2017-2018学年北师大版必修一指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课时作业2Word版含答案
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》课标解读
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》课表解读教材分析本节是北师大版必修第一册第四章第四节，是在学习了指数函数、幂函数、对数函数的图象与性质的基础上研究的通过对指数函数、幂函数、对数函数的图象的学习，学生对这三类函数的增长趋势有了一定的认识与了解，这一节的主要内容是比较三类函数的增长情况通过具体函数的比较，推广出一般结论，要比较的是三类函数，教材是通过两两比较实现的，结论是指数函数增长最快，对数函数增长最慢，幂函数居两者之间，于是教材就用幂函数分别与对数函数和指数函数进行比较.教材精选了具体函数，注意到两点：一是容易计算函数值；二是考虑幂函数比对数函数增长快时，让幂函数的指数明显小于对数函数的底数，于是取12y x =和2log y x =，而在考虑幂函数比指数函数增长慢时，让幂函数的指数明显大于指数函数的底数，于是取100y x =和2x y =.本节教材内容还有以下两个特点：（1）让一般结论得到落实.教材在分析了表44-和表45-之后就分别得出了般的结论，是不是还显得草率，一个例子不足以说明问题？教材通过“思考交流”栏目，让学生对一般结论说明理由，同时，还通过比较一组函数（对数函数、一次函数、指数函数）的增长速度加深印象.这组函数的图象实际上就是教材在研究对数函数的图象时，利用反函数思想得出的图45-，其中一次函数y x =的图象是另两个图象的对称轴.（2）借助直观实现比较.一说到直观，人们首先想到的是图形，但是，这里利用图形不太适合，因为增长的比较说的是自变量充分大时的情况，不易在同一个平面直角坐标系中画出自变量充分大时的这三类函数的图象，哪怕两个也不容易画出，于是，教材选择了另一种直观数表，通过观察自变量充分大后不同函数值的大小关系和变化趋势来感受不同函数的增长.高考中主要考查幂函数、指数函数、对数函数的增长差异及应用.本节内容涉及的数学核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等.教学建议1.课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象、从特殊到一般的原则.教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉.2.教学时需要明确“增长”的两点含义，第一点是：增长的快慢实际上是函数的变化率（也就是后期学的导数的大小，用平均变化率描述），第二点是：这里比较的是当自变量充分大时的情况，.自变量比较小时，比较增长没有意义，当自变量充分大时，增长的快慢在数学上是很重要的，如算法的步骤如果是指数阶的，基本上在计算机上是不可行的这里比较出来的增长结论可能不适用于自变量较小时的情况，如x 分别取2和5时，指数函数2x y =的函数值分别是4和32，幂函数100y x =的函数值分别是301.267650610⨯和697.88860905210⨯，显然在区间(2,5)上，幂函数比指数函数增长得快人们日常画出的（看到的）三类函数的草图一般都没有表示出自变量充分大时的情况，这是值得在教学中注意的.3.要学习比较的方法教材给出的方法是一般的方法，每次都是两个函数进行比较，让中间量分别比较另外的量，即比较出了a b b c <<，，就有a b c <<成立.4.感受直观的作用.直观的方法有多种，通过分析或实验，选择合适的直观方法，使学生能直观地看出结论，积累直观方法的过程也是学生数学思维得到发展的过程.5.通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供学数学、用数学的机会，体现发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念.学科核心素养目标与素养1.认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，达到直观想象核心素养水平二的要求.2.通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小（快慢）的经验，达到逻辑推理核心素养水平二的要求.情境与问题本案例先通过“杰米和韦伯的故事”，设计问题引人课题，能够极大地激发学生学习的兴趣和热情；然后通过复习回顾学习过的指数函数、幂函数、对数函数的图象与性质，为学习本节课的新知识做好充分的准备.内容与节点指数函数、幂函数、对数函数增长的比较是在我们研究了这三类函数的图象与性质的基础上，来研究这三类函数的增长差异，为这三类函数的应用做准备，是前面知识的延续与发展，也是我们今后如何选择这三类函数模型描述现实生活中实际问题的基础.过程与方法利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；结合实例体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等不同函数类型增长的含义，能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.教学重点难点重点三类函数增长情况的结论，函数增长快慢比较的常用方法.难点通过数据分析表述函数增长快慢的理由.。
最新北师大版高中数学必修一指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案(精品教学设计)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像．（2）会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．（1）让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质．3、情感．态度与价值观使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心．[教学重点]:列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢[教学难点]：指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像．[课时安排]:1课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数x 22y 2,y x ,y log x ===的草图,并观察比较函数图像的变化．你能判断出哪个函数的函数值随x 的增长速度增长的比较快吗? [互动过程2]提出问题：当a 1>时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．当a 1>时，指数函数a y log x =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．当x 0,n 1>>时,幂函数ny x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快．那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?我们通过对三个具体函数x y 2,=100y x (x 0),=>2y log x =的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢．1．完成下表（借助科学计算器或设计程序通过计算机完成）．自变量函数值xy2=100y x(x0)=>2y log x=…………1 2 1 0 1．0070044 2．0097338 2．0097258 0．010070010 1024 10100100 1．27×1030 10200300 2．04×1090 5．15×10247500 3．27×10150 7．89×10269700 5．26×10210 3．23×10234900 8．45×10270 2．66×10295996 6．70×10299 6．70×10299 9．961000 1．07×10301 103001100 1．36×10331 1．38×103041200 1．72×10361 8．28×10307…………2．利用上表中的数据完成下表函数值自变量 x y 2= 100y x (x 0)=>2y log x=（1,10） （10,100） （100,300） （300,500） （500,700） （700,900） （900,1000） （1000,1100） （1100,1200）[互动过程3]1．谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会．说明:由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”．练习:1．已知函数f （x ）的图象如下图，试写出一个可能的解析式:y=___________2lg +xx2．三个变量y1、y2、y3、随变量x变化的数据如下表Array其中，x呈对数型函数变化的变量是＿＿＿;呈指数型函数变化的变量是＿＿＿;呈幂函数型变化的变量是＿＿＿＿。
北师大版高一数学必修1课件：3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
快的是指数函数y=5x,故选D.
(2)指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为
6,18,54,162,486,1 458,4 374,…,是成倍增加的,因而y1呈指数变化.
答案:(1)D (2)y1
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§6 指数函数、幂函数、对数函数 增长的比较
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课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
1 2
4>
1
1 4
2
>
1 4
2
.
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§6 指数函数、幂函数、对数函数 增长的比较
探究一
探究二
探究三
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课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底 数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若 底数不同,指数也不同,则需引入中间量.
解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图像的特 点,a,c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函 数.b,d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.
答案:C
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§6 指数函数、幂函数、对数函数 增长的比较
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,f(10)>g(10),
所以x2∈[9,10],即b=9.
综上可知,a=1,b=9.
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§6 指数函数、幂函数、对数函数 增长的比较
探究一
探究二
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。
北师大版高中数学必修一学学案指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质【例1．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是()．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的()．A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()．A．0B．1C．2D．3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x 的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x =-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
北师大版高中数学必修1第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》参考课件
思考3:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如 何变化的？
思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞) 上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?
x 0123 4 56 7 8 y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？
思考3:设函数f(x)=2x -x2(x>0)，你能用二分法求出 函数f(x)的零点吗？
思考4:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置
思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何 变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？
思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁的增长速 度相对较快？
y y=xn
y=logax
o1
x
思考7:一般地，对数函数y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0) 在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如 何是如何变化的？
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
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谢谢欣赏！
北师大版高中数学必修1课件3 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件
2．利用上表中的数据完成下表 函数值 自变量 （1,10） （10,100） （100,300） （300,500） （500,700）
y 2x
y x100 ( x 0)
y log 2 x
（700,900） （900,1000）
（1000,1100 ） （1100,1200 ）
[互动过程 3] 谈谈你对这三个函数值增长快慢的体会。
x
为常数） 。已知 4 月份的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并 说明理由。
设 y1 f ( x) px2 qx r ( p, q, r 为常数，且 p 0) ， y2 g ( x) a b x c ，
p q r 1, ab c 1, 2 根据已知，得 4 p 2q r 1.2, 及 ab c 1.2, 9 p 3q r 1.3, ab3 c 1.3,
1785．2 55 1．4295
y2 关于 x 呈指数型函数变化的变量是＿＿＿＿＿
方法小结：
通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢,我们要了解这三种函数增速的差别。
作业：
作业:习题 3-6
结论: 在这三个函数中，指数函数增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”。
例题解析
例 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件， 为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模型拟该产品的月产 量 y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 y a b c （其中 a、b、c
… 2
… 1
… 0
1．0070044 2．0097338 2．0097258 0．0100700 10 100 300 500 1024 1．27×1030 10100 10200
高中数学北师大版必修一3.6《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》ppt课件
• [规律总结] 1.比较同底数的对数值大小，考虑使 用对数函数的单调性．
• 2．底数与真数都不相同时，经常采用放缩法或借助 第三个量来比较大小．
• 3．利用函数图像及其相互位置关系来比较大小．
比较下列各组数的大小：
23 (1)(3)4
，(34)23
；
(2)0.32，log20.3,20.3. [解析] (1)∵函数 y1＝(23)x 为 R 上的减函数，
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
• [规律总结] 数学知识来源于客观实际，服务于实 际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具， 其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临 一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重 要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
(4)若 0<lgm<1，即 1<m<10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是减函数， 所以(lgm)1.7>(lgm)2.1； 若 lgm＝1，即 m＝10 时，(lgm)1.7＝(lgm)2.1； 若 lgm>1，即 m>10 时，y＝(lgm)x 在 R 上是增函数， 所以(lgm)1.7<(lgm)2.1.
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
[答案] C
[解析]
结合指数函数
y＝(12)x
和对数函数
y＝log1
2
x
的图像
易得 C 正确.
• 比较大小问题
数学北师大版高中必修1第 6 节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
第 6 节 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标 ：1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异。
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
重点：对数的运算性质、换底公式及其应用。
认识指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长含义。
难点：比较指数函数、对数函数、以及幂函数增长的差异。
预 习 案使用说明&学法指导（紧扣教材）1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，从中了解…，通过自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”І.相关知识1.复习指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)x a y a =>、幂函数(0)n y x n =>的图像，并判断在区间()0,+∞上的单调性.II.教材助读见导与练35P 填一填.III.预习自测见导与练35P 练习及课本103P 的练习.我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决.─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————──————─————─————─————─————─————─————─.探 究 案I.学始于疑——我思考、我收获1.观察表格（教材表3-13中）三个函数的函数值变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现？II.质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点一 完成教材表3-13，3-14归纳总结─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————v ─————─————─————─————─————─————─————─.（二）知识综合应用探究探究点一见导与练35P 实例.1.画出函数22,2,log x y x y y x ===在同一坐标系中的图像，探究三种函数在(0,)+∞上的交点个数，且比较22,2,log x x x 的大小.规律方法总结─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————.III.我的知识网络图1.掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质.2.理解三种函数的增长快慢关系.IV.当堂检测1.若32232(),,log 3x x a b x c ===，当x>1时，a,b,c 的大小关系为（）A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b2.函数(1)()log x x a f x a +=+ 在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（） A.14 B. 12C. 2D.4 3.方程(4)3log 3x x +=的实数解的个数是（）A.0B.1C.2D.3我的收获（反思静悟、体验成功）─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─————─—.训 练 案一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单！见课本103P 习题3-6第2题二、综合应用题——挑战高手，我能行！见课本109110P - 复习题A 组14题，B 组第5题.三、拓展探究题——战胜自我，成就自我！(根据学生情况制定难度不等的思考、拓展、思考交流题)1.王先生从今天开始每天给你10万元，而你第一天给王先生1元，第二天给王先生2元，第三天给王先生4元，第四天给王先生8元，（1）王先生要和你签订15天的合同，你同意签订这个合同吗？（2）王先生要和你签订30天的合同，你同意签订这个合同吗？ （提示公式：012112222212nn --++++=-）2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问：你会选择哪种投资方案？。
4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-高一数学(北师大版必修第一册)课件
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
又因为 f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
∴f(8)<g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，
∴f(9)<g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，
∴f(10)>g(10)，
= 的函数值增长远远大于 = 的函数值增长，
= 的函数值增长又远远大于 = 的函数值的增长，
由于指数函数 = 的函数值增长非常快，我们将这种现象称为
“指数爆炸”.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P120练习
练习1：对于函数 = 3 与 = 3 ，
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
当的值趋近于正无穷大时，的值都是趋近于正无穷大的，那么，这3
个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
我们今天来比较指数函数、幂函数、对数函数的增长.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数 = > , > 与对数函数 = > 的增长情况比较
①对于 模型 y＝0.25x，它 在区间[10,1 000]上是 单调递增 的，当
x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案_1
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入)我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．推进新课新知探究提出问题①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．063图1③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．9162536图2容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值2x图3一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例思路1例1 试利用计算器来计算2500的近似值．活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出210＝1 024＝1.024×103；第二步，再计算2100，因为2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1．02410≈1.267 7，则2100≈1.267 7×1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5≈(1.267 7×1030)5，我们只需要用科学计算器算出1．267 75≈3.274 0，从而算出2500≈3.27×10150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．例 2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R 0速率年复一年地增长，则N 1＝R 0N 0，N 2＝R 0N 1＝R 20N 0，N 3＝R 0N 2＝R 30N 0，…N t ＝R t0N 0.R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x ≤100，62－x 50，100<x <550，其中x ∈N ＋.51，x ≥550，(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y ＝11 000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝0.2x ＋0.8，乙图像经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34.(1)当x ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y 乙＝－4×2＋34＝26，y 甲·y 乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m 年时的规模总产量为n ，那么n ＝y 甲·y 乙＝(0.2m ＋0.8)(－4m ＋34)＝－0.8m 2＋3.6m ＋27.2＝－0.8(m 2－4.5m －34)＝－0.8(m －2.25)2＋31.25.因此，当m ＝2时，n max ＝31.2，即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图5(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图5(2)的抛物线段表示．(1)写出图5(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图5(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图5(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正． 解：(1)由图5(1)可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300. 由图5(2)可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )， 即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋27t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．点评：本题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图像求解析式．②分段函数解析式的求法．③函数应用中的最大值、最小值问题．举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图6(1)、(2)、(3)所示．其中图6(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图6(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图6(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．图6(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元？分析：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．3．回忆函数最值的求法．解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2)每件A 产品销售利润h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20≤t ≤40.该公司的日销售利润F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20≤t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30≤t ≤40，当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，先判断其单调性． 设0≤t 1＜t 2≤20，则F (t 1)－F (t 2)＝3t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 21＋8t 1－3t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 22＋8t 2 ＝－920(t 1＋t 2)(t 1－t 2)2.∴F (t )在[0,20]上为增函数．∴F (t )max ＝F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，令60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＞6 300， 则703＜t ＜30； 当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240＜60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320×302＋240＝6 300. 故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元．点评：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，t ＝20，t ＝30两点把区间分为三段．3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．作业习题3—6 1,2.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图像转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料[备选例题]某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元．问从10年的累积利润．．．．看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为W 1＝100×10＝1 000(万元)．实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)．前5年的利润和为7958×5＝3 9758(万元)． 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1160x －2＋100×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－159160x 2＋1192x ×5＝－5(x －30)2＋4 950. 当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)．从而10年的总利润为3 9758＋4 950(万元)． ∵3 9758＋4 950＞1 000，∴该规划方案有极大实施价值． (设计者：邓新国)。
高中数学北师大版精品教案《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。
2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。
【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。
重点2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
难点【教学过程】一、基础铺垫1三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。
当a>1时，对数函数＝og a是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。
当>0，n>1时，幂函数＝n也是增函数，并且当>1时，n越大，其函数值的增长就越快。
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2三种函数的增长对比对数函数＝og a a>1增长最慢，幂函数＝n n>0，指数函数＝aa>1增长的快慢交替出现，当足够大时，一定有a>n>og a。
思考2：在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有og a1，n>0，>0时，og a g1，f2g10。
∴12时，f>g，且g在0，＋∞上是增函数。
∴f2 016>g2 016>g8>f8。
【教师小结】函数＝aa>1＝og a a>1＝n n>0性质在0，＋∞上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随的增大越来越陡随的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小1常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差商法。
2当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。
3比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。
2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测十九
课时跟踪检测（十九）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较层级一学业水平达标1．有一组试验数据如下表所示：A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)解析：选C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D 中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex答案：D3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表：①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.A．①②B．③④C．②③D．②④答案：B5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：选B画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g (x )＞f (x )＞h (x )．6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x ，________，________.解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律．答案：y 3 y 2 y 17．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.758.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．解析：由t ∈[0,3]的图像，联想到幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t ∈[3,8]的图像可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产．答案：②③9．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？(lg 2≈0.301 0，lg 1.09≈0.037 4)解：设经过x 年后可以翻一番，则有(1＋0.09)x ＝2， 即1.09x ＝2.x ＝lg 2lg 1.09≈0.301 00.037 4≈8.所以经过8年可以翻一番． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当0<x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．层级二 应试能力达标1．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：选A 把t ＝1,2,3代入验证易得结果．2．四人赛跑，假设他们走过的路f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )<g (x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g (x )C ．g (x )<h (x )<f (x )D ．f (x )<g (x )<h (x )解析：选D 取特殊值x ＝12代入可排除A 、B 、C.4．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈Z)的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是( )A ．p ≥0B ．0<p <1C ．p <1且p ≠0D ．p >1解析：选C 当p <0时，f (x )＝x p ＝⎝⎛⎭⎫1x －p，在(0,1)上单调递减，∴y >f (1)＝1在直线y ＝x 上面，故只有C 正确．5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2006年以150万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2016年，这所房子的价格y (万元)与价格年增长率x 之间的函数关系式是______．解析：1年后，y ＝150(1＋x )；2年后，y ＝150(1＋x )2；3年后，y ＝150(1＋x )3，…，10年后，y ＝150(1＋x )10.答案：y ＝150(1＋x )106．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)解析：设距现在为x 年，则有⎝⎛⎭⎫12x 5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400. 答案：7 4007．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为 y ＝100×⎝⎛⎭⎫32x ，x ∈N ＋.由100×⎝⎛⎭⎫32x >1010，得⎝⎛⎭⎫32x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46 h ，细胞总数超过1010个．8．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝6，f (2)＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝0，4a 1＋2b 1＝8.解得a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8.解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g (5)＝86万元， 故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时， 有f (x )＝g (x )； 当1<x <5时， 有f (x )>g (x )； 当5<x ≤12时， 有f (x )<g (x )．。
北师大版高中数学必修一第三章3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件
§3.6 指数函数、 幂函数、对数函数
增长的比较
01 情境引入
一、情境引入：
潘玮柏《快乐崇拜》里的一句歌词：“快乐会传染， 请你慷慨”。假如每个人用五分钟将一份快乐传递给两 个人，两个人传递给四个人（不重复传递），如此下去， 那么经过一小时传递，这份快乐会将传递给多少人？
的增长性进行比较。
对函数y=2x,y=x2(x>0),y=log2x的函数值比较
北师大版高中数学必修一第三章3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长 的比较 课件【 精品】
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自变量x
列 表 对 比 增 长 性
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传递次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
传递人数 2 4 8 16 32 64 128 256 51210242048 4096
累计传递 人数
3 7 1531 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
如此下去，不到两小时能将快乐传递给南昌市的每个人！
x /天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 ... 方案二 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 ... 方案三 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 409.6 ...
y O (1,0)
y=log2x y=log3x y=log5x
高一数学教学案3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大版必修1
练2.讨论函数 的单调性.
三巩固练习
1.函数 的单调递增区间为（）.
A. B.
C. D.
2.设 ，则 的值是（）.
A. 128 B. 256 C. 512 D. 8
3.函数 的奇偶性为（）.
A．奇函数而非偶函数
B．偶函数而非奇函数
C．非奇非偶函数
D．既奇且偶函数
4.函数 在区间 上的最大值是.
教学Байду номын сангаас程
一自主学习
复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？
2.阅读教材比较三种函数变化趋势
二师生互动
例1求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） .
例2已知函数 ，判断 的奇偶性和单调性.
例3已知定义在R上的偶函数 在 上是减函数，若 ，求不等式 的解集.
练1.求下列函数的定义域与值域.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
指数函数、幂函数、对数函数增长比较
授课时间
撰写人
学习重点
认识指数函数、幂函数、对数函数增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。
学习难点
比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
学习目标
1.利用计算工具，比较指数函数、幂函数、对数函数的增长差异；
2.结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。
5.若函数 为减函数，则a的取值范围是.
6.若 ，那么下列不等式成立的是（）.
A． <l< B．1< <
C． <l< D．1< <
四课后反思
五课后巩固练习
1.函数 ．
北师版数学高一北师大版必修一课件3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
易错点 对几种函数的增长趋势把握不准致误
例3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路 程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x) ＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).有以下结论： ①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面； ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30
40
50
60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 下列函数中，随 x 增大而增大速度最快的是( D )
知识点二 三种函数的增长趋势 当a＞1时，指数函数y＝ax是 增函数 ，并且当a越大时，其函数值的 增长就 越快 . 当a＞1时，对数函数y＝logax是 增函数 ，并且当a越小时，其函数值 的增长就 越快 . 当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是 增函数 ，并且当x＞1时，n越大其 函数值的增长就 越快 .
返回
A.2 014ln x
B.y＝x2 014
C.y＝2
x 014
D.y＝2 014·2x
解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y ＝2 014·2x的增长速度最快.故选D.
2017-2018学年高中数学北师大1学案：第三章6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较含解析
§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较预习课本P98~103，思考并完成以下问题1．当a＞1时，函数y＝a x的增长速度与a的大小有什么关系？2．当a＞1时，函数y＝log a x的增长速度与a的大小有什么关系?3．当x＞0,n＞1时，函数y＝x n的增长速度与n的大小有什么关系？[新知初探]当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时,其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．[点睛] 在区间(0,＋∞)上，尽管函数y＝a x（a＞1）,y＝log a x（a＞1)和y＝x n（n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0）的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有log a x ＜x n＜a x。
错误!1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”,错误的打“×”．(1)线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．（）（2）指数函数模型y＝a x（a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快．( )（3)对数函数模型y＝log a x(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．（）（4）幂函数y＝x n（n＞0）的增长速度介于指数函数和对数函数之间．（)答案：（1）√（2)√(3）√(4）√2．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数解析：选C 从图像可以看出这个函数的增长速度越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势．3．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（) A．y＝100x B．y＝100ln xC．y＝x100D．y＝100·2x答案：D4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析:以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出,四个变量y1，y2，y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2，y3，y4都是越来越大,但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．答案：y2指数、对数、幂函数图像的比较［典例］f x g x x像,如图所示．设两函数的图像交于点A（x1，y1），B（x2，y2）,且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；（2）结合函数图像，比较f(8)，g(8），f(2 016)，g(2 016）的大小．[解] （1)C1对应的函数为g(x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x；(2)∵g(1）＝1,f(1)＝2，g(2）＝8，f(2）＝4，g（9)＝729，f（9)＝512，g（10)＝1 000,f(10）＝1 024，∴f(1)>g（1），f(2）<g(2),f(9)<g（9),f(10）>g(10）．∴1〈x1〈2，9〈x2〈10。
2017_2018版高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增加的比较学案北师大版必
6 指数函数、幂函数、对数函数增加的比较学习目标 1.了解三种函数的增加特点.2.初步熟悉“直线上升”“指数爆炸”和“对数增加”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增加特点试探一样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，而且当a越大时，其函数值的增加就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，而且当a越小时，其函数值的增加就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n是增函数，而且当x>1时，n越大其函数值的增加就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增加不同试探当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标增加了多少？梳理一样地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1)、幂函数y＝x n(n>0)与对数函数y＝log a x(a>1)都是增函数，但它们的增加速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增加速度愈来愈快，会远远超过幂函数y＝x n(n>0)的增加速度，而对数函数y＝log a x(a>1)的增加速度愈来愈慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________(a>1，n>0)．类型一依照图像判定函数的增加速度例1 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如下图．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2别离对应的函数；(2)结合函数图像，判定f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判定函数的增加速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增加量的转变；另一方面，也可从函数图像的转变，图像越陡，增加越快．跟踪训练1 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如下图．(1)试依照函数的增加不同指出曲线C1，C2别离对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．类型二函数增加模型的应用例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：天天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后天天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后天天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪一种投资方案？反思与感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增加趋势，其增加速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增加趋势，其增加速度急剧(愈来愈快)；对数增加反映了对数函数(底数大于1)的增加趋势，其增加速度平缓(愈来愈慢)．解题时，注意依照各函数的增加类型选择适合的函数模型刻画实际的转变规律．跟踪训练2 某公司为了实现1 000万元的利润目标，预备制定一个鼓励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？1．当x愈来愈大时，以下函数中，增加速度最快的应是( )A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3D．y＝3x2．当a>1时，有以下结论：①指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值的增加越快；②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增加越快；③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增加越快；④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增加越快．其中正确的结论是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④3．某林区的丛林蓄积量每一年比上一年平均增加10.4%，要增加到原先的x倍，需通过y年，那么函数y＝f(x)的图像大致是( )4．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x5．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·q x(q>0，q≠1)；②f(x)＝log p x＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，假设所选函数知足f(1)＝10，f(3)＝2，那么f(x)＝____________.三种函数模型的选取(1)当增加速度转变专门快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增加，但又可不能增加过快，也可不能增加到专门大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)，那么能够描述增加幅度不同的转变：n值较小(n≤1)时，增加较慢；n值较大(n＞1)时，增加较快．答案精析问题导学知识点一试探23－22＝4,103－102＝900，即一样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标别离增加了4和900.知识点二试探210－21＝1 024－2＝1 022,102－12＝99，lg 10－lg 1＝1，即一样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标别离增加了1 022,99和1.梳理log a x<x n<a x题型探讨例1 解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10，∴x1<6<x2,2 013>x2.从图像上能够看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 013)>g(2 013)．又g(2 013)>g(6)，∴f(2 013)>g(2 013)>g(6)>f(6)．跟踪训练1 解(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．例2 解设第x天所得回报是y元，那么方案一能够用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二能够用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三能够用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增加情形进行分析．画出三个函数的图像，如下图，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增加情形很不相同．能够看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报别离是方案三的100倍和25倍，但它们的增加量固定不变，而方案三是“指数增加”，但“增加量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增加得快得多，这种增加速度是方案一、方案二所无法企及的．从天天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：天数回报/元方案1234567891011一40801216020024028032360400440二10306010015021028036450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.811天(含11天)以上，应选择方案三．跟踪训练2 解作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)．观看图像发觉，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部份在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．当堂训练1．D 2.B 3.D 4.B 5.③x2－8x＋17。
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6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是()
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x
答案：B
解析：解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.
解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验容易知道选B.
2．函数y＝2x与y＝x2图像的交点个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：D
解析：作出两个函数的图像，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即有三个交点．
3．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是()
A．m＜n＜p B．m＜p＜n
C．p＜m＜n D．p＜n＜m
答案：C
解析：0＜m＜1，n＞1，p＜0.
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，有()
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案：B
解析：由三个函数的图象变化趋势可得B选项正确．
5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示为()
答案：A
解析：由于前三年年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，后三年年产量保持不变，故总产量直线上升，图中符合这个规律的只有选项A.故选A.
6．能使不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是()
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,2)∪(4，＋∞)
答案：D
解析：在同一坐标系内作出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)．结合图象可知使不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(0,2)∪(4，＋∞)．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若a ＝⎝⎛⎭
⎫35x ，b ＝x 3
，c ＝log 35
x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是________． 答案：c <a <b
解析：∵x >1，∴a ＝⎝⎛⎭
⎫35x ∈(0,1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35
x ∈(－∞，0)．∴c <a <b . 8．方程a －x
＝log a x (a >0且a ≠1)的实解个数为________． 答案：1
解析：当a >1时在同一坐标系中画出y 1＝log a x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫1a x
的图象．当0<a <1时，在同
一坐标系中画出y 1＝log a x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫1a x
的图象即可．
9．已知a >0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<1
2
，则实数a 的取值范围
是________．
答案：⎣⎡⎭⎫
12，1∪(1,2]
解析：当a >1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图象，如图所示．
要使x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，只需(－1)2－a －
1≤12
，解得a ≤2，∴1<a ≤2.
当0<a <1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12，∴1
2≤a <1.
综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫
12，1∪(1,2]． 三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．当1＜x ＜a 时，比较log 2a x ，log a x ，log a (log a x )的大小． 解：∵1＜x ＜a,0＜log a x ＜1，log a (log a x )＜0 又log 2a x log a x
＝log a x ＜1 ∴log a x ＞log 2a x ＞0＞log a (log a x )
则log a x ＞log 2
a x ＞log a (log a x )
11．在同一直角坐标系中，作出函数y 1＝x 2＋5与函数y 2＝3x 的图像，并比较y 1与y 2
的大小．
解：函数图像如图所示．由图可知，当x ＜2时，y 1＞y 2；当x ＝2时，y 1＝y 2；当x ＞2时，y 1＜y 2.
12．
y ＝ab x ＋c 和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab ≠0，且b ≠1)
解：先把前3个月份的数据代入y ＝ab x ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧
ab ＋c ＝2，ab 2
＋c ＝5，
ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－272
，
b ＝1
3，
c ＝132
.
∴y ＝－272·⎝⎛⎭⎫13x ＋13
2
.
把x ＝4代入得y ≈6.33.
再把三组数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ＋
c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，
9a ＋3b ＋c ＝6，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝6，
c ＝－3.
∴y ＝－x 2＋6x －3.把x ＝4代入得y ＝5.0. ∵|5.0－5.1|＜|6.33－5.1|，
∴选模型y ＝－x 2＋6x －3较好．。