平面向量的概念及表示方法 江苏教育版
高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示课件苏教版必修4
题型 向量的有关概念
[典例 1] 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的 四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
A.A→D与C→B B.O→A与O→C C.A→C与D→B D.D→O与O→B
第2章 平面向量
1．向量的基本概念．
定义 既有大小又有方向的量称为向量
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来
表示，有向线段的长度表示向量的大小， 表示 箭头所指的方向表示向量的方向，以 A 方法 为起点、B 为终点的向量记为A→B；
(2)字母表示：用小写字母 a，b，c 表示
一、对向量的理解
向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重 性且不能比较大小．
100 2.
题型 4 相等向量的应用
[典例 4] 如图所示，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 边上的点，已知A→D＝D→B，D→F＝B→E，试推 断向量D→E与A→F是否为相等向量，说明你的理由．
[变式训练]
4.如图所示，四边形 ABCD，其中A→B＝D→C，则相等 的向量是( )
[变式训练] 一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到 达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点，再从 C 点向东偏南 30°飞行 50 2 km 到达 D 点．问 D 点在 A 点的什么方向？D 点距 A 点多远？
解：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝
_新教材高中数学第9章平面向量1向量概念课件苏教版必修第二册
(2)三种特殊情况：
a与b的夹角θ 0 π
2
a与b的关系 a与b_同_向__ a与b_反_向__
a与b垂__直__，记作a_⊥__b_
8.相反向量
定义 规定
结论
与向量a长度相__等__，方向相__反__的向量，叫作a的相反向量，记 作－__a_ 零向量的相反向量仍是零向量 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝_a_ a＋(－a)＝(－a)＋a＝_0_
3．已知 D 为平行四边形 ABPC 两条对角线的交点，则||AP→ →DD|| 的值为(
)
A．12
B．31
C．1 D．2
【解析】选 C.因为四边形 ABPC 是平行四边形，D 为对角线 BC 与 AP 的交点， 所以 D 为 PA 的中点， 所以||AP→→DD|| 的值为 1.如图．
4．(多选)在下列结论中，正确的结论为( ) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 【解析】选ACD.若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错，C对， D对．
2．如图，在圆 O 中，向量O→B ，O→C ，A→O 是( )
A．有相同起点的向量 C．模相等的向量
B．单位向量 D．相等的向量
【解析】选C.由图可知三向量方向不同，但长度相等．
3．如图，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定不成立 的是( )
A.|A→B |＝|E→F | C．B→D 与F→H 共线
第9章 平 面 向 量
9.1 向 量 概 念
高三数学平面向量苏教知识精讲
高三数学平面向量苏教【本讲教育信息】一. 教学内容：平面向量二. 考试大纲：理解平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示、掌握平面向量的数量积；理解平面向量的平行与垂直；了解平面向量的应用。
三. 教学重点、难点：重点：平面向量的数量积。
难点：向量共线定理。
四. 基本内容：1、向量的概念：（1）→⇒→⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎫⎧⎧⎨⎬⎨⎭⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩零向量大小模单位向量相等向量向量平行（共线）相反向量方向垂直夹角 （2）→→→⎧⎨⎩向量形式向量共线定理表示坐标形式平面向量基本定理基底（3）⇒⎧⎧⎫⎧⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩三角形法则共线几何形式平行四边形法则不共线运算运算律坐标形式数量积共线（平行） a ∥⇔b a b λ=()0b ≠或0b ＝垂直 若,a b 为非零向量，⇔⊥b a __________ 线段定 比分点若P 分12PP 所成的比为λ即12PP PP λ=则121OP OP OP λλ+=+中点 公式OABP=OP平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使4、两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．5、两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量__________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝（x 1， y 1），b ＝（x 2， y 2），则a ·b ＝ ．6、向量的数量积的几何意义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影 （θ是向量a 与b 的夹角）．a ·b 的几何意义是，数量a ·b 等于7、向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角． （1）e ·a ＝a ·e ＝ （2）a ⊥b ⇔（3）当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ． （4）cos θ＝ ． （5）|a ·b |≤ 8、向量数量积的运算律： （1）a ·b ＝ ；（2）（λa ）·b ＝ ＝a ·（λb ） （3）（a ＋b ）·c ＝五. 基础训练：1、（福建理4文8）对于向量，,,,a b c 和实数，下列命题中假命题是 ①③④ ①若0a b ⋅=，则0a =或0b = ② 若0a λ=，则00a λ==或 ③ 若22a b =，则a b a b ==-或 ④ 若c b a c ⋅=⋅，则b c = 2、已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ，则x ＝ 63、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2，CD ＝CA λ+31，则＝23。
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.1 向量的概念及表示
问题导学
当堂检测
迁移与应用 在如图的方格纸中,按要求画出向量.
(1)|������������|=3,点 A 在点 O 正西方向; (2)|������������|=3 2,点 B 在点 O 北偏西 45° 方向.
问题导学
当堂检测
解:取每个方格的单位长为 1,依题意,结合向量的表示可知,相应各 题的向量如图所示.
目标导航
预习导引
预习交流 2
(1)相等向量一定是共线向量吗? 提示:是.由共线向量与相等向量的概念知,共线向量不一定是相等 向量,但相等向量一定是共线向量. (2)向量������������与向量������������ 是共线向量,则 A,B,C,D 四点必共线,正确吗? 提示:不正确.共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线 平行,故 A,B,C,D 四点不一定共线.
活动与探究
如图所示,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. (1)用有向线段表示与向量������������相等的向量; (2)用有向线段表示与向量������������共线的向量; (3)若|������������|=3,求向量������������ 的模. 思路分析:本题可依据相等向量与共线向量的定义求解 .寻找相等 向量时要从大小和方向两个方面来考虑,寻找共线向量只考虑方向即 可,两向量方向相同或相反就是共线向量.
问题导学
当堂检测
向量的画法及表示方法 (1)向量的画法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向 量的长度确定向量的终点. (2)向量的表示方法:向量的表示方法有几何表示和字母表示.用几 何研究向量运算,为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示便于向 量的运算.
问题导学
当堂检测
苏教版高中数学必修四向量的概念及表示教案(1)
§2.1 向量的概念及表示教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分3.平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：（1）向量概念的引入，会表示向量.（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，教学难点：（1）“数”与“形”的结合思想（2）平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体，尺规Array教学过程：一、问题情景：（1）湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。
思考：位移和距离这两个量有什么不同？（位移既有大小又有方向，距离只有大小没有方向）（2）据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力 约为2万牛,每个航 天员的质量 约为65kg ，火箭进入轨道后的速度 约为708km/s 。
上述力、质量、速度 这些在生产生活中常见 的量我们如何用数学模型来刻画呢？思考：上述的力、质量、速度三个量有什么区别？ 二、建构数学：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 （例：位移、力、速度、加速度等） 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；（例： 距离、身高、时间、质量等）而向量有方向与大小双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法： ①几何表示法：有向线段．有向线段------具有确定方向的线段． 有向线段的三要素：起点、方向、长度 ②代数表示法：字母i)用有向线段的起点与终点字母来表示ii)用小写的字母来表示 3.两种特殊向量零向量：长度为 0 的向量。
高中数学苏教版必修二《平面向量》课件
4
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
单击此处编辑母版标题样式
• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
12
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
高中数学 2.1向量的概念及表示课件 苏教版必修4
栏 目 链 接
题型1 有关概念命题的判断
例1 下面给出五个命题：
(1)如果向量 a∥b，那么|a|·|b|≠0；
(2)如果|a|＝|b|，那么 a＝b；
栏 目
(3)如果|e|＝1，那么 e 叫做单位向量；
链 接
(4)如果 a＝b，那么 a，b 必是平行向量；
(5)如果 a∥b，且|a|＝|b|≠0，那么 a＝b.
第2章 平面向量
2．1 向量的概念及表示
栏 目 链 接
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．
栏
2．掌握平面向量的几何表示及模、零向量、单位向量、平行向 目
链
量、相等向量和共线向量等概念．
接
栏 目 链 接
1．我们把既有__大__小____又有__方__向____的量叫做向量．如：力、
位移、速度、加速度等．
向量，记作__－__a____，a 与－a 互为_相___反__向__量___，零向量的相反向
量仍是零向量．对于任一向量 a 有－(－a)＝____a____.
栏
目
8．向量与有向线段的区别是：向量是自__由__向__量__，只有__大___小___ 链
和__方__向____两个要素，与__起___点___无关，只要大小和方向相同，则 接
不等价于方向相
目 链
同，a 与 b 有方向相反的可能，故(5)错；|e|表示向量 e 的长度(或 接
大小)，依据单位向量定义，知(3)正确；相等向量一定是平行向量，
故(4)正确．
答案：(3)(4)
例2 下列命题正确的是 ( )
A．a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四
苏教版高中数学必修4教学案：第二章平面向量第1课时 向量的概念及表示
第1课时向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；b c，则a和c是方向相同的向量；（4）向量a和b是共线向量，//（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与EF 共线的向量；（2）确定与EF 相等的向量；（3）OA 与BC 相等吗？例3.如图所示的为34⨯的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量AB 相等的向量共有几个？与向量AB向量共有几个？与向量AB的方向相同且模为【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3.四边形ABCD 中，1,||||2AB DC AD BC ==，则四边形ABCD 的形状是_________4.设0a ，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
苏教版高中数学必修四2.1 平面向量的概念及其表示课件
B
A
O
C F
D
E
有CB, FE, DO.
20
思考：在4×5排列方格中有一个向量A B ,以图中
的格点为起点和终点作向量，其中与A B相等的
向量有多少个？与A B 长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
A
2015-5-12
长度相等 的有15个
21
例3: 对于下列各种情况，各向量的终点的集合 分别是什么图形？ 1.把平行于直线L的所有单位向量的起点平移 到L上的点P 2.把所有单位向量的起点平行移动到同一点P； 3.把平行于直线L的一切向量的起点平移到L上 的点P 解:（1）是直线L上与点P的距离为1的两个点；
2015-5-12 12
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
与a长度相等，方向相反的向量叫a相反向量， 记为 a
a
a
（ a) a
比如作用力与反作用力
2015-5-12
13
如图、方向相同或相反的非零向量叫平行向 量（也叫共线向量）。
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
2015-5-12 11
3.向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量 . 表示为： a // b 零向量与任一向量平行.
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
表示为： a b
若
a b
, 与起点位置无关.
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
2015-5-12 5
二.向量的表示
1. 代数法:用字母表示
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.1.1 向量的概念及表示》
平面向量的坐标创新整合点1、平面向量得坐标表示由平面向量基本定理知任一向量可以用不共线的两个向量表示，借助白板课件可以将分解的图形展示的非常形象，在课件中用图像可以将分解的情况展示给学生。
本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可，然后通过相关问题让学生感悟提高。
2、平面向量的坐标运算 先与学生共同推出运算法则，然后通过练习强化最后通过学生独立思考,让学生充分动手,动脑,动眼；再通过生生合作和师生合作达到掌握本节课的教学目的。
教学目标：知识与技能目标：正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；情感态度与价值观目标：借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力． 教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
特别地，当基底相互垂直时，称为正交分解。
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．设计意图：借助白板的投影功能和拉幕功能展现向量分解的几何意义。
二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？实际操作：如图，在直角坐标系内分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底分解向量a ：设计意图：利用白板的书写和平移图像的功能让学生彻底掌握分解向量的相关思维方法，完成学生自我探究，学生与学生交流合作的功能。
9.1向量概念高一数学(苏教版必修第二册)课件
（2）存在， AF 是 OB 的相反向量
课堂小结
1.向量的概念：
向量的概念，向量的模，零向量，单位向量。
2.向量间的关系：
（1）平行向量（共线向量）；
（2）相反向量；
（3）向量间的夹角。
谢谢~
物理学中的，力、速度、加速度以及位移既有大小又有方
向，它们是向量。
在生活中的距离、身高、体重等一些量只有大小没有方向，
它们是数量而不是向量。
探究新知
核心知识点一： 向量的表示
向量常用一条有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小；箭头所指的方向表示向
量的方向。
如下图，以A为起点，B为终点的向量，可以表示为：。
故 a b 未必成立，所以 A 错误；
B：根据零向量的定义可判断 B 正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故 C 错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故 D 错误.
故选：B.
随堂练习
3．给出下列四个命题：①若 | a || b | ，则 a b ；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ AB DC ”是“四边
形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若 a b , b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是| a || b | 且 a / /b .其中正
确命题的序号是（
A．②③
A）
B．①②
C．③④
D．②④
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
向量也可以用小写
字母a、b、c来表示。
探究新知
核心知识点二： 向量的有关概念
向量 AB 的大小称为向量的长度，（或称为模），记为：AB
2020年高考江苏版高考数学 6.1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示
专题六 平面向量【真题典例】6.1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度向量的线性运算与几何意义 1.几何图形中的向量表示2.利用向量关系求参数★★☆平面向量基本定理及坐标运算1.利用基向量表示平面向量2.向量的坐标运算2015江苏,6平面向量的坐标与坐标运算★★☆分析解读 江苏在这一部分主要考查平面向量基本定理和线性运算及坐标运算,考查小题时多考查平面向量基本定理,考查大题时主要将向量作为工具求解解三角形等问题.破考点【考点集训】考点一 向量的线性运算与几何意义1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)在△ABC 中,∠ABC=120°,BA=2,BC=3,D,E 是线段AC 的三等分点,则BD ·的值为 . BE 答案 1192.如图所示,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,且BD=2DC,若=m +n (m,n ∈R ),则m-n= .AC AB AD答案 -23.已知P 是△ABC 内一点,且+2+3=0,设Q 为CP 的延长线与AB 的交点,令=p ,用p 表示.AP BP CP CP CQ 解析 ∵=+,=+,AP AQ QP BP BQ QP ∴(+)+2(+)+3=0,AQ QP BQ QP CP 即+3+2+3=0.AQ QP BQ CP 又∵A,Q,B 三点共线,C,P,Q 三点共线,∴设=λ,=μ.AQ BQ CP QP ∴λ+3+2+3μ=0,(λ+2)+(3+3μ)=0.BQ QP BQ QP BQ QP 又∵,为不共线的向量,∴BQ QP {λ+2=0,3+3μ=0.解得λ=-2,μ=-1.∴=-=,故=+=2=2p .CP QP PQ CQ CP PQ CP 考点二 平面向量基本定理及坐标运算1.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C 能构成三角形,则实数m 应满足的条件OA OB OC 是 . 答案 m ≠12.在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R ,则AC AE AF λ+μ= . 答案 433.(2017江苏南京高淳质检,13)在边长为1的正△ABC 中,已知=x ,=y ,x>0,y>0,且x+y=1,则·BD BA CE CA CD 的最大值为 . BE 答案 -384.(2018江苏无锡期中,15)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P 为平面ABC 上的一点,=λ+μ,且AP AB AC ·=0,·=3.AP AB AP AC (1)求·;AB AC (2)求λ+μ的值.解析 (1)因为=(2,1),=(1,2),AB AC所以·=2+2=4.AB AC (2)因为·=0,所以⊥.AP AB AP AB 因为=(2,1),AB 所以可设=(a,-2a),AP 因为·=3,AP AC 所以(a,-2a)·(1,2)=3,所以a-4a=3,所以a=-1.所以=(-1,2),AP 因为=λ+μ,AP AB AC 所以(-1,2)=λ(2,1)+μ(1,2)=(2λ+μ,λ+2μ),所以解得{-1=2λ+μ,2=λ+2μ,{λ=-43,μ=53,所以λ+μ=.13炼技法【方法集训】方法一 平面向量的线性运算1.已知△ABC 和点M 满足++=0.若存在实数m 使得+=m 成立,则m= . MA MB MC AB AC AM 答案 32.如图,在△ABC 中,BO 为边AC 上的中线,=2,设∥,若=+λ(λ∈R ),则λ的值BG GO CD AG AD 15AB AC 为 .答案 65方法二 平面向量的坐标运算1.已知向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),若3a -b 与c 共线,则x 的值为 . 答案 -12.在矩形ABCD 中,AB=,BC=,P 为矩形内一点,且AP=,=λ+μ(λ,μ∈R ),则λ+μ的5352AP AB AD 53最大值为 .答案 102过专题【五年高考】A 组 自主命题·江苏卷题组 (2015江苏,6,5分)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m,n ∈R ),则m-n 的值为 . 答案 -3B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 向量的线性运算与几何意义1.(2018课标全国Ⅰ理改编,6,5分)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则下列正确的是 . ①=-EB 34AB 14AC ②=-EB 14AB 34AC ③=+EB 34AB 14AC ④=+EB 14AB 34AC 答案 ①2.(2017课标全国Ⅱ文改编,4,5分)设非零向量a,b 满足|a+b |=|a-b |,则下列正确的是 . ①a ⊥b ;②|a |=|b |;③a ∥b ;④|a |>|b |.答案 ①3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C 为圆O 上的三点,若=(+),则与的夹角为 . AO 12AB AC AB AC 答案 90°4.(2014课标Ⅰ改编,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则+= . EB FC 答案 AD考点二 平面向量基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ改编,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= . AC BC 答案 (-7,-4)2.(2015课标Ⅰ改编,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,=3,则用,表示为 . BC CD AB AC AD 答案 -+13AB 43AC3.(2017课标全国Ⅲ理改编,12,5分)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 . AP AB AD 答案 3C 组 教师专用题组1.(2009全国Ⅰ文改编,8,5分)设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则<a ,b >= . 答案 120°2.(2011课标全国改编,12,5分)设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,a ·b =-,<a -c ,b -c >=60°,则|c |的最大值等12于 . 答案 23.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ21223DE AB AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案 124.(2010全国Ⅱ改编,10,5分)△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB.若=a ,=b ,|a |=1,|b |=2,则CB CA CD = .(用a,b 表示). 答案 a +b2313【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共45分)1.(2019届江苏扬州中学高三10月月考)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当A,B,C 三点共线OA OB OC 时,实数k 的值为 . 答案 -2或112.(2017江苏南通中学期中,6)如图,在正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 上靠近点B 的三等分点,那么= .(用和表示)EF AB AD答案 -12AB 23AD3.(2017江苏赣榆高级中学月考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,若+++=λ,则λ= . OA OB OC OD OM 答案 44.(2019届江苏海安高级中学10月月考)在△OAC 中,B 为AC 的中点,若=x +y ,则x-y= .OC OA OB答案 -35.(2019届江苏南通启东中学上学期期初)已知向量a =,b =(x,1),其中x>0,若(a -2b )∥(2a +b ),则(8,x2)x= . 答案 46.(2018江苏泰州中学高三期初,11)在△ABC 中,AB=BC=2,AC=3,设O 是△ABC 的内心,若=p +q ,则AO AB AC pq 的值为 . 答案 327.(2019届江苏清江中学模拟)在直角坐标系xOy 中,已知点A,B,C 是圆x 2+y 2=4上的动点,且满足AC ⊥BC.若点P 的坐标为(0,3),则|++|的最大值为 . PA PB PC 答案 118.(2018江苏泰州中学高三期中,13)在△ABC 中,过BC 边的中线AD 上一点E 作直线分别交AB,AC 于M,N 两点,且=2,设=x ,=y (xy ≠0),则9x+y 的最小值为 .AE ED AM AB AN AC答案 1639.(2019届江苏苏州模拟)如图,在梯形ABCD 中,=2,P 为线段CD 上一点,且=3,E 为BC 的中点,DC AB DC PC 若=λ1+λ2(λ1,λ2∈R ),则λ1+λ2的值为 .EP AB AD答案 13二、解答题(共20分)10.(2019届江苏盐城期中)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图所示.点C 在以OA OB O 为圆心的圆弧上运动.若=x +y ,其中x,y ∈R ,求x+y 的最大值.⏜ABOC OA OB解析 以O 为坐标原点,OA 所在的直线为x 轴,的方向为x 轴的正方向,建立平面直角坐标系,则可知OA A(1,0),B ,设C(cos α,sin α),∵=x +y ,∴(cos α,sin α)=,则有(-12,32)(α∈[0,2π3])OC OA OB (x -y 2,32y )x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin ,所以当α=时,x+y 取得最大332333(α+π6)π3值2.11.(2017江苏徐州沛县中学质检,20)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A 、B 、C 三点满足=+.OC 13OA 23OB (1)求证:A 、B 、C 三点共线;(2)求的值;|AC ||CB |(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x ∈,f(x)=·-||的最小值为-,求实数m 的[0,π2]OA OC (2m +23)AB 32值.解析 (1)证明:由已知得-=(-),OC OA 23OB OA 即=,AC 23AB ∴∥.又∵、有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.AC AB AC AB (2)由(1)易知,=(+),∴=,AC 23AC CB 13AC 23CB ∴=2,AC CB ∴=2.|AC ||CB |(3)易知C ,=(cos x,0),(1+23cos x ,cos x )AB ∴f(x)=·-||OA OC (2m +23)AB =1+cos x+cos 2x-cos x=(cos x-m)2+1-m 2,23(2m +23)∵x∈,∴cos x ∈[0,1].[0,π2]若m<0,则当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知矛盾;若0≤m ≤1,则当cos x=m 时,f(x)取得最小值1-m 2,令1-m 2=-,得m=±(舍);32102若m>1,则当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,令2-2m=-,得m=,因为>1,所以符合题意.327474综上所述,m=.74。
苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第1课时 2.1向量的概念及表示
第1课时§2.1 向量的概念及表示【教学目标】一、知识与技能1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。
（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.三、情感、态度与价值观（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。
（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；2．向量的几何表示【教学过程】一、问题情境：问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗？二、新课讲解：（一）概念辨析：（1）向量的定义：（2）向量的表示：（3）向量的大小及表示（4）零向量：（5）单位向量：（二）向量的关系：问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？（1）平行向量（2）相等向量（3）相反向量说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a；；（2）零向量与零向量相等，记作00（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
问题5：1.向量能否平移？2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？二、例题分析：例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC向量相等么？例2、判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？（AB除外）BA课时小结：（1）向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；（2）数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。
苏教版向量的概念及表示
2．下列物理量：①质量；②速
①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，
度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路 就是看它是否同时具备向量的两个
程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的 要素：大小和方向．由于速度、位移、
有______(填序号)．
力、加速度都是由大小和方向确定
的，所以是向量；而质量、路程、密
度、功只有大小而没有方向，所以不
第2章 平面向量
2.1 向量的概念及表示
栏目导航
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解向量的实际背景，理解平面向
量的概念．(重点)
2．理解零向量、单位向量、相等向 通过学习本节内容提升学生的数学
量、共线(平行)向量、相反向量的含 抽象和直观想象核心素养.
义．(重点、难点)
3．理解向量的几何表示．(重点)
栏目导航
思考 3：已知 A，B 为平面上不同两点，那么向量A→B和向量B→A相等吗？
它们共线吗？ [提示] 因为向量A→B和向量B→A方向不同，所以二者不相等．又表示它
们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考 4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同
吗？ [提示] 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任
栏目导航
[解] (1)如图：
(2) 由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线，即 AB∥CD. 又∵|A→B|＝|C→D|，∴在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD，
∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
栏目导航
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模 的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方 向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.
高中数学第二章平面向量2.1向量的概念及表示课件苏教
§2.1 向量的概念及表示
学习目标
1.掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区 别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的 模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
答案
知识点二 向量的有关概念
向量名称 零向量 单位向量
定义 长度为0的向量，记作0 长度等于 1个单位长度 的向量
平行向量 方向 相同或相反 的非零向量；向量a，b平行，记作a∥b，规 (共线向量) 定：零向量与任一向量 平行
相等向量
长度 相等 且方向 相同 的向量；向量a，b相等，记作a＝b
长度 相等 ，方向 相反 的向量；a的相反向量记作－a，规定： 相反向量
答案
2.下列说法正确的是___④_____.
1234 5
①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比
较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的
模可以比较大小.
解析 ①中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以①不正确；
由①的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以②不正确；
③中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以
③不正确；
④中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以④正确.
解析答案
1234 5
3.如图，在四边形ABCD中，若 A→B＝D→C ，则图中相等的向量是___④_____.
①A→D与C→B；
②O→B与O→D；
③A→C与B→D；
④A→O与O→C.
解析答案
苏教版高中数学高一课件2.1向量的概念及表示
(2)求|A→D|. 解 由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线， 又|A→BCD为平行四边形． ∴A→D＝B→C，∴|A→D|＝|B→C|＝200 km.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个 小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
答案
知识点二 向量的表示方法 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫 做有向线段，它包含三个要素：起点、 方向、 长度 ，如图所示．以A为 起点、B为终点的有向线段记作A→B .
(2)向量的字母表示：向量可以用字母 a，b，c，…，表示(印刷用黑体 a，b，c，书写时用→a ， →b， →c)．
3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与A→F、A→E相等的向量； 解 A→F＝B→E＝C→D，A→E＝B→D. (2)写出与A→D模相等的向量. 解 D→A，C→F，F→C.
解析答案
12345
4.在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向成60°，与y轴正方向成30°； (2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向成30°，与y轴正方向成120°. 解 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 下列说法正确的有________． (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (2)向量A→B与C→D是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上； (3)向量A→B与B→A是平行向量； (4)任何两个单位向量都是相等向量．
解析答案
题型二 向量的表示及应用 例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向 西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到 达D点． (1)作出向量A→B、B→C、C→D； 解 向量A→B、B→C、C→D如图所示．
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量2.1 向量的概念及表示教案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.1 向量的概念及表示教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.1 向量的概念及表示教案苏教版必修4的全部内容。
2.1 向量的概念及表示错误!教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量"，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢?一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中,引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等"，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此,用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪，多媒体课件．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量的概念及表示
向量的概念
向量的表示法
向 量 的 模
零 向 量
单 位 向 量
平 行
共 线
相 反 向 量
相 等 向 量
向 量
几 何 表 示 法
字 母 表 示 法
(
)
作业:课本第59页习题2.1 1 , 2 , 3 , 4.
× （1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行．
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量 （4）存在与任何向量都平行的向量吗？零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量 一定是什么向量？
平行向量（共线向量）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？
模相等且方向相同
× （7）共线向量一定在同一直线上．
E D
F
o
C
A
B
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标出 的向量中写出与向量 OA, OB, OC 相等的向量 变式
B A
1.与向量 OA 长度相等的 向量共有多少个? 2.与 OA 共线的向量 有哪些? C
o
F
3.是否存在与 OA 长度相等, D 方向相反的向量?
E
爱上海爱上海 0 坳罔牁
AB
2.1 向量的概念及表示
探索研究 ：
（1）什么叫平行向量？符号如何表示？
(2) 什么叫相等向量?如何表示？相等向量的起点 与终点之间有什么关系? (3) 共线向量是指向量在同一条直线上吗？与平行 向量有何关系？
下图为4*5的方格纸,小正方形的边长为1.
B
a
A
D
b c
C
2.1 向量的概念及表示
零向量：长度为零的向量,记作 0 单位向量：长度为１个单位长度的向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量 规定： 0与任一向量平行
相等向量:长度相等且方向相同的向量 相反向量:长度相等且方向相反的向量 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 条直线上,故平行向量又称共线 向量。
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
例1.如图所示, 在4 5方格纸中有一个向量 AB, 分别以图中的格点为起 点和终点作向 量, 其中与AB相等的向量有几个? 与 AB长 度相等的共线向量有多 少个 ?( AB除外)
B D
A
C
例2 如图,设O是正六边形的中心,在图中标 出的向量中 (1)试找出与FE共线的向量 ;
(2)确定与FE相等的向量 ; (3).OA与BC相等吗?
老鼠在B处以3m/s向正东逃窜， 狗由A处5m/s向西北追去.
A
B
结果：狗的速度再快也没用， 因为方向错了。
南辕北辙
பைடு நூலகம்
风向
授课人:王琦
2.1 向量的概念及表示
向量：
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法： 有向线段． ①几何表示法： ②代数表示法： 用 a, b, c 等小写字母表示; 或用表示有向线段的起点和终 点字母表示,如