§6.1 正弦和余弦(1)
正弦函数和余弦函数的图像及性质
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入 1、复习〔1〕函数的概念在*个变化过程中有两个变量x 、y ，假设对于x 在*个实数集合D 的每一个确定的值，按照*个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈。
〔2〕三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边〔当α在第一、四象限角时〕或其反向延长线〔当α为第二、三象限角时〕相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin 1y yy MP r α====； cos 1x xx OM r α====； tan y MP AT AT x OM OAα====； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系.假设存在，请对这种函数关系下一个定义；假设不存在，请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义〔1〕正弦函数：R x x y ∈=,sin ； 〔2〕余弦函数：R x x y ∈=,cos【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图象.2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 〔1〕[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像【方案1】——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线〔正弦线〕得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结：几何描点法作图准确，但过程比拟繁。
6.1_正弦函数和余弦函数的图像与性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.5．周期性一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ；(2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R .一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝ωπ2.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：(1)T ＝2π，(2)T ＝22π＝π，(3)T ＝2π÷21＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.(1)sin(－18π)－sin(－10π)； (2)cos(－523π)－cos(－417π)．例3 求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.例4.f (x )＝sin x 图象的对称轴是 .例5.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?【当堂训练】1.函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( )A.奇函数而不是偶函数B.偶函数而不是奇函数C.奇函数且是偶函数D.非奇非偶函数2.函数y ＝sin （2x ＋25π）图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π3.设条件甲为“y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝23π”，则甲是乙的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为 ．5.函数y ＝sin2x tan x 的值域为 .6.函数y ＝x －sin x ，x ∈［0，π］的最大值为( ) A.0 B. 2π－1 C.π D. 2243-π7.求函数y ＝2sin 22x ＋4sin2x cos2x ＋3cos 22x 的最小正周期.8.求函数f （x ）＝sin 6x ＋cos 6x 的最小正周期，并求f （x ）的最大值和最小值.9.已知f （x ）＝xx x x cos sin 1cos sin 1+-，问x 在［0，π］上取什么值时，f （x ）取到最大值和最小值.10.给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数； ②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］； ③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π； ④y ＝sin2x －cos2x 的最小值是－1；其中正确的命题的序号是 .11.求下列函数的单调递增区间：①y ＝cos(2x ＋6π)； ②y ＝3sin(3π－2π)12.求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.13.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2π B.x ＝－4π C.x ＝8π D.x ＝45π【家庭作业】1.在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( ) A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］ 2.若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值. .]4,3[sin 2)( .3的取值范围上递增，求在是正数，函数已知例ωππωω-=x x f4.求下列函数的定义域、值域：（1）； （2） ； （3） ．5.求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：（1） ， ； （2） ， ； （3）（4） ．6．要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）； （2） ．37.函数，的简图是（）8.函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 9.函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．10.如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C．D．或11.与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，12.函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．13.求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．参考答案：例1解：(1)∵y ＝cos x 的周期是2π∴只有x 增到x ＋2π时，函数值才重复出现.∴y ＝3cos x ，x ∈R 的周期是2π.(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝sin Z ，Z ∈R 的周期是2π.即Z ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)．只有当x 至少增加到x ＋π，函数值才能重复出现.∴y ＝sin2x 的周期是π.(3)令Z ＝21x －6π，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且函数y ＝2sin Z ，Z ∈R 的周期是2π，由于Z ＋2π＝(21x －6π)＋2π＝21 (x ＋4π)－6π，所以只有自变量x 至少要增加到x ＋4π，函数值才能重复取得，即T ＝4π是能使等式2sin ［21 (x ＋T)－6π］＝2sin(21x －6π)成立的最小正数.从而y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R 的周期是4π. 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关.例2解：(1)∵－2π＜－10π＜－18π＜2π． 且函数y ＝sin x ，x ∈［－2π，2π］是增函数. ∴sin(－10π)＜sin(－18π) 即sin(－18π)－sin(－10π)＞0 (2)cos(－523π)＝cos 523π＝cos 53π cos(－417π)＝cos 417π＝cos 4π ∵0＜4π＜53π＜π 且函数y ＝cos x ，x ∈［0，π］是减函数∴cos53π＜cos 4π 即cos 53π－cos 4π＜0 ∴cos(－523π)－cos(－417π)＜0 例3解：由已知：cos x ＝⇒--y y 312｜y y --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0 ∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－2 例4解：由图象可知：对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z ) 例5解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数：2k π－2π＜x ＜2k π＋2π (k ∈Z ) ∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π 即2k π－3π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求. (2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π) 由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π 得k π－12π≤x ≤k π＋125π (k ∈Z )为所求. 或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数， ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减. 设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π 解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z ) ∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减. 【当堂训练】 1.A 2.A 3.B 4.2π 5.［0，2) 6.C 7. 2π 8.Ｔ＝2π 函数最大值为1 函数最小值为41. 9.x ＝4π时，f (x )取到最小值31； x ＝43π时，f (x )取到最大值3. 10．分析:①y ＝sin x 是周期函数,自变量x 的取值可周期性出现，如反例：令x 1＝4π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin 3π＞sin(6π＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π 由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1 ∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1∴④正确.答案：④11. 解：①设ｕ＝2x ＋6π，则y ＝cos ｕ当2k π－π≤ｕ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵ｕ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Ζ) 即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为： ［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z ) ②设ｕ＝3π－2π，则y ＝3sin ｕ 当2k π＋2π≤ｕ≤2k π＋23π时，y ＝3sin ｕ随x 增大在减小， 又∵ｕ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小 ∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π 即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大 ∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为 ［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )12. 解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数. 13. 方法一：运用性质1′,y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z ),令k ＝－1,得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应. 故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A. 【家庭作业】 1.分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ (x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ (x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ (x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π ∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π ∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－411π，47π］、［－43π，4π］、［45π，49π］， 对照选择支，可知应选B像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是： x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π (k ∈Z )，对照选择支，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择支思考即知应选B. 注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.2. 解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的. 当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x =)2cos(1)2sin 112cos 1(12222θ-+=++++x a x a x a aa其中cos θ＝2211sin ,1aaa +=+θ即tan θ＝a1cos sin =θθ 函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z )∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－⇒8π22πθk +=－8π∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求. 3. 解：由题设得)(2222Z k k x k ∈+≤≤-ππωππ.230.42,32.2222,0⎪⎩⎪⎨⎧≤<≥-≤-∴+≤≤-∴>ωπωππωπωπωπωπωπω解得k x k故ω的取值范围为].23,0(4. 解：（1） ，（2）由 （）又∵ ，∴∴定义域为 （），值域为． （3）由 （），又由∴∴定义域为（），值域为 ．指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件．5.解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？6.解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．7．B 8．B 9．A 10．C 11．D12．；；13.分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．。
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
正弦函数与余弦函数的图象
当两个角的和为$frac{pi}{2}$时，一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，反之亦然。
04
正弦函数与余弦函数的应用
在物理中的应用
振动和波动
正弦函数和余弦函数是描述简谐 振动和波动的基本数学工具，如 弹簧振荡器、声波等。
交流电
正弦函数和余弦函数用于描述交 流电的电压和电流，广泛应用于 电力系统和电子设备。
02
正弦函数在直角三角形中可以表 示直角边与斜边的比值。
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为y=cosx，其中x是角度（以弧度为单位），y是对应的余弦值。
余弦函数在直角三角形中可以表示邻边与斜边的比值。
正弦函数与余弦函数的基本性质
周期性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有特定的周期，例如 y=sinx的周期为2π，y=cosx的周期为2π。
正弦函数和余弦函数用于设计和 分析交流电路，如变压器、电感 和电容等。
在经济中的应用
金融
01
正弦函数和余弦函数用于描述股票、债券和其他金融产品的价
格波动，以及利率和汇率的变化。
市场营销
02
正弦函数和余弦函数用于分析市场需求和消费者行为，用于制
定销售策略和预测市场趋势。
生产管理
03
正弦函数和余弦函数用于生产计划和调度，如安排生产线的运
周期性
正弦函数是周期函数，其周期为 $2pi$。这意味着函数图像每隔$2pi$ 会重复出现。
对称性
正弦函数具有轴对称性和中心对称性。 轴对称性体现在函数图像关于y轴对称， 中心对称性则体现在图像关于原点对 称。
余弦函数的周期性和对称性
周期性
余弦函数同样是周期函数，其周期为$2pi$。与正弦函数类似，其图像每隔 $2pi$会重复出现。
6.1正弦函数和余弦函数
作正弦函数 y = sin x(x ∈ R) 的图象 y 1
-2π π
-π π
o -1
π
2π π
3π π
x
4π π
正弦函数 y = sin x( x ∈ R)的图象叫正弦曲线
正弦函数
性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像
x∈R
y ∈ [ 1,1]
奇函数
余弦函数
任意一个实数x都对应着唯一确定的弧度角, 而这个角又对应着唯一确定的余弦值cosx. 这样,对任意一个实数x都有唯一确定的值 cosx与它对应.按照这个对应法则所建立的 函数,表示为y=cosx,它叫做余弦函数.它 的定义域是实数集R.
[ 1,5]
3 0, 4
二次型 一次型
最大值和最小值 例3:求下列函数的最大值和最小值
π (1) y = 3 2sin 2 x 4
3π x = kπ + , k ∈ Z时,ymin = 1 8
x = kπ
π
8
, k ∈ Z时,ymax = 5
定义法
(2) y = cos 2 x 2sin x
x = 2 kπ +
π
2
, k ∈ Z时,ymin = 2 , k ∈ Z时,ymax = 2
x = 2 kπ
π
2
二次型
(3) y = sin x + cos x
3π x = 2 kπ , k ∈ Z时,ymin = 2 4 x = 2 kπ +
π
4
, k ∈ Z时,ymax = 2
一次型
(4) y = sin x + cos x + sin x cos x
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
正弦函数余弦函数
$number {01}
目 录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的变换 • 正弦函数与余弦函数的特殊值
01
正弦函数与余弦函数的定义
正弦函数的定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，其中x是角度，y是对应的正弦值。 正弦函数在直角三角形中可以表示直角边与斜边的比值。 正弦函数具有周期性，周期为360度或2π弧度。
3
正弦函数图像
正弦函数的图像是一个周期为$2pi$的波浪线，最高点为1，最 低点为-1，呈周期性变化。
余弦函数图像
余弦函数的图像也是一个周期为$2pi$的波浪线，最高点为1， 最低点为-1，也呈周期性变化。
图像关系
正弦函数和余弦函数在图像上具有对称性，即当将正弦函数 的图像向右平移$frac{pi}{2}$个单位，即可得到余弦函数的 图像。
在物理中的应用
01
02
03
振动和波动
正弦函数和余弦函数是描 述简谐振动和波动的基本 函数，例如弹簧振动的位 移、声音的传播等。
交流电
正弦函数和余弦函数用于 描述交流电的电压和电流， 广泛应用于电力系统和电 子工程中。
磁场和电场
在电磁学中，正弦函数和 余弦函数用于描述磁场和 电场的变化，如电磁波的 传播等。
03
正弦函数与余弦函数的应用
在三角函数中的应用
三角恒等式证明
利用正弦和余弦函数的性质，证明和推导各种三角恒等式，如正弦和余弦的和差公式、倍角公式 等。
角度计算
利用正弦和余弦函数，将角度转换为弧度，或者将弧度转换为角度，特别是在物理学和工程学中 ，角度和弧度的转换是常见的需求。
正弦公式和余弦公式
正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中的两个重要的公式，它们是用来研究正弦和余弦的函数关系的重要工具。
它们描述的正弦和余弦的函数关系可以用来解决许多不同种类的数学问题，也可以应用于物理学，化学，机械等许多科目。
正弦公式和余弦公式的概念源自三角学，是一种表达描述三角形内点和某直线之间关系的数学工具。
通常，正弦和余弦函数关系都是从平面坐标中，给定一个点(x,y)，根据这个点可以求出正弦和余弦函数之间的关系。
特别地，如果x=0，那么正弦公式的结果为y=0，而余弦公式的结果为y=1。
而正弦公式和余弦公式的定义则是以直线做为基础形成的，即通过从给定点推导出正弦和余弦函数之间的关系，来求解出给定点和直线之间的距离。
正弦公式和余弦公式都是以弧度为单位进行计算的，而在数学中，弧度是指一个圆心和一条弧之间需要经过的角度，而这个角度也可以用圆周长来表示，即一个圆的周长等于2π倍这个角度，其中π为圆周率，它的值大约为3.14159。
因此，通过求解弧度和弧长之间的关系，可以定义出正弦公式和余弦公式。
正弦公式的定义为：y=sin(x)，其中y代表的是弧上的某个点的纵坐标，而x代表的是这个点在弧上的角度，也就是说，正弦函数的值等于这个角度的正弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，正弦函数值等于这个角度的正弦值。
余弦公式定义为：y=cos(x)，其中y是某点在弧上的纵坐标，而x则是这个点在弧上的角度，而余弦函数的值等于这个角度的余弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，余弦函数值等于这个角度的余弦值。
正弦公式和余弦公式都有很多的应用，例如正弦公式可以被用来求解矩形三角形的外接圆的半径，也可以用来求解正弦函数在一段区间内的变化曲线；而余弦公式则可以用来计算直角三角形的内切圆的半径，以及求解余弦函数在一段区间内的变化曲线。
正弦公式和余弦公式在解决数学问题和实际应用中的作用非常重要，因为它们定义了正弦函数和余弦函数之间的关系，而正弦函数和余弦函数则是解决现实生活中许多问题所不可缺少的一种函数，因此研究这两个公式的基础原理和实际应用对于更好地理解以及解决问题都是非常重要的。
§6.1余弦函数图像1
高一年级数学学科
编号：30 班级：学生姓名：设计人：史旭龙审核人：安仓娃
课题：§6.1余弦函数图像
【学习目标】
（1）了解由正弦函数的图像及诱导公式画出余弦函数的图象的方法；（2）会用“五点法”画余弦函数图象.
【学习重点】余弦函数的图像
【学习难点】诱导公式画出余弦函数的图象的方法.
第一部分【自主学习】
1．.把正弦函数y=sinx的图象就得到余弦函数的图象。
2．函数的cos
=定义域是__________值域是__________.
y x
第二部分【合作探究】
1、画出x
=函数的大致图象
y cos
2、画出2cos x
y=-函数的大致图象
第三部分【课堂练习】
1、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ y=cosx+1，x ∈R
2、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ ①y ＝－2sinx ，x ∈R
②y ＝2-cosx ，x ∈R
3．设M 和m 分别表示函数y =3
1c os x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A ．32
B ．－32
C ．－34
D ．－2
4.设a 、b 、x ∈R,函数cos y a x b =-的最大值为7,最小值为-1,则( ).
(A)a=4,a=-3 (B)a=±4,b=3
(C)a=±4,b=-3 (D)a=-4,b=-3
第四部分【课后反思】
了解由正弦函数的图像及诱导公式画出余弦函数的图象的方法；余弦函数特点。
6.1正弦函数与余弦函数的图像和性质(一)
第六章 三角函数第一节 正弦函数和余弦函数的性质和图像【知识梳理】1、y=sinx 图像及性质定义域：R 值域：[]1,1-最小正周期：π2=T ； 奇偶性：奇函数； 单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ； 单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； 对称中心：（0,πk ）； 对称轴：2ππ+=k x最值：1,22max =+=y k x ππ；1,232min -=+=y k x ππ 2、y =cosx 的图像及性质定义域：R 值域：[]1,1-最小正周期：π2=T ； 奇偶性：偶函数；单调递增区间：[]πππk k 2,2-； 单调递减区间：[]z k k k ∈+,2,2πππ；对称中心：（0,2ππ+k ）；对称轴：πk x =最值：1,2max ==y k x π；1,2min -=+=y k x ππ【典型例题分析】例1、作下列函数的简图（复习五点作图法）(1)y=sinx ，x ∈[0，2π]， (2)y=cosx ，x ∈[0，2π]， (3)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (4)y=-cosx ，x ∈[0，2π]，例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x21cos )2(≤x例3、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R 。
变式练习：1、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.（1） y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2x-4sinx+5 (3) y=xx cos 3cos 3+-2、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。
例4、求下列函数的定义域：(1)y ＝1+xsin 1(2)y ＝x cos变式练习：求数的定义域：（1）y=x x 2cos 21cos 3-- （2）y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x （3） y=)cos(sin x例5、求下列函数的周期：(1)y ＝3cos x ，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin(21x －6π)，x ∈R （4）y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π) （5）y=|sinx| （6）y=23sinxcosx+2cos 2x-1变式练习：求下列函数的最小正周期：（1）y=|sin(2x+6π)| （2）y=cos 2θsin 2θ+1-2sin 22θ例6、已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
正弦和余弦课件
和差化积公式
总结词
和差化积公式是三角函数中一个重要的公式，它表示两个角的正弦和余弦函数值的和与差之间的关系 。
详细描述
和差化积公式表示为sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy和cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy，其中x和y是任 意角度。这个公式在解决三角函数问题时非常有用，因为它可以将两个角的正弦和余弦函数值的和与 差转化为其他形式。
在音乐领域，正弦和余弦函数被用于描述音高和音色的变化，进而合成和创作出各 种美妙的音乐。
在工程领域，正弦和余弦函数被用于分析机械振动、电气系统和控制系统等工程问 题。
04
正弦和余弦的公式和定理
和差角公式
总结词
和差角公式是三角函数中一个重要的公式，它表示两个角的正弦和余弦函数值之 间的关系。
详细描述
在声学研究中，正弦和余弦函数可以 用于描述声波的传播和振动，进而分 析声音的音高、响度和音色等特性。
ห้องสมุดไป่ตู้
在交流电的研究中，正弦和余弦函数 是描述电流、电压和电动势的有效方 式，通过正弦和余弦函数可以分析交 流电的频率、幅值和相位。
在日常生活中的应用
在信号处理领域，正弦和余弦函数被广泛应用于信号的调制和解调，例如在无线通 信、音频处理和图像处理中。
在弧度制下，正弦函数定义为直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值，而余弦函数定义为直角三角形中 锐角的邻边长度与斜边长度的比值。
详细描述
在弧度制中，角度的测量单位是弧度（rad），正弦函数记作sin，余弦函数记作cos。对于任意角度r（r是以弧度 为单位的弧度），正弦函数sin(r)的值等于直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值，余弦函数cos(r)的值 等于直角三角形中锐角的邻边长度与斜边长度的比值。
沪教版数学高一下册-6.1正弦函数和余弦函数的图像和性质 -正弦函数和余弦函数的周期 课件(共18张PPT)
正弦函数、余弦函数的周期性
，
算一算：
1、 函f数 (x)A si nx ()(其A 中 0， 0)
的最小正 2ωπ 周 。期为
2、函 f(x) 数 A cox s()(其A 中 0， 0) 2π 的最小正 ω 。 周期是
正弦函数、余弦函数的周期性
想一想?
函数 f(x) 3sin(1x)的周期是多
用数学语言描述函数的这个特征： f(x1)f(x)
正弦函数、余弦函数的周期性
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在 一个常数T (T≠0 )，使得当x取定义域D内 的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立， 那么这个函数f(x)叫做 周期函数。
常数T叫做函数f(x)的周期。
正弦函数、余弦函数的周期性 问题1：正弦函数 f(x)=sinx 是周期函数吗？
正弦函数、余弦函数的周期性 请你写出一个最小正周期为2的函数。
正弦函数、余弦函数的周期性
1、周期函数的概念：
一般地，对于函数f(x)(xD)，如果存在一个常数T (T≠0 )，使得当 x取定义域D内的任意值时，都有等式f(x+T)=f(x)成立，那么这个函 数f(x)叫做 周期函数。常数T叫做函数f(x)的周期。
f(x2T) f(xTT) f(xT) f(x), f(x3T) f(x2TT) f(x2T) f(x), 对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做这个 函数的 最小正周期。
函数y=sinx和y=cosx的最小正周期是： 2π
正弦函数、余弦函数的周期性
问题4：是否所有的周期函数都有最小正周期？
对于一个周期函数f(x)而言，如果在所有的周期中存
6.1.2正余弦函数的图象与性质--定义域值域
2
(k Z )
（一）值域和最大(小)值
定义域 值 域
最大值 最小值
y sin x xR
y [1， 1]
y cos x
xR
y [1 ， 1]
ymax 1 ymin 1
2 3
2
ymax 1
ymin 1
x ?，ymax x 2k
x ?，ymin x 2k
练习2 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？
(1) y cos x 1, x R
解：使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是
使函数 y cos x, x R 函数 取得最大值的x的集合 {x x 2kπ , k π } 的最大值是1+1=2 .
当 t 2 k
2
, k Z 即 x { x | x k
12
3 , k Z } 时，
5 , k Z } 时， 同理： 当 t 2k , k Z 即 x {x | x k 12 2 ymin 2
ymax 2
y2
sin x
-4 -6 -8
y sin x, x R 是
-10 -12
奇
函数
6
二、正弦函数、余弦函数的基本性质I
余弦函数 y cos x, x R
y
2 4
5 2
-10 -5 3 2
2
1
1
-2
2
5 2
3 2
5 10
0
x
1
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
正弦和余弦
正弦和余弦教学建议1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.2．重点、难点分析（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：∽∽∽……所以，因为相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.理应注意：单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能准确地使用它们.4．我们理应学会理解任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.我们不但理应熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能准确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应准确地写出如下的三角函数关系式：很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，理应熟悉掌握它们.利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.根据定义，有另一方面，能够想像，当时，边与AC重合（即），所以当时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有把以上结果能够集中列出下面的表：6．教法建议：（1）联系实际，提出问题通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板实行度量，并引导学生得出规律：，再进一步对含的三角板实行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，理应即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.(3)增强数形结合思想的教学“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这仅仅从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，所以教学中要充分利用这部分教材，协助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提升在几何问题中注意使用代数知识的水平．第一课时一、教学目标1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这个事实。
正弦和余弦
正弦和余弦（1）重点难点一定要理解并明确：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的．内容速览若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上．易知，△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值．知识扩展当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道．今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的．如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了．看来这个比值很重要，下再研究这个“比值”！正弦和余弦(2)重点难点了解把握正弦、余弦概念；明确用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦．内容速览在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA．大家一定要亲自动笔计算，对一些特殊角三角函数值一定要认记．典型一例知识扩展由以上知识，同学们应该明确对任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角)．正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．正弦和余弦(3)重点难点了解把握一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用．内容速览任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)．经典一例(2)已知sin35°=0.5736，求cos55°；(3)已知cos47°6′=0.6807，求sin42°54′．分析：(1)问比较简单，对照定理，即可解答．(2)、(3)比(1)则更深一步，因为(1)明确指出∠B与∠A互余，(2)、(3)没有，但是仔细看，你会发现35°与55°，47°6′与42°54′分别互余解：（1）1/2，（2）0.5736，（3）0.6807.知识扩展任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．正弦和余弦(4)重点难点探索明确当角度在0°～90°间变化时，正弦值与余弦值随角度变化而变化的规律．注意：由于余弦是减函数，查表时“值增角减，值减角增”不少人常常出错． 内容速览“正弦和余弦表”简介(1)“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角．（2)表中角精确到1′，正弦、余弦值有四位有效数字．（3)凡表中所查得的值，都用等号，而非“≈”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“≈”表示．当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)．知识总结了解正弦值，余弦值随角度的变化而变化的规律：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大．正切和余切重点难点了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值．在使用余切表中的修正值时，如果角度增加，相应的余切值要减少一些；如果角度减小，相应的余切值要增加一些．这里取加还是取减，不少同学极易出错． 难点解疑查锐角的正切值类似于查正弦值，应“顺”着查，若使用修正值，则角度增加时，相应的正切值要增加，反之，角度减小时，相应的正切值也减小；查余切表与查余弦表类似，“倒”着查，在使用修正值时，角度增加，就相应地减去修正值，反之，角度减小，就相应地加上修正值． 内容速览1.在Rt △ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=的邻边的对边A A ∠∠并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=的对边的邻边A A ∠∠2．tanA 与cotA 的关系A A cot 1tan =（或1cot tan ,tan 1cot =⋅=A A A A ）3．锐角三角函数,cot ,tan ,cos ,sin a b A b a A c b A c a A ====把锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．4.一些特殊锐角三角函数值3331cot 60cot 111cot 45cot 313cot 30cot 313tan 60tan 111tan 45tan ;3331tan 30tan ''''''''''====︒====︒====︒====︒====︒===︒AC BC B C B B A A BC AC A BC AC B C A C B A A 经典一例例 求下列各式的值：(1)2sin30°+3tan30°+cot45°；(2)cos245°+tan60°·cos30°．解：(1)2sin30°+3tan30°+cot45°(2)cos245°+tan60°·cos30°=2．解直角三角形重点难点大家应该理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．内容速览1．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间的等量关系如下： (1)边角之间关系a b A b aA c bA c aA ====cot ;tan ;cos ;sin b aB abB c aB c bB ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．知识总结在直角三角形中，除直角外还有五个元素，大家应该了解两个元素(至少有一个是边)，就可应用举例重点难点大家要善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．内容速览解直角三角形的主要依据如下(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠ cotA=的对边的邻边A A ∠∠经典一例例 如图6-19，已知A 、B 两点间的距离是160米，从A 点看B 点的仰角是11°，AC 长为1.5米，求BD 的高及水平距离CD ．解：过A 作AE ∥CD ，于是AC=ED ， AE ＝CD ．在Rt △ABE 中。
6.1正弦、余弦、正切、余切(第1课时 任意角及其度量)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
k＝6 时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
规律方法
1．在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β＜
360°，k∈Z)，其中的 β 就是所求的角．
我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值
（表6-1）：
（表6-1）
角度
30
45
60
sin
cos
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
ta n
cot
3
3
3
1
3
1
3
3
2 任意角及其度量
在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，
角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终
45 是第一象限的角，
-315 是第一象限的角；
（2) 905.3 =2 360 +184.7 ，
184.7 是第三象限的角，
905.3 是第三象限的角；
（3)
-1090 4 ( 360 ) 350 , 350 是第四象限的角
-1090 是第四象限的角
（4） 530 =360 +170 ，
止位置（终边）所形成的图形（图6-1-2）． 我们以前学习过的锐角、直角、
钝角、平角和周角，其大小都在0°到360°之间．不过在体操、跳水等体育
运动中，会听到转体720°、转体1080°等术语；当手表比标准时间慢或者
正弦和余弦(1)
课题正弦和余弦（一）总第 39 课时教学目标知识与技能目标过程与方法目标情感与态度目标1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2、逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．教学重点使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．教学难点学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．教学过程教学内容设计个性补充一、新课引入：1、如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？2、长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？3、若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？4、若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？明确：有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来．二、新课讲解：1、请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值．明确：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．．2、请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值。
明确：不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？3、通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这教学内容设计个性补充个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成．4、学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上．这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值．学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来．三、课堂小结：1．引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的．教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识．2、扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道．今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的．如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了．看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下．通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣．四、布置作业：本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念作业教学札记。
§6.1 正弦和余弦(1)
§6.1 正弦和余弦（1）概述在数学中，正弦（sine）和余弦（cosine）是最基本的三角函数之一。
它们起源于几何学，但在许多领域中都有广泛的应用，尤其是在物理学、工程学和计算机科学中。
正弦函数正弦函数一般用sin(x)表示，其中x是角度。
正弦函数的定义可以通过单位圆（半径为1的圆）来解释。
给定一个角度x，我们可以从单位圆上的点(1, 0)开始，顺时针旋转角度x，然后在单位圆上终止。
这个终止点的纵坐标就是sin(x)的值。
正弦函数是一个周期函数，周期为360度（或2π弧度）。
即对于任意角度x，有sin(x + 360n) = sin(x)，其中n是任意整数。
正弦函数的值域在-1到1之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
余弦函数余弦函数一般用cos(x)表示，其中x是角度。
与正弦函数类似，余弦函数的定义也可以通过单位圆来解释。
给定一个角度x，我们可以从单位圆上的点(1, 0)开始，逆时针旋转角度x，然后在单位圆上终止。
这个终止点的横坐标就是cos(x)的值。
余弦函数也是一个周期函数，周期为360度（或2π弧度）。
即对于任意角度x，有cos(x + 360n) = cos(x)，其中n是任意整数。
余弦函数的值域在-1到1之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
正弦和余弦的性质正弦和余弦函数有许多共同的性质：1.正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
2.正弦函数和余弦函数在0度（或0弧度）和90度（或π/2弧度）处取得极值。
具体来说，sin(0) = 0，sin(90) = 1，cos(0) = 1，cos(90) = 0。
3.正弦函数和余弦函数是互余的，即sin(x) = cos(90 - x)。
4.正弦函数和余弦函数是相位差为90度（或π/2弧度）的正弦曲线和余弦曲线。
5.正弦函数和余弦函数可以通过欧拉公式与指数函数关联起来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§6.1 正弦和余弦（1） [课题]§61 正弦和余弦 1[教学目的]使学生了解本章所要解决的新问题 是已知直角三角形的一条边和另一个元素一条边或一个锐角，求这个直角 三角形的其他元素直角除外；使学生了解下列事实在直角三角形中，当锐 角取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
[教学重点]已知直角三角形的一条边和另一个元素一条边或一个锐角， 求这个直角三角形的其他元素。
[教学难点]在直角三角形中，当锐角取固定值时，它的对边与斜边的 比值也是一个固定值。
[教学关键]在直角三角形中，当锐角取固定值时，它的对边与斜边的 比值也是一个固定值。
[教学用具]三角板、小黑板。
[教学形式]讲练结合法。
[教学用时]45′×1[教学过程][复习提问]1、什么叫做直角三角形？2、如 果直角三角形△ 中，∠为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直 角三角形可以用什么符号来表示？ 3、对于一个直角三角形来说，除了一 个内角是直角外，还有两个内角是锐角，有三条边，在这除了直角以外的 5 个元素中，已知几个元素，通过什么可以求出未知的其他元素？[讲解新 课]一、 让学生阅读教科书第 1 页上的插图和引例时间 3 分钟， 然后提问 1、
这个有关测量的实际问题有什么特点？有一个重要的测量点不可到达。
2、把这个实际问题化为数学模型后，其图形是什么图形？直角三角 形。
3、能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直 角三角形，并在这个全等图形上进行测量？不一定能，因为斜边即水管的 长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图 也不方便。
4、想想看，除了测量、作图或画图等方法外，我们还学过哪些方法？ 计算与证明。
5、 这个实际问题可以归结为怎样一个数学问题？在△ 中， ∠为直角， 已知锐角和斜边，求∠的对边。
这时指出，由于∠不一定是特殊角，我们难以运用学过的定理来证明 的长度。
因此在下面考虑能不能通过式子变形和计算来求得的值。
这就是我们在这一章中要学习的一项新知识。
二、 让学生阅读教科书第 2 页至第 3 页第 3 行的内容， 要求一边阅读， 一边观察自己随身携带的两块三角板时间 5 分钟，然后提问 1、出示自己 带来的教具之一——不等腰的那把本制三角板在这把三角板中， 30°角所对 的直角边与斜边之间有什么关系？30°角所对的直角边等于斜边的一半。
你们的三角板中，这个结论是不是也都成立？45°30°2、用小黑板出示 图 6—11，我们把这个结论化为数学式子，可以得到什么？==。
3、 这就是说， 当∠=30°时， 不管直角三角形的大小如何， ∠的图 6—11
图 6—12 对边与斜边的比值都等于。
那么， 根据这个比值， 如果已知斜边的长， 怎样算出∠的对边的长呢？ =。
4、 出示自己带来的另一教具——等腰的那把本制三角板和小黑板上的 图 6—12，类似地，运用勾股定理，在所有等腰的那块三角板中，我们可 以发现什么？====。
5、这就是说，当∠=45°时，不管直角三角形的大小如何，∠的对边与 斜边的比值都等于。
那么， 根据这个比值， 如果已知斜边的长， 怎样算出∠的对边的长呢？ =。
三、那么，当锐角取其他固定值时，∠的对边与斜边的比值能否也是 一个固定值呢？为了回答这一问题，请同学们阅读教科书第 3 页第 3 行下 面的内容时间 4 分钟，然后提问 1、在直角三角形中，如果有一个锐角取 固定值，而夹这个锐角的一条直角边和斜边的长都可以变化，那么，当我 们把有这样特殊点的直角三角形中取固定值的锐角叠合在一起，并把夹这 个锐角的直角边重合在一条直线上时，斜边会出现什么情况？斜边也会重 合在一条直线上。
2、 出示小黑板上的图 6—2， △ 11、 △ 22、 △ 33、 ……之间有什么关系？ 彼此相似。
为什么？它们有公共的锐角。
323、那么，、、这些比值之间有什么关系？彼此相等。
为什么？相似三角形中对应边的比相等。
14、由此可得什么结论？在直角三角形中，当一个锐角取固定值时， 它的对边与斜边的比也取一个固定值。
321[课堂练习]在△ 中，∠为直角。
图 6—21、如果∠=60°，那么∠的对边与斜边的比值是多少？2、如果 ∠=60°，那么∠的对边与斜边的比值是多少？3、如果∠=30°，那么∠的对 边与斜边的比值是多少？4、 如果∠=45°， 那么∠的对边与斜边的比值是多 少？[课堂小结]在这一节课中，我们获得了一个重要的结论在直角三角形 中，当一个锐角∠取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值， 如果后者即能够由前者即∠求出，那么引例中的实际问题求的长就可以解 决了。
所以，从下节课起，我们将进一步研究这类比值即等的特点，从而得 以求出它们。
[课外作业]复习教科书第 1~3 页上的全部内容。
[板书设计]课题一、1、2、3、4、5、二 1、2、3、4、5、三、1、2、 3、4、课堂练习[课后记]通过本节课内容的学习，我们对直角三角形又有 了一个新的认识，即当直角三角形中，有一锐角固定时，其对边与斜边的 比值也是固定的这一重要性质。
这在我们今后的学习中是十分重要的。
。