么？
二、课外拓展
1、袋子里装有红色球80个，兰色球70个，白色球50个，它们的大小和质量都一样，要保证摸出10对球（颜色相同的两个球
为1对），至少应取多少个球？
2、从1，2，3，4，…，19，20这20个自然数中，至少任选（）个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

3、证明：在边长为1的等边三角形中任取10个点，其中必有两点，它们之间的距离不超过1/3。

4、从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系。

那么，在这个学校的17名校友
中，至少有（）个人，他们之间的关系是同一个等级的。

牛吃草问题
一、同步检测
1、有一片牧草，每天草都在均速生长，这片牧草可供10头牛吃，20天可以把草吃完；如果供15头牛来吃，10天就可以把草吃完。

如果一头牛每天吃1格尔（格尔是草的单位）的草，那么牧草原来有格尔，每天会长出格尔的新
草.
2、一片牧场的草，如果饲养27头牛，这些牛6天可以把草吃完。

如果饲养23头牛，则这些牛9天可以把草吃完，那么如果饲
养21头牛，天可以把草吃完。

3、牧场有一片牧草供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完，假定草的生长速度不变，则可供19头牛吃周。

4、有一片牧草，每天草都在均速生长。

这片牧草可供10头牛吃，20天可以把草吃完；如果供15头牛来吃，10天可以把草吃
完，那么这片牧草可供头牛吃5天。

5、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水均速进入船内。

如果10人淘水，3小时可以淘完；如果5人淘水8小时可以淘
完，如果要求2小时淘完，那么要安排人淘水。

6、一水库存水量一定，河水均均入库。

5台抽水机连续干20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要求6天抽干，
则需要台同样的抽水机。

7、一片牧草，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天。

如果一头牛吃的草量等于
4只羊吃的草量，那么10头牛和60只羊一起吃可以
天。

8、一个牧场，草每天均速生长，每头牛每天吃草的数量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完。

现在有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完。

问：没有
卖掉这4头牛之前，这群牛一共有头。

二、拓展训练
1、由于天气渐冷，牧场上的草每天都在均速减少，经计算，牧场的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么可供11
头牛吃天。

2、有3片牧场，牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。

它们的面积分别是3又1/3公顷，10公顷和24公顷。

12头牛4周吃完第一片牧场上的草，21头牛9周吃完第二片牧场上的草，则头牛18周吃完第三片牧场上的草（每头牛每周吃草
的数量相同）。

3、某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25个人进站。

如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后几分钟就
没人排队。

4、由于打字员辞职，某公司积压了一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。

假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位可以是页/天）。

如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。

现在公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料减少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成任务，则公司聘任了打字员。