东北三省三校2012年高三第一次联合模拟考试

本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设集合2{|30}A x x x =-->，{|1}B x x =<-，则A B = （ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|30}x x -<<C ．{|1}x x <-D ．{|0}x x > 2．已知11x yi i=-+，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x +yi 的共轭复数为（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 3．直线10x ay ++=与直线(1)230a x y +-+=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．24．“1λ<”是“数列2*2()n a n n n N λ=-∈为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设椭圆2214xy +=的左焦点为F ，P ，则||PF （ ）A ．12B ．32C ．52D ．726．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a ⋅⋅⋅⋅=（ ）A ．10B ．20C ．40D ．2+log 257．某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的k 值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）A ．115B ．112 C ．12D ．239．在A B C ∆中，60B A C ∠=︒，AB =2，AC =1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．53B ．54C ．109D ．15810．设α、β都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos βA ．25 B ．5C ．255D 52511．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0)x ∈-时，())12xf x =-，若在区间(2,6)-内的关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=（a >0且a ≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)4 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8,)+∞12．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，∆ABC 是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S —ABC 的体积的最大值为（ ）A． B ．13C2D3第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．由曲线22y x =，直线42y x =--，直线1x =围成的封闭图形的面积为__________。

14．如右图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为__________。

15．存在两条直线x m =±与双曲线22221(0,0)x y a b aa-=>>相交于四点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。

16．已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则||O A O M + 的最小值是__________。

三、解答题：解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知()y f x =函数的图象是由sin y x =的图象经过如下三步变换得到的： ①将sin y x =的图象整体向左平移6π个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍。

（1）求()f x 的周期和对称轴；（2）在∆ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且()2c=，ab=f C=，1且a>b，求a，b的值18．（本小题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500) 单位：元）（1）估计居民月收入在[1500，2000)的概率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500)的居民数X的分布和数学期望。

19．（本小题满分12分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD—A’B’C’D’，DD’⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD’=3AD，E、F分别是AB、D’E的中点。

（1）求证：DF⊥CE；（2）求二面角A—EF—C的余弦值。

20．（本小题满分12分）设点P是曲线C:x2=2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为54。

（1）求曲线C的方程；（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C 相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）已知函数1()ln(1)xf x xa x+=-。

（1）设a=1，讨论()f x的单调性；（2）若对任意(0,1)x∈，()2f x<-，求实数a的取值范围。

请考生在22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE 、CFD 都是⊙O 的割线，AC =AB 。

（1）证明：AC 2=AD ·AE （2）证明：FG ∥AC23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点P（2,2），倾斜角3πα=。

（1）写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；（2）设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PA PB ⋅的值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|21||3|f x x x =+-- （1）解不等式()4f x ≥； （2）求函数()y f x =的最小值。

理科数学参考答案一、选择题二、填空题13．316 14．4+ 15．)+∞ 16．223三、解答题 17．解：（Ⅰ）由变换得⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2)(πx x f . ……3分 所以ππ==22T ；由Z k k x ∈+=+,262πππ，得对称轴为Z k k x ∈+=,62ππ. ……6分（Ⅱ）由2)(=C f 得1)62sin(=+πC ，又),0(π∈C ，可得6π=C . ……8分在ABC ∆中，根据余弦定理，有6cos21222πab b a c -+==，即722=+b a ， ……10分联立32=ab ，及b a >，可得 3,2==b a . ……12分18．解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为0.00045000.2⨯=． ……2分（Ⅱ）频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x ，则0.00025000.00045000.0005(2000)0.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得2400x =． ……6分 （Ⅲ）居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.00050.0003)5000.4+⨯=.由题意知，X ～(3,0.4)B ， ……8分因此033(0)0.60.216P X C ==⨯=，123(1)0.60.40.432P X C ==⨯⨯=，223(2)0.60.40.288P X C ==⨯⨯=，333(3)0.40.064P X C ==⨯=，故随机变量X 的分布列为……10分X 的数学期望为()00.21610.43220.28830.064 1.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分19．解：（Ⅰ）,60AD AE D AE D AE =∠=∴ △为等边三角形，设1AD =，则1,2,90D E C E C D D EC ===∴∠=， 即C E D E ⊥． ……3分D D '⊥底面A B C D ， CE ⊂平面A B C D ， 'CE DD ∴⊥.''''C ED EC ED DE C E D D C E DF D F D D E D E D D D ⊥⎫⎫⊥⎪⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊆⎪⎭⎪=⎭平面平面 . ……6分 （Ⅱ）取A E 中点H ，则12A D A E AB ==，又60DAE ∠=,所以△D AE 为等边三角形.则D H AB ⊥，D H C D ⊥.分别以'D H D C D D 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设1AD =,则1113(0,0,0),,0),(,0),'(0,0,3),,),(0,2,0)2222442D E A D F C -, 133(,),(0,1,0),,0)44222EF AE C E =--==-设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则1304420x y z y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩取10,1)n =. ……8分 平面C E F 的法向量为2(,,)n x y z =，则1304423022x y z x y ⎧--+=⎪⎪-=⎩取23,2)n =. ……10分13130401320,cos 21=⋅=>=<n n α.所以二面角A E F C --的余弦值为13-. ……12分20．解：（Ⅰ）依题意知4521=+p ，解得21=p .所以曲线C 的方程为y x =2. ……4分 （Ⅱ）由题意直线PQ 的方程为：1)1(+-=x k y ，则点M )0,11(k -联立方程组⎩⎨⎧=+-=21)1(xy x k y ，消去y 得012=-+-k kx x 得))1(,1(2--k k Q . ……6分所以得直线QN 的方程为)1(1)1(2+--=--k x kk y .代入曲线2x y =，得0)1(11122=--+-+k kx k x .解得))11(,11(2k k k kN ----. ……8分所以直线MN 的斜率kkk kk kkk k MN 22)11()11()11()11(---=------=. ……10分过点N 的切线的斜率'12(1)k k k =--.由题意有k k k 2)11(---)11(2kk --=.解得251±-=k .故存在实数251±-=k 使命题成立． ……12分21．解：（Ⅰ）1=a ，x xx x f ln 11)(-+=，定义域为),1()1,0(+∞ ．222)1(1ln 2)1(1)1(ln 2)(x xx x xx x x x x f --+=-++-='． ……2分设xx x x g 21ln 2)(-+=，则22)1()(xx x g --='．因为0>x ，0)(≤'x g ，所以)(x g 在),0(+∞上是减函数，又0)1(=g ，于是)1,0(∈x ，0)(>x g ，0)(>'x f ；),1(+∞∈x ，0)(<x g ，0)(<'x f ．所以)(x f 的增区间为)1,0(，减区间为),1(+∞． ……6分 （Ⅱ）由已知0≠a ，因为)1,0(∈x ，所以0ln 11<-+x xx ．（1）当0<a 时，0)(>x f ．不合题意． ……8分（2）当0>a 时，)1,0(∈x ，由2)(-<x f ，可得01)1(2ln <+-+xx a x ．设xx a x x h +-+=1)1(2ln )(，则)1,0(∈x ，0)(<x h ．22)1(1)42()(x x x a x x h ++-+='．设1)42()(2+-+=x a x x m ，方程0)(=x m 的判别式)1(16-=∆a a ． 若]1,0(∈a ，0≤∆，0)(≥x m ，0)(≥'x h ，)(x h 在)1,0(上是增函数，又0)1(=h ，所以)1,0(∈x ，0)(<x h ． ……10分 若),1(+∞∈a ，0>∆，01)0(>=m ，0)1(4)1(<-=a m ，所以存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x m ，对任意)1,(0x x ∈，0)(<x m ，0)(<'x h ，)(x h 在)1,(0x 上是减函数，又0)1(=h ，所以)1,(0x x ∈，0)(>x h ．不合题意．综上，实数a 的取值范围是]1,0(． ……12分 22．解：（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的一条切线，∴AE AD AB ⋅=2．又∵AB AC =，∴AE AD AC ⋅=2…… 5分（Ⅱ）∵AE AD AC⋅=2，∴ACAE ADAC =，又∵CAE DAC ∠=∠，∴C A D ∆∽E A C ∆ ∴AEC ACD ∠=∠. 又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形， ∴AEC CFG ∠=∠ ∴CFG ACD ∠=∠∴AC FG //. …… 10分 23．解：（Ⅰ）圆的标准方程为2216x y +=. 直线l 的参数方程为2cos 32sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） …… 5分（Ⅱ）把直线的方程12222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2216x y +=，得221(2)(2)1622t +++=，21)80t t +-=，所以128t t =-，即=8PA PB ⋅． …… 10分 24．解：（Ⅰ）14()21()21332(3)24(3x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩）……3分不等式()4f x ≥等价于：1244x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或132324x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩或344x x >⎧⎨+≥⎩ 解得：8x ≤-或2x ≥∴不等式的解集为{|8x x ≤-或}2x ≥. ……6分（Ⅱ）根据函数的单调性可知函数()y f x =的最小值在12x =-处取得，此时m in 7()2f x =-. …… 10分。