第四节 高阶导数
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。
高阶导数
East China University of Science And Technology §2．5 高阶导数设路程函数)(t s s =速度)(d d 't s tsv ==加速度t v a d d =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=t s t d d d d 22d d t s Δ=或''''')(ss v a Δ===East China University of Science And Technology如果函数y =f (x )的导数y ′=f ′(x )仍然是x 的可导函数。
则把y ′=f ′(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数，类似地，二阶导数y ′′=f ′′(x )的导数叫做函数y =f (x )的三阶导数，记作y ′′，f ′′(x )，或22dx yd ， y ′′′，f ′′′(x )， 或33dx y d ，即 y ′′=(y ′)′ ，f ′′(x )=[f ′(x )]′ ，或)(22dxdy dx d dxyd =。
即 y ′′′=(y ′′)′，f ′′′(x )=[f ′′(x )]′ ，或)(2233dx y d dx d dx yd =。
xx f x x f x Δ−Δ+→Δ)()(lim''0()y f x x =称此极限值为在点的二阶导数,记为存在如果East China University of Science And Technology 一般地，函数y =f (x )的(n −1)阶导数的导数叫做函数y =f (x )的n 阶导数，记作y (n )，f (n )(x )，或n n dxyd ，我们把y =f (x )的导数f ′(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数，把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
即 y (n )=[y (n −1)]′，f (n )(x )=[f (n −1)(x )]′，或n n dxy d )(11−−=n n dx yd dx d 。
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
同济第三版-高数-(2.4) 第四节 高阶导数同济第三版-高数-
y = ( cos x ) = [( cos x )] =(- cos x )= sin x ， y ( 4) = ( cos x )( 4) = [( cos x )]=( sin x ) = cos x ， y ( 5) = ( cos x )( 5) = [( cos x )( 4)]=( cos x ) = - sin x ，
sin x n sin
x
n
2
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这 使得三角式高阶导数的计算比较繁杂。
由本题结果可方便地求出 sin k ax ,cos l bx 及其线 性式 sin k ax ±cos l bx 的 n 阶导数。
于是对于三角式的n 阶导数的计算常可考虑将其 转化为sin k ax ,cos l bx的线性式进行计算。
x
2
,
y cos x cos x cos x 2 , 2
y cos x sin x cos x 3 , 2
y4 cos x 4 sin x cos x 3 , 2
由此可见，cos x 的 n 阶导数可一般地写成：
cos x n cos
x
n
2
类似地可求得
的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导
数叫做 n 阶导数，即 f ( n)( x )=[ f ( n-1)( x )]. 分别记作
f x , f 4 x , L , f n x 或
d3y dx3
,
4.高阶导数
§ 4 高阶导数高阶导数的概念：加速度高阶导数定义:注意区分符号和以函数为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法: 函数在处的阶导数记为相应的阶导数记为二. 几个特殊函数的高阶导数:1.多项式: 多项式的高阶导数.例1 求和.2. 正弦和余弦函数: 计算、、、的公式.3．和的高阶导数：4．的高阶导数：5．的高阶导数：6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数为例，求.三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则1．2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：例设求利用萊布尼兹公式，取注意：利用萊布尼兹公式时要注意与的选取次序，否则会使计算复杂。
例2 求解例3 求解例4 其中二阶可导. 求例5 验证函数满足微分方程并依此求解两端求导即对上式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有可见函数满足所指方程.在上式中令得递推公式注意到和, 就有时,时,四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求解习题课一. 可导条件:例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.例2 设函数在点可导, 则在点不可导.例3设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内例4的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件并有证设存在, 定义易验证函数在点连续, 且设又在点连续. 则有即存在且二. 求导数或求切线:例4 求和例5 求例6 求解设其中为的多项式. 注意到对任何正整数则有所以，对有例7 抛物线方程为求下列切线:⑴过点( 该点在抛物线上 ) ( )⑵过点.(该点不在抛物线上 ) ( 和)一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.例8 设确定、和的值，使函数在点可导. )四. 奇、偶函数和周期函数的导函数：例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设是偶函数且在点可导, 则.证即由存在，简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.五. 关于可导性的一些结果:1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数. 例如该函数仅在点可导.3.存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—5, 或Mark Lynch , 《A continuous ， nowheredifferentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9.近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8.小结：莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4）生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。
高阶导数
y=(-1)(-2)(1+x)-3 y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4
一般地 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n (1)n 1 (n 1)! (1 x)n
k u (n k )v(k ) (uv)(n) Cn k 0 n
这一公式称为莱布尼茨公式
5. yx 2e2x 求y(20) 解: 设ue2x vx2 则 (u)(k)2ke2x (k1 2 20) v2x v2 (v)(k)0 (k3 4 20) 代入莱布尼茨公式 得
解:
y
(n)
n(n 1)(n 2) 3 2 1 a0 n!a0
y
( n 1 )
0
4. 导出函数积的 n 阶导数公式. (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 类似地可以得到:
根据高阶导数的定义, 求函数的高阶 导数就是将函数逐次求导, 因此, 前面介 绍的导数运算法则与导数基本公式, 仍然 适用于高阶导数的计算． 例1 y=axb 求y 解: ya y0 例2 ssinwt 求s 解: swcoswt sw 2sinwt
第四节 高阶导数
一、高阶导数的概念
二、高阶导数的运算法则
引例：变速直线运动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度
加速度 即 a ( s)
即 v s
一、高阶导数
定义. 如果函数 y f (x) 的导函数 y f ( x) 仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 函数 f ( x) 的二阶导数, 记作 2 2 d y d f (x) y，f (x) ， 2 或 2 dx dx 类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地, (n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作 3y 4y ny d d d y y (4) y (n) 或 3 4 n dx dx dx
§3.4 柯西积分公式与高阶导数公式
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数
=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +
⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+
2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得
((− ))
1
=
=
(
2
−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.
由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()
′ ()
2.5高阶导数(1-14)
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解 采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例 设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数 方程再用一次参数方程 求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
高等数学第六版第二章第四节隐函数求导
) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
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2.补充题 π x2 则 2 n 1) (填空题)（1）设 f ( x) ( x 3x 2) cos 16 ,
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2.参数方程求导法则
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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x (t ) 例3.求参数方程 所表示的函数y f ( x) 的
《高阶导数》课件
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。
隐函数的求导法则取对数求导法
两边关于 x 求导：
y 2 1 y 3x
1 2x
1 x 1 x2
3cos x sin x
整理得
y 3
x2
1 x 1 x2
sin 3
x
2 1 2x 3x 1 x 1 x2
3cot x
例5
求 y xsin x 的导数.
幂指函数
解
运用取对数求导法
ln y ln xsin x sin x ln x
高等数学之——
3.4 隐函数和高阶求导法则
第三章 导数与微分
第四节 隐函数和高阶求导法则
一.隐函数的求导法 二.取对数求导法 三.参数方程求导法 四.高阶导数
例如 y sin 2x, y ex x2
特点在于：
可以表示成等式左边是只含因变量，而右边等式
只含自变量。即解析式中明显地可以用一个变量
两边关于 x 求导：
y y
cos
x
ln
x
sin x
x
故
y xsin x ( cos x ln x sin x )
x
练
判断： y x x 的导数为 y x x (ln x 1).
A.
B.
ln y ln f (x)
注意：y 是 x 的函数.
然后, 对方程两边关于 x 求导：
y (ln f (x)) y
y y (ln f (x))
二.取对数求导法
适用范围：
取对数求导法常用来求一些
复杂的根式、乘除式、幂指函数
等的导数.
例3
设 y 3 x(3x 1) , x (1 ,2) 求 y. 复杂的根式
解 方程两边关于 x 求导：
6y y 3x2 2x
第四节 高阶导数2012-10-14
§3.4 高阶导数教学目的：掌握高阶导数公式，和差高阶导数与乘积高阶导数的计算公式.重点：高阶导数的计算方法和基本技巧.难点：乘积高阶导数的计算.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程:设)(t s s =为物体作变速直线运动的方程，物体在 t 时刻的瞬时速度为0()lim ()t s v t s t t∆→∆'==∆.速度()v v t =也是时间t 的函数，它对时间t 的导数称为物体在t 时刻的加速度a ， ()()a v t s t '''==称为s 对t 的二阶导数.例如 自由落体的运动方程为 212s gt =,在t 时刻的瞬时速度为()v t gt '=，在t 时刻的加速度 ()a s t g ''==.一、二阶导数【定义1】一般地，若()y f x =的导数()f x '在点x 处可导,则称()f x 在点x 处二阶可导.并称()f x '的导函数[()]f x ''为()f x 二阶导数, 记作 ()f x '' 或 22()d f x dx 或 22d y dx. 二、n 阶导数【定义2】类似地，若()y f x =的二阶导数()f x ''在点x 处可导,则称()f x 在点x 处三阶可导. 并称()f x ''的导函数[()]f x '''为()f x 二阶导数, 记作()f x ''' 或 33()d f x dx 或 33d y dx . 类似地，若()y f x =的1n -阶导数(1)()n f x -在点x 处可导,则称()f x 在点x 处n 阶可导.并称11()n n d f x dx --的导函数11()n n d d f x dx dx --⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()f x n 阶导数, 记作 ()()n f x 或 ()n n d f x dx 或 n nd y dx . 注：① )()3(x f 可写成)(x f '''、y '''； ② 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数； ③ )(x f '称为一阶导数；④ 特别记)()0(x f 为)(x f .⑤ 函数)(x f 在点0x 处的n 阶导数为()0()n f x 或0|n x x n d y dx=或()0|n y x x =. 例1（1） y ax b =+，求y ''.解：a y =',0=''y .0)(=n y ,2≥n .(2)2(1)arctan y x x =+，求 y ''. 解： 2212arctan (1)1y x x x x '=+++ 2arctan 1x x =+,222arctan 1x y x x ''=++. (3)*1y y xe =+，求y ''.解：方程两边对x 求导得: y xe e y yy '⋅+=', 于是ye xe e y yy y -=-='21, 从而3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=--'=-'-⋅--'=''.例2 证明：函数22y x x =-满足关系式310y y ''+=.证：()111222212[(2)](2)22y x x x x x x -'''=-=-- 222122x x y x x--==-, 221(1)(1)x y x y x y y y y y----'---''== 223(1)y x y---= 2233(2)(12)1x x x x y y----+-==, 所以 310y y ''+=.例3 证明：()()x n x e e =显然成立.（公式）例4 证明： ()(sin )sin()2n x x n π=+， ()(cos )cos()2n x x n π=+（公式） 证：(1)当1=n 时,)2sin(cos π+=='x x y , 公式成立. (2)假设公式对1-n 成立,即 ]2)1(sin[)(sin )1(π-+=-n x x n . (3)]2)1(cos[]2)1(sin[)(sin )(ππ-+='⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n x n x x n )2sin(]22)1(sin[πππn x n x +=+-+=. 即公式对n 成立.例5 证明：()11(1)!n n n n x x --⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.（公式） 注意：()(1)11(ln )()(1)(1)!n n n n x n x x---==--,2≥n . 例6 证明： ()()[()]()n n n f ax b a f ax b +=+.二、 高阶求导公式1．()()()()n n n u v u v ±=±.证明：当1n =时已成立，假设公式对1n -也成立， 那么()(1)(1)(1)()()()()n n n n n n u v u v u v u v ---''⎡⎤⎡⎤±=±=±=±⎣⎦⎣⎦.2．()()()0()nn k k n k n k uv C u v-==∑.(莱布尼茨公式) 例7 2sin2y x x =，求(10)y .解：y uv =，2u x =，sin 2v x =，而 2u x '=,2u ''=,()0n u =,3n ≥,又 ()2sin(2)2n n v x nπ=+, 那么 10(10)(10)()()0()k k n k n k y uv C u v-===∑ 0(0)(10)1(1)(9)2(2)(8)101010C u v C u v C u v =++21092sin(210)1022sin(29)22x x x x ππ=⋅+⋅+⋅⋅+⋅ 810922s i n (28)2!2x π⋅+⋅⋅+⋅ 21024sin 210240cos 223040sin 2x x x x x =-++. 例8.求下列各函数的n 阶导数(其中m a ,为常数)：(1)xy a =解 a a y x ln =',假设a a y n x n 1)1(ln --=,则a a a a a a a y y n x n x n x n n ln ln ln )ln (][11)1()(=⋅='='=---.(2)ln(1)y x =+解 x y +='11,2)1(1x y +-='',313)1(!2)1(x y +-='''-, 假设12)1()1()!2()1(---+--=n n n x n y ,则 n n n n n n x n x n y y )1()!1()1(])1()!2()1[(][112)1()(+--='+--='=----. (3)(1)m y x =+ (注意:()!m m y x y m =⇒=) 解 1)1(-+='m x m y ,2)1)(1(-+-=''m x m m y ,假设)1()1()1](1)1([)1(---++---=n m n x n m m m y ,则n m n n x n m m m y y --++--='=)1)(1()1(][)1()( . 特别当m 为正整数时,若n m >,结果与前同;n m =,!)(m y n =;n m <, 0)(=n y .（4）2132y x x =-+ 解：21113221y x x x x ==--+-- ()11(1)!(1)!(2)(1)n n n n n n n y x x ++--⇒=---. 例9(95.3) 设1()1x f x x-=+,则 ()()n f x = .解2)1(2)112()(x x x f +-='-+=',122)1(!22)1()(++⋅-=''x x f, 假设n n n x n x f )1()!1(2)1()(1)1(+-⋅-=--, 那么1)()1(!2)1()(++⋅-=n n n x n x f . 例10(06.4) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,(2)1f =,则(2)f '''= . 解 依题设,由于)(e )(x f x f =',那么)(2)()()(e e e )(e ])([)(x f x f x f x f x f x f x f =='=''='', )(3)()(2)(2e 2e 2e )(2e ])([)(x f x f x f x f x f x f x f =⋅='⋅='''=''',所以 313)2(3e 2e 2e 2)2(==='''⋅f f .例11(97.3) 若()(),()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有【 】.(A)0)(>'x f ,0)(<''x f ； (B)0)(>'x f ,0)(>''x f ；(C)0)(<'x f ,0)(<''x f ； (D)0)(>'x f ,0)(>''x f . 答 (C).因为)()(x f x f =-,依题设,在),0(+∞内有0)()1()()(<-'-=-⋅-'='x f x f x f ,0)()1()()(<-''=-⋅-''-=''x f x f x f .例12 求下列函数的n 阶导数(1)2cos y x =；解：22cos 1x y +=, )22cos(2)22cos(221)2(cos 211)()(ππn x n x x y n n n n +=+⋅==-. (2)x y xe =；解：x x x e x xe e y )1(+=+=',假设x n e n x y )1()1(-+=-,则 x x x n e n x e n x e y )()1()(+=-++=.小结: 1.计算乘积的高阶导数时要注意取u的技巧，不要蛮算.对有规律的高阶导数注意寻求规律性公式.阶数不超过三时，可以直接算；阶数超过三的可以用莱布尼兹公式计算.2.对于式子较为复杂的函数的高阶导数应该先化简或拆分后，再求导数.课后记：计算乘积的高阶导数时取u的技巧掌握不灵活.。
高阶导数的讲解
f ′( x ) − f ′( x 0 ) lim = f ′′ ( x 0 ), x → x0 x − x0
dx
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n 为正整数） 例１ 求幂函数 y = x（n为正整数）的各阶导数. 为正整数 的各阶导数.
解 由函数的求导公式得
y′ = nx n −1 ,
y′′ = n( n − 1) x n − 2 ,
x
x x
π
π
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问题 解答 （1） （2）
试总结函数的高阶导数的常用求法？ 试总结函数的高阶导数的常用求法？ 利用基本高阶导数公式表； 利用基本高阶导数公式表； 应用莱布尼兹公式； 应用莱布尼兹公式；
应用数学归纳法求函数的n阶导数 阶导数； （3） 应用数学归纳法求函数的 阶导数； （4） 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 证明需求导数的函数满足一个微分方程， （5） 证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用 递推公式求高阶导数； 递推公式求高阶导数； 利用复数运算和欧拉公式，求函数的n阶导数 阶导数. （6） 利用复数运算和欧拉公式，求函数的 阶导数.
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的各阶导数． 例２ 求 y = sin x 和 y = cos x的各阶导数． 解 对于 y = sin x 由三角函数的求导公式得
), y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2 π y ( 4 ) = sin x = sin( x + 4 ⋅ π ), y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地， 一般地，可推得 π ( n) sin x = sin( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 类似地有 π ( n) cos x = cos( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 x 的各阶导数． 例３ 求 y = e 的各阶导数． (e x )′ = e x ,所以 解 因为
高阶导数运算法则
高阶导数的运算法则包括以下几个方面：
1. 一阶导数的求导法则：对常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常
见函数求导时，可以利用相应的求导公式进行计算。
2. 乘积法则：若u(x)和v(x)是可导函数，则它们的乘积的导数可以按照以下方式计算：(u*v)' = u'v + uv'。
3. 商积法则：若u(x)和v(x)是可导函数且v(x)≠0，则它们的商的导数可以按照以下方
式计算：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
4. 链式法则：若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
5. 反函数求导法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则g'(y) = 1 / f'(x)。
6. 隐函数求导法则：对于由x和y的关系式所确定的函数y=f(x)，如果无法显式解出y
作为x的函数，可以使用隐函数求导法则进行求导。
这些是高阶导数运算中常用的法则，通过这些法则可以对各种复杂函数进行高阶导数
的计算。
3-4高阶导数
9/20
三. 隐函数与参数方程的二 阶导数
2 sin( ) = 0 确定的 xy − π y 例6 设 y = y( x )是由方程
隐函数，求 y′ x = 0 , y′′ x = 0 。 解 等式两端对 x 求导得 y + xy′ − cos(π y 2 ) ⋅ 2π yy′ = 0
y′ x = 0 当 x = 0 , y = 1时，
代人方程得
dz 2 d 2z z) 4 dz 2 2 2 sec z tan z ( ) + sec z 2 = 2 + 2(1 + tan sec z ⋅ ( ) 2 dx 1 + tan z dx dx 化简得 d 2z dz 2 2 2 ( ) 2 cos − = z. 2 dx dx
2
一个是改变自变量变换 注意 比较上述两个例子，前
n( n − 1) ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) + u v + + uv ( n ) k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
v
(k )
——莱布尼兹公式
用归纳法证明
16/20
例10 设 y = x e , 求y
2 2x
( 20 )
.
1 20 2 x ( 19 )
解（设 u = e ，v = x ，则）由莱布尼兹公式 知
2x 2
y
( 20 )
= C (e )
0 20 3 20
2 x ( 20 )
⋅ x + C (e )
2
⋅ ( x )′
2
+ C (e )
2 x ( 18 )
2-4(高阶导数)
2( 3 x 1)
2
(1 x )
2
3 x0
2.
二、求高阶导数的几种方法
1. 一般函数导数求法
一般函数求高阶导数：逐阶求导即可.
例 解 ya
x x
y a ln a, y a ln a
x 2
2.抽象函数高阶导数求法
例 若f ( x )存在二阶导数，求函数 y f (ln x )的 二阶导数
解
y f (ln x )(ln x )
f (ln x ) y x
2
f (ln x ) x
1 x x .
2
,
f (ln x )
x f (ln x ) 1
f (ln x ) f (ln x ) x
• 注意抽象复合函数高阶导数求法
练习
若函数y f (sin x )存在二阶导数，求 y.
答案
y cos
2
x f (sin x ) sin x f (sin x )
3.隐函数二阶导数求法
方法1、由一阶导数的表达式求二阶导数.
方法2、在求导后的方程两边继续求导， 并将一阶导数代入；
n1
( n 1 )! x
n
1 x
( 1)
n
n! x
n1
例 y sin 4 x cos 4 x , 求 y ( n ) . 解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
y sin
4
x cos
2
4
x
2
(sin
x cos
2
d ( cot t ) d y dx
高阶导数的认识
高阶导数的认识
高阶导数是数学中的一个重要概念，它的推导可帮助我们更加精确的描述物理世界中的现象，它也是复杂函数的表示和研究的重要工具。
本文将讨论高阶导数，包括它的定义、计算方法和应用。
一、定义
高阶导数指的是将函数中的变量多次求导得到的导数，其公式可以用形式表示为：
f^(n)(x):=frac{d^nf(x)}{dx^n}
表示的是函数f(x)的n阶导数，其中f(x)指的是在x处得到的函数值。
这个式子同时也表示了高阶导数的特殊性，n表示了求导的次数，一般来说次数越大，得到的函数值就越小，也就是表明其函数值越来越接近于零。
二、计算方法
当我们需要计算高阶导数时，只需要利用求导过程中每步求出的导数乘以相应的多项式系数，就可以根据上面提到的公式计算出指定的高阶导数。
例如：
计算f(x)=3x^4一阶导数：f^′(x)=(4x^3)(3)=12x^3
计算f(x)=3x^4二阶导数：f′′(x)=(12x^2)(4)=48x^2
三、应用
高阶导数在物理和数学研究中有着广泛的应用，从新物理的研究开始，到化学、天文、计算机科学等研究领域都可以看到它的身影，由此可见其使用的程度。
例如：
1.在物理学中，高阶导数可以用来研究时间和空间变换，描述它们彼此之间的关系。
2.在化学中，高阶导数可以用来研究分子之间的反应，描述它们发生变化时的力学参数。
3.在计算机科学中，高阶导数可以用来研究数据之间的变化，描述它们发生变化时的变换关系。
综上所述，高阶导数在物理、数学和计算机科学等研究中都有广泛的应用，它的研究可以帮助我们更加精确的描述物理世界中的现象，也是复杂函数的表示和研究的重要工具。
第四节高阶导数ppt课件
3、 y ln( x 1 x 2 ).
三、试从dx 1 ，导出： dy y
1、d 2 x dy 2
(
y y)3
；
2、
d3x dy3
3(
y)2 yy ( y)5
.
四、验证函数 y c1e x c2e x ( ,c1 满足关系式 y 2 y 0.
,c2 是常数）
五、下列函数的 n 阶导数：
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x),
y(n) ,
dny dxn
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .
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n
C
k n
u(
n
k
)v
(
k
)
k 0
莱布尼兹公式
例10
设y
x
1 2
1
,
求y(
n)
.
解 y 1 1( 1 1 ) x2 1 2 x 1 x 1
y(n) 1 [( 1 )(n) ( 1 )(n) ]
2 x1
x1
1 (1)n n! (1)n n!
[ 2 (x
1)n1
(x
1)n1
]
(1)n n! 2
e x (sin x cos x) 2 e x sin( x )
4
y 2 [e x sin( x ) e x cos(x )]
4
4
2 e x[sin( x ) cos(x )]
4
4
( 2)2 e x sin( x 2 )
4
y(n)
n
22
ex
sin( x
y x 1, y ( x 1 ) ( 1)x 2 , ,
y(n) ( 1) ( n 1)x n (n 1)
特别, ( 1 )(n) x
(1)(2)(n) x 1n
(1)n n! x n1
(2)若 为自然数m,则
m(m 1) (m n 1)x mn ,
y(n)
(xm
)(n)
n! ,
0,
nm nm nm
对于n次多项式
有 y(n) n !an
例3. 设 y e a x , 求 y ( n ) .
解 y a e a x , y a 2 e a x ,
y a 3 e a x , ,
y(n) a n e a x
特别有: ( e x ) ( n ) e x
[ (x
1 1)n1
(x
1 1)n1
]
例11 设 y sin 6 x cos 6 x, 求 y(n) .
解 y (sin 2 x)3 (cos 2 x)3
(sin 2 x cos 2 x)(sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x)
(sin 2 x cos 2 x)2 3sin 2 x cos 2 x
n
)
4
例7 设
由方程
确定 , 求
解法一: 方程两边对 x 求导，得
e y y y x y 0
①
再求导, 得
e y y 2 e y y y y x y 0
②
当 x 0 时, y 1 , 故由 ① 得
y(0) 1 e
再代入 ② 得
y ( 0 )
1 e2
解法二: 方程两边对 x 求导，得
一般有: ( a x ) ( n ) a x ln n a ( a 0 )
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例4 设 y ln(1 x), 求y(n) .
解 y 1 ,
1 x
y
(1
1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
f (n)(2)
提示:
n!
(x 2)n(x 1)n
各项均含因 子(x–2)
n !(x 1)n
(2) 已知 f ( x ) 任意阶可导, 且 f ( x ) [ f ( x )] 2 , 则当
n 2 时 f (n)( x ) n ! [ f ( x )]n1
提示: f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 2 ! [ f ( x )] 3 f ( x ) 2 ! 3 [ f ( x )] 2 f ( x ) 3 ! [ f ( x )] 4
3. 求下列函数的 n 阶导数
(1) y 1 x 1 x
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x )n1
x3 (2) y
1 x
解:
y(n)
n! (1 x )n1
,
n3
1 (3) y x 2 3 x 2
解:
y
1 x2 3x 2
1
( x 2)( x 1)
( x 1) ( x 2) 1 1 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
22
2
, y (n) sin( x n )
2
类似求得 (cos x )(n) cos( x n )
(s in
ax )(n)
an
sin( ax
2
n
)
2
(cos ax )(n) a n cos(ax n )
2
例6 设 y e x sin x , 求y(n) .
解 y e x sin x e x cos x
2 x)3
,
,
y (n) (1)n1 (n 1)! (1 x )n
(n 1, 0! 1)
思考: y ln(1 x),
例5 设 y sin x, 求y(n) .
解
y cos x
sin( x ),
2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ),
2
e y y y x y 0
整理，得
y
x
y e
y
①
再求导, 得
y
y( x
e y ) y(1 e y y) (x e y )2
②
当 x 0 时, y 1 ,
故由 ① 得
y(0) 1 e
再代入 ② 得
y ( 0 )
1 e2
例8
设函数y
y(
x)由
x y
(t )确定,其中 (t )与 (t)
作业
P111习题2_4 1(单)，2，3(单)，4，5，6(单)
(t)
二阶可导,
且
(t
)
0,
求
d2y dx2
.
解 dy (t )
dx (t )
d2 dx
y
2
d dx
(dy ) dx
d dt
(t ) (t )
dt dx
d dt
(t ) (t )
dx
dt
(t) (t) (t) (t) 1
2(t)
(t )
即
d2 dx
y
2
(t )
(t ) (t ) 3 (t )
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f (0)
lim
x0
6x2 x
0
f (0)
lim
x0
12x2 x
0
f
(
x)
24 12
x x
, ,
x0 x0
但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
5. (填空题) (1) 设 f ( x ) ( x 2 3 x 2 ) n , 则
(t
)
.
例9
设
x a cos3 t
y
a sin3
t
,
求
d2y dx2 .
解
dy dx
y(t ) x(t )
3a sin 2 t cos t tan t
3a cos2 t( sin t)
d2y dx2
( tan (a cos3
t ) t )
sec2 t 3a cos2 t sin
t
sec4 t 3a sin t
求 f (a) .
解 g( x) 可导
f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
g( x) 不一定存在 故用定义求 f (a)
f (a) lim f ( x) f (a)
xa
xa
f (a) 0
lim
xa
f ( x) xa
lim[2g( x) ( x a)g( x)] 2g(a) xa
，由
dy (t) dx (t)
((t) 0)
可知
d 2 y (t) dx2 (t)
，对吗？
解答: 不对．
d2y dx2
d dx
dy dx
d ( dy ) dt dx
dx
(t ) (t )
t
.
(t )
dt
2. 设 g( x) 连续，且 f ( x) ( x a)2 g( x) ，
1 3 sin 2 2x 4
1 3 1 cos 4x 42
5 3 cos 4x 88
y(n) 3 4n cos(4 x n ).
8
2
例12 设 y x 2e2 x , 求y(20) .
解 设u e2x , v x2 ,则由莱布尼兹公式知
y(20) (e ) 2 x (20) x 2 20(e 2 x )(19) ( x 2 ) 20(20 1) (e2x )(18) ( x 2 ) 0 2!
y(n)
(1)n n!
(
x
1 2)n1
(x
1 1)n1
4. 设 f ( x ) 3 x 3 x 2 x , 求使 f ( n ) ( 0 ) 存在的最高
阶数
2
分析:
f
(x)
4x 2x
3 3
, ,
x0 x0
f (0)
lim
x 0
2x3 0 x
0
f (0)
lim
x 0
4x3 0 x
0
2.间接法:
利用高阶导数的运算法则和已知的高阶导数公 式求高阶导数.
运算法则 设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (C1u C2v)(n) C1u(n) C2v(n)