第四节高阶导数-资料
高阶导数的公式.docx
高阶导数的公式高阶导数的公式是在微积分中用于求解函数的导数的一种工具，它可以帮助我们了解一个函数在某一点上的变化趋势。
设函数 f(x) 在点 x=a 处可导，那么函数 f(x) 在点 x=a 处的导数 f'(a) 表示函数在该点的变化率，它描述了函数曲线在该点的切线的斜率。
而高阶导数则是指对函数进行多次求导得到的导数。
举例来说，二阶导数表示对函数求导一次后再求导一次的结果，三阶导数表示对函数求导三次的结果，以此类推。
设函数 f(x) 所有阶数的导数存在，那么高阶导数的公式如下：一阶导数（一阶导数即为函数的导函数）：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h二阶导数（二阶导数即为函数的二阶导函数）：f''(x) = d/dx [f'(x)]三阶导数（三阶导数即为函数的三阶导函数）：f'''(x) = d/dx [f''(x)]更一般地，n 阶导数（n 阶导数即为函数的 n 阶导函数）：f^(n)(x) = d^n/dx^n [f(x)]其中，lim 表示极限，d/dx 表示对变量 x 求导，d^n/dx^n 表示对变量 x 进行 n 次求导。
高阶导数的公式可以通过迭代求导的方式得到，每次对前一阶导数再次求导。
这种方法可以帮助我们研究函数的更深层次的性质和特征。
需要注意的是，高阶导数的计算可能存在复杂性和困难性，特别是当函数包含复杂的表达式或多重变量时。
在实际应用中，我们可以使用符号计算软件或数值计算方法来求解高阶导数。
总结起来，高阶导数的公式是一种用于求解函数的导数的数学工具，通过对函数进行多次求导，可以得到相应阶数的导函数。
高阶导数可以帮助我们更深入地了解函数在某一点上的变化特征，以及函数的曲线在该点的切线的斜率。
当我们计算高阶导数时，我们可以采用递归的方法进行求解。
递归是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决整体问题的方法。
高阶导数
记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设 y
f
1 x
,
其中
f
具有二阶导数,
求
d2 y dx2
.
2 隐函数的二阶导数 设方程F(x,y) = 0确定隐函数y = y(x), 则y"的求法有:
方法一 由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y' 关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).
Chap3 ― 6
高阶导数
3.6.1 高阶导数的概念
1 定义 设y = f (x)在U(x0)可导, 则f (x)在点x0处的
二阶导数
def
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
➢ 二阶导数也可记为
y(x0 ),
d2 y dx2
d2 f ,
dx2
.
x x0
x x0
➢ 二阶导(函)数 f "(x) = (f '(x))'
例7 求下列函数的n阶导数
(1) y ln(1 x)
(2) y 1 , (a 0) ax b
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
y(n)
(1)n
a n n! (ax b)n1
.
3.6.2 Leibniz法则——高阶导数求法之二 定理 设函数u, v有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) = u(n) v(n)； (cu)(n) =cu(n), 其中c为常数
(2) (uv)(n) C0nu(n)v C1nu(n1)v Cnn1uv(n1) Cnnuv(n)
同济第三版-高数-(2.4) 第四节 高阶导数同济第三版-高数-
y = ( cos x ) = [( cos x )] =(- cos x )= sin x ， y ( 4) = ( cos x )( 4) = [( cos x )]=( sin x ) = cos x ， y ( 5) = ( cos x )( 5) = [( cos x )( 4)]=( cos x ) = - sin x ，
sin x n sin
x
n
2
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这 使得三角式高阶导数的计算比较繁杂。
由本题结果可方便地求出 sin k ax ,cos l bx 及其线 性式 sin k ax ±cos l bx 的 n 阶导数。
于是对于三角式的n 阶导数的计算常可考虑将其 转化为sin k ax ,cos l bx的线性式进行计算。
x
2
,
y cos x cos x cos x 2 , 2
y cos x sin x cos x 3 , 2
y4 cos x 4 sin x cos x 3 , 2
由此可见，cos x 的 n 阶导数可一般地写成：
cos x n cos
x
n
2
类似地可求得
的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导
数叫做 n 阶导数，即 f ( n)( x )=[ f ( n-1)( x )]. 分别记作
f x , f 4 x , L , f n x 或
d3y dx3
,
高阶导数
y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4
一般地 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n (1)n 1 (n 1)! (1 x)n
k u (n k )v(k ) (uv)(n) Cn k 0 n
这一公式称为莱布尼茨公式
5. yx 2e2x 求y(20) 解: 设ue2x vx2 则 (u)(k)2ke2x (k1 2 20) v2x v2 (v)(k)0 (k3 4 20) 代入莱布尼茨公式 得
解:
y
(n)
n(n 1)(n 2) 3 2 1 a0 n!a0
y
( n 1 )
0
4. 导出函数积的 n 阶导数公式. (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 类似地可以得到:
根据高阶导数的定义, 求函数的高阶 导数就是将函数逐次求导, 因此, 前面介 绍的导数运算法则与导数基本公式, 仍然 适用于高阶导数的计算． 例1 y=axb 求y 解: ya y0 例2 ssinwt 求s 解: swcoswt sw 2sinwt
第四节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
引例：变速直线运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度
加速度 即 a ( s)
即 v s
一、高阶导数
定义. 如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x) 仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 函数 f ( x) 的二阶导数, 记作 2 2 d y d f (x) y，f (x) ， 2 或 2 dx dx 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地, (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 3y 4y ny d d d y y (4) y (n) 或 3 4 n dx dx dx
新高阶导数2-4讲解材料
1.直接法;
2.间接法.
思考题
设 g(x) 连续，且 f(x)(xa)2g(x)， 求 f(a) .
思考题解答
g(x)可导 f ( x ) 2 ( x a ) g ( x ) ( x a ) 2 g ( x ) g(x)不一定存在 故用定义求 f(a) f(a)lim f(x)f(a) f(a)0
3 3
, ,
x0 x0
f(0)xl im 02x3x00 f(0)xl i0m4x3x0 0
f (x) 162xx22,,
x0 x0
又
f(0)lim x 0
6
x x
2
0
f(0)lim x 0
12 x x
2
0
f
(x)
24x, 12x ,
x0 x0
但是 f (0)12 , f (0)24 ,f(0) 不存在 .
三. 高阶导数的运算法则
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vn(u n1)vn(n1)u(n2)v 2!
n(n1) (nk1)u(nk)v(k) u(vn) k!
n
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
则y12x22xy 41y32y2(y)2, 代y得 入 y'.
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
五、由参数方程确定的函数的二阶导数
若函数 xy ((tt))二阶可 , 且 导(t)0, 求
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
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College
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2.5高阶导数(1-14)
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解 采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例 设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数 方程再用一次参数方程 求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )
考研高数总复习高阶导数(讲义)
3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1) (a x )( n ) a x ln n a (a 0) ( n) n ( 2) (sin kx ) k sin(kx n ) 2 ( n) n ( 3) (cos kx ) k cos(kx n ) 2
例7 设 y
y
(5)
1 5! 5! [ ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1) 1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y ( n ) .
2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
解
y
1 1 x2
y (
1 2x ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
解 y x 1
y ( n) ( 1)( n 1) x n (n 1)
若 为自然数n, 则
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例4
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
高数一 2-4 高阶导数
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• 几个 n 阶导数公式
• 讨论
(ekx )(n) k nekx
(
x
1
a
)(n)
(1)n
(x
n! a)n1
[ln(
x
a)](n)
(1)(n1)
(n 1)! (x a)n
(sin x)(n) sin( x n )
2
(cosx)(n) cos(x n )
2
解2 y x3 x3 1 1 x2 x 1 1 ,
x 1 x 1 x 1
x 1
y(10) (x2 x 1)(10)
1
(10)
x 1
(1)10
10! (x 1)11
10! (x 1)11
.
12
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例例49．求由方程
x
y
1 2
sin
y
0
所确定的隐函数
y
的二阶导数
证证明明 因因为为 yy 2222xx 11xx 22 22xxxx22 22xxxx22
y
2x x2 (1 x) 22x 2 2x x2
2x x2 (1 x)2
2x x2
(2x x2) (2x x2
2x x2 (1 x)2 (2x x2) (2x x2)
1
3
(2x x2)2
高阶导数
❖高阶导数的定义 ❖高阶导数求法举例
1
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❖高阶导数的定义
• 加速度
a(t) dv v(t) [s(t)] dt
高阶导数
15
x = f ′(t ) 6.设 例6.设 y = t f ′(t ) − f (t ) 且 f ′′(t ) ≠ 0, 则 dy dy dy dt d t =[ t f ′(t ) − f (t )]′ = dx = ⋅ [ f ′(t )]′ dx dt dx dt f ′(t ) + t f ′′(t ) − f ′(t ) = =t f ′′(t ) dy′ d2 y dy′ dt d t = ( t )′ = 1 ⋅ = dx = 2 dt dx dx [ f ′(t )]′ f ′′(t ) dt
x ( n)
=e
x
(e )
− x ( n)
= (−1) e−x
n
3
例2.设 2.设
y′′ =cos( x +
求
解: y′ = cos x= sin(x+ ) 2 π
2
π
) = sin(x +2⋅ 2
π
2
) )
y′′′ = cos( x + 2⋅
π
)= sin(x +3⋅
π
2
nπ 一般地 , ( sinx) = sin(x + ) 2 nπ ( n) 类似可证: 类似可证: ( cos x) = cos(x + ) 2 n = 2k 0 (n) π sin nπ = π π ( sinx) x + = )= sin xcos x+kcos =sin(π +π + π ) cos( + a) xsin x a cos x =sin( x = 0 2 (2 −1) 2 n = 2k +2 2 2 2 1
( n)
第四节 高阶导数2012-10-14
§3.4 高阶导数教学目的：掌握高阶导数公式，和差高阶导数与乘积高阶导数的计算公式.重点：高阶导数的计算方法和基本技巧.难点：乘积高阶导数的计算.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程:设)(t s s =为物体作变速直线运动的方程，物体在 t 时刻的瞬时速度为0()lim ()t s v t s t t∆→∆'==∆.速度()v v t =也是时间t 的函数，它对时间t 的导数称为物体在t 时刻的加速度a ， ()()a v t s t '''==称为s 对t 的二阶导数.例如 自由落体的运动方程为 212s gt =,在t 时刻的瞬时速度为()v t gt '=，在t 时刻的加速度 ()a s t g ''==.一、二阶导数【定义1】一般地，若()y f x =的导数()f x '在点x 处可导,则称()f x 在点x 处二阶可导.并称()f x '的导函数[()]f x ''为()f x 二阶导数, 记作 ()f x '' 或 22()d f x dx 或 22d y dx. 二、n 阶导数【定义2】类似地，若()y f x =的二阶导数()f x ''在点x 处可导,则称()f x 在点x 处三阶可导. 并称()f x ''的导函数[()]f x '''为()f x 二阶导数, 记作()f x ''' 或 33()d f x dx 或 33d y dx . 类似地，若()y f x =的1n -阶导数(1)()n f x -在点x 处可导,则称()f x 在点x 处n 阶可导.并称11()n n d f x dx --的导函数11()n n d d f x dx dx --⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()f x n 阶导数, 记作 ()()n f x 或 ()n n d f x dx 或 n nd y dx . 注：① )()3(x f 可写成)(x f '''、y '''； ② 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数； ③ )(x f '称为一阶导数；④ 特别记)()0(x f 为)(x f .⑤ 函数)(x f 在点0x 处的n 阶导数为()0()n f x 或0|n x x n d y dx=或()0|n y x x =. 例1（1） y ax b =+，求y ''.解：a y =',0=''y .0)(=n y ,2≥n .(2)2(1)arctan y x x =+，求 y ''. 解： 2212arctan (1)1y x x x x '=+++ 2arctan 1x x =+,222arctan 1x y x x ''=++. (3)*1y y xe =+，求y ''.解：方程两边对x 求导得: y xe e y yy '⋅+=', 于是ye xe e y yy y -=-='21, 从而3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=--'=-'-⋅--'=''.例2 证明：函数22y x x =-满足关系式310y y ''+=.证：()111222212[(2)](2)22y x x x x x x -'''=-=-- 222122x x y x x--==-, 221(1)(1)x y x y x y y y y y----'---''== 223(1)y x y---= 2233(2)(12)1x x x x y y----+-==, 所以 310y y ''+=.例3 证明：()()x n x e e =显然成立.（公式）例4 证明： ()(sin )sin()2n x x n π=+， ()(cos )cos()2n x x n π=+（公式） 证：(1)当1=n 时,)2sin(cos π+=='x x y , 公式成立. (2)假设公式对1-n 成立,即 ]2)1(sin[)(sin )1(π-+=-n x x n . (3)]2)1(cos[]2)1(sin[)(sin )(ππ-+='⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n x n x x n )2sin(]22)1(sin[πππn x n x +=+-+=. 即公式对n 成立.例5 证明：()11(1)!n n n n x x --⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.（公式） 注意：()(1)11(ln )()(1)(1)!n n n n x n x x---==--,2≥n . 例6 证明： ()()[()]()n n n f ax b a f ax b +=+.二、 高阶求导公式1．()()()()n n n u v u v ±=±.证明：当1n =时已成立，假设公式对1n -也成立， 那么()(1)(1)(1)()()()()n n n n n n u v u v u v u v ---''⎡⎤⎡⎤±=±=±=±⎣⎦⎣⎦.2．()()()0()nn k k n k n k uv C u v-==∑.(莱布尼茨公式) 例7 2sin2y x x =，求(10)y .解：y uv =，2u x =，sin 2v x =，而 2u x '=,2u ''=,()0n u =,3n ≥,又 ()2sin(2)2n n v x nπ=+, 那么 10(10)(10)()()0()k k n k n k y uv C u v-===∑ 0(0)(10)1(1)(9)2(2)(8)101010C u v C u v C u v =++21092sin(210)1022sin(29)22x x x x ππ=⋅+⋅+⋅⋅+⋅ 810922s i n (28)2!2x π⋅+⋅⋅+⋅ 21024sin 210240cos 223040sin 2x x x x x =-++. 例8.求下列各函数的n 阶导数(其中m a ,为常数)：(1)xy a =解 a a y x ln =',假设a a y n x n 1)1(ln --=,则a a a a a a a y y n x n x n x n n ln ln ln )ln (][11)1()(=⋅='='=---.(2)ln(1)y x =+解 x y +='11,2)1(1x y +-='',313)1(!2)1(x y +-='''-, 假设12)1()1()!2()1(---+--=n n n x n y ,则 n n n n n n x n x n y y )1()!1()1(])1()!2()1[(][112)1()(+--='+--='=----. (3)(1)m y x =+ (注意:()!m m y x y m =⇒=) 解 1)1(-+='m x m y ,2)1)(1(-+-=''m x m m y ,假设)1()1()1](1)1([)1(---++---=n m n x n m m m y ,则n m n n x n m m m y y --++--='=)1)(1()1(][)1()( . 特别当m 为正整数时,若n m >,结果与前同;n m =,!)(m y n =;n m <, 0)(=n y .（4）2132y x x =-+ 解：21113221y x x x x ==--+-- ()11(1)!(1)!(2)(1)n n n n n n n y x x ++--⇒=---. 例9(95.3) 设1()1x f x x-=+,则 ()()n f x = .解2)1(2)112()(x x x f +-='-+=',122)1(!22)1()(++⋅-=''x x f, 假设n n n x n x f )1()!1(2)1()(1)1(+-⋅-=--, 那么1)()1(!2)1()(++⋅-=n n n x n x f . 例10(06.4) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,(2)1f =,则(2)f '''= . 解 依题设,由于)(e )(x f x f =',那么)(2)()()(e e e )(e ])([)(x f x f x f x f x f x f x f =='=''='', )(3)()(2)(2e 2e 2e )(2e ])([)(x f x f x f x f x f x f x f =⋅='⋅='''=''',所以 313)2(3e 2e 2e 2)2(==='''⋅f f .例11(97.3) 若()(),()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有【 】.(A)0)(>'x f ,0)(<''x f ； (B)0)(>'x f ,0)(>''x f ；(C)0)(<'x f ,0)(<''x f ； (D)0)(>'x f ,0)(>''x f . 答 (C).因为)()(x f x f =-,依题设,在),0(+∞内有0)()1()()(<-'-=-⋅-'='x f x f x f ,0)()1()()(<-''=-⋅-''-=''x f x f x f .例12 求下列函数的n 阶导数(1)2cos y x =；解：22cos 1x y +=, )22cos(2)22cos(221)2(cos 211)()(ππn x n x x y n n n n +=+⋅==-. (2)x y xe =；解：x x x e x xe e y )1(+=+=',假设x n e n x y )1()1(-+=-,则 x x x n e n x e n x e y )()1()(+=-++=.小结: 1.计算乘积的高阶导数时要注意取u的技巧，不要蛮算.对有规律的高阶导数注意寻求规律性公式.阶数不超过三时，可以直接算；阶数超过三的可以用莱布尼兹公式计算.2.对于式子较为复杂的函数的高阶导数应该先化简或拆分后，再求导数.课后记：计算乘积的高阶导数时取u的技巧掌握不灵活.。
高等数学-导数-2-4高阶导数
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x), y,
d2 y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
1
高阶导数
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
4
高阶导数
例10 y sin4 x cos4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
6
高阶导数
二、莱布尼兹公式
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk )v(k ) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度. 设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
高数——高阶导数
一般地说，函数y = f (x)的导数y ' = f '(x)仍然是x的函数，它再
对x求导，即导数的导数，称为y或f (x)对x的二阶导数，记作y″
或f
″(x)，或 d 2 y dx2
或d2 f dx2
，所以y″
=
( y ') '或 d 2 y dx2
=
d dx
⎛ ⎜⎝
dy dx
(4) y ' = (ln tan x) ' = 1 sec2 x = 1 = 2
tan x
sin x cos x sin 2x
y"
=
2
−(sin sin2
2x)' 2x
=
−4
cos 2x sin2 2x
例 2 设y = xμ，求y(n).
解 y ' = μ xμ−1, y " = μ(μ − 1)xμ−2,", 用数学归纳法可以证明 y(n) = μ(μ − 1)(μ − 2)"(μ − n + 1)xμ−n
− 2x − x2 − (1− x) 1− x
y"=
2x − x2
2x − x2
= −(2x − x2 ) − (1− x)2 (2x − x2) 2x − x2
=
−(2x
−
x
2
)
−
3 2
=
− y3
所以y3 y " = −1, 即 y3 y "+1 = 0
例 4 设y = sin x,求y(n)
解 y ' = cos x = sin(x + π )
3-4高阶导数
9/20
三. 隐函数与参数方程的二 阶导数
2 sin( ) = 0 确定的 xy − π y 例6 设 y = y( x )是由方程
隐函数，求 y′ x = 0 , y′′ x = 0 。 解 等式两端对 x 求导得 y + xy′ − cos(π y 2 ) ⋅ 2π yy′ = 0
y′ x = 0 当 x = 0 , y = 1时，
代人方程得
dz 2 d 2z z) 4 dz 2 2 2 sec z tan z ( ) + sec z 2 = 2 + 2(1 + tan sec z ⋅ ( ) 2 dx 1 + tan z dx dx 化简得 d 2z dz 2 2 2 ( ) 2 cos − = z. 2 dx dx
2
一个是改变自变量变换 注意 比较上述两个例子，前
n( n − 1) ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + + uv ( n ) k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
v
(k )
——莱布尼兹公式
用归纳法证明
16/20
例10 设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
1 20 2 x ( 19 )
解（设 u = e ，v = x ，则）由莱布尼兹公式 知
2x 2
y
( 20 )
= C (e )
0 20 3 20
2 x ( 20 )
⋅ x + C (e )
2
⋅ ( x )′
2
+ C (e )
2 x ( 18 )
2-4(高阶导数)
2( 3 x 1)
2
(1 x )
2
3 x0
2.
二、求高阶导数的几种方法
1. 一般函数导数求法
一般函数求高阶导数：逐阶求导即可.
例 解 ya
x x
y a ln a, y a ln a
x 2
2.抽象函数高阶导数求法
例 若f ( x )存在二阶导数，求函数 y f (ln x )的 二阶导数
解
y f (ln x )(ln x )
f (ln x ) y x
2
f (ln x ) x
1 x x .
2
,
f (ln x )
x f (ln x ) 1
f (ln x ) f (ln x ) x
• 注意抽象复合函数高阶导数求法
练习
若函数y f (sin x )存在二阶导数，求 y.
答案
y cos
2
x f (sin x ) sin x f (sin x )
3.隐函数二阶导数求法
方法1、由一阶导数的表达式求二阶导数.
方法2、在求导后的方程两边继续求导， 并将一阶导数代入；
n1
( n 1 )! x
n
1 x
( 1)
n
n! x
n1
例 y sin 4 x cos 4 x , 求 y ( n ) . 解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
y sin
4
x cos
2
4
x
2
(sin
x cos
2
d ( cot t ) d y dx
高阶导数
( n 1, 0! 1)
(3) 设 y sin x, 求y(n ) .
解 y cos x
sin( x ) 2 y sin x sin( x 2 ) 2 y cos x sin( x 3 ) 2 ( 4) y sin x sin(x 4 ) 2 ( n) y sin( x n ) 2
四、高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义
设f ( x)可导, 则称(f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
一 、 填 空 题 ： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 dy x x 2、 设 y 3a e ， 则 =__________. x dx dy x 2 y e ( x 3 x 1 ) 3、 设 ,则 = __________. dx x 0 y 2 tan x sec x 1 4、 设 ,则 y =_________. 3 x2 5、 设 y f (x ) ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 x 0 6 、 曲 线 y sin x 在 处 的 切 线与 x 轴 正 向 2 的 夹 角 为 _________.
二、计算下列各函数的导数：
10 x 1 1 1、 y ；2、 y x ； 2 10 1 1 x x 1 t 2 csc x 3、 y ； 4、 f ( x ) ,求 f ( 4) ； 2 1 t 1 x x a b a b x 5、 y (a 0, b 0) . b x a
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函数 f(x)的n阶导记 数作 ,
f(n)(x),y(n),dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 f(x)称 地为 , ;零 f(x)称 阶为 导一 数
二、 高阶导数求法举例
由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y a 2 b x c , 求 x y ,y ,y ( n ) . 解 y 2 a b , x y 2 a ,y ( n ) 0 . 例2 设 yax,求 y(n). 解 yaxlna, yax(la n)2,
高阶导数的定义及求法； 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式）； 几个初等函数的导数.
,y(n) ax(la n)n.
例3 设 y x ( R )求 ,y (n ).
解 yx1
y(x1)(1)x2
y (( 1 )x 2 )( 1 )( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自n 然 ,则数
y(n) (xn)(n)n!, y(n1) (n!)0.
2! n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n)
k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
例6 设 yexcoxs,求 y (5 ) .
解
yLeabharlann (e x )(5)cos
x
C
1 5
(
e
x
)
(
4
)
(cos
x )
C
2 5
(
e
x
)(
3
)
(cos
x )
C
3 5
(
e
x
)
(cos
x )
C
4 5
(f(x))limf(xx)f(x)
x0
x
存在，(则 f(称 x))为函f数 (x)在点 x处的二阶. 导
记作 f(x),y,d2y或 d2f(x).
d2x d2x
二阶导数的导数称为三阶导数,
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般函 地数 f,(x)的n1阶导数的导数
y 1 (1 x)2
y 2! (1 x)3
y(4) 3! (1x)4
y(n )( 1 )n 1(n1 )(!n1 ,0 !1 ) (1x)n
三、莱布尼兹公式
设函 u和 v具 数n阶 有导 则数,
( 1 ) ( u v ) ( n ) u ( n ) v ( n )
(2)(C)(u n)C(n u ) (3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)v
例4 设 y six ,n 求 y(n ).
解 ycoxssin(x)
2
ycosx()sinx()sinx(2)
2
22
2
ycoxs(2)sinx(3)
2
2
y(n) sinx (n)
同理可得 (c2x o)(ns )coxsn ()
2
例5 设 y ln 1 x ( )求 ,y (n ).
解 y 1 1 x
解 设ue2x,vx2,则由莱布尼兹公式 y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2) 2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2! 220e2xx2 20219e2x2x 2019218e2x 2 2! 2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
例8
dx
试以
dy
1 , 导出 y
d 2x ,d 3x . dy 2 dy 3
解 d2x d (dx) d ( 1 ) dx dy2 dy dy dx y dy
y 1 y . ( y)2 y ( y)3
dd3yx3 ddy(dd2yx2)ddx((yy)3)ddxy
yy3(y)2 13(y)yy.
(y)4
y
(y)5
四、小结
(
e
x
)(cos
x )(4)
e x (cos
x )(5)
e x [cos x 5 sin x 10 ( cos x )
10 sin x 5 cos x (5 sin x )]
e x (4 sin x 4 cos x )
4e x (sin x cos x ).
例7 设 y x 2 e 2 x,求 y (2).0
第四节 高阶导数
一 高阶导数的定义 二 高阶导数的求法 三 莱布尼兹公式 四 小结
一、高阶导数的定义
问题：变速直线运动的加速度
设 ss(t),则速v(度 t)s(为 t)ds
dt
加速 a是 度速 v对 度时 t的 间变， 化率
a(t)v(t)[s(t)]. 定义如果函 f(x数 )的导f数 (x)在x点处可导，