2.4用公式法进行因式分解第一课时课件
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《公式法》因式分解PPT(第1课时)
B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
合作探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式: （1）9（m+n）²－（m－n）²; （2）2x³－8x. （3）x 4-1 解：（1）9（m+n）²－（m－n）²
4.3 公式法
第1课时
八年级下册
-.
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
前置学习
1.填空
①25x²＝ (__5_x__)²
③0.49b²＝ (_0_._7_b_)²
⑤1
4
b²＝
(__12_b__)²
②36a4 ＝ (__6_a_²_)² ④64x²y²＝ (__8_x_y_)²
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形 式 2 .公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
课后作业
1．对于任意整数n，多项式(n＋7) ²－(n－3) ²的值都能( A )
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件
当 Δ=b2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两
2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活 选择方程的解法，体会解决问题的多样性
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
数学课件-2.4 用因式分解法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程
知识点1 由ab=0直接求解 1.( 原创 )方程( x-2 )( x+5 )=0的解是( D ) A.x=2 B.x=-5 C.x1=-2,x2=5 D.x1=2,x2=-5
2.( 原创 )解方程:( 3x-1 )( 5x+8 )=0.
解:由题意,得 3x-1=0 或 5x+8=0, ∴x1=13,x2=-85.
解:( 2 )∵x2-3x-4=0, ∴( x+1 )( x-4 )=0, 则x+1=0或x-4=0, 解得x1=-1,x2=4.
• 不习惯读书进修则退2022年4月25日星期一上午11时49分14秒11:49:1422.4.25 • 读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月上午11时49分22.4.2511:49April 25, 2022
( 2 )( x-3 )( x-1 )=3. x1=0,x2=4
知识点3 用公式法分解因式解一元二次方程 6.用因式分解法解下列方程: ( 1 )x2+6x=-9; x1=x2=-3
( 2 )( 2y-3 )2-( 3y-2 )2=0.
y1=1,y2=-1
知识点4 灵活运用四种方法解一元二次方程 7.( 原创 )我们学习了一元二次方程的解法有:①直接开平方法;②配方法;③因式分解法;④ 求根公式法.认真观察下列几个方程,选出较为合适的方法.( 填序号 ) ( 1 )x2+8x=3,应选用 ② 较为合适; ( 2 )3( x-2 )( x+1 )=( x-2 )( x+3 ),应选用 ③ 较为合适; ( 3 )3x2-x-1=0,应选用 ④ 较为合适.
x1=3,x2=9
用因式分解法求解一元二次方程
知识点1 由ab=0直接求解 1.( 原创 )方程( x-2 )( x+5 )=0的解是( D ) A.x=2 B.x=-5 C.x1=-2,x2=5 D.x1=2,x2=-5
2.( 原创 )解方程:( 3x-1 )( 5x+8 )=0.
解:由题意,得 3x-1=0 或 5x+8=0, ∴x1=13,x2=-85.
解:( 2 )∵x2-3x-4=0, ∴( x+1 )( x-4 )=0, 则x+1=0或x-4=0, 解得x1=-1,x2=4.
• 不习惯读书进修则退2022年4月25日星期一上午11时49分14秒11:49:1422.4.25 • 读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月上午11时49分22.4.2511:49April 25, 2022
( 2 )( x-3 )( x-1 )=3. x1=0,x2=4
知识点3 用公式法分解因式解一元二次方程 6.用因式分解法解下列方程: ( 1 )x2+6x=-9; x1=x2=-3
( 2 )( 2y-3 )2-( 3y-2 )2=0.
y1=1,y2=-1
知识点4 灵活运用四种方法解一元二次方程 7.( 原创 )我们学习了一元二次方程的解法有:①直接开平方法;②配方法;③因式分解法;④ 求根公式法.认真观察下列几个方程,选出较为合适的方法.( 填序号 ) ( 1 )x2+8x=3,应选用 ② 较为合适; ( 2 )3( x-2 )( x+1 )=( x-2 )( x+3 ),应选用 ③ 较为合适; ( 3 )3x2-x-1=0,应选用 ④ 较为合适.
x1=3,x2=9
《公式法因式分解》课件
因式分解的基本思想？
因式分解的基本思想是将多 项式中的公因式提出来，然 后对剩余部分进行因式分解。
公式法因式分解
1
什么是公式法因式分解？
公式法因式分解是指通过特定的公式，将多项式分解成几个单项式的积。
2
列举公式法因式分解的几个公及其应用
例如： ①平方差公式分解：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ②三项完全平方公式分解：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ ③一次多项式因式公式分解：$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
总结与思考
总结公式法因式分解方法 的优缺点
总结公式法因式分解方法的优 点和不足之处，引导学生思考 这一方法的适用范围和限制条 件。
思考其他因式分解方法的 应用场景
向学生介绍不同的因式分解方 法，让他们了解不同的思路和 技巧，开拓视野、拓宽思路。
强调学生掌握因式分解方 法的重要性和未来发展前 景
通过对因式分解实际应用的案 例介绍，并引领学生关注相关 前沿科技和产业，激发他们学 习的兴趣和动力。
公式法因式分解PPT课件
这份PPT课件将带你深入了解因式分解中最常用的公式法，并向你展示这一简 单易学却极其实用的技巧。
பைடு நூலகம்
背景介绍
什么是因式分解？
因式分解即将多项式写成几 个单项式的积的形式。
因式分解的意义和应用？
因式分解可以帮助我们更简 洁、准确地表达多项式，同 时在化简代数式、解方程、 求极值、证明等方面具有广 泛的应用。
3
详细步骤介绍
详细介绍公式法因式分解的每一个步骤，包括提取公因式、使用公式、检验结果等。
实例演练
用公式法进行因式分解第一课时课件
因式分解
我们把多项式a² ＋2ab＋b²和
a² －2ab＋b²叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
(1)二次三项式。 (2)两数的平方和，两数积的2倍。
a2+2Βιβλιοθήκη b+b2 =(a+b)2. a2−2ab+b2 =(a−b)2.
两数的平方和，加上（或者减去）这两 数的积的2倍，等于这两数和或差的平方. 像 a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平式
当堂达标：
1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 是（ D ） A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y D. - X² + y² 2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
考考你
除了平方差公式外，还有哪些公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a-b)2=a2-2ab+b2 ;
怎样用语言表述
两数和或差的平方，等于这两数的平方和 加上（或者减去）这两数的积的2倍.
完全平方公式：
完全平方公式 (a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是： (a－b)2 = a²－2ab＋ b² 两个数的平方 和，加上(或减 整式乘法 去)这两数的积 2 a²＋2ab＋ b² = (a＋b) 的2倍，等于这 a²－2ab＋ b² = (a－b)2 两数和(或差)的 平方。
用公式法进行因式分解
教学目标 1.理解运用平方差公式和完全平方公式分 解因式与整式乘法是相反的变形. 2.学会运用平方差公式和完全平方公式分 解因式，并且分解到底. 3.培养观察分析问题的能力. 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 法.
用因式分解法解一元二次方程PPT课件(北师大版)
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
视察下列各式,也许你能发现些什么
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c
的因式分解 一般地,要在实数范围 内分解二次三项式
ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
争先赛
• 1.解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1.
解 :1.x 2 0,或x - 4 0.
x1 2; x2 4.
2.4x2x1 32x1 0,
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般情势的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
明确
1、用因式分解法解一元二次方程时，等
. 号的一边必须是0
2、另一边可分解成两个因式乘积的情
势.
2.4因式分解法解一元二次方程课件
1 2 x1 , x2 . 2 3
11 11 x1 , x2 . 2 2 2 (6)(x 4) (5 2x)2
x1 3, x2 1.
用适当的方法解下列方程
5.5( x x) 3( x x);
2 2
6.(x 2) 2x 3 ;
2 2
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式 法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
1.x 2 7; 2.3 y 2 y 14. 解 : 1. 一元二次方程 解 : 2. 一元二次方程
解：去分母，得 2( x 2 3) 3x(3 2 x) 2 x(3x 1),
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
想一想
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r 10r 25 0
r 10 2 200 .
负值舍去 , r 5 5 2.
动脑筋
x 2 3 x(3 2 x) x(3x 1) 解方程 3 2 3
x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
11 11 x1 , x2 . 2 2 2 (6)(x 4) (5 2x)2
x1 3, x2 1.
用适当的方法解下列方程
5.5( x x) 3( x x);
2 2
6.(x 2) 2x 3 ;
2 2
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式 法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
1.x 2 7; 2.3 y 2 y 14. 解 : 1. 一元二次方程 解 : 2. 一元二次方程
解：去分母，得 2( x 2 3) 3x(3 2 x) 2 x(3x 1),
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
想一想
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r 10r 25 0
r 10 2 200 .
负值舍去 , r 5 5 2.
动脑筋
x 2 3 x(3 2 x) x(3x 1) 解方程 3 2 3
x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
2.4用因式分解法求解一元二次方程
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应 选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般 式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分 解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
如果ab=0,那么
.
导入新课
分解因式:ma+mb+mc= m（a+b+c）. 提公因式法
分解因式: x2-y2 = ( x+y )(x－y) 套公式法（平方差公式）
x2+2xy+y2=( x+y )(x+y ) 套公式法
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
如果ab=0,那么
.
导入新课
分解因式:ma+mb+mc= m（a+b+c）. 提公因式法
分解因式: x2-y2 = ( x+y )(x－y) 套公式法（平方差公式）
x2+2xy+y2=( x+y )(x+y ) 套公式法
2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件(共16张PPT) 数学北师版九年级上册
B
3.填空：(1)方程(x+2)(x-4)=0的根为： ；(2)方程4x(2x+1)=3(2x+1)的根为： .4. 当x＝ 时，代数式(2x－1)2和x2的值相等．
或1
如果a·b= 0，那么 a=0 或 b=0即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
适用范围和依据：当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或b=0
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
例1 解下列方程(1) 5x2 = 4x
解：(1) 原方程可变形为 5x2 - 4x = 0，x(5x - 4) = 0. x = 0，或 5x - 4 = 0.x1 = 0，x2 = .
(2) x(x - 2) = x - 2
解：(2) 原方程可变形为 x(x - 2) - (x - 2) = 0，(x - 2)(x - 1) = 0. x - 2 = 0，或 x - 1 = 0.x1 = 2，x2 = 1.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
5.解下列方程
解:(1)(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－2)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， x＋1＝0或x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3.
(2)原方程可化为(x＋3)2－(1－2x)2＝0，(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0，即－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝.
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3.
3.填空：(1)方程(x+2)(x-4)=0的根为： ；(2)方程4x(2x+1)=3(2x+1)的根为： .4. 当x＝ 时，代数式(2x－1)2和x2的值相等．
或1
如果a·b= 0，那么 a=0 或 b=0即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
适用范围和依据：当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或b=0
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
例1 解下列方程(1) 5x2 = 4x
解：(1) 原方程可变形为 5x2 - 4x = 0，x(5x - 4) = 0. x = 0，或 5x - 4 = 0.x1 = 0，x2 = .
(2) x(x - 2) = x - 2
解：(2) 原方程可变形为 x(x - 2) - (x - 2) = 0，(x - 2)(x - 1) = 0. x - 2 = 0，或 x - 1 = 0.x1 = 2，x2 = 1.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
5.解下列方程
解:(1)(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－2)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， x＋1＝0或x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3.
(2)原方程可化为(x＋3)2－(1－2x)2＝0，(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0，即－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝.
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3.
《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)
(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )
− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若
则 =
= × × ，
.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，
用公式法进行因式分解
2.4用公式法进行因式分解1、把下列各多项式进行因式分解：（1）a2－b2= （2）a2±2ab+b2= 2、你能说说你算得快的原因吗？把乘法公式：平方差公式：(a+b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b) 2＝a2±2ab+b2反过来就得到：a2－b2=（a+b)(a－b) a2±2ab+b2＝(a±b) 2做一做例1：分解因式：（1）4a2－9b2 (2)－25a2y4+16b16练习:分解因式：（1）36b4x8－9c6y10（2）81x4－y4例2、分解因式：（1）x2+6ax+9a2（2）－x2－4y2+4xy练习：分解因式：（1）a4x2－4a2x2y+4x2y2 （2）（x+y）2－12（x+y）z+36z2（1）(x+2y)2－(x－2y)2（2）9（a－b）2+6（a－b）+1基础题一、选择题1．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y）C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2 2．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+1 4 n23．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．m2－mn+n2B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+14D．x2+2x－14．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，85．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A．8 B．16 C．2 D．4二、填空题6．分解因式：a3－4a=______．7．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．8．把a2b+b3－2ab2分解因式的结果是______．9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果．___________．三、计算题10．分解因式：（x2+4）2－16x2．。
2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
2.4用因式分解法求解一元二次方程-课件
拓展提升
4.等腰三角形底和腰长是
1.x2-7x+12=0
方程x2-6x+8=0的两个根， 则周长=？
2.(x-2)（x-3)=12
3.(x+1)2-5=0
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)方程右边化为零 。 一次因式 的乘 (2)将方程左边分解成两个 积。 (3)至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 一元一次方程的解 就是原方程的解 (4)两个 2.解一元二次方程的方法： 配方法 公式法 因式分解法
三.应用 1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间 t(s)满足关系：h=15t-5t2 小球何时能落回地面？ 2.公园有一块正方形空地，后来从这片地划出部分区域鲜花，原空地一边减 少了1米，另一边减少了2米，剩余空地面积为12m2,求原正方形的边长.
48页2、3
简记歌诀： 右化零
两因式
左分解
各求解
运用新知
(1)5x2=4x;
用分解因式法解方程:
(2)x-2=x(x-2);
(4)4 x 2 121 0
(6)(x 4)2 (5 2x)2
(3)3x 6x 3
2
(5)3x(2 x 1) 4 x 2
（7）2（x-3)2=x2-9
新知索引
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等 吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求 出来的？分组讨论板书结果。
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法. 提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
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自主学习与合作交流一：
对照平方差公式将下面的多项式分解因式； 对照平方差公式将下面的多项式分解因式；由此你能归纳出用 平方差公式分解因式的步骤吗？ 平方差公式分解因式的步骤吗？
1)
4x² - 25
2)
1 16a² - b² 9
4x² - 25= (2x)² - 5² =( 2x + 5) ( 2x-5) a² - b² = ( a + b) ( a - b )
课堂小结：
1.能用平方差公式分解因式的多项式，其 每一项都必须能写成平方差的形式。 2.因式分解的一般步骤是： （1）若多项式中有公因式，应先提 取公因式； （2）然后再考虑能否用乘法公式进 一步分解因式。 （3）分解因式要彻底，必须分解到 每个多项式的所有因式都不能再分解为 止。
当堂达标： 当堂达标： 1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 选择题： 选择题 是（ D ） A. 4X²+y² D. - X²+ y² 2. 把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： 1）18-2b² ） 2) x4 –1 B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
巩固练习二 选择题： 一、选择题： 1）-4a² +1分解因式的结果正确的是 ( ) ） 分解因式的结果正确的是 A.-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) C.-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) 2）把16－x4分解因式，其结果是（ ） － 分解因式，其结果是（ ） A、(2－x)4 B、(4＋x2)( 4－x2) 、 － 、 ＋ － C、(4＋x2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x) 、 ＋ ＋ － 、 ＋ － 填空题： 二、填空题： 3）x2－(_______)2=(x＋5y)( x－5y) ＋ － ） 4）a2－4(ab)2=(__________)·(__________) ） 三、分解因式 5）X-Xy2 6） 2a3-50ab2 7）25a2-4(b+c)2 ） ） ）
课前准备 教学目标 自主探究 合作交流 巩固练习 当堂达标 课堂小结
教学目标 1.理解运用平方差公式分解因式与整式乘 理解运用平方差公式分解因式与整式乘 法是相反的变形. 法是相反的变形 2.学会运用平方差公式分解因式，并且分 学会运用平方差公式分解因式， 学会运用平方差公式分解因式 解到底. 解到底 3.培养观察分析问题的能力 培养观察分析问题的能力. 培养观察分析问题的能力 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 体会“ ”“换元 体会 整体”“换元” 法.
课前准备：运用平方差公式计算： 课前准备：运用平方差公式计算： 1) .（2+a)(a-2) （ 2). (-4s+t)(t+4s) 3) . (m²+2n²)(2n²- m²) 4). (2a +b-c)(2a-b+c ) 看谁做得最快最 正确！ 正确！
§2.4运用平方差公式分解因式 2.4运用平方差公式分解因式
1 1 1 1 16a² - b²=(4a)²-( b)²=(4a+ b)(4a- b) 3 3 3 9
阶段小结（一）
• 运用平方差公式分解因式的关键是要把分 解的多项式看成两个数（或者式）的平方 差，尤其当系数是分数或小数时，要正确 化为两数的平方差.
平方差公式： 平方差公式：
(a+b)(a-b) = a² - b²
整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b)
平方差公式反 过来就是说： 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
因式分解
巩固练习一： 巩固练习一：
1.课本第 页“练习 课本第44页 课本第 1.”
自主学习与合作交流（ 自主学习与合作交流（二）
下面两道题跟前面做的几道题有什 么区别？ 么区别？应该怎样进行因式分解 呢？ 1）-2x4+32x2 ） 2） (a-2b)2— (2a+b)2 ）
阶段总结（二）
• 在因式分解时，若多项式中有公因式，应 应 先提取公因式， 先提取公因式，再考虑运用平方差公式分 解因式；直到分解到不能再分解为止. 解因式；直到分解到不能再分解为止 公式 a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以 是数，也可以是单项式或多项式，要注意 “整体”“换元”思想的运用。