新教材中“向量”的魅力
探究高中数学新课程中的向量及其教学
探究高中数学新课程中的向量及其教学高维玺：在高中数学新课程中，向量是解析几何解题时不可或缺的工具。
高中数学中加强向量教学不仅能够提高学生的运算能力，明白得数学运算的价值，深入体会数形结合的思想，还有助于学生体验数学与实际生活的联系，在高中数学中加强向量教学意义深远。
在简单阐述了高中数学向量教学价值的基础上，着重分析了高中数学新课程中向量教学需注意的问题。
：高中数学；新课程；向量教学一、高中数学向量教学价值分析向量具有重要的教学价值，在数学、物理以及现代科学等各领域都有重要的应用。
在数学中，向量是一个专门重要的工具，向量能够对位置进行准确的刻画。
同时，向量不仅是几何的对象，依旧代数的对象，不仅可利用向量进行数学运算，同时还可刻画切线、平面、面积以及体积等几何对象与度量。
此外，还可利用向量求距离与夹角等。
在物理中，向量的原型即为矢量，向量能够准确地刻画加速度、位移、力等物理量，具有较强的实际意义。
在现代科技领域，向量被广泛地运用于飞船设计以及卫星定位等方面。
二、高中数学新课程向量教学的注意事项1.在向量教学中，要兼顾其代数性质与几何意义（1）注重向量的代数性质向量的代数性质要紧表达在运算意义以及运算律上，在实际的向量教学中，老师要注意引导学生总结数学运算律。
例如，在苏教版数学必修四的向量与实数乘积的运算中，老师要采取适当方法引导学生总结向量与实数的数乘运算满足的运算结合律λ（μ）a=（λμ）a以及第一与第二分配律等，让学生在把握各运算律的基础上，了解线性空间的性质，了解数学运算律关于向量运用的意义。
（2）注重向量的几何意义利用向量来刻画几何对象是向量代数性质几何意义的重要表达。
例如，mn=0的几何意义表达为向量m与向量n两者是垂直的，从而将向量的代数运算有效地与其位置关系相联系，进而将其与直线的关系相联系。
再如，m m的几何意义表现为向量m长度的平方，从而将向量长度与其数量积运算进行联系。
因此，在高中数学新课程的向量教学中，老师应重点引导学生将向量的几何意义以及向量代数运算展开联系，关心学生更好地明白得向量数量积的几何意义，从而更好地利用向量代数性质对几何对象进行刻画，让学生能够深刻体会几何与代数两者间的联系。
新教材中向量的地位和作用
浅议新教材中向量的地位和作用高中新教材刚刚在内蒙古开始实施，在新教材的实施过程中引起了人们的广泛关注，特别是作为一线教师，在教学中得到更深的体会，新教材中向量具有广泛的应用。
研究向量的地位和作用，研究向量与其他数学内容的关系，对全面把握教材有十分重要的意义。
同时要正确把握向量的教学，还必须全面认识、深入研究向量与其他教学内容的关系，把握向量的地位和作用，也有助于我们全面把握新教材的教学，下面以普通高中课程标准实验教科书数学人教b 版来研究向量与其他数学内容的关系。
一、向量与平面几何的关系我们必须充分认识到平面几何是学习平面向量的重要载体，没有平面几何的载体，很难让学生简单明了地理解向量的一些概念，同时，简单的平面几何问题又是向量很好的训练载体。
1.向量的概念是由平面几何引入的，向量的定义、表示、线性运算等基本概念都是由平面几何引入的。
数量积定义、运算等也是如此，可以说平面几何是向量的基础，使向量更加形象直观，易于接受，灵活多变。
2.用平面向量证简单平面几何问题在必修4教材的104页例2证明三点共线及111页的例2，113页的例2、例3、例4用数量积证明垂直问题、夹角问题中，让学生初步体会向量法证明的特点，也为《2.4向量的应用》中的向量在平面几何中的应用做了铺垫，体现了“螺旋上升”的理念，教师在教学中要正确认识教材的编写意图。
用向量法证明平面几何问题，在教材117页给出了3个例题，分别是解决全等平行、互相平分、垂直等问题，并运用了向量的线性运算、定理及数量积。
由此可见，用向量证明平面几何问题主要是深入地掌握平面向量的概念，其次才是初步体会向量方法的运用，不能用向量法证明过多、过难的平面几何问题，否则会导致学生负担过重，使教学效果适得其反，一定要把握“用平面向量方法证几何问题”的度。
二、向量与解析几何的关系“向量的坐标表示”使向量与解析几何建立了一定的联系。
从而使向量和解析几何得到了相互促进和发展。
高中数学新课程中学习向量的体会
高中数学新课程中学习向量的体会作者：李舒凝来源：《速读·中旬》2017年第12期摘要：在高中数学中，向量的学习内容占着很大的比重，而且利用向量能够具体解决各种数学问题，它能够更加精确地表示出某个空间或者是平面图形中的具体点、线以及面的具体位置。
本文就新课改下高中数学向量知识的变化进行分析，并总结向量知识的学习方式。
关键词：高中数学；新课改；向量；学习向量是高中数学中的一项重要知识点，不仅与我们数学知识的学习息息相关，在物理学科中，也有着广泛的应用。
近年来的高中数学新课程标准中进一步确定了向量的重要地位，在学习难度上，也显著加大。
在我们所学的必修课程与选修课程中，分别设置了平面向量、空间向量内容，与传统大纲相比，新课程中向量内容无论是在知识结构、基本理念、内容设置，还是实施操作上，都出现了显著的变化。
要学好向量，我们需要掌握向量的本质，从多个角度来理解向量的内涵。
1对向量学习的认识早在19世纪，科学家们就已经将向量作为研究对象，展开了深入的研究，在20世纪初期，向量被引进了中学数学课本中，向量这一知识点具有几个突出的特征：1.1既有大小又有方向向量属于数学与物理学的范畴，向量不仅有大小，也有方向，如位移、力、加速度、电场强度、动量等等，都是矢量，这些矢量也是数学向量的一个现实原型，为数学向量问题的研究提供了丰富的理论支持。
1.2是代数的研究重点代数问题的基本研究对象就是运算与相关的规律，向量能够进行加、减、乘、除、点乘、叉乘等运算，这些运算方式赋予了向量特定的结构，让向量具备了更加丰富的性质，成为了代数知识的重点内容。
1.3是几何的重点内容几何学的基本研究内容就是物体的位置与形状，利用向量可以来表示物体位置，因此，向量也是几何学的一项基本研究内容。
向量既有方向，也可以刻画平面、直线的位置关系，解决面积、长度、体积的计算问题。
1.4是搭建几何、代数之间的沟通桥梁向量是有向的线段，可以利用向量来确定位置，而借助于代数和向量，则可以解决几何中的角度、长度问题。
向量对数学教学的影响
向量对数学教学的影响内容摘要：新教材引入向量后，对中学数学教学产生了极大的影响，因为它应用领域极为广泛，可渗透到众多的数学模块中，如向量在三角函数、立体几何、解析几何等中的应用，为数学问题开拓了新的思路，也使解题方法更加快捷与多样化，关键词：向量应用课程改革课程改革的一项重要内容就是更新了教学内容，增加了简易逻辑、向量、概率统计、微积分等内容。
新增加的内容是大纲修订和考试改革的亮点……解析几何的解答题以向量为主线，将向量、三角、数列与解析几何等知识巧妙地结合；因此可以说，新课程改革增加的内容的考试形式和要求已经发生了变化，向量、已经由以前只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
可见向量在今后高考中的作用和地位。
特别的是对高考复习教学的影响，在复习时应改变传统的复习思路与模式，对向量在各知识点上多一点穿插和应用。
一、定理、公式的证明和有关性质的推导时可借助向量知识解决定理、公式的证明不要仅仅呈现它的结论，也要关注知识产生的过程，当复习正弦定理与余弦定理时，将向量的数量积与三角形的边长及三角函数联系起来。
掌握向量与三角知识间内在联系的规律，把感知上升为理解和应用。
又如复习正弦余弦的两角和差公式时，用传统方法过程比较复杂，如果利用数量积的相关内容来解决却是那样的简洁明了。
例1，利用向量证明余弦定理如图，在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b。
二、发挥向量知识在解题中的作用，向量知识在立体几何、解析几何以及不等式等知识方面均能得到较充分的应用，因为向量具有几何形式和代数形式的双重身份，它可作为联系代数与几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点。
因此向量不仅要作为一种知识去学习，更重要的是要作为一种方法、一种思想去理解。
（1）向量知识在立体几何中的应用。
现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中的思维方法和解题方法，因为用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化，向量在解决垂直、夹角和距离等问题时有它的优越性。
高中数学新课程中向量及教学方法初探
高中数学新课程中向量及教学方法初探高中数学新课程中的向量是一门重要的学科，它是数学中的一个分支，也是物理学、工程学等应用科学的基础。
向量的概念和性质对于学生在高中阶段的数学学习和继续深入学习数学相关学科非常重要。
本文将对高中数学新课程中的向量以及教学方法进行初步探讨。
向量的概念：在二维坐标系中，向量可以表示为有方向和大小的箭头。
向量的大小可以用模长表示，方向可以用箭头的方向表示。
向量可以通过两个坐标点表示，也可以通过一个坐标点和一个长度和角度表示。
向量的运算：向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
向量加法的结果是两个向量的和，向量减法的结果是两个向量的差，数量乘法是将向量的每个分量乘以一个常数。
向量的运算有一些特殊的性质，例如交换律、结合律和分配律等。
向量的性质：向量有一些重要的性质，例如零向量、单位向量、相等向量和相反向量等。
零向量是长度为0的向量，单位向量的模长为1。
相等向量的模长和方向都相等，相反向量的模长相等而方向相反。
向量的坐标表示：在坐标系中，一个向量可以用它在x轴和y轴上的投影表示。
向量a的坐标表示为(a1, a2)，其中a1是向量a在x轴上的投影，a2是向量a在y轴上的投影。
向量的应用：向量在物理学和工程学中有广泛的应用。
力、速度和加速度都可以用向量表示。
向量还可以用于描述物体的位移和位移的变化等。
向量的教学方法：在教学向量的过程中，可以采用多种教学方法来帮助学生理解和掌握向量的概念和运算。
可以通过引入实际问题和应用案例来激发学生的兴趣和学习动力。
可以通过引入物理学中的力和速度等概念来说明向量的应用。
可以通过图形化表示来帮助学生理解向量的几何性质。
可以通过绘制向量的箭头和坐标轴来帮助学生形象地理解向量的方向和大小。
可以通过实践操作来加深学生的理解和记忆。
可以设计一些向量的运算练习和模拟实验来培养学生的运算能力和实践能力。
可以通过教学资源的利用来丰富教学内容。
可以利用数学软件和互联网资源来进行向量的可视化展示和实时演示，提供更多的例题和习题供学生练习和巩固。
新教材高一数学向量知识点
新教材高一数学向量知识点高中数学是学生进入高等教育的重要基础，而向量作为数学的重要分支之一，在高中数学教学中占有不可忽视的地位。
新教材高一数学向量知识点的引入，在一定程度上对学生的学习和思维方式起到了积极的影响。
接下来，我们来详细探讨一下新教材高一数学向量知识点的特点和应用。
一、向量的基本概念向量是高中数学中一种重要的数学工具，它可以表示有大小和方向的物理量。
在新教材中，向量的基本概念被系统地介绍，学生可以通过学习向量的定义、表示和运算等内容，逐渐建立起对向量的直观感受和数学抽象能力。
二、向量运算法则在学习向量的运算法则时，学生需要掌握向量的加法、减法、数乘和内积等基本运算。
这些运算法则在实际问题中起到了重要的作用。
通过运用这些法则，学生可以解决一些几何、力学等领域的问题，提高他们的实际应用能力。
三、向量的数量积和向量积新教材高一数学还引入了向量的数量积和向量积的概念。
数量积是两个向量的内积，它可以得到两个向量之间的夹角和它们的数量关系。
向量积是两个向量的外积，它可以得到一个新向量，该向量既垂直于原有向量，又满足一定的数量关系。
通过学习向量的数量积和向量积，学生可以更好地理解向量的几何意义和物理应用。
四、向量与线性代数新教材高一数学中还融入了向量与线性代数的知识点。
通过引入线性方程组和矩阵的相关内容，学生可以将向量与线性代数进行有机的结合。
这样的安排可以帮助学生更好地理解向量的代数性质和线性空间的概念。
同时，它也为学生今后的线性代数学习打下了坚实的基础。
五、向量的几何性质向量在几何中具有很多重要的性质，这些性质在新教材高一数学中也有涉及。
例如，平面上的三角形的重心和内心可以通过向量的平移和旋转来表示。
此外，学生还需要学习向量与直线的关系以及向量在解析几何中的应用。
通过研究这些几何性质，学生可以获得更深入的数学思维和空间想象力。
结语：新教材高一数学向量知识点的引入，为学生提供了更有趣和发散思维的学习体验。
谈高中教材中的“向量”内容
谈高中教材中的“向量”内容邹琼艳一、向量内容引入的意义1、从中学几何教材的演变看“向量”引入的意义欧几里得(Euclid约公元前330—前295)的《几何原本》问世至今已两千三百年了,《几何原本》对世界几何教育产生了极其深远的影响。
上世纪末希尔伯特(Hilbert1862—1943)发表《几何基础》,建立了完善的欧氏几何公理体系。
但无论是《几何原本》还是《几何基础》,都不是为初学者所写。
勒让德(Legendre1752—1833)1794年为学生写的新几何教材广为流传(一百多年发行33版)。
在此基础上各国编写了各自的几何课本。
我国现行中学几何教材的基础是解放初参照前苏联几何课本和其他几何课本编写而成的。
四十多年来虽然经过多次修改，但基本上是欧氏几何传统内容，解题方法主要是欧氏几何的综合方法。
随着时代的变迁，数学的方法发生了变化。
因此，传统的欧氏几何作为现代中学的课本显然是不适宜了，但若把欧氏几何完全拒之于中学门外，也是不正确的。
如何把欧氏几何中具有较高教育价值的部分与现代社会的需求有机地结合而编写出新的几何教材是数学新教材解决的问题。
我国《新大纲》中向量的引入，用向量作为工具处理立体几何问题，正是适应这一改革趋势的一项重大举措。
初中采用传统的欧氏几何方法,有利于继承欧氏几何中具有较高教育价值的部分。
如：(1)欧氏几何的鲜明的几何直观与严谨精确的语言的训练；(2)欧氏几何的综合方法对培养学生的逻辑思维能力的训练。
通过初中阶段的学习,基本掌握综合方法后，在高中立体几何中便可以从新的高度上用向量的方法去解决问题，同时利用向量作为工具处理立体几何问题，也即把空间结构系统代数化,把空间的研究从“定性”推向到“定量”的深度,有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,既直观又容易接受。
2、从学生学习课程的安排上看高中教材向量引入的意义向量的引入除在立体几何中产生较大影响外，对于中学教材的其它一些内容，也可促进改善教材结构，优化教材内容，简化解题方法。
高中数学新课程中的向量及其教学论文
高中数学新课程中的向量及其教学论文高中数学新课程中的向量及其教学论文摘要：向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。
在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。
向量的教学应突出物理背景，注重向量的代数性质及其几何意义，关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。
关键词：数学新课程；向量；教学向量是高中数学新课程中的重要内容。
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中，在必修课程（数学4）、选修课程（系列2—1）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。
笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到，相当一部分数学教师认为高中数学课程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具，以简化几何证明。
因此，对于向量教学的研究主要集中于向量在解几何问题中的应用，向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧上。
本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注意的几个问题做一探讨。
一、对向量的认识向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。
我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。
这次，《标准》中也设置了向量的内容。
高中数学新课程中之所以设置向量的内容，是基于以下几方面的认识。
（一）向量具有丰富的物理背景矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。
如，力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。
这些量贯穿于物理学的许多分支，都是数学中的向量的现实原型，为数学中的向量提供了丰富的物理背景。
（二）向量是几何的研究对象物体的位置和形状是几何学的基本研究对象。
向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象。
作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。
向量遍地开花高中数学新教材培训有感完美课件
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一、新旧教材结构的变化：增加了距离问题和夹角问题
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二、关注投影向量的意义及其在解决距离问题中的作
用
空间向量投影是《课程标准（2017年版）》新增加的 内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确 的要求. 我们在编写教科书时，关注了课程标准的这一变化 . 向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换， 得到的投影向量是变换的结果，是低维的空间向量. 空间向 量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问 题有重要意义.
新教材
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大量篇幅给出证 明过程，并没用 放在阅读与探究 里面，原来理科 生也很少讲。体 现出向量的作用。 教学思考： 老师上课时如何 处理证明过程？
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一、新旧教材结构的变化
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数学史适当 融进课堂
向量遍地开花---2020高中数学新教材 培训有 感课件 向量遍地开花---2020高中量在其他数学模块中的 应用，充分体现了向量的工具性特点。
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下面以向量法证明正弦定理为例进行说明其应用。
原教材
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浅析向量在高中数学中的角色
浅析向量在高中数学中的角色在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点、线、面的位置关系，接着必修四第二章学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空间向量与立体几何充分将之前学过的内容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，空间几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
根据2010年的《高考大纲》数学科目在2009年的考纲的基础上基本没有变动。
这一特点说明全国高考数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基础，突出能力，着力创新”的特色。
《考纲》强调了对数学基础的考查。
对数学基础知识的考查，要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不要刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。
我仔细研读《考纲》对“考试内容”的具体要求，不难发现，其重点内容集中在函数、导数、三角函数、向量、概率与统计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知识体系的重点内容。
所以在这里依据考纲，在全面复习的基础上重点把握个别热点问题。
现在我就以对向量在高考中扮演的角色及向量的教学与成果，总结以下几点认识与同行进行分析、共享，希望能抛砖引玉。
浅析高中数学教材向量的引入
摘 要 ： 着 以《 随 大纲》为基 础 的数 学教 学 实验 的推 广， 着新 的 高中数 学 国家课 程 标 准的研 制和教 学 实验 ， 向量 ” 入 中学数 学的步 随 “ 进 伐越来越 大。 在新教材 中， 向量 已独立成章 ， 新教材之 所以增 加向量 的内容 ， 不仅是 因 为教材 内容的 陈Ｉ Ｎ而增加 新的 内容 以适 用形式 的需 要， 更是 因为向量是 解决 问题 的有效 的思想方 法， 为教 材增加 了新鲜 的血 液 ， 它 使得教 材体 系更加 富有活 力， 更有利于 学生思维的 发展 。 关 键词 ： 学教 材 向量 引入 数 中图分类 号 ： ３ ６ Ｇ６ ３． 文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ： ７ －９ ９ （ ０ ｏ ｏ （） Ｏ ７ －０ １ ３ ７ ５２ １ ）３ａ－ ０ ９ １ ６ ２ 世纪初 ， Ｏ 人们 把 空 间性 质 与 向量 运 算 联 系起 来 ， 向量 成 为 使 套 具 有 优 良运 算 通 性 的 数 学 体 系 。 向量 具 有 几 何 形 式 与 代 数 形 式 的 双 重 身 份 ， 有 明确 的 几 何 意 义 ， 能象 数 一 样 的 运 算 ， 而 既 又 从 给 了 我 们 一 种 新 的 数 学 方 法 —— 向量 法 。 量 把 几 何 从 思 辨 数 学 向 化成 算 法 数 学 ， 技 巧性 解 题 化 成 算 法 解 题 ， 一 种 简 单 可 行 的 通 将 是 法。 向量 既 有 几 何 、 数 学 中 的 综 合性 特 点 ， 具 有 解 析 法特 点 ， 代 又 是 种 广 泛 应 用 性 的 方 法 。 为一 名 高 中教 师 ， 适 应 高 中教 材 改 革 作 为 的 新 情 况 ， 进 一 步 研 究 了 引入 向 量后 教 材 体 系 发 生 的 变 化 及 向 我 量帮助我们解决 的各类问题 。
高中数学向量的教学认识及其教育价值
高中数学向量的教学认识及其教育价值
在高中数学中，向量是一种特殊的数学对象，具有大小和方向。
向量可以用来描述物体的运动、重力场的形态、电磁场的强度等。
向量的教学在高中数学课程中通常出现在二维几何和三维几何的章节中。
向量的教学具有很高的教育价值。
首先，向量的概念和运算对学生的几何感知能力和抽象思维能力都有很大的提升。
学生在学习向量的过程中，不仅要掌握向量的基本概念和运算法则，还要学会把向量应用到实际问题中。
这就要求学生具备较强的几何感知能力和抽象思维能力。
其次，向量的学习能够帮助学生更好地理解物理问题。
向量可以用来描述物体的运动、力的作用等，因此学习向量对于学生学习物理具有很大的帮助。
学生在学习向量的过程中，可以更好地理解物理问题中的向量概念，从而更好地学习物理。
最后，向量的学习还能够提升学生的解决实际问题的能力。
在日常生活中，我们经常会遇到许多实际问题，如规划路线、计算距离等。
这些问题都可以用向量的方法来解决。
学习向量能够帮助学生掌握向量的基本概念和运算法则，并学会将其应用到实际问题中，从而提高学生解决实际问题的能力。
总之，向量在高中数学中具有重要的地位，其学习具有很高
的教育价值，可以帮助学生提升几何感知能力、抽象思维能力、理解物理问题的能力以及解决实际问题的能力。
新教材中向量的魅力
新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中学 张根荣（313000）新教材中的向量是新增的内容，是我们所熟知的代数内容，它是沟通数和形内在联系的有力工具。
在几何学中，把几何图形看作是点的集合，而点可以与其向径一一对应。
因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合。
这样，几何中所涉及的度量关系和位置关系，都可以转化为某种向量代数的运算。
这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法有其独特的魅力：1、用向量法解题用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，因此使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。
这是因为向量具有多方面的特性：向量的起点可以任意选择；同时对向量可以进行线性运算、数量积和向量积，并且向量既有有向线段表达式又有坐标表达式，任一空间向量都可以在三个不共面向量（包括三个互相垂直的向量）上分解，同样对于平面上的任一向量，也均可在两个不共线的向量上进行分解。
这样就可使得空间的几何结构数量化了。
另外向量运算的定义与运算的规律，是和坐标系的选择无关的。
所以向量法证几何题明显优越于解析法。
因此，所有向量的这些特性，决定了向量代数知识在解答几何问题上，具有突出的简化作用和广泛的适用范围，是我们解中学几何题的捷径。
利用向量法解中学几何题的方法是多种多样的，但我们有一般规律可循：1.1证线段相等问题用向量法证明线段的相等问题过程较为简明，基本思路是证明向量的模或模的平方相等。
也就是说，欲证两线段，可设法证明。
例1 的中线和相等，求证：.证明：设，且，则, 即∴ 两边平方，整理可得，故。
此证法是运用向量知识，经过简单的运算就可得到答案，书写也很方便。
如果用几何证法，需添设辅助线，解题的思路较为曲折，不易表达清楚，下面给出一般的几何证法，以资比较。
证明：连接，过，作的垂线，垂足为，。
∵、分别是、的中点，∴∴ 又∵且，∴，∴而，，∴，∴，即，∴。
1.2 证两角相等问题对共面二直线所成角的考察，可在此直线上适当设置向量、，就把原问题转化为对向量、间夹角的考察，这正是我们所要利用的证题思想。
高中数学向量的应用价值分析
高中数学向量的应用价值分析数学向量是高中数学中的重要概念，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在物理、工程、计算机科学等领域中具有重要的应用价值。
本文将从实际应用的角度分析高中数学向量的应用价值。
高中数学向量在物理学中有着重要的应用。
在物理学中，向量被用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
在描述物体的运动过程中，需要使用向量来描述物体的位移和速度，而在力学中，向量则被用来描述物体受到的力和力的方向。
在电磁学中，向量也被广泛应用，如描述电场、磁场等物理量。
学习和掌握高中数学向量是理解物理学理论和解决物理学问题的重要基础。
工程领域是另一个高中数学向量的重要应用领域。
在工程设计和建筑中，需要使用向量来描述和分析各种物理量，如力、力矩、速度、加速度等。
在建筑和土木工程中，需要用向量分析和计算物体受力的情况，以确保建筑结构的稳定性和安全性。
在机械工程中，向量也被广泛应用于描述物体的运动和受力情况，如机械传动系统的分析、机械零件的设计等。
掌握高中数学向量对从事工程设计和建筑工程的学生来说是非常重要的。
高中数学向量在计算机科学中也具有重要的应用价值。
在计算机图形学、计算机游戏设计和计算机视觉等领域，向量被广泛应用于描述和操作图像、动画等多媒体数据。
在计算机图形学中，需要使用向量来描述和控制图像的位置、大小、旋转等变换，而在计算机视觉中，向量则被用来描述和识别图像中的特征和模式。
学习高中数学向量有助于理解和应用计算机科学中的相关技术和方法。
高中数学向量在物理、工程和计算机科学等领域都具有重要的应用价值。
掌握高中数学向量不仅有助于理解这些领域中的相关理论和方法，还有助于解决实际问题和开展科学研究。
学生应认识到高中数学向量的重要性，努力学习掌握这一重要的数学概念。
高中数学向量的应用价值分析
高中数学向量的应用价值分析数学是一门抽象且充满美感的学科，而向量作为数学中一个重要的概念，不仅具有深厚的理论意义，更是在实际生活中有着广泛的应用。
在高中数学课程中，向量是一个重要的知识点，通过学习和掌握向量的相关知识，可以帮助学生更好地理解数学的抽象思维和逻辑推理能力，更好地应用数学知识解决实际问题。
对于高中数学向量的应用价值进行深入分析，可以帮助我们更好地认识向量的重要性和实用性。
高中数学向量的应用价值体现在以下几个方面：1.几何问题求解向量是几何学的基础概念之一，通过向量的坐标表示和运算，我们可以求解许多几何问题。
通过向量的线性组合求解平面几何问题，通过向量的数量积求解角度、距离、面积等问题，通过向量的叉积求解平行四边形、三角形的面积等等。
这些几何问题的求解过程都可以归结为向量运算和向量性质的应用，而向量在几何问题中的应用具有直观性和简洁性，使得复杂的几何问题可以通过向量的计算和推导得到简单的解决办法。
2.物理问题建模在物理学中，很多物理量都是通过向量表示的，如位移、速度、加速度、力等。
通过对向量的运算和性质的应用，我们可以对物理规律进行建模和分析，从而求解物理问题。
通过向量的叉积可以求解力矩和扭矩的大小和方向，通过向量的数量积可以求解物体的动能和动量等等。
这些物理问题的建模过程都需要借助向量知识进行分析和求解，而向量的应用也为物理学的发展和研究提供了重要的数学工具。
而在高中数学教学中，如何更好地强化向量的应用价值，提高学生的数学实际应用能力，是一个值得重视的问题。
可以通过以下几个方面来加强高中数学向量的应用教学：1.注重实际问题的引入在向量的教学过程中，可以通过引入一些实际问题和案例，让学生了解向量在实际生活中的应用，并引导学生学会运用向量知识解决具体的实际问题。
可以引入一些关于导航、力学、结构、电路等方面的问题，让学生通过向量的运算和性质求解这些实际问题，从而增强他们的实际应用能力。
2.强化向量的跨学科应用在向量的教学过程中，可以结合其他学科的知识，强化向量的跨学科应用。
魅力工具--话说向量
P魅力工具--话说向量摘要 向量---它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，造就了向量的神奇魅力，它就像小精灵穿插于数学知识结构的各个方面，是解决数学问题的锐利武器。
如果我们能重视向量的教学，让学生掌握向量这一利剑，必然能引导学生在解题中拓展思路，减轻负担。
关键词 精灵 利剑 代数运算 几何问题 空间向量 立体几何 法向量 坐标化 通过《高中数学新课程教材北师大版·数学-必修四》第二章 平面向量的学习，让学生对向量有了初步认识，再到选修2-2的空间向量与立体几何的内容有机的结合，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简洁，让学生领会到了向量解题的神奇效果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。
向量---它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
在高中数学体系中，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
因此，向量在数学中表现出极强的工具性。
一、向量是代数学中的精灵平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及内积的应用，对解决数形结合的问题起到了化难为易、简化运算的作用。
㈠、用向量来解决解析几何中的问题。
例1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足C O =OA OB αβ+，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ）． （Ａ）5)2()1(22=-+-y x （Ｂ）01123=-+y x（Ｃ）02=-y x （Ｄ）052=-+y x方法一、这道题可以用向量的坐标表示计算。
设),(b a C ，由题意)3,1()1,3(),(-+=βαy x )3,3(βαβα+-=．于是 ⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x ① ②①＋②×2得: 5)(52=+=+βαy x ．于是点C 的轨迹方程为052=-+y x ． 方法二、利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题的结论：已知B O A O ,不共线，若有OP OA OB αβ=+，且1=+βα，则A ，B ，P 三点共线如(图1 )该选择题给出了共线的一个条件．因此C 点在B A ,两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有313131---=--x y ，即 052=-+y x ． 另外还有一法，既然这道试题给出的条件可以看得出A ，B ，C三点共线，那么点C 的轨迹就是直线AB ，因此只要把A 点、B 点的坐标代入(A)，(B)，(C)，(D)选项的方程中检验，便可知是（Ｄ）052=-+y x从这道试题可以启发我们，在教学中一定要落实课本，用足例题,最大限度地发挥例题在培养数学能力上的作用．例2. 如(图2)，已知两点P(-2,2)、Q(0,2)，以及直线l ：y=x ，设有长为 2 的线段在直线l上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程。
向量知识作为高中数学新教材新增的重要内容
向量知识作为高中数学新教材新增的重要内容,其实际应用是极其广泛的,是解决数学问题时一种强有力的方法.向量集数与形一体,沟通了代数、几何与三角函数,用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,并能开发学生数学思维能力,提高学生解决数学问题的能力1．对于教学整体设计上的反思本节课在内容上偏于理论，在教学内容的具体实施上，甚至于在教学时间的控制和把握上都有一定的难度。
如何实现本节的教学内容并且还要切实落实好教学三维目标。
在通过对教参的多次讨论过程中，一条清晰地脉络形成了，那便是：从一维（共线定理）到二维（平面基本定理）再到三维（空间向量），而经过教学实践也证明了这种设计不仅符合学生的认知规律，而且还充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生领会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学学习的能力。
2．对教学过程的反思（1）在平面向量基本定理的形成过程中，主要设计了两大问题，对问题的解决采取的是学生的“自主探究、小组合作”，还有学生的“观察发现、类比归纳、抽象概括”等学习活动，目的是让学生能够充分的参与到学习过程之中，这样的设计当然会对学生的学习产生积极的作用。
但在课堂教学实施过程中，我也的确感受到了学生在学习过程中的差异，有部分学生的学习还是比较被动，真正要涉及到问题的自主探究，实施起来还是比较茫然，必须要有及时的引导才能跟上其他人的节拍。
通过这节课我更加关注学生的差异，认识到课堂教学不应只面对一部分学生，“面向全体”是对我们教师的一个基本要求。
（2）在向量坐标表示的设计中，向量与有序实数对的一一对应是不应受到基底的选择以及坐标系的影响的，但现阶段的学生对于“坐标”一词仅仅是局限在直角坐标系中，他们基本上就没有其他形式的坐标系的想法。
在一开始的教学设计中，我没有把这一环节作为难点，认为有了有序实数对学生自然就会想到坐标。
下面我就本节课里一些细节提出自己的看法.赵老师上课很有激情,逻辑性很强,这当然应该是我们数学老师追求的,遗憾的是节奏太快,学生好像是被老师牵着鼻子走,学生自主探索方面好像被削弱了,所以我觉得应给学生更多的思考时间.数学思想方法的渗透有点蜻蜓点水,数学思想方法是一种方法论的指导,我觉得应着重强调.还有一点就是向量中遇模取平方这一思维模式应强化。
高中数学向量的应用价值分析
高中数学向量的应用价值分析
数学向量作为高中数学的重要内容之一，在实际生活中具有广泛的应用价值。
它不仅可以用来解决几何和物理问题，还能够在工程、地理等领域发挥作用。
今天我们就来探讨一下高中数学向量的应用价值。
高中数学向量在物理问题中的应用是最为直观和广泛的。
向量可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量，从而帮助我们理解和解决物理问题。
当我们要研究一个物体在空间中的运动轨迹时，就需要用到数学向量来描述它的位移和速度方向，从而帮助我们计算其具体的运动规律。
向量还可以用来描述力的大小和方向，从而帮助我们分析物体之间的相互作用。
可以说高中数学向量对物理问题的研究具有非常重要的应用意义。
除了物理和几何领域，高中数学向量还在工程中发挥着重要的作用。
在工程设计和施工过程中，我们经常需要用到向量来描述和计算各种力的大小和方向，从而帮助我们进行结构设计和力学分析。
在建筑设计中，需要用到向量来计算各种受力构件的承载能力，从而保证建筑的结构稳定和安全。
在机械设计中，也需要用到向量来计算各种零件的受力情况，从而保证机械设备的正常运转。
可以说高中数学向量在工程领域具有非常重要的应用意义。
高中数学向量在实际生活中具有广泛的应用价值。
它不仅可以用来解决物理和几何问题，还可以在工程、地理、经济和生物等领域发挥作用。
我们应该认真学习和掌握数学向量的相关知识，从而更好地应用它来解决实际问题。
相信随着社会的不断发展和进步，高中数学向量的应用价值将会越来越凸显，为我们的生活带来更多的便利和进步。
向量在高中数学里的妙用
向量在高中数学里的妙用向量，顾名思义，就是既有方向又有大小的量，在物理里面又称为矢量。
物理里面，像位移、速度、加速度、力等物理量，都是矢量。
从向量的定义，我们不难看出，向量具有几何方面的特性——方向，又具有代数方面的特性——大小。
这就意味着，向量先天然的就是一个代数与几何完美结合的典范，具有很强的解析性。
这也意味着，向量问题的处理，经常体现数形结合的思想，很多时候是比较灵活的，需要我们多加琢磨。
其实在以前的高中数学教材里，是没有向量这一模块的知识的。
对于向量，我们数学老师的感受是非常深刻的，因为向量的引入，极大程度上降低了某些传统知识的讲解和学习，像三角恒等式、余弦定理、柯西不等式等等。
毫不夸张的说，向量就是一把利器，既利于老师教学，也利于学生学习。
然而，遗憾的是，部分老师自己不太接受这个新的工具（其实也不新了，向量引入高中教材，已经有16年之久了），还是用传统的方法来讲解上述定理（余弦定理等）。
诚然，传统的方法也体现了很丰富的数学思想，但较之向量还是要逊色一些。
再者，我们常常鼓励孩子们要接受新知识，新方法，我们老师又何尝不是如此呢。
今天，我们就来讲讲，采用向量这个工具，如何在上述定理的学习中发挥巧妙的作用，一起来感受向量在数形结合里展现的奇妙。
一、两角余弦差公式先来看看两角余弦差公式的表述形式：我们知道，在所有三角恒等式里，两角余弦差公式是最重要的公式，没有之一！为什么？因为可以通过这个公式，推导出剩下的所有的三角恒等式，这回你知道我没有虚张声势了吧。
正是如此，这个公式的证明就显得尤为重要。
我们来看看采取向量的方法，如何证明这个公式。
我们先给一个单位圆，以及圆上的任意两点，A，B。
由图可知：∠AOB实际上就是向量OA与向量OB的夹角，那么，由向量的内积定义：因为AB两点在单位圆上，所以这两个向量的模都是1，所以：如此，我们就用向量证明了两角的余弦差公式，是不是非常简洁啊。
大家感兴趣的话，可以搜索一下传统的证明方式，是比较繁琐的。
向量知识在高中数学中的地位与作用
向量知识在高中数学中的地位与作用在高中数学中，向量是一种重要的数学概念，它具有广泛的应用前景。
向量可以用来描述物体在空间中的位置和运动，是解决许多空间问题的有力工具。
高中数学中的向量知识主要包括向量的基本概念、向量的运算、向量的性质和向量的应用。
向量的基本概念包括向量的定义、向量的表示法、向量的长度和向量的方向。
向量的运算包括向量的加法、减法和数乘，这些运算可以用来求解许多关于向量的问题。
向量的性质包括向量的平行性、向量的垂直性和向量的对称性。
这些性质在解决许多几何问题中都很有用。
向量的应用包括向量的几何意义、向量的分析意义和向量的应用题。
在学习向量知识的过程中，学生要注意理解向量的基本概念，掌握向量的运算方法，并能熟练地运用向量的性质和应用解决问题。
通过不断的学习和练习，学生就能够掌握向量的基本知识，并运用到实际问题的解决中去。
在高中数学中，向量的应用非常广泛。
向量可以用来描述物体在空间中的位置和运动，是解决许多空间问题的有力工具。
例如，在解决物体的运动问题时，可以用向量来表示物体的速度和加速度，并通过向量的运算来解决问题。
在几何中，向量也可以用来表示平面内的向量和空间内的向量，并可以用来解决许多平面几何和空间几何问题。
此外，向量在电磁学、力学、气象学等学科中也有广泛的应用。
例如，在电磁学中，向量可以用来表示电场、磁场和电动势，并可以用来解决电磁相互作用的问题。
在力学中，向量也可以用来表示力的方向和大小，并可以用来分析力的作用。
在气象学中，向量还可以用来表示风的方向和大小，并可以用来分析风的影响。
总之，向量在高中数学中占有重要地位，它的应用领域广泛，是解决许多科学问题的有力工具。
学好向量知识，不仅有助于提高学生的数学素养，还有助于培养学生的分析思维能力，。
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新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中学 张根荣（313000）新教材中的向量是新增的内容，是我们所熟知的代数内容，它是沟通数和形内在联系的有力工具。
在几何学中，把几何图形看作是点的集合，而点可以与其向径一一对应。
因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合。
这样，几何中所涉及的度量关系和位置关系，都可以转化为某种向量代数的运算。
这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法有其独特的魅力：1、用向量法解题用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，因此使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。
这是因为向量具有多方面的特性：向量的起点可以任意选择；同时对向量可以进行线性运算、数量积和向量积，并且向量既有有向线段表达式又有坐标表达式，任一空间向量都可以在三个不共面向量（包括三个互相垂直的向量）上分解，同样对于平面上的任一向量，也均可在两个不共线的向量上进行分解。
这样就可使得空间的几何结构数量化了。
另外向量运算的定义与运算的规律，是和坐标系的选择无关的。
所以向量法证几何题明显优越于解析法。
因此，所有向量的这些特性，决定了向量代数知识在解答几何问题上，具有突出的简化作用和广泛的适用范围，是我们解中学几何题的捷径。
利用向量法解中学几何题的方法是多种多样的，但我们有一般规律可循：1.1证线段相等问题用向量法证明线段的相等问题过程较为简明，基本思路是证明向量的模或模的平方相等。
也就是说，欲证两线段CD AB =，可设法证明22=。
例 1 ABC ∆的中线1AA 和1BB 相等，求证：BC AC =. 证明：设d BC ,c AC ,b BB ,a AA ====11，=，则d a c 21=- , c b d 21=- 即-= -==- 两边平方，整理可得22=， 故BC AC =。
此证法是运用向量知识，经过简单的运算就可得到答案，书写也很方便。
如果用几何证法，需添设辅助线，解题的思路较为曲折，不易表达清楚，下面给出一般的几何证法，以资比较。
证明：连接11B A ，过1A ，1B 作AB 的垂线，垂足为2A ，2B 。
∵1A 、1B 分别是BC 、AC 的中点，∴AB //B A 11∴2121B B A A = 又∵11BB A A =且︒=∠=∠902121B B B A A A ，∴B B B Rt A A A Rt 2121≌∠∆∠∆，∴BA B AB A 11∠=∠而11BB A A =，BA AB =，∴BA B AB A 11≌∆∆，∴A B B A 11=，即A B B A 1122=，∴BC AC =。
1.2 证两角相等问题对共面二直线所成角ϕ的考察，可在此直线上适当设置向量a 、b ，就把原问题转化为对向量、间夹角ϕ的考察，这正是我们所要利用的证题思想。
例2 已知在正三角形ABC 中，CD ,BF ,AE ,CF BE AD ==相交于G ,H ,M 。
求证：HMG ∆为正三角形。
证明：设0a m BC =,0b m CA =,0c m AB =,0a n BE =,0b n CF =, 0c n AD = 其中0a 、0b 、0c 均为单位向量，m 、n 为正实数。
∵00b n a m +=+=22n mn m +-=又()00b m c n +-=+=22n mn m +-=而()()0000b m c n b n a m ++-=⋅=()2221n mn m +-,∴21==∠HMG cos ∴︒=∠60HMG同理可得︒=∠=∠60MGH GHN故HMG ∆正三角形。
1.3求图形面积问题求图形面积问题，如果给定的几何图形是三角形或平行四边形，则可直接在所给三角形或平行四边形的边上设置向量，再通过求出向量积以及讨论向量积的几何意义来求解。
例3 在ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，CD 、BE 相交于F ，求证：BFC S ∆:BAC S ∆=1 :3。
证明：如图，有⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=CA AB BE 21， 21+= ∵BE 、CD 为中线∴F 为重心 ∴CD CF ,BE BF 3232==故 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==213232 ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+==213232 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⨯212194 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯+⨯-=41212194 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯-=AB CA CA AB 4194 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯=AC AB AC AB 4194 ⨯⨯=4394 AC AB ⨯=31= 故BFC S ∆:BAC S ∆=1 : 3。
1.4证两线段平行问题两线段AB 与CD 平行的充要条件是存在实数0≠λ,使λ=。
例 4 设自三角形的一高线足引直线垂直于另外两高线，则两垂足的连线必平行此两高线足的连线。
已知：D 、E 、F 分别为△ABC 的高AD 、BE 、CF 在三边上的垂足，DG ⊥BE 于G ，DH ⊥CF 于H 。
求证： GH ∥FE分析：设置向量，利用两线段平行的充要条件：()0≠=λλ证明：∵ ⊥，⊥ ∴//设()0≠=λλ, 则λ=。
同理λ=，于是,()λλλλ-=-=-=-=，∴GH //FE 。
1.5证两线段垂直问题两线段AB 与CD 垂直的充要条件是它们的数量积AB ·CD =0。
例5 四面体ABCD 中，CD AB ⊥，BC AD ⊥，求证BD AC ⊥。
证明： 设,= ,= ,= 则 -=,-= , -= .∵CD AB ⊥，∴0=⋅CD AB ，即b (c d -)0= ,∴⋅=⋅ ⑴同理，由BC AD ⊥可得： ⋅=⋅ ⑵由 ⑴⑵式得：⋅=⋅∴()0=-⋅b d c ,即 0=⋅BD AC ,∴BD AC ⊥。
注：本题运用向量知识，根据数量积的几何意义，经过简单的向量运算就可得到了答案。
1.6证点共线问题A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在实数0≠λ，使λ=.例6 试证：三角形的垂心、外心、重心共线。
证明：设H 为ABC ∆的垂心，O 为外心，OH 与中线AL 相交于G ，证明G 为重心即可。
∵// ，//M 为AC 的中点），故可设m = ，n =,于是 += ⑴AH n m +=+==21⑵由⑴ 、 ⑵消去，得：2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m n , ∵不平行 ,因此有02121=-=-m n ，∴21==n m , 故 OL AH 2= 且OL //AH 2，GL AG 2= ,∴G 是AL 上的三分点,即G 为重心，∴ABC ∆的垂心、外心、重心共线。
1.7求轨迹问题轨迹问题实际上是数量关系和位置关系的综合，而向量是沟通数和形内在联系的有力工具，因此用向量法来求轨迹问题显得明快、简捷。
用向量求满足给定条件的轨迹，通常分两个步骤进行：（1）在给定的问题里，适当设置向量或建立坐标系，通过向量计算寻找轨迹点所满足的定量关系，断定它应在怎样的图形上。
（轨迹的探求，轨迹完备性的证明）（2）借助向量运算规律证明图形上的点满足问题条件。
（轨迹纯粹性的证明）例7 动线段的一端是定圆O 外的一个定点A ，另一端Q 在圆上移动，求分线段AQ 成n :m 的点P 的轨迹。
解：（1）探求：设定点O 、A ，圆O 的半径为R ，A 、Q 对点O 的向径分别为1r = ,= ,由定比分点公式得: n m m r n n m n m r ++=++=111 令OA 连线上点'O 满足n m r n 'OO +=1,则 nm m OO ++= , ∵ nm m OO 'O +=-=,R nm m +==。
故动点P 在以分OA 为m n 的点'O 为圆心，R nm m +为半径的一圆上。
（2）证明：（i ）纯粹性设点'P 在以'O 为圆心 R nm m +为半径的圆上，过点O 作'P 'O //'OQ 交'AP 于'Q ,则=R n m m +=, 因此R n m m n m m =+=-+== 这说明'O 在圆O 上,同时nm R nm m R R n m m =+-+== 故点'p 是符合条件的点。
（ii ）完备性的证明见探求。
因此，动点P 的轨迹是以分OA 为m n 的点'O 为圆心, R n m m +为半径的一个圆。
2、结束语从以上例题的一般解题过程的讨论中我们不难看出，用向量法解中学几何题主要是把线段的关系式转化为向量的关系式，即把几何问题转化为向量问题，再运用向量的运算规律和法则，通过对向量的代数运算，推出所需的结论，从而完成原题的解答。
值得指出的是，向量不是一种抽象的代数，它具有几何的直观性，而又具有代数的运算特点，因而有表述的简洁性和处理方法的一般性，对于各种数学知识的融合贯通、几何证题能力的提高，都有一定的帮助。
这足以体现向量在解题中的魅力，正是新教材中引进向量的一个视角。
3、参考文献（1）欧阳维诚等编，中学教学方法的综合运用，湖南人民出版社，1981年；（2）赵振威著，中学教学方法指导，科学出版社，1988年9月；（3）席振伟等编，向量法论几何题，重庆出版社，1985年；（4）王向东等编，解析几何常用方法，重庆大学出版社，1996年4月；（5）章学诚编，解析几何，北京大学出版社，1982年2月。