9 第9讲高阶导数
导数
导数导数导数------------------------------------------------------------- 1 导数定义 --------------------------------------------------- 3 导数的起源 ------------------------------------------------ 4 导数的几何意义 ------------------------------------------ 4 微积分 ------------------------------------------------------ 5 求导数的方法 --------------------------------------------- 6 导数公式及证明 ------------------------------------------ 7 单调性 ---------------------------------------------------- 10 函数的极值 ---------------------------------------------- 10 求极值 ---------------------------------------------------- 10 函数的最值 ---------------------------------------------- 10 导数应用 ------------------------------------------------- 11 高阶导数 ------------------------------------------------- 11创建公式 ------------------------------------------------- 12导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
高阶导数
y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4
一般地 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n (1)n 1 (n 1)! (1 x)n
k u (n k )v(k ) (uv)(n) Cn k 0 n
这一公式称为莱布尼茨公式
5. yx 2e2x 求y(20) 解: 设ue2x vx2 则 (u)(k)2ke2x (k1 2 20) v2x v2 (v)(k)0 (k3 4 20) 代入莱布尼茨公式 得
解:
y
(n)
n(n 1)(n 2) 3 2 1 a0 n!a0
y
( n 1 )
0
4. 导出函数积的 n 阶导数公式. (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 类似地可以得到:
根据高阶导数的定义, 求函数的高阶 导数就是将函数逐次求导, 因此, 前面介 绍的导数运算法则与导数基本公式, 仍然 适用于高阶导数的计算． 例1 y=axb 求y 解: ya y0 例2 ssinwt 求s 解: swcoswt sw 2sinwt
第四节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
引例：变速直线运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度
加速度 即 a ( s)
即 v s
一、高阶导数
定义. 如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x) 仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 函数 f ( x) 的二阶导数, 记作 2 2 d y d f (x) y，f (x) ， 2 或 2 dx dx 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地, (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 3y 4y ny d d d y y (4) y (n) 或 3 4 n dx dx dx
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
高等数学高阶导数
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
高阶导数详细讲解
y sin x sin( x 2 ) 2
y cosx sin( x 3 ) 2
y(4) sin x sin( x 4 ) 2
y(n) sin( x n )
2 同理可得 (cos x)(n) cos( x n )
2
(4) y ax
(ax )(n) ax (ln a)n
特别地 : (ex )(n) ex
由复合函数求导法则有:
(1)(eaxb )(n) a neaxb
(2) (sin(ax b))(n) an sin(ax b n )
2
(3) (cos(ax b))(n) an cos(ax b n )
§3.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t), 则瞬时速度为 v(t) s(t)
加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]. 定义
设f (x)可导,则称(f (x))为函数f (x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2n源自( x 3eax )(n)
C
k n
(
x
3
)(
k
)
(e
ax
)(
n
k
)
k0
C
0 n
x 3 (eax
)(n)
C
1 n
(
x3
)'(e ax
)(n1)
C
2 n
(
x3
)''(eax
)(n2)
C
3 n
(
x3
高阶导数的讲解
f ′( x ) − f ′( x 0 ) lim = f ′′ ( x 0 ), x → x0 x − x0
dx
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×
n 为正整数） 例１ 求幂函数 y = x（n为正整数）的各阶导数. 为正整数 的各阶导数.
解 由函数的求导公式得
y′ = nx n −1 ,
y′′ = n( n − 1) x n − 2 ,
x
x x
π
π
首页
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问题 解答 （1） （2）
试总结函数的高阶导数的常用求法？ 试总结函数的高阶导数的常用求法？ 利用基本高阶导数公式表； 利用基本高阶导数公式表； 应用莱布尼兹公式； 应用莱布尼兹公式；
应用数学归纳法求函数的n阶导数 阶导数； （3） 应用数学归纳法求函数的 阶导数； （4） 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 证明需求导数的函数满足一个微分方程， （5） 证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用 递推公式求高阶导数； 递推公式求高阶导数； 利用复数运算和欧拉公式，求函数的n阶导数 阶导数. （6） 利用复数运算和欧拉公式，求函数的 阶导数.
ห้องสมุดไป่ตู้首页
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的各阶导数． 例２ 求 y = sin x 和 y = cos x的各阶导数． 解 对于 y = sin x 由三角函数的求导公式得
), y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2 π y ( 4 ) = sin x = sin( x + 4 ⋅ π ), y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地， 一般地，可推得 π ( n) sin x = sin( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 类似地有 π ( n) cos x = cos( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 x 的各阶导数． 例３ 求 y = e 的各阶导数． (e x )′ = e x ,所以 解 因为
常见高阶求导公式
常见高阶求导公式高阶求导是微积分中的一个重要概念，它用于求解函数的多次导数。
在实际问题中，高阶求导常常用于解决曲线的变化趋势、极值点和拐点等问题。
本文将介绍一些常见的高阶求导公式，并通过实例说明其应用。
一、一阶导数公式一阶导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点上的斜率。
常见的一阶导数公式有：1.1 常数函数的导数公式对于常数函数 f(x) = C，其中 C 为常数，其导数为 f'(x) = 0。
1.2 幂函数的导数公式对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为常数，其导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
1.3 指数函数的导数公式对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a>0，其导数为 f'(x) = a^x * ln(a)。
1.4 对数函数的导数公式对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 为常数且 a>0，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、二阶导数公式二阶导数是函数变化率的变化率，它描述了函数在某一点上的曲率。
常见的二阶导数公式有：2.1 幂函数的二阶导数公式对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为常数，其二阶导数为 f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。
2.2 指数函数的二阶导数公式对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a>0，其二阶导数为f''(x) = a^x * ln^2(a)。
2.3 对数函数的二阶导数公式对于自然对数函数 f(x) = ln(x)，其二阶导数为 f''(x) = -1 / x^2。
三、高阶导数公式高阶导数是函数变化率的变化率的变化率，它描述了函数在某一点上的曲率的变化率。
常见的高阶导数公式有：3.1 幂函数的高阶导数公式对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为常数，其 k 阶导数为 f^(k)(x) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^(n-k)。
高阶导数的求法
高阶导数的求法课外阅读教育教学探讨l高阶导数的求法保定电力职业技术学院河北保定071051摘要求函数的高阶导数是学生学习高等数学的重点和难点本文介绍了几种常见的高阶导数的求法
高阶导数
x y
∴
y( x y) dy dx x( x y )
24
三、微分近似计算 应用近似公式,当 x 很小时,有
sin x x
e 1 x
x
tan x x
arc sin x x
（x为弧度）
ln 2 0.998 ln(1 0.002) 0.002
例10根据近似公式，计算下列各式的近似值：
1.05 1
2 4.01
n
1 1 x 1 x n
26
1 解： 1.05 1 0.05 1 (0.05) 1.025 2
解： 2 4.01 4(1 1 ) 2 1 1 ＝ 400 400
12
A ( x0 x) x 2 x0 x (x)
2 2 0
2
（1）
（2)
从上式可以看出,A可分成两部分: (1)—— x 的线性函数 , 是x 0 时， 与x 同阶的无穷小； （2）——是 x 0 时，与x高阶的无 穷小； 这表明，当x很小时，(2)的绝对值要比 (1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用 （2)作为 A 的近似值： A 2 x0 x
导数——一种比值的极限，即函数增量 与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的 极限. 微分——函数增量的近似值，即自变量 取得微小增量时函数值增量的近似值.
那么，导数与微分之间存在什么样的联 系呢？
15
函数 f (x)在(a, b) 内任意一点 x 处的微分记 为 d y，即
d y f (x) d x
物体运动的加速度为
a=s=-A co s t+
高阶导数的应用
高阶导数的应用导数是微积分中非常重要的概念之一，在很多实际问题中都有广泛的应用。
而高阶导数则是导数的进一步延伸，它们在物理学、工程学、经济学等领域中都有着重要的应用。
本文将介绍高阶导数的概念、性质和一些具体应用。
一、高阶导数的概念和性质高阶导数指的是对函数的导数再次进行求导的过程。
我们知道，函数的导数表示了函数在某一点的斜率，而高阶导数可以理解为斜率的斜率，即函数曲线的曲率。
具体地，对于函数f(x)，它的n阶导数表示为f^(n)(x)，读作「f的n阶导数」。
高阶导数具有一些重要的性质。
首先是线性性质，即对于可导函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有如下等式成立：(f(x) + g(x))^(n) = f^(n)(x) + g^(n)(x)(a*f(x))^(n) = a*f^(n)(x)其次是链式法则的扩展。
链式法则是一阶导数的重要性质，它表示了复合函数的导数与内外函数导数的乘积的关系。
同样地，链式法则可以推广到高阶导数。
对于复合函数y = f(g(x))，它的n阶导数可以表示为：(dy/dx)^(n) = (d^n*y)/(dx^n) = (d^n*f(g))/(d(g)^n)通过这些性质，我们可以在实际问题中应用高阶导数。
二、高阶导数的应用举例1. 高精度近似计算在一些科学计算中，我们经常需要对函数进行近似计算，例如在物理模拟和模型优化中。
高阶导数可以帮助我们设计更加精确的数值计算方法。
例如，在牛顿法求根算法中，我们利用一阶导数的信息来不断逼近函数的根。
而在使用牛顿法之外的方法时，我们可以通过使用高阶导数提供的额外信息来改进计算效率和求解稳定度。
2. 最优控制问题在控制论中，最优控制是一个重要的研究领域，它涉及如何在给定约束下寻找使某种性能指标最优化的算法和方法。
高阶导数在最优控制问题中有着广泛的应用。
以优化路径规划为例，我们希望找到一条路径，使得机器人、车辆或其他运动物体在给定起始点和终止点之间达到目标且满足自定义约束。
高阶导数十个常用公式推导
高阶导数十个常用公式推导高阶导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数变化的变化率。
在这篇文章中，我将介绍十个常用的高阶导数公式，并通过生动的语言和情感来解释它们的含义。
第一个公式是一阶导数的定义：函数f(x)在点x处的导数等于函数在该点的斜率。
这个定义可以用来计算函数在任意点的导数。
接下来是二阶导数的定义：函数f(x)的二阶导数是它的一阶导数的导数。
二阶导数描述了函数的曲率，可以用来判断函数的凹凸性。
第三个公式是高阶导数的线性性质：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的和、差和常数倍的导数也存在，并且等于对应的和、差和常数倍的导数。
四阶导数是函数的曲率的一种度量，它描述了函数的曲线相对于平均曲线的曲率的变化。
四阶导数可以用来判断函数的拐点。
第五个公式是高阶导数的乘积法则：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的乘积的高阶导数等于对应的乘积的高阶导数。
六阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。
六阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。
第七个公式是高阶导数的链式法则：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的复合函数的高阶导数等于对应的复合函数的高阶导数。
七阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。
七阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。
第九个公式是高阶导数的逆运算：如果函数f(x)的高阶导数存在且连续，那么它的原函数也存在，并且可以通过高阶导数的逆运算求得。
八阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。
八阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。
最后一个公式是高阶导数的微分方程：如果函数f(x)的高阶导数满足某个微分方程，那么函数f(x)就是这个微分方程的解。
通过以上十个常用的高阶导数公式，我们可以更深入地理解函数的变化规律和曲线的性质。
求导数的一般方法与高阶导数
sin 1
ex
cos
1
( 1 )
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
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五、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t)
加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)]. 定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
nn
fi( x) fk ( x); i1k 1 ki
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(u v) u v
(uv) uv uv
( u ) v
uv uv v2
推论 (Cu) Cu
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例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 . 解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求函数 y 3cos x lg x 的导数.
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例9 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a
解 y ( x a 2 x 2 ) (a 2 arcsin x)
(a 0)
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
a
1
1 a2 x2 x 0 2x a2
2
2 2 a2 x2 2
( x) 1 2x
(arcsin x) 1 1 x2
cos2 x sin2 x cos2 x
1 cos2
sec2 x
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得
(cot x) csc2 x.
第9页/共47页
例4 求 y sec x 的导数 .
高阶导数求导方法
高阶导数求导方法在微积分中，求导是一个非常重要的概念，它可以用来描述函数的变化率，以及函数图像的斜率。
当我们需要研究函数的变化趋势时，求导就成为了必不可少的工具。
而在实际问题中，我们有时候需要对高阶导数进行求导，以获取更加精确的信息。
本文将介绍高阶导数的求导方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
在学习高阶导数求导方法之前，我们首先需要了解什么是高阶导数。
简单来说，一个函数的高阶导数就是对其导数的导数。
例如，一个函数的一阶导数是其斜率，而其二阶导数就是一阶导数的导数，描述了函数斜率的变化率。
同样地，三阶导数描述了二阶导数的变化率，以此类推。
因此，高阶导数可以提供更加精细的函数信息，对于某些特定的问题，高阶导数的运用是非常重要的。
接下来，我们将介绍如何求解高阶导数的求导方法。
首先，我们需要明确一点，高阶导数的求导方法与一阶导数的求导方法是类似的，都是通过极限的方式来定义。
假设函数f(x)具有n阶导数，那么其n阶导数f^(n)(x)可以通过以下公式来表示：f^(n)(x) = lim(h→0) [f^(n-1)(x+h) f^(n-1)(x)] / h。
其中，f^(n-1)(x)表示函数f(x)的(n-1)阶导数。
通过这个公式，我们可以逐步地求解高阶导数，从而得到函数的更加精细的特征。
在实际应用中，求解高阶导数的求导方法并不复杂，但需要一定的技巧和耐心。
首先，我们需要明确函数的高阶导数定义，并根据定义逐步进行求解。
其次，我们需要注意使用链式法则、乘积法则等求导法则，来简化高阶导数的求解过程。
最后，我们需要进行严谨的计算和推导，确保结果的准确性和可靠性。
总之，高阶导数的求导方法是微积分中的重要内容，它可以为我们提供更加精细的函数特征，对于某些特定的问题具有重要的意义。
通过本文的介绍，相信读者对高阶导数的求导方法有了更加清晰的认识，希望能够在实际问题中更加灵活地运用这一概念。
《高阶导数的定义》课件
总结
高阶导数的作用与应用
高阶导数在数学分析、物理学、工程领域等有着广泛的应用，可以帮助我们更深入地了解函 数的性质。
总结高阶导数相关知识点
通过本次课件的学习，我们将总结掌握高阶导数的定义、计算方法和相关图像特性。
二阶导数的定义
函数的二阶导数定义
二阶导数是函数导数的导数， 描述函数曲线的凹凸性和曲率。
计算二阶导数的方法
可以通过对一阶导数再次求导， 或使用求导法则和链式法则进 行计算。
函数图像与二阶导数 图像的关系
二阶导数图像能够揭示函数曲 线的凹凸性、拐点和曲率变化。
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数连续求导的过程 中产生的导数序列，可以反映函 数的更多变化。
计算方法
高阶导数的计算可以通过逐次求 导、应用求导法则和链式法则来 实现。
函数图像与高阶导数图像 的关系
高阶导数图像能够揭示函数曲线 更复杂的凹凸性和曲率特性。实例分析 Nhomakorabea1
理解高阶导数概念的必要性
通过实例分析，我们来理解高阶导数的
通过实例来掌握高阶导数的计算
2
重要性和为什么需要深入研究它。
通过实际计算过程，我们将掌握高阶导 数的计算方法和技巧，提高我们的数学
高阶导数可以提供更深入的函数性质分析，揭示函数的更多细节和特性。
一阶导数的定义
1
函数的导数定义
一阶导数是函数在某一点的切线斜率，
计算一阶导数的方法
2
可以通过极限定义或方法求解。
常见的计算一阶导数的方法包括用极限
定义、使用求导法则和运用链式法则。
3
函数图像与一阶导数图像的关系
一阶导数图像能够反映函数上升、下降 和拐点的位置。
高阶导数与泰勒展开式——微积分知识要点
高阶导数与泰勒展开式——微积分知识要点微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化规律和求解各种问题。
在微积分中，高阶导数和泰勒展开式是两个重要的概念。
本文将介绍高阶导数和泰勒展开式的概念、求解方法和应用。
一、高阶导数导数是描述函数变化率的概念，它可以告诉我们函数在某一点的切线斜率。
一阶导数可以通过求取函数的极限来计算，而高阶导数则是对一阶导数再次求导的结果。
对于一个函数f(x)，它的一阶导数可以表示为f'(x)，二阶导数可以表示为f''(x)，依此类推，n阶导数可以表示为f^n(x)。
高阶导数可以帮助我们更加准确地描述函数的变化规律，尤其在曲线的拐点和极值点的分析中起到重要作用。
计算高阶导数的方法与一阶导数类似，可以使用基本的求导法则，如求导法则、链式法则和乘积法则等。
通过多次应用这些法则，我们可以逐步求解出函数的高阶导数。
二、泰勒展开式泰勒展开式是一种用多项式逼近函数的方法，它可以将一个函数在某一点附近展开成一个无穷级数。
泰勒展开式可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，也可以用于数值计算和近似求解问题。
设函数f(x)在点x=a处存在n阶导数，那么它的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，f(a)、f'(a)、f''(a)等分别表示函数在点x=a处的各阶导数值，(x-a)^n表示(x-a)的n次方，n!表示n的阶乘，R_n(x)表示余项，它表示了泰勒展开式与原函数之间的误差。
泰勒展开式的优点在于可以用多项式来近似表示函数，从而简化了函数的计算和分析过程。
当我们需要计算函数在某一点的值时，可以通过泰勒展开式来进行近似计算，从而得到较为准确的结果。
三、高阶导数与泰勒展开式的应用高阶导数和泰勒展开式在微积分中有广泛的应用。
高阶无穷导数公式
高阶无穷导数公式这是第一篇文章，分享高阶无穷导数的基本公式以及实用的数学思想。
在上一篇文章中我们讲到高阶无穷导数的四个定理：第一定理、第二公式、第三方法、第四结论。
其中第一个定理和第二个定理的导数都可以用来求解三阶导数。
第一个定理我们可以用第一个定理直接解出第三元导数。
这也就是我们说的三阶导数。
第三公式，第四结论就是我们通常用的第三种结果可以直接解出第四个定理。
而第四种结果就是我们通常所说的方法得到了我们通常所说的三个定理和第四结论这样一个结论之后才可以解出我们想要解出这个结论里面是不是有一个定理和一个命题或证明这些命题和证明是不是有一个定理和一条规则能够把我们的结论转化成具有某种形式或者一定形式所允许的形式就能够把这个结论解出来。
而第四个定理却没有这样复杂或者说我们通常所说的方法能让我们得到一些东西出来。
本文将着重介绍如何利用第四结论中所给出的四种结论来证明和判断这个结论有没有成立以及应用于哪种类型或哪一个性质（当然不能与我们通常所用的方法直接互证）而得到一个什么效果或者在什么条件下满足了一条什么样得线性关系（或者导数定义）是什么样等问题。
一、引理引理是一个非常重要的数学概念，有了引理我们就可以得出一些引理中所给出的结论。
引理我们知道了: n是m× n的连续积分，可以把 n转化成其他任意数量的积分。
引理中说 n>1的两个条件都满足: n<1, n>1。
引理中对任意m× m积分，都得到了一个积分的存在形式 a> b 的导数，这就是我们说的正负号矩阵，我们知道导数存在时正负号矩阵是一个等价矩阵。
在导数中正负号矩阵是等价的。
引理与正负号矩阵相比可以更好地描述一个导数的形式在这个引理中我们就能得到更好地描述这个形式的方法：正则化积分法。
正则化积分法是积分和积之间基本联系和区别方法，简单地说正则化积分法是积分和积之间必然发生作用的一种基本方法。
正则化积分法有两种方法：引理与正负号矩阵和积之间必用引理来说明其与积分之间必然发生作用。
高阶导数与微分
高阶导数与微分微积分是数学中的重要分支，其核心概念之一就是导数。
在导数的基础上，我们可以引入高阶导数的概念，进一步深化对函数变化率的研究。
本文将探讨高阶导数与微分的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数回顾在开始讨论高阶导数之前，我们先回顾一下导数的定义。
设函数f(x) 在某一点 a 处可导，那么 f(x) 在点 a 处的导数定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a)导数描述了函数在某一点上的变化率。
如果函数在所有点上都可导，我们可以得到一个新的函数 f'(x)，称为 f(x) 的一阶导函数。
二、高阶导数定义对导数概念的进一步推广就是高阶导数。
函数 f(x) 的二阶导数定义为：f''(x) = [f'(x)]'其中，[f'(x)]' 表示 f'(x) 的导数。
同样地，我们可以定义函数的三阶导数、四阶导数，以此类推。
三、高阶导数与微分之间的关系高阶导数与微分之间存在着密切的联系。
首先，我们知道导数可以看作是函数 f(x) 在某一点 a 处的线性近似。
那么，二阶导数 f''(x) 就是一阶导数 f'(x) 在点 x 处的线性近似。
具体而言，对于函数 f(x)，我们有以下等式成立：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2这个等式就是微分的定义。
它告诉我们，当 x 靠近 a 时，函数 f(x) 可以用它在点 a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似表示。
同样地，我们可以使用高阶导数来推广微分的定义。
假设函数 f(x) 具有 n 阶导数，则有：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2)f''(a)(x - a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x - a)^n 其中，f^(n)(a) 表示函数 f(x) 的 n 阶导数在点 a 处的值。
一、高阶导数及其运算法则(精)
例9： y x2，求d 2 y.
解：
当x是自变量时，dy 2xdx，d 2 y 2dx2.
当x不是自变量时，如设 x t 2，则 （1） y t 4，dy 4t3dt，d 2 y 12t 2dt 2.
（2） y x2，x t 2，dx 2tdt，d 2 x 2dt 2. dy 2xdx 2t 2 2tdt 4t3dt.
d 2 y 2dx2 2xd 2 x 2(2tdt)2 2t 2 2dt 2 12t 2dt 2.
而 d 2 y 2dx2 2(2tdt)2 8t 2dt 2 12t3dt 2.
例10. y xn e x，求d n y.
解： (e x )(n) e x , ( xn )(n) n!,
xn
n
y(n) Cnk (a x )(nk ) (ln x)(k ) k 0
n k 0
Cnk a x (ln
a)nk
(1) k 1 (k xk
1)!.
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
•
(1) 复合函数y f (u)，u g(x)的二阶导数 :
n次多项式P(x)的n阶导数是常数n!a0 , 其高于n阶的导数皆为零.
例2. y eax ,（a const).
(e x )(n) e x
y aeax , y a2eax , , y(n) aneax .
例3. y sin x, y cos x.
① y (sin x) cos x sin(x ),因为x不是自变量， xg (t )，dx
高 阶 导 数
1.2 高阶导数的计算
例 1 设 y (1 x2 ) arctan x ，求 y ．
解
y
2xarctan x
(1
x2
)
1
1 x2
2xarctan x 1，
y
2
arctan
x
x
1 1 x2
2 arctan
x
2x 1 x2
．
1.2 高阶导数的计算
例 2 设 y sin lnx ，求 y ．
dx3 dx4
dxn
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．为方便起见，函数 f (x) 本身称为零
阶导数，而 f (x) 称为一阶导数．
1.2 高阶导数的计算
由高阶导数的定义知， f (n) (x) 的计算并不需要新的求导法则，但须注意： （1）当 n 不太大时，可采取“逐次求导法”计算； （2）当 n 较大，或者 n 是任意自然数时，需采用从低阶找规律（其间出现的 数字运算暂不合并），并由数学归纳法证实，最后给出一般表达式，或借助于已 知结果推导．
(cos
x)(n)
cos
x
n
2
．
1.2 高阶导数的计算
例 5 求幂函数 y x 的 n 阶导数．
解 y x1 ， y ( 1)x2 ， y ( 1)( 2)x3 ， ， y(n) ( 1)( 2) ( n 1)xn ．
当 n 时，
(xn )(n) n!．
1.2 高阶导数的计算
1.2 高阶导数的计算
用数学归纳法可证明
(uv)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v n(n 1) (n k 1) u v (nk) (k) uv(n) ．
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第三章 一元函数的导数与微分
第四节 高阶导数
一. 高阶导数的概念 二. 高阶导数的运算例子
一. 高阶导数的概念
例
(sin x) cos x, (cos x) sin x,
是 sin x 连续求两次导数的结果. 称为函数 sin x 的二阶导数, 记为 (sin x) ((sin x)) (cos x) sin x
(1 k n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) n(n 1)(n 2) 3 2 1 n !
从而 , 当 k n 1 时, ( x n ) ( k ) 0 .
综上所述：
(x )
n (k )
n(n 1) (n k 1) x
(1) x 2 (1) 21 x 2 (1) 21 (2 1) ! x 2 y
解
y (1)( 2) x 3 (1)31 (3 1) ! x 3
设
y ( k ) (1) k 1 (k 1) ! x k
则
y ( k 1) (1) k 1 (k 1)!(k ) x k 1
y ' a ln a
x
解
) (a x ln a) a x (ln a) 2 y' ' ( y
y ( k ) a x (ln a) k
运用数学归纳法可得
(a )
x (n)
a (ln a)
x
n
(n Z )
例6
求 y = lnx 的各阶导数.
1 x 1 (1)11 (1 1) ! x 1 y x
sin x sin(x 4 ) 2
运用数学归纳法可以证得
(sin x)
(n)
sin( x n ) 2
(n Z )
类似地 , 可求得
(cosx)
(n)
cos( x n ) 2
(n Z )
三.高阶导数的运算法则 两个基本公式
设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) ( f ( x) g ( x)) ( n ) f ( n ) ( x) g ( n ) ( x) (2) 莱布尼兹公式
(n)
例8
求 y sin x , y cos x 的各阶导数 .
y sin x
y cos x sin(x 1 ) 2
y sin x sin(x 2 ) 2 y cos x sin(x 3 ) 2
y
( 4)
解
看 出 结 论 没 有 ？
nk
(1 k n ) ( k n 1)
( x n )(k ) 0
例3
多项式 Pn ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x a n
的高阶导数.
解
y' a0 nx n 1 a1 (n 1) x n 2 a n1
大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
例4
求 y = ex 的各阶导数.
解
ex y
( y) (e x ) e x y
(n) x y e
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(n N )
(e x ) ( n ) e x
例5
求 y = ax 的各阶导数.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第八讲 高阶导数
第三章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函 数的可导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本 公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、 参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、 二阶导数和微分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
y ' ' a0 n(n 1) x n 2 a1 (n 1)( n 2) x n3 2a n2
………………
y ( n ) a0 n!
y
( n 1)
y ( n 2) 0
对多项式而言,
每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ;
n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ;
(ln x)
(n)
(1) (n 1)! x
n 1
n
(n N )
即
1 n ( n 1) ÷ ( 1) n ! x x
(n)
(n N )
类似地, 有
1 (1) n n!a n (ax b) ( n1) ax b
n
n 1
d n y d d n1 y , n n 1 dx dxdx
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连
续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导
数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导,
n 阶导数的记号为 :
f ( n ) ( x),
f
(n)
d n f ( x) d n y y (n) , , . n n dx dx
( x)), y ( n ) ( y ( n1) ),
( x) ( f
( n 1)
d f ( x) d d f ( x) , n n 1 dx dx dx
n
解
( x n ) n x n 1 y
( y) (n x n1 ) n(n 1) x n2 y
y ( y) n(n 1)(n 2) x n3
…………………………
y ( k ) ( y ( k 1) ) n(n 1)(n 2) (n k 1) x nk
k ( f ( x) g ( x)) ( n ) Cn f ( n k ) ( x) g ( k ) ( x) k 0 n
n! 其中 , C . k !( n k ) !
k n
一般说来, 如果函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 仍然 可导, 则称 f ( x) 的导数为原来函数 f ( x) 的二 阶导数, 记为 f ( x) ( f ( x)).
推而广之:
设 f ( x) 的 n 1 阶导数存在, 它仍是 x 的函数,
若它可导, 则称它的导数为原来函数的 n 阶导数.
例7
1 求 y 的高阶导数 . x
解
1 y (ln x) x
y
( n)
注意这里的方法
((ln x))
(1)
(n)
(ln x)
( n 1)
( n 1)
( n 1) 1
[(n 1) 1] ! x
(1) n ! x
n
( n 1)y(来自)记为 f ( x) C n (I) 或 f ( x) C n .
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存
在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f ( x ) C ( I) 或 f ( x ) C .
二. 高阶导数的运算例子
例1
求幂函数 y x , n Z 的高阶导数.
(1)( k 1)1[( k 1) 1]! x ( k 1)
故由数学归纳法得
y n (ln x)( n ) (1) n1 (n 1)! x n (n N )
类似地, 有
(ln(ax b)) ( n ) (1) n 1 (n 1)! a n (ax b) n (n N )