【高中数学】第二章 §3 计算导数 ppt课件(北师大版 选修2-2)
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北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值.
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
2.3 计算导数 课件(北师大选修2-2)
y ＝kx ， 0 0 ∴ y0＝ln x0，
① 1 把k＝ 代入①式得y0＝1， x0 ②
再把y0＝1代入②式求出x0＝e. 1 1 ∴k＝ ＝ . x0 e
1．f′(x0)与f′(x)的异同： 区别 联系 是导函数f′(x)在x＝x0
f′(x0)
f′(x0)是具体的值， 在x＝x0处的导数f′(x0)
解：(1)y′＝(x2 012)′＝2 012x2 011；
3 (2)y′＝x3′＝－9x－4；
(3)y′＝(5x)′＝5xln 5；
2 2 －1 3 (4)y′＝( x2)′＝ x ′＝ x 3 3
3
.
[例3]
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直
线y＝x的最小距离．
并求切线方程．
解：f′(x)＝cos
π 1 1 ＝ ，所以切线的斜率为 ， x，f′ 3 2 2
3 1 π 切线方程为y－ ＝ x－3 ，即3x－6y－π＋3 3＝0. 2 2
8．已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)． 1 1 ∵y＝ln x，∴y′＝x.∴f′(x0)＝ ＝k. x0 ∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln x上，
x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5x f′(x)＝lim Δx Δx→0
2Δx· x＋Δx2＋5Δx ＝lim Δx Δx→0 ＝lim (2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
Δx→0
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
[一点通]
利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数 fx＋Δx－fx f′(x)＝lim . Δx→0 Δx
① 1 把k＝ 代入①式得y0＝1， x0 ②
再把y0＝1代入②式求出x0＝e. 1 1 ∴k＝ ＝ . x0 e
1．f′(x0)与f′(x)的异同： 区别 联系 是导函数f′(x)在x＝x0
f′(x0)
f′(x0)是具体的值， 在x＝x0处的导数f′(x0)
解：(1)y′＝(x2 012)′＝2 012x2 011；
3 (2)y′＝x3′＝－9x－4；
(3)y′＝(5x)′＝5xln 5；
2 2 －1 3 (4)y′＝( x2)′＝ x ′＝ x 3 3
3
.
[例3]
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直
线y＝x的最小距离．
并求切线方程．
解：f′(x)＝cos
π 1 1 ＝ ，所以切线的斜率为 ， x，f′ 3 2 2
3 1 π 切线方程为y－ ＝ x－3 ，即3x－6y－π＋3 3＝0. 2 2
8．已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)． 1 1 ∵y＝ln x，∴y′＝x.∴f′(x0)＝ ＝k. x0 ∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln x上，
x＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5x f′(x)＝lim Δx Δx→0
2Δx· x＋Δx2＋5Δx ＝lim Δx Δx→0 ＝lim (2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
Δx→0
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
[一点通]
利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数 fx＋Δx－fx f′(x)＝lim . Δx→0 Δx
高中数学北师大版选修2-2第2章4《导数的四则运算法则》ppt课件
x·cos
x＋xcos2x＋xsin2x cos2x
1 ＝2sin
2x＋cxocos2sx2x＋xsin2x＝sin2c2oxs＋2x2x.
(3)解法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x ＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
＝3 lim
Δx→0
f2－33ΔΔxx－f2＝3f′(2)＝72.
[正解] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
＝－3 lim
Δx→0
f2－f3Δ2x－3Δx＝－3f′(2)＝－72.
[点评] 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实
际上f′(x)＝ lim
为能借助求导法则和公式求导的形式．
已知函数f(x)＝2x3＋5，
求 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2的值．
[误解一] 因为f′(x)＝6x2，
所以 lim
Δx→0
f2－3ΔΔxx－f2＝f′(2)＝24.
[误解二]
因为f′(x)＝6x2，所以 lim
Δx→0
f2－3Δx－f2 Δx
梳理知识要点
导数的加、 两个函数的和(或差)的导数，等于
导数的 减法法则 这两个函数的导数的和(或差)
加、减法
表达式
[f(x)± g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
导数的 常数与函数 乘、除法 的积的导数
法则：常数与函数的积的导数， 等于常数与函数的导数的积 表达式：[cf(x)]′＝cf′(x)
高中数学选修2-2-导数的概念-课件.ppt
x
x2 x1
3.求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s
t
（3）求极限
s
s(t t) s(t)
lim lim
t t 0
t 0
t
.
4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.31f′(1)
[答案] C
D．f′(3)
2．若 f′(x0)＝2，则 likm→0 f(x0－k2)k－f(x0)等于(
)
A．－1
B．－2
C．1
1 D.2
[答案] A
3. 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝329t2＋＋32(t－3)2
(t≥3) (0≤t<3)
一.复习回顾：
1.平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率
为 y f (x2) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x x2 x1
x
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1
有关。
6.若极限 lim f (x0 x不) 存f (在x0 )，则称函数在点x0处
x0
x
不可导。
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
2. 求平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
【数学】2.5 简单复合函数的求导法则 课件(北师大版选修2-2)
3.求下列复合函数的导数
(1 ) y cos 5 x (4) y e
2 x3
( 2 ) y cos (5 ) y
5
x
(3) y ln( 2 x x )
2
1 1 3x
答案：（ ）y 5 sin 5 x 1 (3) y (5) y 2 2x 2x x 3 2
y
（2）
函数 y ln (1 3 x ) 可以分解为
2
y u , u ln v 和 v 1 3 x
2
又 yu 2u , u v
1 v
, vx 3
1 v ( 3) 6 3x 1 ln( 3 x 1)
y yu u v v x 2u
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ),
f ( x ) g ( x )
f (x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) . 2 g (x) g (x)
课前练习：
1.y x( x
y ln x
y sin x
x ln a 1 y x
y cos x
y sin x
y
y
y cos x
y tan x
y cot x
1 cos
sin
2
x
x
1
2
2.导数的四则运算法则：
f f
( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ), ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ).
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件
f 解： (1) 4 表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解： (10) 1.5 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
2013-4-2
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建 立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大 值、最小值的实际问题， 主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题； （2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其 成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解
即半径越大 利润越高 半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小 这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数 你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在 确定断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流 阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)
例3 （2）
讨论函数 f ( x) ( x 1) x 的单调性
2 3
解 （1）该函数的定义域为( , )
2 2 1 5x 2 / 3 3 f ( x ) x ( x 1) x 1 3 3x 3 2 / 令 f ( x ) 0得 x , 显然 x =0为f ( x )的不可导点, 5 2 于是 x 0, x 分定义区间为三个子区间 5 2 2 ( , 0), (0, ), ( , ) 5 5
/
( x 0)
所以f ( x)在区间[0, )内单调增加, 又f (0) 0 因此, 当x 0时, 恒有f ( x) f (0), x 即 ln(1 x) 1 x
二、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
x ln(1 x ) 证法 2 证明不等式 1 x
x 设函数f ( x) ln(1 x) , 1 x 因为f ( x)在[0, )上连续, 当x 0时, 1 1 x x x f ( x) 0, 2 2 1 x (1 x) (1 x)
x f/(x) f(x)
（ ， -
7 ） 6
7 6
7 7 （ ， ） 6 10
7 10
7 （ ， ） 10
+
不可导 极大值
-
0 极小值
+
从表中可知：
7 7 x1 是极大值点，极大值f ( ) 0 6 6 7 7 7 3 x2 是极小值点，极小值f ( ) 980 10 10 50 7 7 单调增加区间（-， ），（ ， ） 6 10 7 7 单调减少区间（ ， ）。 6 10
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值 课件
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北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
北师大版高中数学选修2-2第三 章《导数应用》
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解 函数极值的概念；⑵会求给定函数在某区 间上的极值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会对函数的极大值与极小值。 3、情感、态度与价值观：让学生感悟由 具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程
a2 练习１:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值. 解:函数的定义域为 ( ,0) (0,), a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞) f’(x) + 0 0 + f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗ 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有 极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §3 计算导数
π
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
3
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
3
2.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修2-2)
答案：〒2
3.（5分）若曲线y=x3-x+1上动点P处切线的倾斜角为α ，则角
α 的取值范围是_________.
【解析】∵y=x3-x+1, ∴y′=3x2-1, 设切点为P(x0,y0), 则k=tanα=3x02-1≥-1,
又∵α∈［0,π),
∴0≤α< 或 3 ≤α<π, 2 4 答案：{α|0≤α< 或 3 ≤α<π} 2 4
2.已知三次函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=0,
f′(2)=3,f′(3)=12,则f(x)-f(0)=__________.
【例3】已知曲线方程为y=x3+1，试求该曲线在点（1，2）处
的切线与坐标轴所围成的三角形的面积.
思路点拨：解答本题时可先利用导数求切线方程，进而确定 切线与坐标轴围成的三角形的特点，最后求其面积.
(B)-cosx-sinx
(D)cosx-sinx
2.曲线运动方程为S= 1-t +t 2 , 则t=2时的速度为（ t2 （A）4 （B）8 （C）10 （D）12
）
【例2】设y=f(x)是二次函数，方程f(x）=0有两个相等的实
根，且f′（x)=2x+1.求y=f(x）的函数表达式.
思路点拨：解答本题先根据f′(x)设出f(x)的表达式，再利 用根的判别式为0求常数项.
课程目标设置
主题探究导学
2.利用导数的和（差）公式进行导数运算的前提条件是什么？ 提示：应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式； ②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出.
典型例题精析
【练一练】1.若y=sinx-cosx，则y′=（
【数学】2.4.2 导数的乘法与除法法则 课件(北师大版选修2-2)
2 x0 f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
2013-4-2
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
1 x ′ (x)=____。 （8）若f(x)=lnx,则f
2013-4-2
e
(a>0,且a≠1);
课堂小结： （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 作业布置： 见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
2013-4-2
（3）若f(x)=sinx,则f
cosx ′(x)=_____;
-sinx ′(x)=_____; （4）若f(x)= cosx,则f xlna(a>0) a x,则f ′(x)=____; （5）若f(x)=a
2013-4-2
x x,则f′ (x)=____; （6）若f(x)=e
1 ′ (x)=_____ a x ln （7）若f(x)=logax,则f
'
记 一
1 公式7 (1oga ) 记 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x 不需推导，但要注意符号的运算.
x '
2013-4-2
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
2013-4-2
练习
(1)
4 5x
;
(2)
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义 课件
(2) W’(t)= W ′(t ) = 3t − 12t + 16
2
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示 分别表示t=1s和t=2s时， 分别表示 和 时 这个人每秒做的功为7j和 这个人每秒做的功为 和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内 在物理学中，通常称力在单位时间内 做的功叫做功率，它的单位是瓦特 做的功叫做功率，它的单位是瓦特
二．新课探析 1、功与功率 、 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位： ）是时间t（单位： 他所做的功 （单位：J）是时间 （单位： s）的函数，设这个函数可以表示为 ）的函数， 3 2 W=W(t)= t − 6t + 16t (1) 求t从1s变到 时，功W关于时间 的 变到3s时 关于时间t的 从 变到 关于时间 平均变化率， 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义 并解释它们的实际意义
2
′(10) = 6 − 0.8 × 10 + 0.06 × 10 2 = 4 (元/件)， C 元件，
万件时， 因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本 远低于当前的单位成本． 角度看应继续提高产量． 角度看应继续提高产量．
件某产品的总成本函数为： 例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
（3）边际利润 ） 表示总利润， 设总利润函数为 L = L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量， 销售量 ， 则 L ′(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 边际利润的经济意义是： 再增加一个单位的销量， 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L′(q)个 单位． 单位．
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
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1.变化的快慢与变化率
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2.导数的概念及其几何意义
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2020最新北师大版高三数学选修 2-2电子课本课件【全册】目录
0002页 0046页 0128页 0164页 0219页 0242页 0309页 0357页 0403页 0424页 0458页 0508页 0551页 0553页 0653页 0704页 分析法 4.数学归纳法 复习题一 1.变化的快慢与变化率 3.计算导数 5.简单复合函数的求导法则 复习题二 1.函数的单调性与极值 本章小结建议 第四章 定积分 2.微积分基本定理 阅读材料 数学史上的丰碑——微积分 复习题四 1.数系的扩充与复数的引入 阅读材料 数的扩充 复习题五
3.反证法
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4.数学归纳法
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第一章 推理与证明
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1.归纳与类比
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2.综合法与分析法
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本章小结建议
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复习题一
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第二章 变化率与导数
1.变化的快慢与变化率
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2.导数的概念及其几何意义
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0002页 0046页 0128页 0164页 0219页 0242页 0309页 0357页 0403页 0424页 0458页 0508页 0551页 0553页 0653页 0704页 分析法 4.数学归纳法 复习题一 1.变化的快慢与变化率 3.计算导数 5.简单复合函数的求导法则 复习题二 1.函数的单调性与极值 本章小结建议 第四章 定积分 2.微积分基本定理 阅读材料 数学史上的丰碑——微积分 复习题四 1.数系的扩充与复数的引入 阅读材料 数的扩充 复习题五
3.反证法
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2.综合法与分析法
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本章小结建议
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复习题一
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第二章 变化率与导数
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3) y f ( x) x , y ' 2 x
2
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
1 4) y f ( x) , y ' 1 2 x x
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
解析 因为
y f ( x x) f ( x) c c 0 x x x
y f ( x x ) f ( x ) lim ＝ lim x 0 x x 0 x
求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y
说明:上面的方法 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导 f (x x) f ( x); 数.
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: (1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 ); f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
f ’ (-2) =6×（-2）=-13 ，
f ’ (0) =6×0－1=-1。
练习4、y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。 解: (1)当x>0时，y=x, 则y' =1
(2)当x<0时，y=-x,不难求得y' =-1
(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：
y | 0 x | | 0 | | x | x x x
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数 因为
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 x x x
2 2 2
x 2 x x (x) x x 2 x x
y lim lim (2 x x) 2 x 所以 y x 0 x x 0
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
1，2x，3x2
你猜测 y = x n 导数是什么?
y' =nxn-1
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f ’ (1) ， f ’ (-2) ，f ’ (0) . 解析 因为
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim . x 0 x 0 x ( x0 x) x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，即 f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim . x 0 x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数
解：函数改变量 y= x+x x
y 算比值 x x x x x
1 x x x
例1：已知函 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数 取极限 所以
y f ( x x) f ( x) 3(x) 2 6 xx x x x x
3x 6 x 1
所以
y y lim lim (3x 6 x 1) 6 x 1 x 0 x x 0
Байду номын сангаас
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f ’ (1) ， f ’ (-2) ，f ’ (0) . 分别将 x 1, x 2, x 0带入f ’ (x) ，可得 f ’ (1) =6×1－1=5，
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
新课讲授 导函数 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 / f 对应着一个确定的导数 ( x)，从而构成 / / 了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 f ( x) 为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简 / y 称导数，也可记作 ，即 / / f ( x) ＝ y
y 1 1 lim lim x 0 x x 0 x x x 2 x
y
'
1 2
'
x
2 y | x 2 f ( 2) 4
请同学们求下列函数的导数:
1) 函数y=f(x)=c的导数. 公式: C 0 (C为常数) .
y ' 1 2) y f ( x) x,
第二章 变化率与导数 §3 计算导数
1.平均变化率的概念：
函数f(x)从x1到x2的平均变化率:
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f x
习惯上用x表示x2 x1,即x=x2 x1。 类似地，f =f ( x2 ) f ( x1 )。
2.导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
所以
y y lim lim 0 0 x 0 x x 0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数 因为
y f ( x x) f ( x) x x x 1 x x x
y lim lim 1 1 所以 y x 0 x x 0
2
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
1 4) y f ( x) , y ' 1 2 x x
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
解析 因为
y f ( x x) f ( x) c c 0 x x x
y f ( x x ) f ( x ) lim ＝ lim x 0 x x 0 x
求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y
说明:上面的方法 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导 f (x x) f ( x); 数.
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: (1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 ); f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
f ’ (-2) =6×（-2）=-13 ，
f ’ (0) =6×0－1=-1。
练习4、y=|x|(x∈R)有没有导函数，试求之。 解: (1)当x>0时，y=x, 则y' =1
(2)当x<0时，y=-x,不难求得y' =-1
(3)当x=0时，y=0,求其导数如下：
y | 0 x | | 0 | | x | x x x
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数 因为
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 x x x
2 2 2
x 2 x x (x) x x 2 x x
y lim lim (2 x x) 2 x 所以 y x 0 x x 0
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
1，2x，3x2
你猜测 y = x n 导数是什么?
y' =nxn-1
例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f ’ (1) ， f ’ (-2) ，f ’ (0) . 解析 因为
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim . x 0 x 0 x ( x0 x) x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative）， 记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，即 f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 ) lim . x 0 x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
例1：已知函数 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数
解：函数改变量 y= x+x x
y 算比值 x x x x x
1 x x x
例1：已知函 y = x (1)求y' (2)求函数 y = x 在 x = 2 处的导数 取极限 所以
y f ( x x) f ( x) 3(x) 2 6 xx x x x x
3x 6 x 1
所以
y y lim lim (3x 6 x 1) 6 x 1 x 0 x x 0
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例2、求函数y = f(x) =3x2-x的导函数，并 利用导函数求f ’ (1) ， f ’ (-2) ，f ’ (0) . 分别将 x 1, x 2, x 0带入f ’ (x) ，可得 f ’ (1) =6×1－1=5，
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
新课讲授 导函数 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都 / f 对应着一个确定的导数 ( x)，从而构成 / / 了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 f ( x) 为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简 / y 称导数，也可记作 ，即 / / f ( x) ＝ y
y 1 1 lim lim x 0 x x 0 x x x 2 x
y
'
1 2
'
x
2 y | x 2 f ( 2) 4
请同学们求下列函数的导数:
1) 函数y=f(x)=c的导数. 公式: C 0 (C为常数) .
y ' 1 2) y f ( x) x,
第二章 变化率与导数 §3 计算导数
1.平均变化率的概念：
函数f(x)从x1到x2的平均变化率:
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f x
习惯上用x表示x2 x1,即x=x2 x1。 类似地，f =f ( x2 ) f ( x1 )。
2.导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
所以
y y lim lim 0 0 x 0 x x 0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数 因为
y f ( x x) f ( x) x x x 1 x x x
y lim lim 1 1 所以 y x 0 x x 0