D2_3高阶导数剖析
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2-3高阶导数
π
故 y
(n)
= (sin x ) = sin( x + n ⋅ ).
(n)
π
2
抽象复合函数的二阶导数
作业 习题2.3 习题 1.(7) 2.(3) 在[0, t]这段时间内 所走路程为S = S(t), 指出S''(t)的物理意义. 解: 我们知道, S'=V(t). 而S''=V'(t) 注意到, ∆V = V ( t +∆t)−V(t)表示在[t, t +∆t]这 段时间内速度V(t)的增量(改变量). 从而
∆V = a 表示在 ∆ t 这段时间内的平均加速 度 . ∆t ∆V lim 故 ∆t →0 ∆t = a (t ). 即, S'' = V'(t) = a(t)为物体
在时刻t的加速度.
例1.
设 y = x , n 为正整数 , 求 y
n
(n)
和y
( n +1)
.
解: y' = nxn–1, y'' = n(n–1)xn–2, y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3, …,
几点说明 P37的例 的例6 的例
x − a = (x −a)(x + ax +....+ a )
n n
n−1
n−2
n−1
2.3 高阶导数
2.3.1 高阶导数的概念 2.3.2 二阶导数的意义
一般, 设y= f (x)的导数y' = f '(x)存在且仍
d2 y , y ′′或 f ′′( x ). 可导, 记f '(x)的导数为 2 dx d2 y 即, = y′′ = f ′′( x) = ( f ′( x))′, 称为f (x)的 2 dx
高数D2-3高阶导数09
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x (x2 20x 95)
例8. 设 y arctan x , 求 y(n) (0).
解:
y
1
1 x
2
,
即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
x0
6
x2 x
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
(
x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
二、高阶导数旳运算法则
设函数 u u(x) 及 v v(x) 都有 n 阶导数 , 则
1. (u v)(n) u(n) v(n)
sin(
x
2
2
)
y
cos(x
2
2
)
sin( x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(x
n
2
)
例5 . 设 y eax sin bx (a ,b为常数) , 求 y(n).
解: y aeax sin bx beax cos bx eax (a sin bx b cosbx)
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思索与练习
1. 怎样求下列函数旳 n 阶导数?
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x (x2 20x 95)
例8. 设 y arctan x , 求 y(n) (0).
解:
y
1
1 x
2
,
即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
x0
6
x2 x
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
(
x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
二、高阶导数旳运算法则
设函数 u u(x) 及 v v(x) 都有 n 阶导数 , 则
1. (u v)(n) u(n) v(n)
sin(
x
2
2
)
y
cos(x
2
2
)
sin( x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(x
n
2
)
例5 . 设 y eax sin bx (a ,b为常数) , 求 y(n).
解: y aeax sin bx beax cos bx eax (a sin bx b cosbx)
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思索与练习
1. 怎样求下列函数旳 n 阶导数?
高阶导数的应用与性质
高阶导数的应用与性质高阶导数是微积分中的重要概念，它不仅具有广泛的实际应用，还有一些独特的性质。
本文将探讨高阶导数的应用和性质，以及它在不同领域的实际应用。
1. 导数的概念回顾在开始讨论高阶导数之前，我们首先回顾一下导数的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，它是函数的斜率或切线的斜率。
对于一个函数$f(x)$，它的导数表示为$f'(x)$。
2. 高阶导数的定义高阶导数是指对函数的导数再次求导的过程。
例如，对于函数$f(x)$，它的二阶导数表示为$f''(x)$，三阶导数表示为$f'''(x)$，以此类推。
3. 高阶导数的物理应用高阶导数在物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，高阶导数可以描述物体的加速度和速度之间的关系。
加速度是速度对时间的导数，而速度是位置对时间的导数。
因此，通过求解高阶导数，我们可以获得物体的运动状态。
4. 高阶导数的数学应用高阶导数在数学中也有重要的应用。
例如，在微分方程中，高阶导数可以用于解决一些复杂的问题。
微分方程描述了函数和它的导数之间的关系，通过求解高阶导数，我们可以获得函数的解析解。
5. 高阶导数的性质高阶导数具有一些独特的性质。
首先，高阶导数可以表示函数的曲率。
曲率描述了函数曲线的弯曲程度，通过求解高阶导数，我们可以了解函数曲线的形状。
其次，高阶导数还可以用于展开函数的泰勒级数。
泰勒级数是一种将函数展开成无穷多项式的方法，通过求解高阶导数，我们可以计算函数在某一点的近似值。
另外，高阶导数还满足莱布尼茨定理，即对于两个函数的乘积，它的高阶导数可以通过低阶导数的乘积求得。
6. 高阶导数的计算方法计算高阶导数需要使用一些常用的微积分技巧。
例如，可以使用链式法则和乘积法则来计算高阶导数。
链式法则可以将复合函数的导数表示为内外函数导数的乘积，而乘积法则可以将两个函数的乘积的导数表示为两个函数及其导数的乘积的和。
另外，递归方法也可以用于计算高阶导数。
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
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微积分(上)D2_3高阶导数
03
罚函数法
罚函数法是一种处理约束优化问题的 方法，通过引入罚函数将约束条件加 入到目标函数中，从而将约束优化问 题转化为无约束优化问题进行求解。
实际案例分析与讨论
01
经济学中的应用
在经济学中，高阶导数可以用于描述边际效用的变化率，从而分析消费
者的消费行为和市场需求。例如，通过求解效用函数的二阶导数，可以
复合函数与隐函数高阶导数
复合函数高阶导数
复合函数的高阶导数需要通过链式法则进行 求解，即先求出内层函数的导数，再将其代 入外层函数的导数表达式中进行计算。
隐函数高阶导数
隐函数的高阶导数需要通过对隐函数方程两 边同时求导得到，具体求解过程需要根据方 程的具体形式进行推导。
03
高阶导数在图形分析中应用
高阶导数与函数图像
高阶导数可以反映函数图像的局部性质，如拐点和凹凸性，从而帮助绘制出更准确的函 数图像。
趋势分析
通过分析函数的高阶导数，可以了解函数的变化趋势，如增减性、极值点等，进而对函 数的整体性质有更深入的认识。
曲线渐近线与斜渐近线求解
渐近线定义
渐近线是指当曲线上的点趋于无 穷远时，曲线与某一直线的距离 趋于0，则该直线称为曲线的渐近 线。
可能出现的波动。
05
高阶导数在微分方程中应用
线性微分方程通解结构定理
线性微分方程
线性微分方程是未知函数及其各阶导数都是 一次的方程，通解可以通过特征根和特征向 量求得。
通解结构定理
对于n阶线性微分方程，其通解可以表示为n个线性 无关的特解的线性组合，系数由初始条件确定。
特征根和特征向量
特征根是微分方程对应的特征方程的根，特 征向量是与特征根对应的解空间的基向量。
高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y
ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)
n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6
高阶导数的讲解
dx
f ′( x ) − f ′( x 0 ) lim = f ′′ ( x 0 ), x → x0 x − x0
dx
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n 为正整数） 例１ 求幂函数 y = x（n为正整数）的各阶导数. 为正整数 的各阶导数.
解 由函数的求导公式得
y′ = nx n −1 ,
y′′ = n( n − 1) x n − 2 ,
x
x x
π
π
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×
问题 解答 （1） （2）
试总结函数的高阶导数的常用求法？ 试总结函数的高阶导数的常用求法？ 利用基本高阶导数公式表； 利用基本高阶导数公式表； 应用莱布尼兹公式； 应用莱布尼兹公式；
应用数学归纳法求函数的n阶导数 阶导数； （3） 应用数学归纳法求函数的 阶导数； （4） 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 证明需求导数的函数满足一个微分方程， （5） 证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用 递推公式求高阶导数； 递推公式求高阶导数； 利用复数运算和欧拉公式，求函数的n阶导数 阶导数. （6） 利用复数运算和欧拉公式，求函数的 阶导数.
ห้องสมุดไป่ตู้首页
×
的各阶导数． 例２ 求 y = sin x 和 y = cos x的各阶导数． 解 对于 y = sin x 由三角函数的求导公式得
), y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2 π y ( 4 ) = sin x = sin( x + 4 ⋅ π ), y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地， 一般地，可推得 π ( n) sin x = sin( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 类似地有 π ( n) cos x = cos( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 x 的各阶导数． 例３ 求 y = e 的各阶导数． (e x )′ = e x ,所以 解 因为
f ′( x ) − f ′( x 0 ) lim = f ′′ ( x 0 ), x → x0 x − x0
dx
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n 为正整数） 例１ 求幂函数 y = x（n为正整数）的各阶导数. 为正整数 的各阶导数.
解 由函数的求导公式得
y′ = nx n −1 ,
y′′ = n( n − 1) x n − 2 ,
x
x x
π
π
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问题 解答 （1） （2）
试总结函数的高阶导数的常用求法？ 试总结函数的高阶导数的常用求法？ 利用基本高阶导数公式表； 利用基本高阶导数公式表； 应用莱布尼兹公式； 应用莱布尼兹公式；
应用数学归纳法求函数的n阶导数 阶导数； （3） 应用数学归纳法求函数的 阶导数； （4） 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 先简化分式，然后利用高阶导数求导公式； 证明需求导数的函数满足一个微分方程， （5） 证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用 递推公式求高阶导数； 递推公式求高阶导数； 利用复数运算和欧拉公式，求函数的n阶导数 阶导数. （6） 利用复数运算和欧拉公式，求函数的 阶导数.
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的各阶导数． 例２ 求 y = sin x 和 y = cos x的各阶导数． 解 对于 y = sin x 由三角函数的求导公式得
), y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2 π y ( 4 ) = sin x = sin( x + 4 ⋅ π ), y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地， 一般地，可推得 π ( n) sin x = sin( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 类似地有 π ( n) cos x = cos( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 x 的各阶导数． 例３ 求 y = e 的各阶导数． (e x )′ = e x ,所以 解 因为
二阶及高阶导数的概念及计算
x2 x4 x 2n cos x = 1 − + − L + (−1) n + O ( x 2 n +1 ) 2! 4! ( 2n)!
例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式
1 1 解：∵f'(x)＝ ，f"(x)＝， 2 (1 + x) 1+ x 6 2 (4)(x)＝f"'(x)＝ 4 ，… 3 ，f (1 + x) (1 + x)
π
例4.25
lim 2 求极限 x → +∞
− arctgx 1 x
0 解：当x→∞时原式是 0
型的不定式，用罗必塔法则有
1 − − arctgx 2 x2 lim 2 = lim 1 + x = lim =1 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 + x 1 1 − 2 x x
π
2. 不定式 [定理4.10] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0
π 3π π 3π
当x∈( 内是凹的，
2 2
,
)时，f”(x)＞0，曲线在(
2 2
,
)
3π 3π 当x∈( ,2π)时，f”(x)＜0，曲线在( ,2π) 2 2
内为凸的。
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0 的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤] ⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根； ⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点 (x0,f(x0))不是曲线的拐点。
例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式
1 1 解：∵f'(x)＝ ，f"(x)＝， 2 (1 + x) 1+ x 6 2 (4)(x)＝f"'(x)＝ 4 ，… 3 ，f (1 + x) (1 + x)
π
例4.25
lim 2 求极限 x → +∞
− arctgx 1 x
0 解：当x→∞时原式是 0
型的不定式，用罗必塔法则有
1 − − arctgx 2 x2 lim 2 = lim 1 + x = lim =1 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 + x 1 1 − 2 x x
π
2. 不定式 [定理4.10] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0
π 3π π 3π
当x∈( 内是凹的，
2 2
,
)时，f”(x)＞0，曲线在(
2 2
,
)
3π 3π 当x∈( ,2π)时，f”(x)＜0，曲线在( ,2π) 2 2
内为凸的。
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0 的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤] ⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根； ⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点 (x0,f(x0))不是曲线的拐点。
《D23高阶导数》课件
培养学生对数学的兴趣和热情
教学方法与手段
讲解法：通过讲解D23高阶导数的概念、性质、 计算方法等，让学生理解并掌握相关知识。
练习法：通过布置习题，让学生进行练习，巩 固所学知识。
讨论法：组织学生进行讨论，让学生互相交流 学习心得，提高学习效果。
实验法：通过实验，让学生亲自动手操作，加 深对D23高阶导数的理解。
学习建议：结合实际案例，进 行实践操作，提高应用能力
注意事项
适用对象：高等数学、微积分等课程的学生和教师
使用建议：建议在讲解D23高阶导数时，结合实例进行讲解，以便学生更好地理解和掌握
注意事项：在使用课件时，注意保护知识产权，不得擅自修改或传播课件内容
反馈建议：在使用过程中，如有任何问题或建议，请及时反馈给课件制作者，以便改进和完善课 件内容
高阶导数的微分方程 和积分
高阶导数的几何意义 和物理意义
高阶导数的综合练习 和习题解答
高阶导数的总结和复 习
课件的演示方式
幻灯片演示：通过幻灯片展示D23高阶导数的概念、公式、应用等
视频讲解：通过视频讲解D23高阶导数的概念、公式、应用等
互动问答：通过互动问答的方式，让学生更好地理解和掌握D23高阶导数的概念、公式、应用 等
添加标题
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添加标题
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可微性：导数在定义域内是可微的
导数的极限性质：导数是原函数在 某一点的极限值
导数在数学中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于计算极限、积分等
优化问题：导数用于求解函数的极值和最值，如求函数的最大值和最小值
物理应用：导数在物理学中用于描述物体的运动状态，如速度、加速度等 经济学：导数在经济学中用于描述经济变量之间的关系，如需求曲线、供 给曲线等
D2_3高阶导数
k!
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律 目录 上页 下页 返回 结束
例6.
求
解: 设 u e2x , v x2 ,则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 ) v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼茨公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
16
各x项2 均3含x 因2 子 (x(x2–)(2x ) 1)
n! (x 1)n cos π x2 L
16
(2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f (x) [ f (x)]2 , 则当
n 2 时 f (n) (x) n ! [ f (x)]n1
提示:
f (x) 2 f (x) f (x) 2![ f (x)]3
1
(x 2)(x 1) x 2
B (x 1) Байду номын сангаас
1
1
(x 2)(x 1) x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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《高阶导数的定义》课件
分析能力。
总结
高阶导数的作用与应用
高阶导数在数学分析、物理学、工程领域等有着广泛的应用，可以帮助我们更深入地了解函 数的性质。
总结高阶导数相关知识点
通过本次课件的学习，我们将总结掌握高阶导数的定义、计算方法和相关图像特性。
二阶导数的定义
函数的二阶导数定义
二阶导数是函数导数的导数， 描述函数曲线的凹凸性和曲率。
计算二阶导数的方法
可以通过对一阶导数再次求导， 或使用求导法则和链式法则进 行计算。
函数图像与二阶导数 图像的关系
二阶导数图像能够揭示函数曲 线的凹凸性、拐点和曲率变化。
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数连续求导的过程 中产生的导数序列，可以反映函 数的更多变化。
计算方法
高阶导数的计算可以通过逐次求 导、应用求导法则和链式法则来 实现。
函数图像与高阶导数图像 的关系
高阶导数图像能够揭示函数曲线 更复杂的凹凸性和曲率特性。实例分析 Nhomakorabea1
理解高阶导数概念的必要性
通过实例分析，我们来理解高阶导数的
通过实例来掌握高阶导数的计算
2
重要性和为什么需要深入研究它。
通过实际计算过程，我们将掌握高阶导 数的计算方法和技巧，提高我们的数学
高阶导数可以提供更深入的函数性质分析，揭示函数的更多细节和特性。
一阶导数的定义
1
函数的导数定义
一阶导数是函数在某一点的切线斜率，
计算一阶导数的方法
2
可以通过极限定义或方法求解。
常见的计算一阶导数的方法包括用极限
定义、使用求导法则和运用链式法则。
3
函数图像与一阶导数图像的关系
一阶导数图像能够反映函数上升、下降 和拐点的位置。
总结
高阶导数的作用与应用
高阶导数在数学分析、物理学、工程领域等有着广泛的应用，可以帮助我们更深入地了解函 数的性质。
总结高阶导数相关知识点
通过本次课件的学习，我们将总结掌握高阶导数的定义、计算方法和相关图像特性。
二阶导数的定义
函数的二阶导数定义
二阶导数是函数导数的导数， 描述函数曲线的凹凸性和曲率。
计算二阶导数的方法
可以通过对一阶导数再次求导， 或使用求导法则和链式法则进 行计算。
函数图像与二阶导数 图像的关系
二阶导数图像能够揭示函数曲 线的凹凸性、拐点和曲率变化。
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数连续求导的过程 中产生的导数序列，可以反映函 数的更多变化。
计算方法
高阶导数的计算可以通过逐次求 导、应用求导法则和链式法则来 实现。
函数图像与高阶导数图像 的关系
高阶导数图像能够揭示函数曲线 更复杂的凹凸性和曲率特性。实例分析 Nhomakorabea1
理解高阶导数概念的必要性
通过实例分析，我们来理解高阶导数的
通过实例来掌握高阶导数的计算
2
重要性和为什么需要深入研究它。
通过实际计算过程，我们将掌握高阶导 数的计算方法和技巧，提高我们的数学
高阶导数可以提供更深入的函数性质分析，揭示函数的更多细节和特性。
一阶导数的定义
1
函数的导数定义
一阶导数是函数在某一点的切线斜率，
计算一阶导数的方法
2
可以通过极限定义或方法求解。
常见的计算一阶导数的方法包括用极限
定义、使用求导法则和运用链式法则。
3
函数图像与一阶导数图像的关系
一阶导数图像能够反映函数上升、下降 和拐点的位置。
导数的二阶及三阶的几何意义
导数的二阶及三阶的几何意义导数的二阶及三阶，是微积分中的重要概念，它们在几何上有着深刻的意义。
通过理解导数的二阶和三阶，我们可以更好地理解函数的曲线特征和变化规律。
让我们来看一下导数的二阶。
导数的二阶表示的是函数的变化率的变化率。
换句话说，它描述了函数的变化速度的变化速度。
以一个简单的例子来说明，假设我们有一个函数，描述了一个物体在一条直线上的位置随时间变化的规律。
函数的一阶导数表示了物体的速度，即物体每秒钟在这条直线上移动的距离。
那么函数的二阶导数就表示了物体的加速度，即物体每秒钟速度的变化量。
通过函数的二阶导数，我们可以了解物体的加速度是逐渐增加还是逐渐减小，以及加速度的变化趋势。
接下来，让我们来看一下导数的三阶。
导数的三阶描述的是函数的变化率的变化率的变化率。
虽然听起来有些复杂，但它实际上非常有用。
以同样的例子来说明，函数的三阶导数表示了物体的加速度的变化率，即加速度每秒钟的变化量。
通过函数的三阶导数，我们可以了解加速度的变化趋势是逐渐增加还是逐渐减小，以及加速度变化的速率。
从几何角度来看，导数的二阶和三阶可以帮助我们理解函数曲线的弯曲程度和曲率。
二阶导数告诉我们函数曲线的凸性和凹性，即曲线是向上凸起还是向下凹陷。
三阶导数则告诉我们曲线的弯曲程度，即曲线是弯曲得非常厉害还是相对平缓。
通过对函数曲线的凸性、凹性和弯曲程度的分析，我们可以更好地理解函数的形状和特征。
总结起来，导数的二阶和三阶在几何上的意义是描述函数的变化率的变化率和变化率的变化率的变化率。
它们帮助我们理解函数曲线的凸性、凹性和弯曲程度，从而更好地理解函数的形状和特征。
通过对导数的二阶和三阶的几何意义的理解，我们能够更深入地探索函数的性质和行为。
一阶二阶三阶导数
一阶二阶三阶导数微积分是数学中的一个重要分支，其中导数是其中一个重要的概念。
导数用来描述函数在某一点的变化率，而一阶、二阶和三阶导数则进一步描述了函数在各个点的变化。
一阶导数是导数的最基本形式，表示函数在某一点的瞬时变化率。
一阶导数通常用符号f'(x)来表示，其中f(x)表示函数在x点的取值。
一阶导数也可以表示为lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h，其中h趋近于0。
二阶导数则描述了函数的曲率和凸凹性。
二阶导数可以通过对一阶导数再求导的方式得到，记为f''(x)。
如果函数的二阶导数大于0，那么函数在该点是凸的；如果二阶导数小于0，则函数在该点是凹的；如果二阶导数等于0，则函数在该点处可能是转折点。
三阶导数进一步描述了函数的曲率的变化，它表示函数的曲率的变化率。
三阶导数可以通过对二阶导数再求导得到，记为f'''(x)。
如果函数的三阶导数大于0，那么函数在该点的曲率是向上的；如果三阶导数小于0，则曲率是向下的；如果三阶导数等于0，则曲率可能是零点或者转折点。
在实际问题中，导数的概念和计算可以帮助我们解决各种实际问题。
例如，在物理学中，速度的导数可以用来描述物体在某一时刻的加速度；在经济学中，边际收益的导数可以用来描述某项决策的效果；在工程学中，斜率的导数可以用来描述线性电路中的电压和电流变化。
总的来说，一阶、二阶和三阶导数是微积分中重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解函数的变化和曲线的形态。
在实际应用中，熟练地掌握导数的计算和理论可以帮助我们解决各种实际问题，并取得更好的结果。
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y(4) ( 1)( 2)( 3)x4 ,
故
当 n 时, (xn )(n) n(n 1)(n 2) (n n 1) n!
(xn )(n1) 0.
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二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
(含导数 y的方程)
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例1. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
再代入 ② 得
y(0) 1
e
y(0)
1 e2
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x
y
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
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例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dxdΒιβλιοθήκη dx1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0, 故
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例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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例4. 求由方程 x y 1 sin y 0 所确定的隐函数的
2
d2y 二阶导数 dx2 .
解: 应用隐函数的求导方法
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例6. y (x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
两边取对数
( ln u ) u u
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
(n 1)! , y(n) (1)n1 (1 x)n
思考:
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
规定 0 ! = 1
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例7. 设 y x ( 为任意常数), 问
解:
y x1,
y ( 1)x2,
y ( 1)( 2)x3,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1. y ax b, 求 y. 例2. 设 s sin t, 求 s.
例3. 证明：函数 y 2x x2 满足关系式 y3 y 1 0.
例4. 求指数函数 y ex 的 n 阶导数.
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1111
x 1 x 2 x 3 x 4
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
1 dy 1 cos y dy 0, dx 2 dx
得
dy 2 . dx 2 cos y
两边对 x 求导
d2y dx2
2sin y (2 cos
dy
dx y)2
4 sin (2 cos
y y)3
.
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对数求导法
例5. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
例5. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
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例6. 设
求
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x)2
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
上节内容小结
求导公式及求导法则 (见 P95)
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
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第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
2!
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思考与练习
1. 试从
导出
解：
d2 x d y2
d dy
dx dy
d dx
1 y
dx dy
1 y
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
2. 设 解:
求 其中 f 二阶可导.
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第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
相关变化率
莱布尼兹(Leibniz) 公式
推导 目录 上页 下页 返回 结束
例8.
求
解: 设 u e2x , v x2 , 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 ,, 20 )
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2