八年级上册全等三角形与一次函数综合练习题
一次函数与全等三角形综合题
27题精选1（2011-11-27）1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式；（2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
（3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。
（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
xyo BA CPQxyo BA CPQM第2题图① 第2题图② 第2题图③3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
北师大版八年级数学(上册)《一次函数》综合练习题
北师大版八年级数学(上册)《一次函数》综合练习题一、填空题：1.（－3；4）关于x 轴对称的点的坐标为_________；关于y 轴对称的点的坐标为__________；关于原点对称的坐标为__________.2.点B （－5；－2）到x 轴的距离是____；到y 轴的距离是____；到原点的距离是____.3.以点（3；0）为圆心；半径为5的圆与x 轴交点坐标为_________；与y 轴交点坐标为_______.4.点P （a －3；5－a ）在第一象限内；则a 的取值范围是____________.5.小华用500元去购买单价为3元的一种商品；剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关 系是______________； x 的取值范围是__________.6.函数y=3+x x的自变量x 的取值范围是________.7.当a=____时；函数y=x 23-a 是正比例函数。
8.函数y=－2x ＋4的图象经过_______象限；它与两坐标轴围成的三角形面积为_________；周长为_______.9.一次函数y=kx ＋b 的图象经过点（1；5）；交y 轴于3；则k=____；b=____.10.若点（m ；m ＋3）在函数y=－21x ＋2的图象上；则m=____. 11.y 与3x 成正比例；当x=8时；y=－12；则y 与x 的函数解析式为___________.12.函数y=－23x 的图象是一条过原点及（2；___）的直线；这条直线经过第____象限；当x 增大时；y 随之________. 13.函数y=2x －4；当x_______；y<0.41.若函数y=4x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6；那么b=_____.二、选择题：1.下列说法正确的是（ ）A 、正比例函数是一次函数；B 、一次函数是正比例函数;C 、正比例函数不是一次函数;D 、不是正比例函数就不是一次函数.2.下面两个变量是成正比例变化的是( )A 、正方形的面积和它的面积;B 、变量x 增加；变量y 也随之增加;C 、矩形的一组对边的边长固定；它的周长和另一组对边的边长;D 、圆的周长与它的半径.3.直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限；则k 、b 应满足( )A 、k>0； b<0;B 、k>0；b>0;C 、k<0； b<0;D 、k<0； b>0.4.已知正比例函数y=kx (k ≠0)；当x=－1时； y=－2；则它的图象大致是( ) y y y yx x x xA B C D5.一次函数y=kx －b 的图象（其中k<0；b>0）大致是（ ）y y y yx x x xA B C D6.已知一次函数y=(m ＋2)x ＋m 2－m －4的图象经过点（0；2）；则m 的值是( )A 、2B 、－2C 、 －2或3D 、37.直线y=kx ＋b 在坐标系中的位置如图所示；这直线的函数解析式为（ ）A 、y=2x ＋1B 、y=－2x ＋1C 、y=2x ＋2D 、y=－2x ＋28.若点A （2－a ；1－2a ）关于y 轴的对称点在第三象限；则a 的取值范围是（ ）A 、a<21B 、a>2C 、21<a<2D 、a<21或a>2 9.下列关系式中；表示y 是x 的正比例函数的是（ ）A 、y=x 6B 、y=6x C 、y=x ＋1 D 、y=2x 2 10.函数y= 4x －2与y=－4x －2的交点坐标为（ ）A 、（－2；0）B 、（0；－2）C 、（0；2）D （2； 0）三、解答题：1.已知一次函数的图象经过点A （－1；3）和点B （2；－3）；（1）求一次函数的解析式；（2）判断点C （－2；5）是否在该函数图象上。
第3讲.一次函数与全等三角形综合(答案版)
1初二春季·第3讲·尖子班·教师版函数6级 一次函数的应用函数7级 一次函数与全等三角形综合函数8级反比例函数的基本性质春季班 第十一讲春季班 第二讲梦游记漫画释义满分晋级阶梯3一次函数与 全等三角形综合2初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3； 一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面题型切片编写思路知识互联网3初二春季·第3讲·尖子班·教师版考查和总结一次函数部分的一道好题．几种全等模型的回顾：AB CE FAB CDEF AB CEABCDEFEDCBA图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =-图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC =【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+； ⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．（实验中学单元测试）例题精讲思路导航题型一：一次函数与全等三角形综合4初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+04144k b k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =-⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =-M NPy x OBA图2xy OA BPM N N MP BAO y x图1 图2【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO ==∴B 点坐标为()40-，⑵ 由⑴可知DO OC m ==，∴142S m =⨯⋅，2S m =，m 的取值范围是04m <<典题精练(0,4)Oy xE DC BA5初二春季·第3讲·尖子班·教师版【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限．⑴ 求直线AB 的解析式；⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由．（西城期末） 【解析】 ⑴ 4y x =-⑵ 作MC y ⊥轴，交y 轴于C ，9090AP PM MPC APO OAP APO PMC PMC MPC APO =⎫⎪∠=︒-∠=∠⇒⎬⎪∠=︒-∠=∠⎭△≌△ 由此可知()48M m m +--， ⑶ 由⑵中的全等可知4MC m =+，4BC m =+，∴MC BC = 45CBM ∠=︒，可得QO OB =()4,0Q - ∴Q 点坐标不随m 的变化而变化.【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】 如图1，直线1:33l y x =+与x 轴交于B 点，与直线2l 交于y 轴上一点A ，且2l 与x 轴的交点为()10C ，．⑴ 求证：ABC ACB ∠=∠⑵ 如图2，过x 轴上一点()30D -，，作DE AC ⊥于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标； ⑶ 如图3，将ABC △沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于点P （P 不同于A 和C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP =BQ .在ABC △平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．6初二春季·第3讲·尖子班·教师版图3图2图1【解析】 ⑴ 由题意得()10B -，，BO OC =，又∵AO BC ⊥ ∴AB AC ABC ACB =∠=∠，⑵ 由题意得ABO DFO △≌△，∴1OF BO ==,∴()01F ，∴DE 解析式为113y x =+由11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 解得3434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴3344G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⑶ 不变，1OM =如图过P 作PN AB ∥交BC 于N ，可知PN PC BQ ==， 从而PNM QBM △≌△， ∴BM NM =，又NO CO =∴112OM BC ==【例4】 如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足()220a -．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； ⑶过A 点的直线y =kx -2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为1-，过N 点的直线22k k y x =-交AP 于点M ，试证明PM PNAM -的值为定值． 【解析】 ⑴y =24x -+7初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑵易证阴影部分三角形全等，得到M （3，3） 故而m =1⑶过N 点做直线垂直于y 轴，交PM 于G 点，另直线NM 与坐标轴交点分别为O 、I （如图所示），连接IG 并做MF ⊥x 轴于F ，易知N 、G 两点横坐标分别为1-和1，将其分别代入MN 、MP 的解析式中，求得两点坐标为N （1-，k -）G （1，k -），易证△NHP ≌△GHP ， ∴NP =GP 易求I （1，0）， ∴IG ⊥x 轴易证△IGA ≌△FMA ， ∴MA =AG ∴2PM PN MGAM AM-==解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有： 1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法；4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：=ab ch ； 思路导航题型二：一次函数与面积综合h 2h 1P CB A OxyyMO BA I H GA MN PyxO8初二春季·第3讲·尖子班·教师版5. 铅垂线法：如右图所示()1212ABC S AP h h =⋅+△，AP 称为铅垂高， 12h h +称为水平宽． 必要时需分类讨论．【例5】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，．⑴求直线()0y mx m =≠的解析式；⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积．（西城期末试题）【解析】 ⑴∵点(24)A -，在直线(0)y mx m ==/上，∴42m =-，2m =-∴2y x =-⑵ 解法一：作AM y ⊥轴于M ，BN y ⊥轴于N （如上图） ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-． ∴点B 的坐标为B （4-，8-） ∵1()2ABNM S AM BN MN =+⋅梯形1(24)(48)362=⨯+⨯+= 1124422AOM S AM MO =⋅=⨯⨯=△ 11481622BON S BN NO =⋅=⨯⨯=△ ∴ABO AOM BON ABNM S S S S =--△△△梯形3641616=--=解法二：设直线(0)y kx b k =+=/与x 轴交于点C （如下图）． ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-．∴点B 的坐标为（4-，8-）∵直线()0y kx b k =+≠经过点A （2-，4）和点B （4-，8-），典题精练y =kx+by =2x y =mxyOABMN C ABOxyy =mxy =2xy =kx+b9初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴4284k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩，616k b =⎧⎨=⎩∴616y x =+令y =0．可得83x =-∴点C 的坐标为803C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴181848162323ABO AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．【教师备选】如图所示，直线OP 经过点P （4，43），过x 轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为1S 、2S 、3S ······n S ，则n S 关于n 的函数关系式是________．【解析】()843n S n =-⨯．【例6】 已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）． ⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标；⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】 ⑴∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1）， ∴1312a += ∴a =﹣4，即A （﹣4，1）． ∴﹣4k =1 解得14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-；⑵如图1，P 1（﹣8，0）或P 2（0，2）；真题赏析1191357Pxy10初二春季·第3讲·尖子班·教师版⑶依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 以下分两种情况： ①当m ＜﹣4时， 11342BC m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=334m --．AH =4m --．则S △ABC =12BC ∙AH ()133424m m ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∴S=23368m m ++；②当m ＞4-时，11333244BC m m m ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭．AH =m +4． 则S △ABC =12BC∙AH =12（334m +）（4+m ） ∴S=23368m m ++；综上所述，()23S 3648m m m =++≠-．【教师备选】已知四条直线3y mx =-，1y =-，y =3，x =1所围成的四边形的面积为12，求m的值．11初二春季·第3讲·尖子班·教师版【解析】 ∵3y mx =-，1y =-，x =1交于ABCDEF∴A （6m ，3），B （2m ,-1），C （1，-1），D （1，3），E （6m ，3），F （2m，-1） ① ()2ABCD CD BC AD S +=2621112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =－2② ()2CFED CD ED CF S +=6221112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =1综上说述，2m =-或m=1．-3y =3x12初二春季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 如图，AOB △为正三角形，点B 的坐标为()20，，过点()20C -，作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且ADE △与DCO △的面积相等，求直线l 的解析式.【解析】 由ADE △与DCO △的面积相等可知，AOB BCE S S =△△.∵(20)C -，,设直线l 的解析式为y kx b =+，∴20k b -+=， ∴2b k =∴直线l 的解析式为：2y kx k =+又AB 的解析式为：323y x =-+，故点E 的坐标满足下式： 2433(2)3y kx kk y y x k =+⎧⎪⇒=⎨=--+⎪⎩， 故143134232273BCE AOB k S S k k =⨯⨯==⨯⨯⇒=+△△故直线l 的解析式为：3(2)7y x =+. 训练2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+经过点()2,0A ，交y 轴于点B .点D 为x 轴上一点，且1ADB S =△.⑴ 求m 的值；⑵ 求线段OD 的长；⑶ 当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不重合），且BDO EDA ∠=∠，求点E 的坐标.（备用图）(海淀期末试题) 【解析】 ⑴ ∵直线y x m =-+经过点()2,0A ， 思维拓展训练(选讲)y xl ED C O BA13初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴02m =-+. ∴2m =.⑵ ∵直线2y x =-+交y 轴于点B ， ∴点B 的坐标为()0,2. ∴2OB =. ∵112ADB S AD OB =⋅=△， ∴1AD =.∵点A 的坐标为()2,0， ∴点D 的坐标为()1,0或()3,0. ∴1OD =或3OD =.⑶ ①当点D 的坐标为()1,0时，如图所示.取点()'0,2B -，连接'B D 并延长，交直线BA 于点E .∵'OB OB =，'AO BB ⊥于O ， ∴OD 为'BB 的垂直平分线. ∴'DB DB =. ∴12∠=∠. 又∵23∠=∠， ∴13∠=∠.设直线'B D 的解析式为()20y kx k =-≠. ∵直线'B D 经过点()1,0D ， ∴02k =-.14初二春季·第3讲·尖子班·教师版∴2k =.∴直线'B D 的解析式为22y x =-. 解方程组2,22,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得 4,32.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭.②当点D 的坐标为()3,0时，如图所示. 取点()'0,2B -，连接'B D ，交直线BA 于点E . 同①的方法，可得12∠=∠，直线'B D 的解析式 为223y x =-. 解方程组22,32,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得12,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 的坐标为122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点E 的坐标为42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.训练3. 已知：直线1l ：1y kx k =+-与直线2l ：(1)y k x k =++（k 是正整数）及x 轴围成的三角形的面积为k S ．⑴ 求证：无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点； ⑵ 求1232008S S S S ++++的值．（西城期末试题）【解析】 ⑴ 联立12l l ，的解析式，求得交点坐标为()11--，，∴交点为定点.⑵ 设直线12l l ，分别与x 轴交于A ，B 两点，则1001k k A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，∴()1111k k AB k k k k --=-=++ ∴ ()11121k S k k =+××15初二春季·第3讲·尖子班·教师版123200*********21223200820092009S S S S ⎛⎫++++=++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭×××训练4. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()10，，点B 在y 轴正半轴上，且AOB △是等腰直角三角形，点C 与点A 关于y 轴对称，过点C 的一条直线绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交直线AB 于点()P x y ，，且点P 在第二象限内. ⑴ 求B 点坐标及直线AB 的解析式；⑵ 设BPD △的面积为S ，试用x 表示BPD △的面积S .（朝阳期末试题）【解析】 ⑴ ∵AOB △是等腰直角三角形且()10A ，，∴()01B ，∴过点()10A ，、()01B ，的直线的解析式为1y x =-+ ⑵ ∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴()10C -， 又点P 在直线AB 上，则()1P x x -+， 设过P 、C 两点的直线的解析式为y kx b =+ ∵()10C -，在直线y kx b =+上， ∴0k b -+=. ∴k b =,y bx b =+ ∵点()1P x x -+，在直线y bx b =+上， ∴1bx b x +=-+,解得b =11x x -++. ∴点D 的坐标为101x x -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∵点P 在第二象限内，∴0x <①当10x -<<时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+12()21xx x -=⋅⋅-+21x x =+ ②当1x <-时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+21x x =-+ 综上所述， 22(10),1(1).1x x x S x x x ⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-<-⎪+⎩16初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习【练习1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，C 点坐标为()0m ，.作BE AC ⊥，垂足为E （点 E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴 交于点D ，BD AC =．第一象限内有一点P ，坐标为()4m m +，，连接PA ，DC ，求证：PAC BDC ∠=∠.【解析】 如图，连接PC ，过A 作AH PC ⊥于H ，可知PH AH m ==45PAH APH ∠=∠=°由BOD AOC △≌△可知BDO ACO ∠=∠又∵AH OC ∥，∴ACO HAC ∠=∠，∴BDO HAC ∠=∠又由OD OC =可得45ODC ∠=°，∴ODC PAH ∠=∠ ∴BDC PAC ∠=∠【练习2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()10-，、()40，，点D 在y轴上 AD BC ∥，点E 在CD 上，且满足AE 、BE 分别平分DAB ∠、CBA ∠． ⑴ 请你判断此时线段CE 与DE 是否相等，并证明你的结论；⑵ 已知60DAB ∠=°，直接写出线段BC 的长．-15142O ED CBA y x D'EDCB A542-11【解析】 ⑴ 相等，证明如下如上右图，在AB 上取点D '，使AD AD '=，连接D E '， 可证ADE AD E '△≌△，∴DE D E '=复习巩固HP (m,m+4)AB C DExy O (0,4)P (m,m+4)(0,4)AO y xE DC B17初二春季·第3讲·尖子班·教师版由AD BC ∥，AE 、BE 平分DAB ∠与ABC ∠ 可得90AEB ∠=° 从而可知D EB CEB '∠=∠由此，CEB D EB '△≌△，∴EC ED '= ∴DE EC =⑵ ∵60DAB ∠=°，∴30ADO ∠=°，∴22AD AO ==由⑵可知，2AD AD '==∴523BC BD '==-=．【练习3】如图，已知直线OA 的解析式为y=x ，直线AC 垂直x 轴于点C ，点C 的坐标为()20，， 直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB 交x 轴于点B ．⑴ 写出点A 及点B 的坐标；⑵ 如图，直线AD 交x 轴于点D ，且ADB △的面积为1，求点D 的坐标；⑶ 若点D 为⑵中所求，作OE AD ⊥于点E ，交AC 于点H ，作BF AD ⊥于点F ，求证：OE AF =，并直接写出点H 的坐标．【解析】 ⑴ ()22A ，,()40B ，⑵ ∵AC BD ⊥于点C ，2AC =，1ADBS =△，∴112122ADB S BD AC BD =⋅=⨯=△． ∴1BD =∴413OD OB BD =-=-= ∴()30D ，⑶ 由直线OA 的解析式为y x =，可知OC AC =．又90ACO ∠=°， ∴45OAC AOC ∠=∠=°．∵直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB ， ∴45BAC OAC ∠=∠=°，OA BA =． ∴90OAB ∠=°． ∴90BAF OAE ∠=-∠°． 在AOE △中，90OEA ∠=°， ∴90AOE OAE ∠=-∠°． ∴BAF AOE ∠=∠在AOE △与BAF △中， 90AOE BAF OEA AFB OA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩° ∴AOE BAF △≌△ ∴OE AF =又由OCH ACD △≌△可求得()21H ，18初二春季·第3讲·尖子班·教师版题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习【练习4】⑴如图，点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图 中阴影部分的面积和是（ ）．A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m -⑵ 如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ， CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积 为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BCD △的面 积是（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【解析】 ⑴ B ⑵ A ， 由图2可知23BC CD ==，.【练习5】直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若在x 轴上有一点Q ，并且满足:8:3BAQ AOB S S =△△，求Q 点坐标． 【解析】 1393224AOB S =⨯⨯=△，∴98643BAQ S =⨯=△∵3BO =，∴4AQ =，又∵32A x =-∴35422Q x =-+=或311422Q x =--=-∴Q 坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1102⎛⎫- ⎪⎝⎭，图1AB D 图2x第十六种品格：感恩包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。
初二一次函数、一元一次不等式和全等三角形练习题
1.若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．2.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。
年票分为A 、B 、C 三种：A 年票每张120元，持票进入不用再买门票；B 类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C 类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。
(1) 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
(2) 求一年中进入该园林至少多少时，购买A 类年票才比较合算。
3.某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集. （2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式.并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额是多少？饮料每千克含量 甲乙A （单位：千克） 0.5 0.2B （单位：千克）0.30.4DCBA4.如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个5.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ；（2）试证明：EM-PM=AM.6.已知AC//BD,∠CAB 和∠DBA 的平分线EA 、EB 与CD 相交于点E.求证:AB=AC+BD.7.如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .（1）求证BC =AB +AD ；（2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；22题PB AC EMABCD FE 图28.如图，把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点(m ，n)，且2m ＋n ＝6，则直线AB 的解析式是（ ）． A 、y ＝－2x －3 B 、y ＝－2x －6 C 、y ＝－2x ＋3 D 、y ＝－2x ＋69.某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录了得到的相应数据如下表． 则y 关于x 的函数图象是（ ） 10.已知平面上四点(00)A ，，(100)B ，，(106)C ，，(06)D ，，直线32y mx m =-+将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为．11.已知m是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限，则m为 .12.如果0ab >，0ac <，则直线a c y xb b =-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13.已知关于x 的一次函数27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．7m > B ．1m > C ．17m ≤≤ D ．都不对 14.汽车从A 站经B 站后匀速开往C 站，已知离开B 站9分时，汽车离A 站10千米，又行驶一刻钟，离A 站20千米.（1）写出汽车与B 站距离y 与B 站开出时间t 的关系；（2）如果汽车再行驶30分，离A 站多少千米？砝码的质量（x 克） 050100150200250300400500指针位置(y 厘米）2345677.57.57.5ABO xy y （厘米）x （克） 7.5 2 250 0A ． y （厘米）x （克） 7.5 2300 0B ． x （克） 7.5 2350 0C ． y （厘米）x （克）7.5 2275 0 D ．y （厘米）。
八年级一次函数及全等三角形综合试卷及详细答案
八年级一次函数及全等三角形综合试卷一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．如图，在一次函数y=﹣x+3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴；垂足为B，且矩形OAPB的面积为2，则这样的点P个数共有（）2．直线y=kx+b不经过第三象限，a＞e，且A（a，m）、B（e，n）、C（﹣m，c）、D（﹣n，d）这四点都在直线上，33．（2007•牡丹江）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为（）．C D．4．（2013•绥化）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A 运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）．C D．5．（2012•武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）6．（2011•玉溪）如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A 运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）7．（2011•黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线．C D．8．（2013•哈尔滨模拟）甲乙两人在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人同时、同向出发，两人之间的距离s （单位：米）与两人跑步的时问t（单位：分）之间的函数关系图象如图所示．下列四种说法：①l5分时两人之间距离为50米；②跑步过程中两人休息了5分；③20～30分之间一个人的速度始终是另一个人速度的2倍；③40分时一个人比另一个人多跑了400米．其中一定正确的个数是（）9．（2013•长春一模）一次函数y=﹣x+b的图象如图所示，则b的值可能是（）10．（2012•义乌市模拟）A、B两地相距360km，甲车以100km/h的速度从A地驶往B地，乙车以80km/h的速度从B地驶往A地，两车同时出发．设乙车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），则y与x之间的函数．C D．二．填空题（共6小题，每小题5分共30分）11．如图，直线y=kx+b和y=mx+n交于点P（1，1），直线y=mx+n交x轴于点（2，0），那么不等式组0＜mx+n ＜kx+b的解集是_________．12．甲、乙两人在一段长为1200米的笔直路上匀速跑步，甲、乙的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处．若同时起跑，甲、乙两人在从起跑至其中一人先到达终点的过程中，他们之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象如图所示．则t1=_________s，y2=_________m．13．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交点D，连接OD，设P在x轴的正半轴上，若△POD为等腰三角形，则点P的坐标为_________．14．已知函数y=（m﹣1）+1是一次函数，则m=_________．15．若f（x）=2x﹣1，如[f（﹣2）=2×（﹣2）﹣1]，则=_________．16．（2005•包头）若一次函数y=ax+1﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象与y轴交于正半轴，则|a﹣1|+= _________．三．解答题（共7小题，共80分）17．（12分）甲、乙两车分别从相距350千米的A、B两地同时出发相向而行，两车在途中S城相遇后，甲车接到返城通知，于是按原路返回A地，乙车在S城停留一会儿后，继续向A地行驶．设甲、乙两车在行驶过程中速度保持不变，两车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：（1）甲、乙两车的行驶速度各是多少？（2）乙车出发几小时后到达A地？（3）两车出发后几小时第二次相遇？18．（12分）已知△ABC中，∠A=60°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=_________°．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=_________°．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．19．（10分）已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．20．（12分）如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．22、（10分）已知，如图，给出以下五个论断：①∠D=∠E；②CD=BE；③AM=AN；④∠DAB=∠EAC；⑤AB=AC．以其中三个论断作为题设，另外两个中的一个论断作为结论．（1）请你写出一个满足条件的真命题（书写形式如：如果×××，那么×××），并加以证明；（2）请你再写出至少两个满足上述条件的真命题，并加以证明。
一次函数与几何图形综合题(含答案)
一次函数与几何图形综合题(含答案)近日，举行了一次关于一次函数与几何图形综合的专题讲座。
在思想方法方面，介绍了函数方法和数形结合法。
函数方法是通过观察运动和变化来分析数量关系，并将其抽象升华为函数模型，从而解决问题的方法。
数形结合法则是将数与形结合起来，分析研究并解决问题的一种思想方法，对于与函数有关的问题，使用数形结合法能够事半功倍。
在知识规律方面，讲座介绍了常数k和b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响。
当b大于0时，直线与y轴的正半轴相交；当b等于0时，直线经过原点；当b小于0时，直线与y轴的负半轴相交。
当k和b异号时，即b大于0时，直线与x轴正半轴相交；当k和b同号时，即k和b的乘积小于0时，直线与x轴负半轴相交。
当k大于0且b大于0时，图象经过第一、二、三象限；当k大于0且b等于0时，图象经过第一、三象限；当b大于0且b小于0时，图象经过第一、三、四象限；当k小于0且b大于0时，图象经过第一、二、四象限；当k小于0且b等于0时，图象经过第二、四象限；当b小于0且b小于0时，图象经过第二、三、四象限。
讲座还介绍了直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系。
当b大于0时，将直线y=kx向上平移b个单位，即可得到直线y=kx+b；当b小于0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位，即可得到直线y=kx+b。
另外，当k1不等于k2时，y1与y2相交；当k1等于k2且b1不等于b2时，y1与y2平行但不重合；当k1等于k2且b1等于b2时，y1与y2重合。
最后，讲座还通过一个例题对知识规律进行了精讲。
题目是直线y=－2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB。
要求求出AC的解析式。
的性质，需要灵活运用几何知识和代数知识。
在解答过程中，要注意清晰的逻辑思路和准确的计算，避免出现错误。
2) 在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q。
我们来探究一下BP与PQ的数量关系，并证明结论。
八年级上数学一次函数与三角形全等专练（含答案）（2套）
⼋年级上数学⼀次函数与三⾓形全等专练（含答案）（2套）⼋年级上数学⼀次函数与三⾓形全等专练及答案(2套)【模拟试题1】 (答题时间：80分钟)⼀、填空题1、把2x ＋y ＝1写成y 是x 的函数关系式是．2、已知直线y ＝kx ＋b 过(0，1)和(－1，0)两点，则函数关系式为．3、直线y ＝kx ＋b 的图像过第⼀、⼆、四象限，且过点(1，－3)，则k ＋b ＝．4、如图，BAD ABC ，A 和B 是对应点，C 和D 是对应点，若AB ＝8cm ，BC ＝13cm ，AC ＝7cm ，BD ＝．5、如图，AB 、CD 相交于O ，AO ＝BO ，要判定图中的两个三⾓形全等，只需再补充⼀个条件，这个条件是，或，或，或．6、等腰三⾓形的周长为10cm ，⼀边长为3cm ，则其他两边长分别为．7、等腰三⾓形的⼀个⾓为70，则其它两个⾓分别是．8、如图，已知?ABC 中，AB ＝AC ，120=∠BAC ，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂⾜为E ，DE ＝2cm ，则BC ＝．9、⼀次函数y ＝kx ＋b )0(≠k 的图像与直线2x ＋y ＝5平⾏，且经过点(1，－1)，则此⼀次函数的解析式是．10、P (－1，2)关于x 轴的对称点坐标是；关于y 轴对称点的坐标是；关于直线x ＝1为对称轴的对称点坐标是；关于直线y ＝－2为对称轴的对称点坐标是．⼆、选择题1、点(1，m )，(2，n )在函数y ＝－x ＋1的图像上，则( ) A ． m >n B ． m2、等腰三⾓形的周长是24cm ，其两边的差是6cm ，则三⾓形的腰长是( ) A ． 5cm B ．6cm C ． 10cm D ．6cm 或10cm3、下列各条件中，不能判定两个直⾓三⾓形全等的是( ) A ．⼀条直⾓边和⼀个锐⾓分别相等； B ．两条直⾓边对应相等；C ．斜边和⼀条直⾓边对应相等；D ．直⾓和⼀个锐⾓对应相等；4、到三⾓形三个顶点距离相等的点是( )A ．三边⾼线的交点B ．三个内⾓平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三边中垂线的交点5、⼀次函数y ＝3x ＋m －1的图像不经过第⼆象限，则m 的取值范围( )A ． 1≤m6、某移动通讯公司推出“⼼灵通”通话收费标准为：前3分钟(不⾜3分钟按3分钟计)为0．2元；3分钟后每分钟收0．1元，则⼀次通话时间为x 分(x >3)与这次通话的费⽤y (元)之间的关系式是( )A ． y ＝0．2＋0．1xB ． y ＝0．1xC ． y ＝－0．1＋0．1xD ． y ＝0．5＋0．1x 7、如图，在ABC ?中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DF //BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为( )A ． 6B ． 7C ． 8D ．98、如图，有⼀块直⾓三⾓形纸⽚，将AC 边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，已知BC ＝6cm ，且CD :DB ＝1:2，则D 到AB 的距离为( )A ． 1cmB ． 2cmC ． 3cmD ．不确定9、下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A ．钝⾓ B ．正多边形 C ．平⾏四边形D ．等腰梯形三、解答题1、⼀根弹簧原长13厘⽶，它最多能挂的重物质量为16千克，并且每挂重1千克，就伸长0．5厘⽶．求：(1)挂重后弹簧的长度y (厘⽶)与挂重x (千克)之间的函数关系； (2)⾃变量的取值范围；2、已知⼀次函数的图像经过A (1，2)，B (－1，1)两点． (1)求函数解析式并画出图像． (2)x 为何值时，y >0，y ＝0，y <0?(3)当－33、已知如图AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC ，求证：AC //DF ，AB //ED ．4、(作图题)(1)根据下列语句画图：画锐⾓ABC ?，延长AB ⾄E ，延长AC ⾄D ．画∠CBE 、∠BCD 的平分线并交于点F ．(2)问度量点F 到∠A 的两边的距离，它们是否相等？(3)根据画图过程和度量的结果，结合图形写出“已知”和“求证”，并加以证明．5、已知，如图AB ＝AC ，DE //BC ，求证：BD ＝CE ．6、已知如图AD 是∠BAC 的平分线，∠B ＝∠EAC ，EF ⊥AD 于F ．求证：EF 平分∠AED ．7、在ABC ?中，AD 是∠A 的平分线，且AB ＋BD ＝AC ．求证：∠B ＝2∠C ．【试题2、1+=x y3、－34、7cm5、CO ＝DO ∠A ＝∠B ∠C ＝∠DAC //DB6、3cm ，4cm 或3．5cm ，3．5cm ．7、55554070，或，． 8、12cm9、y ＝－2x ＋1 10、(－1，－2) (1，2) (3，2) (－1，－6)⼆、选择题 1、A 2、C 3、D 4、D 5、A 6、C 7、D 8、B 9、C三、解答题1、(1)y ＝13＋0．5x (2)160≤≤x2、(1)y ＝0．5x ＋1．5 图像略(2)x >－3时，y >0；当x ＝－3时，y ＝0；当x <－3时，y <0；(3)当－3.//,//.,,DF AC DE AB DFE ACB E B DEFABC DF AC DE AB ∴∠=∠∠=∠∴∴==4、略5、,AC AB = .C B ∠=∠∴CEBD AE AC AD AB AE AD AED ADE C AED B ADE BC DE =∴-=-∴=∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴,..,//6、,BAC AD ∠平分 ,CAD BAD ∠=∠∴AED EF AD EF DEAE DAE ADE EAC B EAC CAD DAE BAD B ADC ∠∴⊥=∴∠=∠∴∠=∠∠+∠=∠∠+∠=∠平分⼜ 7、证明：AB AE AC =上截取在【模拟试题2】⼀．选择题：(共30分)1．下列函数中，是正⽐例函数的是( ) A ． y x =2B ．12C ． y x =2D ． y x =-21 2．下列式⼦中正确的是( )A ． 22m m m -=B ． --=440x xC ． ab a b 220-=D ． --=-325a a a3．()()-+---+232222x x x 的值是( ) A ． -+x x 23 B ． -+-x x 334C ． ---3342x xD ． -+332x x4．若kb <0，且b k ->0，则函数y kx b =+的⼤致图像是( )5．如图，AB//DE，CD=BF，若△ABC?△EDF，还需补充的条件可以是( )A．AC=EF B．AB=DEC．∠B=∠D D．不⽤补充DC AFEB6．下列命题正确的是( )A．有两条边分别相等的两个直⾓三⾓形全等B．有⼀条边相等的两个等腰直⾓三⾓形全等C．有两条直⾓边分别相等的两个直⾓三⾓形全等D．有两边和其中⼀边上的⾼对应相等的两个三⾓形全等7．AD是△ABC的⾓平分线，⾃D向AB、AC两边作垂线，垂⾜为E、F，那么下列结论中错误的是( )A．DE=DF B．AE=AFC．BD=CD D．∠ADE=∠ADF8．如下⼏个图形是国际通⽤的交通标志，其中不是轴对称图形的是( )A B C D！9．已知⼀个等腰三⾓形的⼀边长为5，另⼀边长为7，则这个等腰三⾓形的周长为( ) A．12 B．17 C．17或19 D．1910．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．EF=1，则BF=( )A．4 B．6 C．12 D．8AE⼆．填空题：(共30分)1．若函数yxx=+1，则x的⾃变量取值范围是_____________．2．直线y=kx经过点A(－5，3)，则k=_____________，如果这条直线上点A的横坐标x A=4，那么它的纵坐标yA=___________．E3．如下左图，AB =CD ，AE =BF =4cm ，CE =6cm ，要使△ACE ?△BDF ，则需DF =___cm ．ABC ED F4．如上右图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB =CD ，BC =DE ，则∠ACE =____．5．如图：∠B =∠E =90°，EF =AB ，AD =CF ，则CB 和ED 的位置关系是___________，数量关系是___________．F6．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若DE =3cm ，则CD =___________，若∠B =50°，则∠EAD =_____________． 7．若△ABC 是轴对称图形，∠A =80°，则∠C =______________． 8．写出六个成轴对称图形的汉字或英⽂字母______________． 9．点P (1，2)关于直线x =-1的对称点的坐标是______________．10．等腰三⾓形⼀腰上的⾼等于这腰的⼀半，则顶⾓的度数为______________．三．解答题：(共40分) 1．先作图，再证明．(1)在给出的图形中，完成以下作图(保留作图痕迹)：①作∠ACB 的平分线CD ，交AB 于点D ；②延长BC 到E ，使CE =CA，连接AE ．AB C(2)求证：CD //AE ． 2．如图：在等腰三⾓形ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上，AD =BD ，AC =DC ，求∠BAC 的度数．AB D C3．如图：在△ABC 中，AC ⊥BC ，AC =BC ，D 为AB 上⼀点，AF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，BE ⊥CD 于E ，求证：EF =CF －AF ．BFDEA C4．如图，△ACB、△ECD都是等腰直⾓三⾓形，且C在AD上，AE的延长线与BD 交于F．请你在图中找出⼀对全等三⾓形，并写出证明它们全等的过程．AEC BFD5．在三⾓形ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，且∠B=2∠C．求证：AB＋BD=AC．AC D B6．如图：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，BE=CF．(1)求证：△BDE?△CDF；(2)当∠B=60°时，过AB中点G，作GH//BD交AD于H，求证：GH AB=14．AG HE FB D C7．某⾼速公路收费站预计“⼗·⼀”这天将通过⼤⼩汽车1200辆次，该收费站的收费标准为：⼤车每辆次10元，⼩车每辆次5元，解答下⾯的问题：(1)写出“⼗·⼀”这天该收费站的收费⾦额y(元)与⼩车通过辆次x(辆)之间的函数关系，并指出⾃变量x的取值范围；(2)如果⼩车通过辆次占过车总辆次的65%，请你估计“⼗·⼀”这天此收费站的总收费⾦额．【试题2答案】⼀．1． A 2． D 3． B 4． B 5． B6． D 7． C8． C 9． C10． A⼆． 1． x x ≥-≠10且 2． k y A =-=-0624..， 3． 6cm 4． 90° 5．平⾏，相等 6． 3cm 7． 50°或20°，20°或80° 8．略 9．(－3，2) 10． 30°，150° 三．1．作图略 2．∠BAC =108° 3．可证：△BEC ?△CF A (AAS ) ∴CE =AF⼜∵EF =CF －CE ∴EF =CF －AF 4．△ACE ?△BCD (SAS )5．在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，△ABD ?△AED (SAS ) ∴AE =AB ，ED =BD ，∠B =∠AED∵∠AED =∠C +∠CDE ∠B =2∠C ∴2∠C =∠C ＋∠CDE ∴∠C =∠CDE∴CE =DE ∴CE =BD ∵AE ＋CE =AC ∴AB ＋BD =AC6． (1)△BDE ?△CDF (SAS ) (2)∵∠B =60°，AB =AC ∴△ABC 是等边三⾓形⼜∵AD 是中线，∴∠ADB =90°，∠BAD =30° ⼜∵GH //BC ，∴∠GHA =90° ∴GH =0．5AG =0．25AB7． Y x =-+512000(0。
一次函数综合题(难度较大)带答案
一次函数综合题一．解答题（共10小题）1．如图，在直角坐标系中，△ABC满足∠BCA＝90°，点A、C分别在x轴和y轴上，AC＝BC＝2，当点A从原点开始沿x轴的正方向运动时，则点C始终在y轴上运动，点B始终在第一象限运动．（1）当AB∥y轴时，求B点坐标．（2）随着A、C的运动，当点B落在直线y＝3x上时，求此时A点的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A和B，已知点C的坐标为（﹣3，0）．若点P是x轴上的一个动点，（1）求直线BC的函数解析式；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点M，交BC于点N，当点P恰好是MN的中点时，求出P点坐标．（3）若以点B、P、C为顶点的△BPC为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P点坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点（﹣1，2），交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线n与直线m交于点P，与x轴、y轴分别交于点C、D（0，﹣2），连接BC，已知点P的横坐标为﹣4．（1）求直线m的函数表达式和点P的坐标；（2）求证：△BOC是等腰直角三角形；（3）直线m上是否存在点E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），直线y＝﹣x+1与x轴相交于点C，与直线AB交于点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式及点D的坐标；（2）如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当S△HCD＝时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且MN＝，连接HM、NC，求HM+MN+NC的最小值；（3）将△OEC绕平面内某点旋转90°，旋转后的三角形记为△O'E'C'，若点E'落在直线AB上，点O'落在直线CD上，请直接写出满足条件的点E'的坐标．7．如图所示，平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+3与直线l2：y＝x+1相交于点A，直线l2与x轴相交于点B．过直线l2上的一点P（a，﹣1）作y轴的垂线，交直线l1于点C，连接BC．（1）求点A的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，设直线l3与y轴相交于点D，则直线l2上是否存在一点Q，使得△DPQ是以DP为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b经过A（a，0），B（0，b）两点，且a，b满足（a+8）2+＝0，∠ABO的平分线交x轴于点E．（1）求直线AB的表达式；（2）求直线BE的表达式；（3）点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线BE于点D，点M是线段AD上一动点，点P 是直线BE上一动点，则△CPM能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由．9．如图，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣6，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．（1）求BC，OD的长；（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△ADO全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点C关于OQ的对称点恰好落在△OBD的边上，请直接写出点Q的坐标．10．已知，如图1，直线AB分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（0，6），点C在直线AB上，且点C坐标为（﹣a，a）．（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；（2）点D是x轴上的一动点，当S△AOB＝S△ACD时，求点D坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣1），连接CE，点P为直线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P坐标．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据勾股定理，可得AO的长，可得B点坐标；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BE＝OC ＝x，EC＝OA＝x，根据勾股定理，可得x的长，可得A点坐标；（3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y 轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，∴∠BAC＝45°，AB ＝＝2，∵AB∥y轴，∴∠BAO＝90°＝∠COA，∴∠CAO＝45°＝∠OCA，∴CO＝AO，∵AO2+CO2＝AC2，∴2AO2＝（2）2，∴AO ＝，∴点B 坐标为（，2）；（2）如图，过点B作BE⊥y轴，垂足为点E，∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCE＝∠CAO，且AC＝BC，∠BEO＝∠AOC，∴△AOC≌△CEB（AAS），∴BE＝CO，AO＝CE，∵点B落在直线y＝3x上，∴设B（x，3x），∴BE＝x＝OC，OE＝3x，∴CE＝OA＝2x，∵OA2+OC2＝AC2，∴（2x）2+x2＝20，∴x＝2，∴OA＝2x＝4，∴点A（4，0）；（3）设点D（0，y），由（2）得B（2，6），当点D在y轴正半轴上，如图，连接OB，∵S四边形ABDO＝S△AOB+S△BDO＝16，∴×4×6+×y×2＝16，∴y＝4，∴点D（0，4）；若点D在y轴负半轴上，如图，连接OB，∵S四边形ABDO＝S△AOB+S△ADO＝16，∴×4×6+×4×（﹣y）＝16，∴y＝﹣2，∴点D坐标为（0，﹣2）．综上，存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16，点D的坐标为（0，4）或（0，﹣2）．2．【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标；（3）分类讨论，①当点D为直角顶点时，②当点C 为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），∵点B（6，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．∴AB＝9，∴S△ABC ＝×9×6＝27，设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG ＝S△ABC＝9，∴×9（﹣m+6）＝9，∴m＝4，∴G（4，2）；当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG ＝S△ABC＝18，∴×9（﹣m+6）＝18，∴m＝2，∴G（2，4）．综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点，∴D （﹣，3），①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x 轴于H，∴∠F＝∠CED＝90°，∵△CDP是等腰直角三角形，∴DP＝CD，∠CDB＝90°，∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴△PDF≌△CDE（AAS），∴DF＝CE，PF＝DE，∵D （﹣，3），C（0，6）．∴DE＝PF ＝，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，∴EF＝3+＝，PH＝3+＝，∴P （﹣，），同理得：P ′（，）；∴P （﹣，）或（，）；②当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M，同①可得△PCM≌△CDN（AAS），∴DN＝CM，PM＝CN，∵D （﹣，3），C（0，6）．∴DN＝CM ＝，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，∴OM＝6﹣＝，∴P（3，），同理得：P′（﹣3，）；∴P（3，）或（﹣3，）．综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．3．【分析】（1）将B（4，0）代入y＝kx+1得到y ＝﹣x+1；（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段PD的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式列方程求得m＝2，于是得到点P（2，2），推出∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图2，过点C作CF⊥x轴于点F根据全等三角形的性质得到BF＝CF＝PE＝EB＝2，于是得到C（6，2）；第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到PC ＝CB＝PE＝EB＝2，于是得到C（2，﹣2）；第3种情况，当点P在点D下方时，得到（3，2）或（5，﹣2）．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B （4，0），∴0＝4k+1．∴k ＝﹣．∴直线l1：y ＝﹣x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m ﹣|．∴S ＝×|4﹣0|•PD ＝×|m ﹣|×4＝|2m﹣1|．当m时，S＝2m﹣1；当m ＜时，S＝1﹣2m；（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，解得m＝2，∴点P（2，2），∵E（2，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点F，∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°，在△CBF与△PBE中，，∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．∴C（6，2）；如图3，△PBC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，∴C（2，﹣2），∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．当1﹣2m＝3时，n＝﹣1，可得P（2，﹣1），同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．4．【分析】（1）由y＝﹣2x﹣1得A （﹣，0），B（0，﹣1），设直线BC为y＝kx﹣1，用待定系数法可得直线BC为y ＝﹣x﹣1；（2）设P（m，0），则M（m，﹣2m﹣1），N （﹣m ﹣1），根据点P恰好是MN的中点，可得﹣2m﹣1﹣0＝0﹣（﹣m﹣1），即可解得P （﹣，0）；（3）设P（t，0），则BC2＝10，BP2＝t2+1，CP2＝（t+3）2，分三种情况：①当BC＝BP时，BC2＝BP2，10＝t2+1，解得P（3，0）；②当BC＝CP时，10＝（t+3）2，解得P （﹣3，0）或（﹣﹣3，0）；③当BP＝CP时，t2+1＝（t+3）2，解得P （﹣，0）．【解答】解：（1）在y＝﹣2x﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，令y＝0得x ＝﹣，∴A （﹣，0），B（0，﹣1），设直线BC为y＝kx﹣1，将C（﹣3，0）代入得：﹣3k﹣1＝0，解得k ＝﹣，∴直线BC解析式为y ＝﹣x﹣1；（2）设P（m，0），则M（m，﹣2m﹣1），N （﹣m ﹣1），∵点P恰好是MN的中点，∴PM＝PN，即﹣2m﹣1﹣0＝0﹣（﹣m﹣1），解得m ＝﹣，∴P （﹣，0）；（3）设P（t，0），∵B（0，﹣1），C（﹣3，0），∴BC2＝10，BP2＝t2+1，CP2＝（t+3）2，①当BC＝BP时，BC2＝BP2，∴10＝t2+1，解得t＝3或t＝﹣3（与B重合，舍去），∴P（3，0）；②当BC＝CP时，∴10＝（t+3）2，解得t ＝﹣3或t ＝﹣﹣3，∴P （﹣3，0）或（﹣﹣3，0）；③当BP＝CP时，∴t2+1＝（t+3）2，解得t ＝﹣，∴P （﹣，0）；综上所述，P坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（﹣﹣3，0）或（﹣，0）．5．【分析】（1）设直线m的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（﹣1，2），（﹣2，0）代入，得，解方程组即可得到结论；（2）设直线n的函数表达式为y＝sx+t（s≠0），根据直线n经过点（﹣4，﹣4），（0，﹣2），得到方程组，解方程组得到．求得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），于是得到结论；（3）根据三角形的面积公式得到，根据题意列方程即可得到结论．【解答】（1）解：设直线m的函数表达式为y＝kx+b （k≠0）．∵直线m经过点（﹣1，2），（﹣2，0），∴，解得，∴直线m的函数表达式为y＝2x+4．将x＝﹣4代入y＝2x+4，得y＝2×（﹣4）+4＝﹣4，∴点P的坐标为（﹣4，﹣4）；（2）证明：设直线n的函数表达式为y＝sx+t（s≠0）．∵直线n经过点（﹣4，﹣4），（0，﹣2），∴，解得，∴直线n 的函数表达式为．在y＝2x+4中，令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．在中，令y＝0，得，解得x＝4，即点C的坐标为（4，0），∴OB＝OC＝4，又∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形；（3）解：∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴，又∵S△ACE＝S△BOC，∴S△ACE＝8，即，∵AC＝6，∴，即或．①当时，，解得，∴此时点E 的坐标为；②当时，，解得，∴此时点E 的坐标为．综上可知，直线m上存在点E，使得S△ACE＝S△BOC，点E 的坐标为或．6．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，再将两个一次函数的解析式联立方程组即可求交点D的坐标；（2）判断△HCD是直角三角形，利用△HCD的面积求出HD的长，再由两点间距离公式求出H点的坐标，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG⊥x轴，且CG ＝，连接H'G交y轴于点M，当H'、M'、G 三点共线时，HM+MN+NC的值最小，求出H'G的长即可求解；（3）分两种情况，△AOB逆时针旋转90°和顺时针旋转90°分别讨论；根据旋转后O'E'∥x轴，OE＝O'E'＝1，求出DE'＝，设E'（m，3m+3），即可求E'的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（0，3）代入，∴，∴，∴y＝3x+3，联立方程组，∴，∴D （﹣，）；（2）设H（t，3t+3），∵OA＝1，OB＝3，∴tan∠ABO ＝，直线y ＝﹣x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点C（3，0），∴tan∠DCA ＝，∴∠DCA＝∠ABO，∴∠CDB＝90°，∵CD ＝，∵S△HCD ＝＝××DH，∴DH ＝，∵＝，∴t＝﹣3或t ＝，∵H是直线AB上位于第一象限内的一点，∴t ＝，∴H （，），如图1，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG ⊥x轴，且CG ＝，∴G（3，），H'（﹣，），连接H'G交y轴于点M，∵MN ＝，∴四边形MNCG是平行四边形，∴MG＝CN，由对称性可知，MH＝MH'，∴HM+MN+NC＝MH'+MN+MG≥1+H'G，∴当H'、M'、G三点共线时，HM+MN+NC的值最小，∵H'G ＝，∴HM+MN+NC 的最小值为+；（3）令x＝0，则y＝1，∴E（0，1），令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），当△OCE绕点逆时针旋转90°时，∵点E'落在直线AB上，点O'落在直线CD上，∴E'O'∥CO，∴∠DO'E'＝∠ECO，∵OE＝O'E'＝1，CO＝3，∴EC ＝，∴sin∠ECO ＝＝，∴DE'＝，设E'（m，3m+3），∴＝（﹣﹣m）2+（3m+3﹣）2，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∵此时E'在D点下方，∴m ＝﹣，∴E'（﹣，）；当△OCE绕点顺时针旋转90°时，∵点E'落在直线AB上，点O'落在直线CD上，∴E'O'∥CO，∴∠DO'E'＝∠ECO，∵OE＝O'E'＝1，CO＝3，∴EC ＝，∴sin∠ECO ＝＝，∴DE'＝，设E'（m，3m+3），∴＝（﹣﹣m）2+（3m+3﹣）2，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∵此时E'在D点上方，∴m ＝﹣，∴E'（﹣，）；综上所述：E'点坐标为（﹣，）或（﹣，）．7．【分析】（1）联立方程组可求解；（2）分别求出点B，点C坐标，由三角形的面积公式可求解；（3）先求出点D坐标，由等腰三角形的性质和两点之间的距离公式可求解．【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，∴点A （，）；（2）∵直线l2与x轴相交于点B，∴点B（﹣1，0），∵点P（a，﹣1）在直线l2上，∴﹣1＝a+1，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣1），∴点C的纵坐标为﹣1，∴﹣1＝﹣2x+3，∴x＝2，∴点C（2，﹣1），如图，设直线l1与x轴相交于点H，∴0＝﹣2x+3，∴x ＝，∴点H （，0），∴BH ＝，∴△ABC 的面积＝××（+1）＝；（3）存在，理由如下：∵将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，∴直线l3，的解析式为：y＝﹣2x﹣1，∴点D（0，﹣1），如图，∵点P（﹣2，﹣1），点D（0，﹣1），∴PD⊥y轴，PD＝2，设点Q（a，a+1），∵△DPQ是以DP为腰的等腰三角形，∴PQ＝PD＝2或PD＝QD＝2，当PQ＝PD＝2时，则（﹣2﹣a）2+（﹣1﹣a﹣1）2＝4，∴a ＝±﹣2，∴点Q （﹣2，﹣1）或（﹣﹣2，﹣﹣1）；当PD＝QD＝2时，则（a﹣0）2+（﹣1﹣a﹣1）2＝4，∴a＝0或﹣2（不合题意舍去），∴点Q（0，1），综上所述：点Q坐标为：（﹣2，﹣1）或（﹣﹣2，﹣﹣1）或（0，1）．8．【分析】（1）求出点A与点B的坐标，再由待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求出点E的坐标，再由再由待定系数法求直线BE的解析式即可；（3）①当∠MPC＝90°时，P点在C点下，过点P 作GH⊥y轴交AD于点G，交y轴于点H，证明△PMG ≌△CPH（AAS），可得8+t＝2t+12，求出t即可求P （﹣4，2）；②当∠MPC＝90°，P点在C点上时，由①得8+t＝﹣2t﹣12，求出t即可求P （﹣，）；③当∠PMC＝90°时，过点M作KL⊥y轴交y轴于点L，过P点作PK⊥KL交于K，证明△PKM≌△MLC （AAS），由8＝﹣2t﹣6﹣（14+t），求出t ＝﹣，即可求P （﹣，）．【解答】解：（1）∵（a+8）2+＝0，∴a＝﹣8，b＝﹣6，∴A（﹣8，0），B（0，﹣6），∵一次函数y＝+b经过A（﹣8，0），B（0，﹣6），∴，∴，∴直线AB的表达式y ＝﹣x﹣6；（2）∵A（﹣8，0），B（0，﹣6），∴OA＝8，OB＝6，∴在Rt△AOB中AB＝10，过点E作EH⊥AB于点H，∵∠ABO的平分线交x轴于点E，∴EH＝EO，AE＝8﹣EO，AH＝10﹣6＝4，在Rt△AEH中，（8﹣EO）2＝42+EO2，解得：EO＝3，∴E（﹣3，0），设直线BE的表达式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴直线BE的表达式为y＝﹣2x﹣6；（3）设P（t，﹣2t﹣6），①如图1，当∠MPC＝90°时，P点在C点下，过点P作GH⊥y轴交AD于点G，交y轴于点H，∵∠MPC＝90°，∴∠MPG+∠CPH＝90°，∵∠MPG+∠GMP＝90°，∴∠CPH＝∠GMP，∵PM＝PC，∴△PMG≌△CPH（AAS），∴MG＝PH，CH＝GP，∵PH＝﹣t，CH＝6﹣（﹣2t﹣6）＝2t+12，∴GP＝8﹣（﹣t）＝8+t＝2t+12，∴t＝﹣4，∴P（﹣4，2）；②如图2，当∠MPC＝90°，P点在C点上时，由①得，HC＝﹣2t﹣6﹣6＝﹣2t﹣12，GP＝8﹣（﹣t）＝8+t，∴8+t＝﹣2t﹣12，∴t ＝﹣，∴P （﹣，）；③如图3，当∠PMC＝90°时，过点M作KL⊥y轴交y轴于点L，过P点作PK⊥KL 交于K，∵∠PMC＝90°，∴∠PMK+∠CML＝90°，∵∠PMK+∠MPK＝90°，∴∠CML＝∠MPK，∵PM＝CM，∴△PKM≌△MLC（AAS），∴KM＝CL，PK＝ML，∴ML＝PK＝8，CL＝KM＝﹣8﹣t，∴LO＝6﹣（﹣8﹣t）＝14+t，∴PK＝8＝﹣2t﹣6﹣（14+t），∴t ＝﹣，∴P （﹣，）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，2）或（﹣，）或（﹣，）．9．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由勾股定理和面积法可求解；（2）分两种情况讨论，先求出BQ解析式，由全等三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴点A（6，0），点B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵点C的坐标为（﹣6，0），∴OC＝6，∴BC ＝＝＝10，∵OA＝OC＝6，BO⊥AC，∴AB＝BC＝10，∵S△AOB ＝×AB×OD ＝×OA×OB，∴OD ＝＝；（2）存在，理由如下：∵AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAO，∵∠CBO+∠BCA＝90°＝∠AOD+∠BAO，∴∠CBO＝∠AOD，设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y ＝x+8，设点Q（a ，a+8）当△BPQ≌△OAD时，BQ＝OD ＝，∴（a﹣0）2+（a+8﹣8）2＝，∴a ＝±，∵点Q在第二象限，∴点Q （﹣，），当△BPQ≌△ODA时，BQ＝OA＝6，∴（a﹣0）2+（a+8﹣8）2＝36，∴a ＝±，∵点Q在第二象限，∴点Q （﹣，），综上所述：点Q坐标为：（﹣，）或（﹣，）；（3）如图，当点C关于OQ的对称点落在OB上时，作OE⊥CO于点E，OF⊥BO于点F，∴∠COQ＝∠C'OQ＝45°，又∵OE⊥CO，OF⊥BO，∴OE＝OF，∵S△OBC ＝×OB×OC ＝×OC×OE +×OB×OF，∴6×8＝（6+8）×OE，∴OE＝OF ＝，∴点Q 的坐标为（﹣，）．点C关于OQ的对称点落在AB上时，∴OC＝OC'＝OA，CQ＝C'Q，∠OCQ＝∠OC'Q，∴∠C'AO＝∠OC'A，∴∠OCQ＝∠OC'Q＝∠C'AO＝∠OC'A，∴∠CBA＝∠QC'B，∴BQ＝C'Q，∴CQ＝BQ＝C'Q，∴点Q是BC的中点，∴点Q（﹣3，4），综上所述：点Q坐标为（﹣3，4）或（﹣，）．10．【分析】（1）用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）由题意可得AD＝9，设D（x，0），则|x+3|＝9，即可求D的坐标；（3）分两种情况讨论：①当点P在射线CB上时，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，过C作x轴垂线l，分别过F，E作FM⊥l，EN⊥l，证明△FMC≌△CNE（AAS），即可得F点坐标为（1，4），用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝5x﹣1，联立方程组，即可求P （，）；②当点P在射线CA上时，过点C作CH⊥CE交直线EP于点H，过点H作HK⊥y轴交于K，过点H作GH⊥x轴，过点C作CG⊥GH交于G，证明△CHG≌△EHK（AAS），可求得H （﹣，﹣），求出直线HE的解析式为y＝﹣x﹣1，联立方程组，则可求P （﹣，﹣）．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣3，0），B（0，6），则有，∴，∴y＝2x+6，∵C（﹣a，a），∴C（﹣2，2）；（2）∴S△AOB ＝×3×6＝9，∴S△ACD ＝×2×AD＝9，∴AD＝9，设D（x，0），∴|x+3|＝9，∴x＝6或x＝﹣12，∴D（6.0）或（﹣12，0）；（3）①如图，当点P在射线CB上时，过点C作CF ⊥CE交直线EP于点F，∵∠CEF＝45°，∴CE＝CF，过C作x轴垂线l，分别过F，E作FM⊥l，EN⊥l，∴∠FMC＝∠CNE＝90°，∠MCF+∠MFC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠MCF+∠NCE＝90°，∴∠MFC＝∠NCE，∴△FMC≌△CNE（AAS），∴FM＝CN＝3，CM＝EN＝2，即F点坐标为（1，4），设直线EF的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线EF的解析式为y＝5x﹣1，联立，解得，∴P （，）；②当点P在射线CA上时，过点C作CH⊥CE交直线EP于点H，过点H作HK ⊥y轴交于K，过点H作GH⊥x轴，过点C作CG⊥GH交于G，∵∠CHK＝90°，∴∠CHG+∠KHE＝90°，∵∠CHG+∠HCG＝90°，∴∠KHE＝∠HCG，∵∠DEP＝45°，∴DH＝HE，∴△CHG≌△EHK（AAS），∴CG＝KE，GH＝HK，∵E（0，﹣1），C（﹣2，2），∴GH＝3﹣CG＝2+OK＝2+CG，∴CG ＝，∴H （﹣，﹣），设直线HE的解析式为y＝k'x+b'，，∴，∴y ＝﹣x﹣1，联立方程组，解得，∴P （﹣，﹣），综合上所述，点P 坐标为（，）或（﹣，﹣）．第21页（共21页）。
八年级数学《全等三角形》和《一次函数测试题》含答案
全等三角形单元测试题一．选择题1．如图，下列三角形中全等的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④2．如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（）A．AB＝CD B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠D D．AD＝AB3．已知：如图，在ΔABC与ΔAEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF 于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，己知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．HL5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB ＝S△EDB6．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝10，则点P到AB的距离是（）A．15 B．12 C．5 D．107．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点O，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．338．具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形是（）A．有两个角对应相等的两个三角形B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形9．如图，∠C＝∠D，BC＝DE，下列添加的条件不能使△ADE≌△ACB的是（）A．∠BAD＝∠EAC B．∠E＝∠B C．AD＝AC D．AE＝AB10．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA二．填空题11．如图，∠1＝∠2，要利用“SAS”得到△ABC≌△DBC，需要增加的一个条件是．12．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，则△ABD的面积为．13．如图，OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA于点M，PM＝3，点N是射线OB上的动点，则线段PN的最小值为．14．如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为．15．如图，已知△ABC的周长是8，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．三．解答题16．如图，A，C，F，D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC∥EF．17．填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．已知：如图，BC∥EF，AB＝DE，BC＝EF，试说明∠C＝∠F．解：∵BC∥EF（已知），∴∠ABC＝（）．在△ABC与△DEF中，∵AB＝DE，，，∴△ABC≌△DEF（）．∴∠C＝∠F（）．18．小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．19．如图，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BE＝DF．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）试猜想OA与OC的大小关系，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等．②③，③④，①④均不符合题意，故选：A．2．【解答】解：A、∵△ABC≌△CDA，∴AB＝CD，本选项说法正确，不符合题意；B、∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，本选项说法正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CDA，∴∠B＝∠D，本选项说法正确，不符合题意；D、当△ABC≌△CDA时，AD与AB不一定相等，本选项说法错误，符合题意；故选：D．3．【解答】解：在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，∴∠EFA＝∠AFC，即FA平分∠EFC．又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，∴∠BFE＝∠FAC．故①②③④正确．故选：D．4．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ），故选：D ．5．【解答】解：A ．∵AE ＝DE ，∴BE 是△ABD 的中线，故本选项不符合题意；B ．∵BD 平分∠EBC ，∴BD 是△BCE 的角平分线，故本选项不符合题意；C ．∵BD 平分∠EBC ，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D ．∵S AEB ＝AE ×BC ，S △EDB ＝DE ×BC ，AE ＝DE ，∴S △AEB ＝S △EDB ，故本选项不符合题意；故选：C ．6．【解答】解：过P 点作PF ⊥AB 于F ，如图，∵AD 平分∠BAC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，∴PF ＝PE ＝10，即点P 到AB 的距离为10．故选：D ．7．【解答】解：过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，如图，∵OB 平分∠ABC ，OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OD ＝3，同理可得OF ＝OD ＝3，∴S △ABC ＝S △OAB +S △OBC +S △OAC＝×OE ×AB +×OD ×BC +×OF ×AC＝（AB +BC +AC ），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．8．【解答】解：A、有两个角对应相等的两个三角形不一定全等，可能相似，选项不符合题意；B、此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，不一定全等，选项不符合题意；C、两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形一定全等，选项符合题意；D、不正确，举一反例说明，如图：在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB＝AB，AC＝AC1，AD⊥BC1，AD＝AD．但△ABC与△ABC1显然是不全等的，选项不符合题意；故选：C．9．【解答】解：A、已知∠C＝∠D，BC＝DE，添加∠BAD＝∠EAC，利用AAS能使△ADE≌△ACB，选项不符合题意；B、已知∠C＝∠D，BC＝DE，添加∠E＝∠B，利用ASA能使△ADE≌△ACB，选项不符合题意；C、已知∠C＝∠D，BC＝DE，添加AD＝AC，利用SAS能使△ADE≌△ACB，选项不符合题意；D、已知∠C＝∠D，BC＝DE，添加AE＝AB，不能使△ADE≌△ACB，选项符合题意；故选：D．10．【解答】解：△OAB与△OA′B′中，∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．故选：B．二．填空题11．【解答】解：需要增加的一个条件是BC＝BD．∵∠1＝∠2，∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，即∠ABC＝∠ABD，在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（SAS）．故答案为：BC＝BD．12．【解答】解：过D作DE⊥BA，交BA的延长线于E，∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，∴DE＝DC，∵DC＝6，∴DE＝6，∵AB＝4，∴△ABD的面积是＝＝12，故答案为：12．13．【解答】解：当PN ⊥OB 时，线段PN 的值最小，∵OP 是∠AOB 的平分线，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PM ＝3， ∴PN ＝PM ＝3，即PN 的最小值是3，故答案为：3．14．【解答】解：过P 作PE ⊥OD 于E ，∵OP 平分∠DOC ，∠C ＝90°，PC ＝2，∴PE ＝PC ＝2，∵OD ＝8，∴△OPD 的面积是＝＝8，故答案为：8． 15．【解答】解：连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD ＝3， ∴OE ＝OD ＝3，OF ＝OD ＝3，∵△ABC 的周长是8，∴AB +BC +AC ＝8，∴△ABC 的面积S ＝S △ABO +S △BCO +S △ACO＝AB×OE++＝＝×（AB+BC+AC）＝＝12，故答案为：12．三．解答题16．【解答】证明：∵AF＝CD，∴AF﹣FC＝CD﹣FC，即AC＝DF．∵AB∥DE，∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠FCB＝180°∠ACB，∠CFE＝180°﹣∠DFE，∴∠BCF＝∠EFC，∴BC∥EF．17．【解答】解：∵BC∥EF（已知），∴∠ABC＝∠E（两直线平行，同位角相等）．在△ABC与△DEF中，∵AB＝DE，∠ABC＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴∠C＝∠F（全等三角形对应角相等）．故答案为：∠E，两直线平行，同位角相等；∠ABC＝∠E，BC＝EF；SAS；全等三角形对应角相等．18．【解答】解：小明的做法可行．理由如下：在直角尺DEMN中，DN∥EM，∴∠DPO＝∠POM，∵DP＝OD，∴∠DPO＝∠DOP，∴∠POM＝∠DOP，∴OC平分∠AOB．19．【解答】证明：（1）∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF＝DE，在Rt△ADE和Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），（2）OA＝OC，理由如下：∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴AE＝CF《一次函数》单元测试卷满分120分题号一二三总分得分一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是（）A．速度v是变量B．时间t是变量C．速度v和时间t都是变量D．速度v、时间t、路程s都是常量2．下面坐标平面中所反映的图象中，不是函数图象的是（）A．B．C．D．3．函数①y＝πx；②y＝2x﹣1；③y＝，④y＝x2﹣1中，y是x的一次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≤﹣C．x≤D．x≠5．将水匀速滴进如图所示的容器时，能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．变量x，y的一些对应值如下表：x…﹣2﹣10123…y…﹣8﹣101827…根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（）A．75B．﹣75C．125D．﹣1257．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．8．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网不足25小时，选择A方式最省钱B．每月上网时间为30小时，选择B方式最省钱C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长D．每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱9．已知方程ax+b＝0的解为x＝﹣，则一次函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标为（）A．3B．C．﹣2D．10．如图，一次函数y＝kx+b的图象交y轴于点A（0，2），则不等式kx+b＜2的解集为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜﹣1D．x＞﹣111．如图所示，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（）A．B．C．D．12．一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，则以下结论：①k＞0；②b＞0；③m ＞0；④n＞0；⑤当x＝3时：y1＞y2．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．当m＝时，函数y＝（m+1）x+5是一次函数．14．若y关于x的函数y＝﹣7x+2+m是正比例函数，则m＝．15．购买单价为每支2元的圆珠笔，总金额y（元）与铅笔数n（支）的关系式可表示为，其中，是变量．16．函数的图象如图所示，当y＝0时，x＝．17．已知函数，则当x时，y1＜0．18．“赛龙舟”是我国的一个传统运动项目．某天，甲乙两队在一个笔直的湖面进行“赛龙舟”比赛，全程300米．两队同时出发，刚出发，乙队就以明显优势领先，甲队发现形式不利，迅速调整比赛状态，把速度提升了，并以提升后的速度赛完全程，假设乙队全程是匀速比赛状态，甲队提速前和提速后也分别是匀速运动，甲、乙两队之间的距离y （米）与乙队行驶x（秒）之间的关系如图所示，则甲队到达终点时，乙队离终点还有米．三．解答题（共7小题，满分60分）19．（6分）画出下列正比例函数和一次函数的图象：（1）y＝2x；（2）y＝﹣2x﹣4．20．（6分）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）代数式k+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．21．（6分）如图，直线l1：y＝x﹣1与直线l2：y＝﹣x+2在同一直角坐标系中交于点A（2，1）．（1）直接写出方程组的解是．（2）请判断三条直线y＝x﹣1，y＝﹣x+2，y＝x+是否经过同一个点，请说明理由．22．（8分）李老师周末骑自行车去郊游，如图是他离家的距离y（千米）与时间t（时）之间关系的函数图象，李老师9时离开家，15时到家，根据这个函数图象，请你回答下列问题：（1）到达离家最远的地方是时，离家多远千米．（2）他时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了小时．（3）他从离家最远的地方回家用了多长时间？速度是多少？23．（10分）在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售80只A 型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A 型口罩的进货量且不超过它的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？24．（12分）某草莓生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新草莓．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OA，AB表示恒温系统开启阶段，线段BC表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天大棚内的温度y与时间x（0≤x≤24）之间的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度是多少度？（3）若大棚内的温度低于15℃时，草莓会受到伤害．问在这天内恒温系统最多可以关闭多长时间就必须重新启动，才能避免草莓受到伤害．25．（12分）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．解：在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则速度v和时间t是变量，行进路程s是常量，故选：C．2．解：函数是指给定一个自变量的取值，都有唯一确定的函数值与其对应，即垂直x轴的直线与函数的图象只能有一个交点，结合选项可知，只有选项D中是一个x对应1或2个y，故D选项中的图象不是函数图象，故选：D．3．解：①y＝πx；②y＝2x﹣1是一次函数；③y＝是反比例函数，不是一次函数；④y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，因此一次函数共2个，故选：B．4．解：根据题意得：2﹣3x＞0，解得：x＜．故选：A．5．解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．表现出的函数图形为先缓，后陡．故选：D．6．解：根据表格数据画出图象如图：由图象可知，函数的解析式为y＝x3，把x＝﹣5代入得，y＝﹣125．故选：D．7．解：由一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＞0，所以一次函数y＝﹣bx+k的图象应该见过一、二、四象限，故选：A．8．解：由题意可知：A、每月上网不足25小时，选择A方式最省钱，故本选项不合题意；B、每月上网时间为30小时，选择A方式的费用为：30+5×[（120﹣30）÷（50﹣25）]＝48（元），B方式为50元，C方式为120元，所以选择A方式最省钱，故本选项符合题意；C、每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长，故本选项不合题意；D、每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱，故本选项不合题意；故选：B．9．解：方程ax+b＝0的解为x＝﹣，则一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的坐标为（﹣，0），即一次函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标为﹣．故选：D．10．解：根据图象得，当x＜0时，kx+b＜2，所以不等式kx+b＜2的解集为x＜0．故选：A．11．解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时y 逐渐变小，∴反映到图象上应选A．故选：A．12．解：∵一次函数y1＝kx+b的图象经过第一、三象限，∴k＞0，所以①正确；∵一次函数y1＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴b＜0，所以②错误；∵一次函数y2＝mx+n的图象经过第二、四象限，∴m＜0，所以③错误；∵一次函数y2＝mx+n的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴n＞0，所以④正确；∵x＞2时，y1＞y2，∴当x＝3时：y1＞y2．所以⑤正确．故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．解：根据一次函数的定义，可知：m2＝1，m+1≠0，解得：m＝±1且m≠﹣1，∴m＝1．故答案为：1．14．解：∵y关于x的函数y＝﹣7x+2+m是正比例函数，∴2+m＝0，解得m＝﹣2．故答案为﹣2．15．解：总金额y（元）与铅笔数n（支）的关系式可表示为y＝2n，其中y，n为变量，故答案为：y＝2n；n，y．16．解：y＝0时，即与x轴的交点，自变量x的值是2．故答案为：2．17．解：∵函数y1＝x+3中y1＜0，∴x+3＜0，解得x＜﹣6．故答案为：＜﹣6．18．解：由图可得，乙队的速度为300÷100＝3（米/秒），设甲队开始的速度为a米/秒，15（3﹣a）＝（45﹣15）×[a（1+）﹣3]，解得a＝2，∴甲队提速后的速度为2×（1+）＝3.5（米/秒），∴甲队到达终点用的时间为：15+（300﹣15×2）÷3.5＝15+＝15+77＝92（秒），∴甲队到达终点时，乙队离终点还有3×（100﹣92）＝3×7＝3×＝（米），故答案为：．三．解答题（共7小题，满分60分）19．解：（1）如图所示；（2）如图所示．20．解：（1）当x＝2时，y＝0，所以方程kx+b＝0的解为x＝2；（2）当x＝2时，y＝﹣1，所以代数式k+b的值为﹣1；（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．21．解：（1）由图可得，直线l1：y＝x﹣1与直线l2：y＝﹣x+2在同一直角坐标中交于点A（2，1），∴方程组的解是，故答案为：；（2）解方程组，可得，把代入y＝x+成立，∴三条直线y＝x﹣1，y＝﹣x+2，y＝x+经过同一个点（2，1）．22．解：（1）由图象可得，到达离家最远的地方是12时，此时离家30千米，故答案为：12，30；（2）由图象可得，他12时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了（11﹣10.5）+（13﹣12）＝1.5（小时），故答案为：12，1.5；（3）由图象可得，他从离家最远的地方回家用了15﹣13＝2（小时），速度是30÷2＝15（千米/小时），即他从离家最远的地方回家用了2小时，速度是15千米/小时．23．解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：，解得，答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）①根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根据题意得，，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000）；②∵y＝﹣0.05x+400，k＝﹣0.05＜0；∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝500时，y取最大值，则2000﹣x＝1500，即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大．24．解：（1）当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx，2k＝10，得k＝5，即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝5x，当4＜x≤14时，y＝4×5＝20，当14＜x≤24时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，，解得，，即当14＜x≤24时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+48，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）由图象可得，恒温系统设定的恒定温度是20℃；（3）把y＝15代入y＝﹣2x+48，15＝﹣2x+48，解得，x＝16.5，∵16.5﹣14＝2.5，∴这天内恒温系统最多可以关闭2.5小时就必须重新启动，才能避免草莓受到伤害．25．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴CP＝＝，当点P'在AB延长线上时，设CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，联立方程组，∴点P（4，4），∴CP＝＝4，综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4．。
一次函数全等三角形轴对称的复习 典型例题
一. 本周教学内容：一次函数、全等三角形、轴对称的复习【典型例题】（一）一次函数 例1：马戏团演出场地的外围围墙是若干块长为5m ，宽为2.5m 的长方形帆布缝制而成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1m ，围成的围墙高2.5m 。
（1）若先用6块帆布缝制成宽为2.5m 的条形，求其长度；（2）若用x 块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y 与所用帆布的块数x 之间的函数关系式；（3）要是围成的圆形场地的半径为10m ，至少需要买几块这样的帆布缝制围墙。
解：（1）6块帆布缝制成条形后，有五块公共部分，所以6块帆布缝制后的总长度为： m 5.291.0556=⨯-⨯（2）x 块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x 块公共部分。
设圆形围墙的周长为ymx y x x x y 9.4,9.41.05=∴=-=∴（3）要围成半径10m 的圆形场地，则x 9.4102=⨯π82.129.48.629.420≈≈=∴πx 块 答：需要买这样的帆布13块。
例2：已知等腰三角形周长为20cm ，求：（1）它的底边y 和腰长x 的函数关系式； （2）出自变量的取值范围； （3）画出函数图像。
解：（1）y ＝20－2x ；⎪⎩⎪⎨⎧>>>.2,0,0)2(y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧->>->∴.2202,0220,0x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧><>∴.5,10,0x x x ;105<<∴x（3）当x ＝5时，y ＝10；当x ＝10时，y ＝0连结A （5，10）、B （10，0）则线段AB （A 、B 两点除外）就是所求函数图像，如图。
例3：（1）在某一电路中，若电压保持不变，电流强度I 与电阻R 成反比例关系。
当电阻R ＝10欧姆时，电流强度I ＝4安培，则I 关于R 的函数关系式是（ ）A. I ＝40R （R>0）B. )0(401>=R R I C. )0(40>=R RID. )0(401>=R RI（2）生物学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10% 的能量能够流动到下一个营养级。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (85)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB 交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，求证：（1）DF∥BC；（2）FG＝FE．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAF．在△ACF和△ADF中，∵AC ADCAF DAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△ADF（SAS）．∴∠ACF＝∠ADF．∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠ADF＝∠B；∴DF∥BC．（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，∴FG⊥AC．∵FE⊥AB，又AF平分∠CAB，∴FG＝FE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．42．在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE= ．（2）设∠BAC=α，∠DCE=β：①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）30°；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β；②当D在线段BC上时，α+β=180°，当点D在线段BC 延长线或反向延长线上时，α=β．【解析】【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②分D在线段BC上时和当点D在线段BC延长线或反向延长线上时两种情况求解即可.【详解】（1）解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠B=∠ACE ，∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE ，∴∠BAC=∠DCE ，∵∠BAC=30°，∴∠DCE=30°.故答案为30;；（2）①解：当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β，理由是：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中∵AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠B=∠ACE ，∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE ，∴∠BAC=∠DCE ，∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②解：当D 在线段BC 上时，α+β=180°，理由如下：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAD=∠CAE ；在△BAD 与△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠B=∠ACE ，∴β=∠ABC+∠ACB ，∵ ∠ABC+∠ACB=180°-α，∴α+β=180°．故答案为α+β=180°；当点D 在线段BC 延长线或反向延长线上时，α=β，证明如①.∴当D 在线段BC 上时，α+β=180°，当点D 在线段BC 延长线或反向延长线上时，α=β．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质及分类讨论等知识，题目比较典型，是一道证明过程类似的题目.43．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：FC=HC(3)求证：FH∥BD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；（2）由△BCE ≌△ACD，可得∠CBF=∠CAH，然后根据“ASA”证明△BCF≌△ACH即可；（3）根据∠FCH=60°，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．【详解】（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，BC＝AC∠BCE＝∠ACD CE＝CD，∴△BCE ≌△ACD（SAS）．（2）∵△BCE ≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH，又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF和△ACH中，∠CBE＝∠CAH BC＝AC∠BCF＝∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，（3）∵∵FCH=60°，∴△CHF为等边三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键.44．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。
八年级一次函数及全等三角形综合试卷及详细答案
八年级一次函数及全等三角形综合试卷一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．如图，在一次函数y=﹣x+3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴；垂足为B，且矩形OAPB的面积为2，则这样的点P个数共有（）2．直线y=kx+b不经过第三象限，a＞e，且A（a，m）、B（e，n）、C（﹣m，c）、D（﹣n，d）这四点都在直线上，33．（2007•牡丹江）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为（）．C D．4．（2013•绥化）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B →C→D→A 运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（）．C D．5．（2012•武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）6．（2011•玉溪）如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A 运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）7．（2011•黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线．C D．8．（2013•哈尔滨模拟）甲乙两人在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人同时、同向出发，两人之间的距离s （单位：米）与两人跑步的时问t（单位：分）之间的函数关系图象如图所示．下列四种说法：①l5分时两人之间距离为50米；②跑步过程中两人休息了5分；③20～30分之间一个人的速度始终是另一个人速度的2倍；③40分时一个人比另一个人多跑了400米．其中一定正确的个数是（）9．（2013•长春一模）一次函数y=﹣x+b的图象如图所示，则b的值可能是（）10．（2012•义乌市模拟）A、B两地相距360km，甲车以100km/h的速度从A地驶往B地，乙车以80km/h的速度从B地驶往A地，两车同时出发．设乙车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），则y与x之间的函数．C D．二．填空题（共6小题，每小题5分共30分）11．如图，直线y=kx+b和y=mx+n交于点P（1，1），直线y=mx+n交x轴于点（2，0），那么不等式组0＜mx+n ＜kx+b的解集是_________．12．甲、乙两人在一段长为1200米的笔直路上匀速跑步，甲、乙的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处．若同时起跑，甲、乙两人在从起跑至其中一人先到达终点的过程中，他们之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象如图所示．则t1=_________s，y2=_________m．13．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交点D，连接OD，设P在x轴的正半轴上，若△POD为等腰三角形，则点P的坐标为_________．14．已知函数y=（m﹣1）+1是一次函数，则m=_________．15．若f（x）=2x﹣1，如[f（﹣2）=2×（﹣2）﹣1]，则=_________．16．（2005•包头）若一次函数y=ax+1﹣a中，y随x的增大而增大，且它的图象与y轴交于正半轴，则|a﹣1|+= _________．三．解答题（共7小题，共80分）17．（12分）甲、乙两车分别从相距350千米的A、B两地同时出发相向而行，两车在途中S城相遇后，甲车接到返城通知，于是按原路返回A地，乙车在S城停留一会儿后，继续向A地行驶．设甲、乙两车在行驶过程中速度保持不变，两车离A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：（1）甲、乙两车的行驶速度各是多少？（2）乙车出发几小时后到达A地？（3）两车出发后几小时第二次相遇？18．（12分）已知△ABC中，∠A=60°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=_________°．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=_________°．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n 的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．19．（10分）已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．20．（12分）如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．22、（10分）已知，如图，给出以下五个论断：①∠D=∠E；②CD=BE；③AM=AN；④∠DAB=∠EAC；⑤AB=AC．以其中三个论断作为题设，另外两个中的一个论断作为结论．（1）请你写出一个满足条件的真命题（书写形式如：如果×××，那么×××），并加以证明；（2）请你再写出至少两个满足上述条件的真命题，并加以证明。
八年级上册典型题
八年级上册典型题一、三角形全等证明类（5题）1. 如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D。
求证：△ABC≌△DEF。
- 解析：- 在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D。
- 但是“SSA”（边 - 边 - 角）不能判定三角形全等，所以这两个三角形不全等。
这是一个易错点，让学生明确全等三角形的判定定理中没有“SSA”。
2. 已知：如图，AC = BD，∠CAB=∠DBA。
求证：△CAB≌△DBA。
- 解析：- 在△CAB和△DBA中，AC = BD，∠CAB = ∠DBA，AB是公共边。
- 根据三角形全等判定定理中的“SAS”（边角边），因为AC = BD，∠CAB = ∠DBA，AB = BA，所以△CAB≌△DBA。
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。
求证：△AEF≌△DEB。
- 解析：- 因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。
- 在△AEF和△DEB中，- 对顶角∠AEF = ∠DEB。
- 因为BD = CD，AD是中线，∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），可证△BDE≌△CDA （SAS），所以∠BED = ∠CAD，又因为BE = AC。
- 根据“AAS”（角角边），所以△AEF≌△DEB。
4. 如图，AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2。
求证：△ABD≌△ACE。
- 解析：- 因为∠1 = ∠2，所以∠1+∠CAD = ∠2 + ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE。
- 在△ABD和△ACE中，AB = AC，AD = AE，∠BAD = ∠CAE。
- 根据“SAS”（边角边），所以△ABD≌△ACE。
5. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB = CE，AB∥ED，AC∥FD。
求证：△ABC≌△DEF。
- 解析：- 因为FB = CE，所以FB+FC = CE + FC，即BC = EF。
(完整word版)一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
全等三角形与一次函数的探究题
专题七 全等三角形的综合探究题1．（2011盐城）情境观察将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A ′C ′D ，如图1所示.将△A ′C ′D 的顶点A ′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A ′)、B 在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′= ．问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'图4MNGFECB AH图3ABCEFGPQA BABA B2、（11·辽阜新）如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝EB ，连接PD ，O 为AC 中点．（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由； （2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．3、（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角扳的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF=EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：4、如图2，AB=AD ，BC=CD ，AC 和BD 相交于E 。
一次函数与全等三角形综合题
27题精选1（2011-11-27）1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB （1）求AC 的解析式；（2）在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
（3）在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。
（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
xyo BA CPQxyo BA CPQM第2题图① 第2题图② 第2题图③3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
初中数学专题训练--一次函数--一次函数和全等三角形
初中数学
精品设计
50 100 25
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50
25
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一次函数和全等三角形
1、近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电矛盾越来越突出。
为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示。
⑴根据图像所描述的信息，求当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数关系式。
⑵根据以上分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是_______；当每月用电量超过50度时，收费标准是:______________________________
2、如图为甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）．根据图象回答下列问题：
（１）比赛开始多少时间时，两人第一次相遇？
（２）这次比赛全程是多少千米？
（３）比赛开始多少时间时，两人第二次相遇？
13、如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BA延长线上的一点,AF=AE。
⑴求证：△ABE≌△ADF.
⑵在图中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使
△ABE变到△ADF的位置；
⑶线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.。
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全等三角形与一次函数
1、如图，线段AC 与BD 交于点O ，且OA=OC ，请添加一个条件，使OAB ∆≌OCD ∆，这个条件不可以是（ ）
A 、CD A
B = B 、OD OB =
C 、C A ∠=∠
D 、D B ∠=∠ 2、如图，点P 是BAC ∠内一点，
PF PE AC PF AB PE =⊥⊥,,，则PEA ∆≌ PFA ∆ 的理由是（ ）
A 、HL
B 、ASA
C 、AAS
D 、SAS
3、关于函数
x y 2-=，下列叙述正确是（ ）
A.函数图象经过点（1，2）
B.函数图象经过第二、四象限
C.y 随x 的增大而减小
D.不论x 取何值，总有0<y
4、如图，如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A 、带①去 B 、带②去 C 、带③去 D 、带①和②去
5、如图，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ，∠1=∠2，图中全等三角形共有（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
6、小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上
坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程
的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A ．12分钟
B ．15分钟
C ．25分钟
D ．27分钟
C
A B
O
D
C
7、如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC.边上的F 点处，如果∠BAF=
60°，则∠DAE= 。
8、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10㎝，则⊿DBE 的周长为 ㎝。
9、若点P （-1，m ）是y=-x+2与y=kx+4的交点，则m= ，k=
10、已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ ．
11、如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BD 平分∠ABC ，D E ⊥AB ，ED 的延长线交BC 的延长线于F ，求证：AE=CF
10、如图，△ABC 中，∠ABC = 120º，∠C = 26º，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，DE = DF ． 求∠ADC 的度数．
B
A E
B
F E
B F
C
11、已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5.
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； （2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a.
12、下图是某汽车行驶的路程S （km ）与时间t （min ）的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？ （2）汽车在途中停留了多长时间
（3）当3016≤≤t 时，求S 与t 的函式.
13、一家电信公司为顾客提供了两种上网收费方式，方式1是以0.1的价
格按上网时间计费，方式2是除收月租费20元外，再以
的价格按上
网时间计费，试根据上网时间说明如何选择收费方式才能使上网者更合算，这个月你如果打算上网600min ，则应选择哪种方式？
.14、某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，（元）是推销费，
如图表示了公司每月付给推销费的两种方案，看图解答下列问题。
（1）求与的解析式。
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？。