理科概率
高三概率(理：立足文科)
统计与概率专题（理科）【总知识脉络】概率概念随机事件必然事件不可能事件随机事件的概率等可能性事件的概率互斥事件互斥事件有一个发生的概率相互独立事件相互独立事件同时发生的概率计算频率与概率数理统计随机变量离散型随即变量随即变量的概率分布列数学期望方差连续型随即变量抽样方法系统抽样分层抽样简单随机抽样【知识梳理】一、离散型随机变量及其分布列、均值与方差1、随机变量、离散型随机变量的定义（1）随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
（2）离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．2、离散型随机变量的分布列：（1）定义：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x xX 取每一个值(1,2,)i x i =的概率()i i P x p ξ==，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列：（2）分布列性质：①0,1,2,i p i ≥= ；②12... 1.n p p p +++=3、两点分布与超几何分布（1）二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中01,1p q p <<=-，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布（2）超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取()n n N ≤件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为),2,1,0()(m k C C C k X P nNk n MN k M ===--， 其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N∈≤≤4、※均值与方差※则称1122()n n E X x p x p x p =+++为X 的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
概率与统计(理科)
概率与统计（理科）一、高考考试内容离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差。
抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归。
二、考试要求：（1）了解离散型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
（3）会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
（4）会用样本频率分布去估计总体分布。
（5）了解正态分布的意义及主要性质。
（6）了解线性回归的方法和简单应用。
三、应试策略1、正确理解有关概念。
（1）随机试验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验；如果试验结果预先无法确定，这种试验叫做随机试验。
（2）频率与概率：对于一个事件来说概率是一个常数；频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率。
（3）互斥事件与对立事件：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
（4）互斥事件与相互独立事件：不可能同时发生的事件叫互斥事件，而相互独立事件则是指两个事件是否发生与否相互之间没有影响。
2、公式的应用（1）常用公式 ①等可能事件的概率：基本事件总数中所含基本事件数A n m A P ==)( ②互斥事件的概率：)()()(B P A P B A P +=+③对立事件的概率：1)()()(____=+=+A P A P A A P④相互独立事件的概率：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅⑤n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(（2）注意事项：①每个公式都有成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立。
②对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法，一般题中总有关键语说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法。
高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：X 1x 2x …n xP1p 2p …n p1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即()D X σ=．1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
X －1 01 P95二．超几何分布对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，X 012… lP0n M N MnNC C C - 11n M N MnNC C C -- 22n M N MnNC C C -- …l n l M N MnNC C C -- 其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑．2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
2019-年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析
2019年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析【题目叙述】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得´1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得´1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0“0，p8“1，p i“ap i´1`bp i`cp i`1p i“1,2,¨¨¨,7q，其中a“P p X“´1q，b“P p X“0q，c“P p X“1q.假设α“0.5，β“0.8.（i）证明：t p i`1´p i up i“0,1,2,¨¨¨,7q为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【题目分析】本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。
命题人在命题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。
高考数学(理科)二轮专题：第二篇专题四第1讲 概率、随机变量及其分布列
专题四 概率与统计第1讲 概率、随机变量及其分布列(限时45分钟，满分96分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，则图形Ω面积的估计值为A.13B.12C.14D.16解析 设图形Ω 的面积为S ，∵由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，∴S 1＝3 33510 000≈13，∴S ≈13.故选A. 答案 A2．(2019·潍坊模拟)四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是A.115B.110C.13D.1130解析 A ，B 只能有一个可能为1，题目求最大，令B 为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13.故选C.答案 C3．(2019·浙江衢州五校联考)随机变量的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是A.19B.29C.49D.59解析 由题设可得a ＋b ＝23，b －a ＝13⇒a ＝16，b ＝12，所以由数学期望的计算公式可得 E (X 2)＝0×13＋1×23＝23，(E (X ))2＝19，所以由随机变量的方差公式可得 D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝59.故选D.答案 D4．(2019·河北省级示范校联合体联考)袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A.18B.14C.16D.524解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021，130，031，故所求概率为P ＝324＝18.故选A.答案 A5．(2019·郑州一模)魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是A.25B.35C.12D.13解析 首先结合f (－x )＋f (x )与0的关系，判断该六个函数的奇偶性，结合题意可知1，4，6为奇函数，3，5为偶函数，2为非奇非偶函数，从6张卡片抽取2张，有C 26＝15种，而任取2张卡片得到的新函数为奇函数，说明该两个函数为一奇一偶函数，故有3×2＝6种，结合古典概型计算公式，相除得25.故选A.答案 A6．(2019·辽阳期末)一批排球中正品有m 个，次品有n 个，m ＋n ＝10(m ≥n )，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X 表示抽到的次品个数．若D (X )＝21，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率p ＝A.4445B.1415C.79D.1315解析 依题意可得X ～B ⎝⎛⎭⎫10，n10， 则DX ＝10×n10×⎝⎛⎭⎫1－n 10＝21， 又m ≥n ，则n ≤5，从而n ＝3， 则p ＝1－C 23C 210＝1415.故选B.答案 B7．(2019·济南期末)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A.π6B ．1－π6C.π4D ．1－π4解析 由题意，题目符合几何概型，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，面积为12×BC ×AC ＝3，阴影部分的面积为：三角形面积－12圆面积＝3－π2，所以点落在阴影部分的概率为3－π23＝1－π6.故选B.答案 B8．(2019·贵州重点中学联考)有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.2π－334π－23 B.23π3－3C.32π－23D.2π－332π－23解析 设圆半径为R ，如图，易得△ABC 的面积为12·32R 2＝34R 2，阴影部分面积为3·60πR 2360－3·34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为2π－334R 2＋34R 2＝π－32R 2，若从勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为P ＝阴影部分面积勒洛三角形面积＝2π－334R 2π－32R 2＝2π－332π－23.故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．一个盒子装有3个红球和2个蓝球(小球除颜色外其他均相同)，从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为ξ，则ξ的方差是________．解析 由题意知ξ～B (n ，p )，其中n ＝50，p ＝C 23C 12C 35＝610＝35，∴D (ξ)＝50×35×25＝12.答案 1210．(2019·淮南二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x ，y )，其中0<x <1，0<y <1，经统计数字x 、y 与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x ，y )为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．解析 实数对(x ，y )落在区域⎩⎨⎧0<x <10<y <1的频率为0.28，又设A 表示“实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧0<x <10<y <1且能与1构成钝角三角形”，则A 中对应的基本事件如图阴影部分所示：其面积为π4－12，故P (A )＝π4－12≈0.28，所以π≈7825.答案782511．(2019·长春外国语学校月考)已知直线l 过点(－1，0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．解析 显然直线l 的斜率存在， 设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入(x －1)2＋y 2＝3中得， (k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－2＝0， ∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点， ∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0， ∴k 2<3，∴－3<k <3，又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k2≤2， ∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1.由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率 P (M )＝1－（－1）3－（－3）＝33.答案3312．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)13．(2019·湖南三湘名校二联)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当k ≥85时，产品为一等品；当75≤k <85时，产品为二等品；当70≤k <75时，产品为三等品．现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果．(以下均视频率为概率)甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率； (2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，k ≥855t 2，75≤k <85t 2，70≤k <75，其中0<t <15，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．解析 (1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以至少抽到2件三等品的概率P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫1102×910＋⎝⎛⎭⎫1103＝7250.(2)甲生产线生产的产品的利润分布列为所以E (y 甲)＝0.6t ＋2t 2,乙生产线生产的产品的利润分布列为所以 E (y 乙)＝0.5t ＋2.1t 2, 因为0<t <15，所以E (y 乙)－E (y 甲)＝0.1t 2－0.1t ＝0.1t (t －1)<0，所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．14．(2019·佛山禅城区二调)研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2 000株，株长均介于185 mm ～235 mm ，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图(1)求样本平均株长x －和样本方差s 2(同一组数据用该区间的中点值代替)；(2)假设幼苗的株长X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2，试估计2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数；(3)在第(2)问的条件下，选取株长在区间(201，219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为34，开花后结穗的概率为23，设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望．附：83≈9；若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683； P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954；P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997解析 (1)x －＝190×0.02＋200×0.315＋210×0.35＋220×0.275＋230×0.04＝210， s 2＝202×0.02＋102×0.315＋102×0.275＋202×0.04＝83.(2)由(1)知， μ＝x －＝210，σ＝83≈9， ∴P (201<X <219)＝P (210－9<X <210＋9)＝0.683， 2 000×0.683＝1 366∴2 000株幼苗的株长位于区间(201，219)的株数大约是1 366.(3)由题意，进入育种试验阶段的幼苗数1 366，每株幼苗最终结穗的概率P ＝12，则ξ－B ⎝⎛⎭⎫1 366，12， 所以E (ξ)＝1 366×12＝683.15．(2019·河北示范高中联合体联考)某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3 200件的员工被评为“生产能手”．由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？(2)为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2 600件以内的，计件单价为1元；超出(0，200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200，400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资(实得计件工资＝定额计件工资＋超定额计件工资)不少于3 100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望．附：K 2＝（ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解析 (1)因为K 2的观测值k ＝100×（48×8－42×2）250×50×90×10＝4>3.841，所以有95%的把握认为“生产能手”与性别有关． (2)当员工每月完成合格产品的件数为3 000件时， 得计件工资为2 600×1＋200×1.2＋200×1.3 ＝3 100元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 1＝25，女员工实得计件工资不少于3 100元的概率为p 2＝12，设2名女员工中实得计件工资不少于3 100元的人数为X ，1名男员工中实得计件工资在3 100元以及以上的人数为Y ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫1，25， Z 的所有可能取值为0，1，2，3，P (Z ＝0)＝P (X ＝0，Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1－25＝320， P (Z ＝1)＝P (X ＝1，Y ＝0)＋P (X ＝0，Y ＝1) ＝C 12·12·⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－25＋⎝⎛⎭⎫1－12225＝25， P (Z ＝2)＝P (X ＝2，Y ＝0)＋P (X ＝1，Y ＝1) ＝C 22⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫1－25＋C 1212⎝⎛⎭⎫1－1225＝720， P (Z ＝3)＝P (X ＝2，Y ＝1)＝⎝⎛⎭⎫122×25＝110， 所以Z 的分布列为故E (Z )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.。
高中理科数学各类型概率统计、分布列解答题
高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 ？(2)已知一名工人每月只有维修 台机器的能力，每月需支付给每位工人 万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生 万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有 名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？ (Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ． 附：（其中 为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度． 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度 分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。
概率论之大题题型总结(理科)
概率论之大题题型总结(理科)一、概率计算题：概率计算题是概率论课中的常见题型，要求根据已给的条件和概率理论计算出所询问的概率。
1. 条件概率计算：通过已知的条件，利用条件概率公式，计算出所需的概率。
例如：已知事件A和事件B的条件概率，求事件A和事件B同时发生的概率。
2. 独立事件概率计算：对于独立事件，可以利用乘法公式计算出所需的概率。
例如：已知事件A和事件B相互独立，求事件A和事件B同时发生的概率。
3. 互斥事件概率计算：对于互斥事件，可以利用加法公式计算出所需的概率。
例如：已知事件A和事件B互斥，求事件A或事件B发生的概率。
二、随机变量题：随机变量题要求计算随机变量的期望、方差等统计量。
1. 离散型随机变量：对于离散型随机变量，可以通过遍历所有可能取值，计算每个取值的概率乘以对应的随机变量值，再求和得到期望值。
方差的计算则需要计算每个取值与期望值的差的平方乘以对应的概率，再求和。
2. 连续型随机变量：对于连续型随机变量，可以利用概率密度函数来计算期望和方差。
期望值的计算是将随机变量与概率密度函数相乘再对整个区间求积分。
方差的计算则需要计算每个取值与期望值的差的平方与概率密度函数的乘积再对整个区间求积分。
三、估计题：估计题是概率论课中的重要题型，要求通过已给的样本数据估计总体参数。
1. 点估计：点估计是通过样本数据估计总体参数的一个值。
常见的点估计方法有最大似然估计法、矩估计法等。
2. 区间估计：区间估计是通过样本数据估计总体参数的一个区间范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计法、最大似然区间估计法等。
四、假设检验题：假设检验题要求根据样本数据判断总体是否符合某个假设。
1. 单样本假设检验：对于单样本假设检验，通过假设检验的步骤计算出样本的均值或比例与假设值的差异，并进行统计显著性检验，判断差异是否显著。
2. 双样本假设检验：对于双样本假设检验，通过比较两个样本的均值或比例的差异，并进行统计显著性检验，判断差异是否显著。
高考理科统计概率知识点
高考理科统计概率知识点在高中数学课程中，统计概率是一个重要的知识点。
它涉及到我们日常生活中各种事件和现象的概率计算。
掌握统计概率知识不仅对于高考和考试有帮助，更重要的是它能够让我们在生活中做出更合理的决策，并更好地理解和分析数据。
本文将介绍高考理科统计概率的相关知识点。
1. 随机事件与样本空间统计概率的基础是随机事件和样本空间的概念。
随机事件是指在一次试验中可能发生的一个结果，而样本空间则是这个试验中所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的随机事件为正面和反面，样本空间为{正，反}。
另外，补事件、事件的并、交、差、互斥等概念也是理解统计概率的基础。
2. 古典概型在某些试验中，样本空间中各个结果的概率相等，这种情况下可以采用古典概型进行概率计算。
例如，掷一枚均匀骰子的概率计算，每个点数出现的概率为1/6。
这种情况下，样本空间中的每个结果出现的概率相等。
3. 条件概率条件概率是指在一个已知事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，在一副扑克牌中，从中任意抽出一张牌，求其为红心的条件概率。
条件概率的计算需要用到样本空间中的事件和已知信息。
4. 独立事件独立事件是指两个事件之间互不影响的情况。
例如，从一堆扑克牌中抽一张，再把它放回，重新抽一张，两次抽到红心的概率不会相互影响。
对于独立事件，可以用乘法原理进行概率计算。
5. 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要定理，它们在实际问题中的应用非常广泛。
全概率公式用于计算一个事件的概率，利用该事件与可能发生的几个互斥事件的概率之间的关系。
贝叶斯公式则用于根据已知的条件概率来计算另一个事件的概率，应用于研究事件之间的因果关系。
6. 期望与方差期望和方差是统计概率中常用的指标，用于描述随机事件的平均情况和变异程度。
期望是指随机事件在多次试验中的平均结果，方差是指随机事件结果与其均值之间的差异程度。
在概率分布和数据分析中，期望和方差是对数据进行分析和比较的重要依据。
高中数学概率与统计常考题型归纳
高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳题型一:常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2 9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10 81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8 81 .故X的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×81＝81.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.题型三:概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5××40＝12.第4组的人数为5××40＝8.第5组的人数为5××40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【变式训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝.题型四:统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n∑ni ＝1y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝lxylxx＝2480＝，a^＝y－b^x＝2－×8＝－，故所求线性回归方程为y^＝－.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^＝>0)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝×7－＝(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【变式训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K2＝10060×40×55×45≈＞，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
高考概率题知识点理科
高考概率题知识点理科概率是数学中一个非常重要的概念，它在高考数学理科中占据着很大一部分。
了解和熟悉概率题的知识点，对于高考数学的备考有着至关重要的意义。
下面将介绍一些常见的高考概率题的知识点。
一、基本概率问题基本概率问题是概率题中最常见的问题类型，它包括了计算事件的概率、计算多个事件的交集和并集等。
在解决这类问题时，我们首先需要明确事件的定义，然后利用概率的定义进行计算。
例如，某班级有50名学生，其中20人喜欢运动。
如果从中随机选择一名学生，那么他喜欢运动的概率是多少？这个问题中，喜欢运动的学生构成了一个事件，而从中随机选择一名学生则是该事件的样本空间。
根据概率的定义，我们可以计算出喜欢运动的概率为20/50=0.4。
二、独立事件与非独立事件独立事件和非独立事件是高考概率题中另一个重要的知识点。
独立事件是指事件之间的发生没有关系，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
而非独立事件则相反。
在解决独立事件的问题时，我们可以使用乘法原理进行计算。
例如，某班级有10名男生和15名女生，如果从中随机选择两名学生，那么他们都是女生的概率是多少？因为选择第一名学生是女生的概率为15/25，选择第二名学生时，因为前一名学生已经确定为女生，所以第二名学生也是女生的概率为14/24。
根据乘法原理，我们可以计算出两名学生都是女生的概率为(15/25) * (14/24)。
对于非独立事件的问题，我们需要使用条件概率进行计算。
条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，某班级有10名男生和15名女生，如果从中随机选择两名学生，第一名学生是女生的条件下，第二名学生也是女生的概率是多少？因为第一名学生已经确定为女生，所以第二名学生也是女生的概率为14/24。
根据条件概率的定义，我们可以计算出第二名学生是女生的概率为14/24。
三、排列与组合排列与组合是高考概率题中另一个常见的问题类型。
排列是指从一组元素中取出若干个元素进行有序排列，而组合则是指从一组元素中取出若干个元素进行无序排列。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题4 概率与统计 考点突破练11 概率与统计的综合问题
∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
(2)由题意可知,A 小区即方案一中,满意度不低于 70 分的频率为
(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为 62%,B 小区即方案
二中,满意度不低于 70 分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计
方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
A小区 方案一
B小区 方案二
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种
方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中
即 x>178 时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,
即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势.
^
(2)由 =0.5x+89 可得
^ =0.5×160+89=169,^ =174,^ =176.5,^ =181.5,^ =184,
1
2
3
4
5
5 ^
^
所以 ∑ =885,又因为 ∑ y =885,所以 ∑
取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制
了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).
(1)求样本平均数和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)
(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.
高三理科数学复习题《概率统计》
CDBAE概率与统计专项训练一、选择题：1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34２、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表： 你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（ ） Ａ．80% Ｂ．90% Ｃ．95% Ｄ．99%３、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）（A ）511 （B ）681 （C ）3061 （D ）40814、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.256625B.192625C.96625D.166255、已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，标准差是2，则xy 的值为（ ）Ａ、８ Ｂ、３２ Ｃ、60 Ｄ、８０6、把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为（ ）（Ａ）23 （Ｂ）25 （Ｃ）35 （Ｄ）137、如图，四边形ABCD 为矩形，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是（ ）． （Ａ）31 （Ｂ）23 （Ｃ）25 （Ｄ）358．某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次， 则恰有1次获得通过的概率为 （ ）43.41.21.31.D C B A 9．下面事件①若a 、b ∈R ，则a·b=b·a ；②某人买彩票中奖；③6+3>10；④抛一枚硬币出现正面向上，其中必然事件有 （ ） A ．① B ．② C ．③④ D ．①②10．在4次独立重复实验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的范围是 （ ）A ．[O ．4，1]B ．(O ，0．4]C ．(O ，0．6]D ．[0．6，1)11．设袋中有8个球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，除了颜色不同外，其余均相同．若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黑球既不得分，也不扣分，则任摸3个球后的所得总分为正分的概率为（ ）5623.289.74.5619.D C B A 12．从1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则和等于9的概率为 （ ）12513.12416.12518.12519.D C B A 13．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率一分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它恰是甲射中的概率为 （ ）A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 14. 教某气象站天气预报的准确率为80％．则5次预报中至少有4次准确的概率为 （ ） A ，0.2 B ．0.41 C ．0.74 D ．0.6715．有一道试题，A 解决的概率为21，B 解决的概率为31,C 解决的概率为41，则A 、B 、C三人独立解答此题，只有1人解出的概率为 （）31.2417.2411.241.D C B A则两人射击成绩的稳定程度是__________________。
高考理科数学二轮复习：专题透析(5)概率与统计名师讲义(含答案)
5概率与一、数原理1.分加法数原理和分步乘法数原理的区是什么?分加法数原理“分” ,此中各样方法互相独立 ,用此中任何一种方法都能够做完件事 ;分步乘法数原理“分步” ,各个步互相依存 ,只有各个步都达成了才算达成件事 .2.摆列数、合数的公式及性是什么?(1)=n(n-1)(n-2) ⋯(n-m+1)=公(2)= =式=(n,m∈N+ ,且 m≤n)特地 , =1性(1)0!= 1; =n!(2) =;=+3.二式系数的性是什么?性性描绘称与首末两头“等距离”的两个二式系数相等 ,即 =性增减二式系当 k<(n∈N+ ) ,二式系数是增的性数(n∈N+ ) ,二式系数是减的当 k>二式当 n 偶数 ,中的一获得最大系数的最大当 n 奇数 ,中的两与获得最大而且相等4.各二式系数的和是什么?(1)(a+b )n睁开式的各二式系数的和+ + + ⋯+= 2n.(2)偶数的二式系数的和等于奇数的二式系数的和,即+ + + ⋯= + ++ ⋯= 2n- 1.二、概率1.互斥事件与立事件有什么区与系?互斥与立都是两个事件的关系,互斥事件是不行能同生的两个事件,而立事件除要求两个事件不一样生外 ,要求两者之一必有一个生 .所以 ,立事件是互斥事件的特别状况 ,而互斥事件不必定是立事件 .2.基本领件的三个特色是什么?(1)每一个基本领件生的可能性都是相等的;(2)任何两个基本领件都是互斥的;(3)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成基本领件的和.3.古典概型、几何概型的概率公式分是什么?古典概型的概率公式 :P(A)=.几何概型的概率公式 :P(A)=.三、统计初步与统计事例1.分层抽样的合用范围是什么?当整体是由差别明显的几个部分构成时,常常采纳分层抽样的方法.2.怎样作频次分布直方图?(1)求极差 (即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数 .(3)将数据分组 .(4)列频次分布表 .(5)画频次分布直方图 .3.频次分布直方图的特色是什么?(1)频次分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率=组距×.(2)在频次分布直方图中 ,各小长方形的面积总和等于 1.由于在频次分布直方图中组距是一个固定值 ,所以各小长方形高的比也就是频次比 .(3)频次分布表和频次分布直方图是一组数据频次分布的两种形式,前者正确 ,后者直观 .4.怎样进行回归剖析 ?(1)定义 :对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的一种常用方法.(2)本点的中心于一拥有性有关关系的数据 (x1,y1),(x2,y2), ⋯ ,(x n,y n),此中 ( , )称本点的中心 .(3)有关系数当r> 0 ,表示两个量正有关; 当r< 0 ,表示两个量有关 .r 的越靠近于 1,表示两个量的性有关性越 .r 的越靠近于 0,表示两个量之的性有关性越弱 .往常当 |r|大于 0.75 ,两个量有很的性有关性.5.独立性的一般步是什么?解决独立性的用,必定要依照独立性的步得出.独立性的一般步 :(1)依据本数据制成2×2 列表 ;(2)依据公式 K2=算K2的k;(3)比 k 与界的大小关系 ,做出推测 .四、随机量及其用1.失散型随机量的分布列及性是什么?(1)失散型随机量的分布列:若失散型随机量X 全部可能的取x1,x2, ⋯,x i⋯,x n,X 取每一个 x i(i= 1,2, ⋯,n)的概率 p1,p2, ⋯,p n,表X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n称失散型随机量X 的概率分布列或称失散型随机量X 的分布列.(2)失散型随机量的分布列的性:①0≤p≤1(i= 1,2,3,⋯,i n);②p1+p2+ ⋯+p n= 1;③P(x i≤X≤x j)=p i+p i+ 1+ ⋯+p j .2.事件的互相独立性的观点及公式是什么?(1)互相独立的定 :事件 A 能否生事件 B 能否生的概率没有影响,即 P(B|A)=P (B). ,称事件 A 与事件 B 互相独立 ,并把两个事件叫作互相独立事件 .(2)概率公式条件事件 A,B 互相独立事件 A⋯,1,A2, A n互相独立公式P(A∩B)=P (A) ·P(B) P(A1∩A2∩⋯∩A n) =P (A1) ·P(A2) ·⋯·P(A n)3.独立重复与二分布的观点和公式是什么?(1)独立重复①定 :在同样条件下 ,重复地做n 次 ,各次互相独立 ,那么一般就称它 n 次独立重复 .②概率公式 :在一次中事件 A 生的概率p, n 次独立重复中,事件 A 恰巧生 k 次的概率 P k n-k⋯,n(k)=p (1-p)(k=0,1,2,n).(2)二分布 :在 n 次独立重复中 ,事件 A 生的次数 X,事件 A 不生的概率 q= 1-p, n 次独立重复中事件 A 恰巧生 k 次的概率是P(X=k)= p k q n-k,此中 k=0,1,2,⋯,n于是 X 的分布列 :X 0 1 ⋯k ⋯np0pq p k q n p n qP⋯⋯q n n-1-k0此称失散型随机量X 听从参数 n,p 的二分布 ,作 X~B(n,p).4.正分布的观点及性是什么?(1)正曲 :正量的概率密度函数的象叫作正曲,其函数表达式 f(x)=·,x∈R,此中μ,σ 参数 ,且σ>0,-∞<μ<+∞.(2)正曲的性①曲位于 x 上方 ,与 x 不订交 ,与 x 之的面1;②曲是峰的 ,它对于直 x=μ 称 ;③曲在 x=μ 达到峰;④当μ必定 ,曲的形状由σ确立 ,σ越小 ,曲越“瘦高”,表示体的分布越集中 ;σ越大 ,曲越“矮胖”,表示体的分布越分别 .(3)正体在三个特别区内取的概率①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974.5.失散型随机量的数学希望(或均 )与方差的观点是什么 ?一个失散型随机量X 全部可能取的是x1,x2, ⋯,x n些的概率分是 p1,p2, ⋯,p n.(1)数学希望 :称 E(X)=x 1p1+x2p2+ ⋯+x n p n失散型随机量 X 的均或数学希望 (称希望 ),它刻画了个失散型随机量取的均匀水平 .(2)方差 :称 D(X)= (x1-E(X))2p1+ (x2-E(X))2p2+ ⋯+ (x n-E(X))2p n失散型随机量 X 的方差 ,它反应了失散型随机量取相于希望的均匀波大小(或失散程度 ),D(X)的算平方根叫作失散型随机量X 的准差 .6.均与方差的性有哪些?(1)E(aX+b)=aE (X)+b(a,b 常数 ).(2)D(aX+b )=a2D(X)(a,b 常数 ).(3)两点分布与二分布的均、方差的公式①若 X 听从两点分布 ,E(X)=p ,D(X)=p (1-p).②若 X~B(n,p), E(X)=np,D(X)=np(1-p).几何概型、古典概型、互相独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的点 ,几何概型主要以客形式考,求解的关在于找准度(度或面 );互相独立事件、互斥事件常作解答的一部分考,也是一步求分布列、希望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,正确判断概率模型,恰当选择概率公式 .近几年的高考数学试题对统计事例的考察一般不独自命题 ,而是与概率、随机变量的数学希望交汇命题 ,高考对此类题目的要求是能依据给出的或经过统计图表给出的有关数据求线性回归方程,认识独立性查验的思想方法 ,会判断两个分类变量能否有关.从近几年高考情况来看,该类专题在高考取占的比率大概为15%,以简单题、中档题为主,考察题型分选择题、填空题和解答题 .一、选择题、填空题的命题特色(一)考察摆列、组合的应用 ,以考察两个计数原理和摆列、组合的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.1.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T15 改编 )从 2 名女生 ,4 名男生中选 3 人参加科技竞赛 ,恰有 1 名女生当选 ,则不一样的选法共有种.(用数字填写答案)分析 ?由题意可得有1名女生,2名男生,则有 C = 12 种不一样的选法 .答案?122.(2018 ·浙江卷·T16 改编 )从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字 ,从 2,4,6 中任取 2 个数字,一共能够构成个没有重复数字的四位数.(用数字作答 )分析 ?一共能够构成 A = 720 个没有重复数字的四位数.答案 ?7203.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T6 改编 )安排 5 名志愿者达成 4 项工作 ,每项工作只需由1 人达成 ,则不一样的安排方式共有 ().A.120 种B.180 种C.240 种D.360 种分析 ?由题意可得 ,5 人中选出 4 人达成工作 ,剩下 1 人没有工作 ,故不同的安排方式有 A = 120(种).答案 ?A(二)考察二项式定理的应用,以考察运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.4.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T5 改编 )的睁开式中x的系数为().A.10B.20C.40D.80分析 ?由题可得 Tr+ 1C25-rC·r ·10-3r, (x ) 2 x令 10-3r= 1,得 r= 3.所以·2r=·32 =80.答案 ?D5.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T6 改编 )(1+x )6的睁开式中 x4的系数为 ().A.15B.16C.30D.35分析 ?由于 (1+x)6睁开式的通项为 T r 所以(1+x)6的展r+ 1C x ,开式中含 x4的项为 1C x4和C x6.由于+= 16,所以(1+x)6的睁开式中x4的系数为16.答案 ?B(三)考察随机事件的概率 ,以考察随机事件、互斥事件与对峙事件的概率为主 ,难度中等 ,常与事件的频次交汇考察.本节内容在高考取三种题型都有可能出现 ,随机事件的频次与概率题目常常以解答题的形式出现,互斥事件、对峙事件的观点及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.6.(2018 ·全国Ⅲ卷·文 T5 改编 )若某集体中的成员只用现金支付的概率为0.25,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为().分析 ? 设事件 A 为“不用现金支付”,事件 B 为“既用现金支付也用非现金支付”,事件 C 为“只用现金支付”,则 P(A)= 1-P(B)-P(C)= 1-0.15-0.25= 0.6,故选 C.答案?C(四)考察古典概型 ,全国卷对古典概型每年都会考察 ,难度中等 ,主要考察实质背景的可能事件 ,往常与互斥事件、对峙事件一同考察 .在高考取独自命题时 ,往常以选择题、填空题形式出现 ,属于中低档题 .7.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T8 改编 )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界当先的成就 .哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数能够表示为两个素数的和”,如30= 7+ 23.在不超出 30 的素数中 ,随机选用 2 个不一样的数 ,其和等于26 的概率是 ().A. B. C. D.分析 ?不超出30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选用 2 个不一样的数 ,共有 C= 45 种取法 .由于 3+ 23= 7+ 19= 26,所以随机选用2 个不一样的数 ,其和等于 26 的有 2 种取法 ,故所求概率为.答案?D8.(2018 ·江苏卷·T6 改编 )某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 ,现从中任选 2 名学生去参加活动 ,则恰巧选中 1 名男生和 1 名女生的概率为.分析 ?从5名学生中任选2 名学生 ,共有 C = 10 种选法 ,此中恰巧选中1 名男生和 1 名女生的选法有 C C= 6 种,所以所求概率为= .答案 ?(五)考察几何概型 ,难度较大 ,以理解几何概型的观点、概率公式为主,会求一些简单的几何概型的概率 ,常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考察 ,在高考取多以选择题、填空题的形式考察 ,难度中等 .9.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T10 改编 )折纸艺术是我国古代留下来可贵的民间艺术,拥有很高的审美价值和应用价值.以下图的是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形 ,而后在四个极点处罚别嵌入半径为正方形边长一半的扇形 .向图中随机投入一个质点 ,则质点落在暗影部分的概率 P1与质点落在正方形内圆形地区外面的概率P2的大小关系是 ().A.P1>P 2B.P1<P 2C.P1=P 2D.不可以确立分析 ?将正方形内圆形地区外面的四个角进行沿直角边重合组合,恰好获得的图形就是暗影部分图形,所以暗影部分地区的面积等于正方形内圆形地区外面的面积 ,故 P1=P 2.答案?C10.(2016 ·全国Ⅱ卷·文 T8 改编 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 ,红灯连续时间为40 秒.若一名行人到达该路口碰到红灯,则起码需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为().A. B. C. D.分析 ?起码需要等候10秒才出现绿灯的概率为= ,应选 A .答案?A(六)考察随机抽样 ,在抽样方法的考察中,系统抽样、分层抽样是考察的要点 ,题型主要以选择题和填空题为主,属于中低档题 .11.(2017 ·江苏卷·T3 改编 )某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品,产量分别为 200、400、300、100 件,为查验产品的质量 ,现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60 件进行查验 ,则应从甲种型号的产品中抽取件.分析 ?∵==,∴应从甲种型号的产品中抽取×200= 12(件 ).答案?12(七)用样本预计整体 ,主要考察均匀数、方差等的计算以及茎叶图、频次分布直方图的简单应用 .题型以选择题和填空题为主 ,出现解答题时常常与概率相联合 ,属于中档题 .12.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T3 改编 )某地域经过一年的新乡村建设,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况,统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入构成比率,获得以下饼图 :则以下选项中不正确的选项是().A.新乡村建设后 ,栽种收入增添B.新乡村建设后 ,其余收入增添了一倍以上C.新乡村建设后 ,养殖收入没有增添D.新乡村建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半分析 ? 由题干可知 ,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为方即可设建设前后的经济收入分别为 100,200(单位省去 ).A 中,栽种收入前后分别为60,74,收入增添了 ,A 正确 ;B 中,其余收入前后分别为 4,10,增添了一倍以上 ,B 正确 ;C 中,养殖收入前后分别为 30,60,收入增添了一倍 ,C 错误 ;D 中,建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和为(30+ 28)×2= 116> 100,D 正确 .应选 C.答案?C13.(2017 ·全国Ⅲ卷·理 T3)某城市为认识旅客人数的变化规律 ,提升旅行服务质量 ,采集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月时期月招待旅客量 (单位 :万人)的数据 ,绘制了下边的折线图 .依据该折线图 ,以下结论错误的选项是 ().A.月招待旅客量逐月增添B.年招待旅客量逐年增添C.各年的月招待旅客量顶峰期大概在7,8 月D.各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对于7 月至 12 月,颠簸性更小 ,变化比较安稳分析 ? 对于选项 A, 由图易知 ,月招待旅客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份 ,故 A 错误 ;对于选项 B,察看折线图的变化趋向可知 ,年招待旅客量逐年增添 ,故 B 正确 ;对于选项 C,D,由图可知明显正确 .答案?A(八)考察失散型随机变量分布列、超几何分布、条件概率、正态分布、数学希望与方差 ,求失散型随机变量的数学希望是全国卷高考要点考察的内容,在选择题、填空题中有时会出现.主要考察失散型随机变量的分布列、数学希望、正态分布等 .14.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T8 改编 )某集体中的每位成员使用挪动支付的概率都为 p,各成员的支付方式互相独立,设 X 为该集体的 10 位成员中使用挪动支付的人数 ,D(X)= 2.1,P(X= 4)<P (X= 6),则 p= ().分析 ? 由于 X~B(n,p),所以 D(X)=np(1-p)= 2.1,所以 p= 0.3 或 p=0.7.由于 P(X= 4)=p4(1-p)6<P (X= 6)=p6(1-p)4,所以 (1-p)2 2可得p> 0.5.故p=0.7.<p ,答案?A15.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T13 改编 )一批产品的二等品率为 0.08,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则D(X)=.分析 ?有放回地抽取,是一个二项分布模型, 此中p=0.08,n=100,则D(X)=np(1-p)= 100×0.08×0.92= 7.36.答案 ?7.36二、解答题的命题特色概率与统计综合试题的题干阅读量大,简单造成考生在数学模型转变过程中失误,得分率不高 .这些试题主要考察古典概型,用样本预计整体,利用回归方程进行展望 ,独立性查验的应用 ,失散型随机变量的分布列和数学希望 ,正分布等 .概率、随机量的数学希望交命,高考此目的要求是能依据出的或通表出的有关数据求性回方程.1.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T18)下是某地域 2000 年至 2016 年境基施投y(位 :元)的折.了地域 2018 年的境基施投 ,成立了 y 与量 t 的两个性回模型 .依据2000 年至 2016 年的数据 (量 t 的挨次1,2, ⋯ ,17)成立模型①: =- 30.4+ 13.5t;依据 2010年至 2016 年的数据 (量t 的挨次 1,2, ⋯,7)成立模型②: = 99+ 17.5t.(1)分利用两个模型 ,求地域 2018 年的境基施投的.(2)你用哪个模型获得的更靠谱?并明原因 .分析 ? (1)利用模型①,从 2000 年开始算起 ,2018 年即 t= 19,所以地域2018 年的境基施投的=- 30.4+ 13.5×19= 226.1(元).利用模型②,从 2010 年开始算起 ,2018 年即 t= 9,所以地域 2018 年的境基施投的= 99+ 17.5×9= 256.5(元).(2)利用模型②获得的更靠谱 .原因以下 :(i) 从折能够看出 ,2000年至 2016 年的数据的点没有随机分布在直线 y=- 30.4+ 13.5t 上下 ,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据成立的线性模型①不可以很好地描绘环境基础设备投资额的变化趋向.2010 年相对 2009 年的环境基础设备投资额有明显增添,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的邻近 ,这说明从 2010 年开始环境基础设备投资额的变化规律呈线性增添趋向,利用2010年至2016年的数据成立的线性模型= 99+ 17.5t能够,所以利用模型②较好地描绘2010年此后的环境基础设备投资额的变化趋向获得的展望值更靠谱.(ii)从计算结果看 ,相对于 2016 年的环境基础设备投资额 220 亿元 ,由模型①获得的展望值 226.1 亿元的增幅明显偏低 ,而利用模型②获得的展望值的增幅比较合理 ,说明利用模型②获得的展望值更靠谱 .2.(2018 ·全国Ⅰ卷,理 T20)某工厂的某种产品成箱包装 ,每箱 200 件,每一箱产品在交托用户以前要对产品作查验,如查验出不合格品,则改换为合格品 .查验时 ,先从这箱产品中任取 20 件作查验 ,再依据查验结果断定能否对余下的全部产品作查验 .设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p< 1),且各件产品能否为不合格品互相独立.(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p),求 f(p)的最大值点 p0.(2)现对一箱产品查验了20 件,结果恰有 2 件不合格品 ,以(1)中确立的 p0作为p 的值 .已知每件产品的查验花费为 2 元,如有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25 元的补偿花费 .(i)若不对该箱余下的产品作查验 ,这一箱产品的查验花费与补偿花费的和记为 X,求 E(X).(ii)以查验花费与补偿花费和的希望值为决议依照 ,能否该对这箱余下的全部产品作查验 ?分析 ? (1)由题意可知 ,独立重复试验切合二项分布 ,20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)C p2(1-p)18= 190p2(1-p)18,对上式求导得 f'(p)= [190p2(1-p)18]'=190[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=190p(1-p)17[2(1-p)-18p]=380p(1-p)17(1-10p).当 f'(p)= 0 时,有 p(1-p)17由适当∈时(1-10p)= 0,0<p< 1,p,f'(p)> 0,f(p)单一递加 ;当 p∈时,f'(p)< 0,f(p)单一递减.故 f(p)max=f (p0)=f,即 p0= .(2)(i) 由题意 ,节余未作查验的产品有180件,此中 Y表示不合格品的件数 ,其听从二项分布Y~B.故 E(Y)= 180× = 18.又 X= 40+ 25Y,故 E(X)=E (40+ 25Y)= 40+ 25×18= 490(元).(ii)若对这箱余下的全部产品作查验 ,则需要的查验费为 200×2= 400(元).由于 E(X)= 490> 400,所以需要对这箱余下的全部产品作查验.3.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T18)某工厂为提升生产效率 ,睁开技术创新活动 ,提出了达成某项生产任务的两种新的生产方式 .为比较两种生产方式的效率,选用40 名工人 ,将他们随机分红两组 ,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式 , 第二组工人用第二种生产方式 .依据工人达成生产任务的工作时间 (单位 :min) 绘制了以下茎叶图 :(1)依据茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高?并说明原因 .(2)求 40 名工人达成生产任务所需时间的中位数 m,并将达成生产任务所需时间超出 m 和不超出 m 的工人数填入下边的列联表 :不超出超出 mm第一种生产方式第二种生产方式(3)依据 (2)中的列联表 ,可否有 99%的掌握以为两种生产方式的效率有差别?附:K2=,P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828分析 ? (1)第二种生产方式的效率更高.原因以下 :(i)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间起码 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间至多 79 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间高于 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间低于80 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多 ,对于茎 8 大概呈对称分布 ;用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多 ,对于茎 7 大概呈对称分布 .又用两种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布的区间同样 ,故能够以为用第二种生产方式达成生产任务所需的时间比用第一种生产方式达成生产任务所需的时间更少 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(2)由茎叶图知 m== 80.列联表以下 :超出 m不超出第一种生产方m 155式第二种生产方515式(3)因 K2的 k== 10> 6.635,所以有 99%的掌握两种生方式的效率有差别.4.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T19)了控某种部件的一条生的生程,每日从生上随机抽取16 个部件 ,并量其尺寸 (位 :cm).依据期生 ,能够条生正常状下生的部件的尺寸听从正分布2N(μ,σ).(1) 假生状正常,X 表示一天内抽取的16 个部件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件数,求P(X≥1)及X 的数学希望.(2)一天内抽部件中 ,假如出了尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的部件 ,就条生在一天的生程可能出了异样状况 ,需当日的生程行 .(i)明上述控生程方法的合理性 .(ii)下边是在一天内抽取的 16 个部件的尺寸 :9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95算得 =xi= 9.97,s==≈0 .212,此中 x i抽取的第 i 个部件的尺寸 ,i= 1,2,⋯,16.用本均匀数作μ的估 ,用本准差 s 作σ的估 ,利用估判断能否需当日的生程行?剔除 ( -3, + 3 )以外的数据 ,用剩下的数据估μ和σ(精准到 0.01).2附:若随机量Z服从正分布N(μ,σ),P(μ-3σ<Z<μ+3σ)= 0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.分析 ? (1)由题可知抽取的一个部件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)以内的概率为 0.9974,进而部件的尺寸落在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率为0.0026,故 X~B(16,0.0026).所以 P(X≥1)= 1-P(X= 0)= 1-0.997416≈1-0.9592=0.0408, X 的数学希望 E(X)= 16×0.0026= 0.0416.(2)(i) 假如生产状态正常 ,一个部件尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.0026,一天内抽取的16 个部件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件的概率只有0.0408,发生的概率很小,所以一旦发生这种状况,就有原因以为这条生产线在这天的生产过程可能出现了异样状况,需对当日的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的 .(ii) 由 = 9.97,s≈0.212,得μ的预计值为 = 9.97,σ的预计值为 = 0.212,由样本数据能够看出有一个部件的尺寸在 ( -3 , + 3 )以外 ,所以需对当日的生产过程进行检查 .剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的均匀数为×(16×9.97-9.22)= 10.02,所以μ的预计值为 10.02.= 16×0.2122+ 16×9.972≈ 1591.134,剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×2-15×10.022) ≈0.008,所以σ的预计值为≈0.09.1.样本数据(1)众数、中位数及均匀数都是描绘一组数据集中趋向的量 ,均匀数是最重要的量 ,与每个样本数占有关 ,这是中位数、众数所不拥有的性质 .(2)标准差、方差描绘了一组数据环绕均匀数颠簸的大小.标准差、方差越大 ,数据的失散程度就越大.(3)茎叶图、频次分布表和频次分布直方图都是用图表直观描绘样本数据的分布规律的 .2.频次分布直方图(1)用样本预计整体是统计的基本思想,而利用频次分布表和频次分布直方图来预计整体则是用样本的频次分布去预计整体分布的两种主要方法 .频次分布表在数目表示上比较正确 ,频次分布直方图比较直观 .(2)频次分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频次之和等于1;在频次分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频次,所以全部小长方形的面积的和等于 1;均匀数是频次分布直方图各个小矩形的面积×底边中点的横坐标之和 .3.摆列与组合(1)①解决“在”与“不在”的有限制条件的摆列问题 ,既能够从元素下手 ,也能够从地点下手 ,原则是谁“特别”谁优先 .不论是从元素考虑仍是从地点考虑 , 都要贯彻究竟 ,不可以既考虑元素又考虑地点 .②解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其余元素一同摆列,同时要注意捆绑元素的内部摆列 .③解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的摆列,再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中间.④对于定序问题,可先不考虑次序限制,摆列后 ,再除以定序元素的全摆列.⑤若某些问题从正面考虑比较复杂 ,可从其反面下手 ,即采纳“间接法”.(2)组合问题的限制条件主要表此刻拿出元素中“含”或“不含”某些元素,或许“起码”或“最多”含有几个元素 :①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素拿出 ,再由此外元素补足 ; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选用 .②“起码”或“最多”含有几个元素的题型 .考虑逆向思想 ,用间接法办理 .(3)分组分派问题是摆列、组合问题的综合运用,解决这种问题的一个基本指导思想就是先分组后分派 .对于分组问题,有整体均分、部分均分和不平分三种 ,不论分红几组 ,都应注意只需有一些组中元素的个数相等 ,就存在均分现象 .4.随机变量的均值与方差一般计算步骤 :(1)理解 X 的意义 ,写出 X 的全部可能取的值 .(2)求 X 取各个值的概率 ,写出分布列 .(3)依据分布列,由均值的定义求出均值 E(X),进一步由公式D(X)=(x i -E(X))2p i=E(X2)-(E(X))2求出 D(X).(4)以特别分布 (两点分布、二项分布、超几何分布 )为背景的均值与方差。
概率高考题(理科)
1某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望E ξ 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么.21625)65(61)()()()(,61)()()(2=⋅==⋅⋅===C P B P A P C B A P C P B P A P答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3。
的分布列为所以中奖人数ξξ.3,2,1,0,)65()61()(343===-k C k P k k ξ 0 1 23P2161257225725 2161.21216137252722512161250=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE2如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．）解：记A 1表示事件，电流能通过.4,3,2,1,1=I T A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过。
（I ）321321,,,A A A A A A A ⋅⋅=相互独立，.)1()()()()()(3321321p A P A P A P A A A P A P -==⋅⋅=又,001.0999.01()1)(=-=-=P A P 故.9.0,001.0)1(2==-p p（III ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。
选修2-3(理科)第二章概率
【本讲教育信息】一. 教学内容：只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和．即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 两点分布：随机变量X 的分布列为：二、超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m n mM N MnC C P X m --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布． （无影响）．（1）相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．（2）相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）推广：这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 ()()()()P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．例3. 某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有P （ξ=7）＝0.09，P （ξ=8）＝0.28，P （ξ=9）＝0.29，P （ξ=10）＝0.22.所求的概率为 P （ξ≥7）＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88例4. 在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同．游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可将此问题归结为超几何分布模型，由上述公式得41解：分别用A ，B 记事件{甲下雨}和{乙下雨}．按题意有，()20%P A =，()18%P B =，()12%P AB =()122(|)()183P AB P A B P B ===【模拟试题】（答题时间：35分钟）1. 在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（）A. 320B.15C.25D.9202. 从甲口袋内摸出1个白球的概率是1，从乙口袋内摸出1个白球的概率是1，从两个品数ξ的概率分布．【试题答案】1. C2. C3. B 4 D 5. C6. 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点解：问题 ① 是在条件“前面(1)k -个人没摸到”下的条件概率. ②是无条件概率. 记i A ={第i 个人摸到}，则 ① 的条件是A A A k 121 -. 在压缩样本空间中由古典概型。
高二理数《概率统计1》
高二理科数学《概率》练习11.已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.2.已知射手甲射击一次，击中目标的概率是23．（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；（2）假设甲连续2次未击中．．．目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率．3.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列4.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为34，且各次射击的结果互不影响． （1）求射手在3次射击中，3次都击中目标的概率（用数字作答）； （2）求射手在3次射击中，恰有两次连续击中目标的概率（用数字作答）； （3）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）．5.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：23123456f(x)=x,f(x)=x,f(x)=x,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2.（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列6.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大.（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ.0.01频率组距7.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率.8.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在 下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12．（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ．高二理科数学《概率》练习1答案1.解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件， （1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A B +，由互斥事件的概率加法公式，()()()0.120.10.22P A B P A P B +=+=+=． 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分 （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D ，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为A C D ++， ∴()()()()0.120.220.560.9P A C D P A P C P D ++=++=++=．答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分 2.解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A ，则()32352180C 33243P A ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为24380．………………………………6分 （2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C ，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则()2221222212116C C 33333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为16243．……………………………12分 方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C ，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则()2222121161C 333243P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为16243．……………………………12分 3.（1）记“该生考上大学”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则5415)32()32)(31()(+=C A P2分 243131])32()32)(31([1)(5415=+⋅-=∴C A P 4分 答：该生考上大学的概率为2431315分 （2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，6分,91)31()2(2===ξP274313231)3(12=⋅⋅⋅==C P ξ 27431)32(31)4(213=⋅⋅⋅==C P ξ 8148)32()32(31)5(4314=+⋅⋅==C P ξ 10分故ξ的分布列为：4.解: （1）记事件“射手在3次射击中，3次都击中目标”为事件A ， 3327()()464P A ==；………………………………………4分 （2）记事件“射手在3次射击中，恰有两次连续击中目标”为事件B ， 2319()2()4432P B =⋅⋅=；………………………………………8分 （3）记事件“射手第3次击中目标时，恰好射击了4次”为事件C ， 31381()3()44256P C =⋅⋅=………………………………………12分 5. 解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==C C A P ………………………………………………………………4分（2）ξ可取1，2，3，4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分 故ξ的分布列为6.解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得：23,52033(1)(1),540xy x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12. ┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因为3(0)40P ξ== 3(3)20P ξ==2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=7.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.03f =-+*++*=……2分直方图如右所示……………………………….4分（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以，抽样学生成绩的合格率是75%......................................6分 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅………………….8分＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝71估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分（Ⅲ）[70,80)，[80,90) ，[90,100]”的人数是18,15,3。
高中理科数学解题方法篇(概率)
如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：
总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于 ，即 ．
例3．求：连续掷一枚均匀的硬币，出现一正一反的概率．
解：本题采用树状图分析法：
由树状图知共有4种可能，出现“一正一反”的有两种，概率为 ，即 ．
解：一组体育彩票等分成100万份，其中特等奖1份，一等奖是10份，二等奖是10份，三等奖100份，四等奖是1000份，五等奖是10万份，因此对于小王来说，有
．
； ； ；
； ； ．
二、列表法
例2．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？
（1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。
解析甲、乙依次抽一题的结果有 （个）
（1）甲抽到听力题、乙抽到判断结果有 （个），故所求概率为 ；
（2）（用间接法）甲、乙两名学生都抽不到听力题的结果有 ，其概率为 ，从而甲乙两名学生至少有一人抽到听力题的概率为 。
二、互斥事件概率的求解策略
注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立.
一般地，记A的对立事件为 .由于A与 具有互补性，所以 .这是简化概率计算的基本公式.
【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?
【解析】我们用a、b分别记八个队中的两个强队.
令C=“a队与b队分在同一组”，
（2）若一名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.2，若两名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.6，若三名飞行员击中，则敌机必然坠毁，求敌机坠毁的概率。
理科数学 概率知识点总结
理科数学概率知识点总结本文将对概率论中的一些重要知识点进行概括总结，包括概率的基本概念、概率分布、随机变量、大数定律和中心极限定理等内容。
一、概率的基本概念1. 随机试验和样本空间随机试验是指在一定条件下，可能出现多种结果，且无法事先确定哪种结果会出现的一种实验。
样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，用S来表示。
样本空间中的每一个元素都代表着一种可能的结果。
例如，抛硬币的结果可以是正面（H）或反面（T），则样本空间可以表示为S={H,T}。
2. 事件和概率事件是样本空间的子集，是一种可能发生的结果。
概率是事件发生的可能性大小的度量，用P(A)来表示，其中A为事件。
概率的计算方式有经典概率、几何概率和统计概率三种。
概率是介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性大小。
概率越接近1，表示事件发生的可能性越大，概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。
3. 概率的性质（1）非负性：对于任何事件A来说，其概率P(A)都是非负数，即P(A)≥0。
（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(S)=1。
（3）可列可加性：对于任意两个互不相容的事件A和B来说，它们的概率之和等于它们的并集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
二、概率分布1. 离散型随机变量离散型随机变量是取有限个或可列个数值的随机变量。
它的概率分布可以用概率函数来表示。
概率函数是指随机变量取各个值的概率，用P(X=x)来表示，其中X为随机变量，x为取值。
2. 连续型随机变量连续型随机变量是在某个区间内取值的随机变量，它的概率分布可以用概率密度函数来表示。
概率密度函数是描述随机变量在某一点处取值的概率与该点附近的概率密度之积的一个函数，用f(x)来表示。
3. 期望和方差期望是描述随机变量平均取值的概念，用E(X)来表示。
方差是描述随机变量取值的离散程度的概念，用Var(X)来表示。
期望和方差是概率分布的两个重要的特征参数，它们可以帮助我们对概率分布进行描述和分析。
高中理科概率知识点总结
高中理科概率知识点总结一、概率的基本概念1. 随机现象随机现象是指每次试验时结果不确定的现象。
比如抛硬币、掷骰子、抽奖等都属于随机现象。
在实际生活中，随机现象无处不在。
2. 样本空间样本空间是指随机试验的所有可能的结果构成的集合。
以抛一枚硬币为例，其样本空间为{正面，反面}。
在概率论中，样本空间用Ω表示。
3. 事件事件是样本空间的一个子集，是对随机现象的一个描述。
比如抛一枚硬币，事件A描述出现正面，事件B描述出现反面。
4. 概率概率是描述随机现象发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，且和为1。
5. 等可能事件如果事件的几率相同，那么这些事件是等可能事件。
比如抛一枚硬币出现正反面的概率为1/2，表示两个事件是等可能事件。
6. 独立事件如果事件A的发生与事件B的发生相互不影响，那么这两个事件是独立事件。
比如掷两个骰子，第一个骰子出现1的概率为1/6，第二个骰子出现6的概率也为1/6，那么这两个事件是独立事件。
二、概率的计算1. 加法定理对于事件A和事件B来说，它们的和事件是指A或B发生的情况。
如果A和B是互不相容的事件，即A∩B=Φ，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
如果A和B不是互不相容的事件，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2. 乘法定理对于事件A和事件B来说，它们的乘事件是指A和B同时发生的情况。
如果A和B是独立事件，那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。
如果A和B不是独立事件，那么P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
3. 条件概率在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B条件下发生的概率，记作P(A|B)。
在事件B已经发生的条件下，事件A的概率等于A与B同时发生的概率除以B发生的概率。
4. 全概率公式如果A1，A2，A3...An构成对样本空间Ω的一个完备事件组，则对任意事件B有P(B)=P(A1)×P(B|A1)+P(A2)×P(B|A2)+P(A3)×P(B|A3)...+P(An)×P(B|An)。
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() 魏桥中学2012级高三数学必修三导学案NO. 44编制人：赵程程备课组长签字：刘美包科领导签字：李秀振时间：班级：小组：姓名：评价：
Microsoft 概率
【复习目标】
知识与技能：
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别,了解两个互斥事件的概率加法公式.
2．理解古典概型及其概率计算公式,会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
3．了解几何概型的意义
情感态度与价值观：
学生激情投入，增强学生的合作意识。
【使用说明及方法指导】
1、用15-20分钟的时间阅读教材必修四相关内容；
2、限时完成导学案的探究部分，书写规范，对于部分题目作为选作；
3、找出自己的疑惑和上课需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【基础知识梳理】
知识树：
知识回顾
辨析感悟
(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．( )
(2)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．( )
(3)(2014·广州调研C项)“下周六会下雨”是随机事件．( )
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
(5)(2014·郑州调研B项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，“抽取黑桃”
与“抽取方块”是对立事件．( )
(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(7)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率为
1
3.( )
(8)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.( )
(9)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(10)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(11)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，
则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
1
3.( )
(13)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为
2
2的概率是0.2.( )
(13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( )
(14)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相
等．( )
(15)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(16)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(17)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝
1
9.( )
(18)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为
1
3.( )
【我的疑问】
【重点知识提升】
探究点一：互斥事件、对立事件的概率
【例1】1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，
设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )．
A ．A 与
B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件
C ．B 与C 是互斥而非对立事件
D ．B 与C 是对立事件
2.(2014·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？
探究点二：古典概型
【例2】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．
探究点三：几何概型
【例3】1.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6
，则m ＝________.
2.设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤2，0≤y ≤2
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是( )．
3. 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
【总结与反思】
1、知识的易错点：
2、数学思想方法：
【基础训练】
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率( )． A.15 B.25 C.35 D.45
2．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是 ( )．
A.14
B.13
C.1
2
D.2
3
3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为 ( )．
A.14
B.12
C.π4
D ．π
4．(2012·辽宁卷)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为 ( )．
A.
16 B.13 C.23
D.4
5
5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为
( )．
A.
4π81 B.81－4π81 C.127 D.8
27
6．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，
则劣弧的长度小于1的概率为________．
7．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．
8．(2014·成都模拟)在区间[]
－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的概率为________．
9．在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？
10．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．。