3.2参数估计
贝叶斯混合效应模型
贝叶斯混合效应模型1. 引言贝叶斯混合效应模型（Bayesian Mixed Effects Model）是一种用于统计建模的方法，常用于分析具有层次结构和重复测量的数据。
该模型结合了贝叶斯统计学和混合效应模型的思想，能够对个体差异和群体差异进行建模，并通过后验分布进行参数估计。
本文将介绍贝叶斯混合效应模型的基本概念、建模步骤以及在实际数据分析中的应用。
同时还将讨论该模型的优点和限制，并给出一些相关资源供读者进一步学习和探索。
2. 贝叶斯统计学基础在介绍贝叶斯混合效应模型之前，我们先来回顾一下贝叶斯统计学的基本概念。
2.1 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯统计学的核心思想，它描述了如何根据观察到的数据更新对参数的信念。
设θ为待估参数，x为观测到的数据，则根据贝叶斯公式，后验概率可以表示为：P(θ|x)=P(x|θ)P(θ)P(x)其中，P(x|θ)为似然函数，表示在给定参数θ的情况下观测到数据x的概率；P(θ)为先验概率，表示对参数θ的先前信念；P(x)为边缘概率，表示观测到数据x的概率。
2.2 贝叶斯模型贝叶斯统计学将参数视为随机变量，并引入先验分布来描述对参数的不确定性。
在贝叶斯模型中，我们可以通过似然函数和先验分布来计算后验分布，从而得到关于参数的更准确的推断。
常见的贝叶斯模型包括线性回归模型、混合效应模型等。
其中，混合效应模型是一种广泛应用于多层次数据分析中的方法。
3. 混合效应模型基础混合效应模型（Mixed Effects Model），也称为多层次线性模型（Hierarchical Linear Model），是一种用于分析具有层次结构和重复测量的数据的统计建模方法。
3.1 模型结构混合效应模型将数据分为不同层次，并假设每个层次具有不同的随机效应。
模型的基本结构可以表示为：y ij=X ijβ+Z ij b i+ϵij其中，y ij表示第i个个体在第j个层次上的观测值；X ij和Z ij分别为固定效应和随机效应的设计矩阵；β为固定效应系数；b i为第i个个体的随机效应；ϵij为误差项。
风力发电机组轴承的磨损机理与寿命预测模型研究
风力发电机组轴承的磨损机理与寿命预测模型研究1. 引言在可持续能源发展的背景下，风力发电作为一种环保和可再生的能源形式，逐渐受到世界各国的关注与重视。
风力发电机组作为风力发电系统的核心部件之一，其稳定运行对于实现高效发电至关重要。
而轴承作为风力发电机组的关键元件之一，其寿命与性能对整个风力发电系统运行的可靠性和稳定性具有重要影响。
因此，理解风力发电机组轴承磨损机理以及通过寿命预测模型对其进行管理和维护具有重大的现实意义。
2. 风力发电机组轴承磨损机理风力发电机组轴承磨损主要包括疲劳磨损和润滑脱层两种形式。
疲劳磨损是指轴承在长时间高速旋转下由于循环应力超过其疲劳极限而产生的磨损。
润滑脱层是指轴承润滑层由于摩擦、热量和化学因素的作用而逐渐脱落导致的轴承磨损。
而风力发电机组的运行环境恶劣、工作负荷大以及长时间的连续运行等因素，进一步加剧了轴承的磨损情况。
3. 轴承寿命预测模型研究轴承寿命预测模型的研究旨在通过数学模型和统计分析方法来估计轴承的寿命，从而提前预测轴承的失效时间，以便及时进行维护和更换。
目前，常用的轴承寿命预测模型包括基于经验模型、基于物理模型和基于统计模型等多种方法。
其中，基于统计模型的方法是当前研究的热点之一。
3.1 基于统计模型的轴承寿命预测方法基于统计模型的轴承寿命预测方法主要通过收集和分析大量历史数据，建立数学模型并应用统计方法来预测轴承的寿命。
常用的统计模型包括Weibull模型、Cox比例风险模型等。
这些模型通过拟合实验数据，得到轴承失效的概率分布函数，进而进行寿命预测。
3.2 参数估计方法参数估计方法是基于统计模型的轴承寿命预测中的关键一步。
常用的参数估计方法包括极大似然估计、最小二乘估计以及贝叶斯估计等。
这些方法可以通过优化算法来估计模型中的参数，以获得更准确的轴承寿命预测结果。
4. 轴承寿命预测模型的优化为了提高轴承寿命预测模型的准确性和可靠性，研究者们提出了一系列的优化方法。
matlab 广义极值分布参数估计
matlab 广义极值分布参数估计引言：广义极值分布是一种常用的概率分布模型，广泛应用于可靠性分析、风险评估、金融风险管理等领域。
参数估计是广义极值分布应用的关键步骤之一，而MATLAB是一种功能强大的数值计算软件，提供了丰富的统计工具和函数，可以帮助我们进行广义极值分布参数的估计。
本文将从五个大点详细阐述MATLAB在广义极值分布参数估计方面的应用。
正文：1. 理论基础1.1 广义极值分布概述首先，我们需要了解广义极值分布的基本概念和特点。
广义极值分布是极值分布的一种推广形式，它可以用于描述一组独立同分布随机变量的极值分布。
广义极值分布由三个参数决定，分别是位置参数、尺度参数和形状参数。
位置参数决定了分布的位置，尺度参数决定了分布的尺度，而形状参数则决定了分布的形状。
1.2 广义极值分布参数估计方法广义极值分布的参数估计是通过样本数据来确定分布的参数值。
常用的参数估计方法有极大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
其中，极大似然估计是一种常用且有效的参数估计方法。
它通过最大化样本观测值的似然函数来确定参数的值，使得观测值出现的概率最大化。
2. MATLAB工具箱2.1 Statistics and Machine Learning ToolboxMATLAB提供了Statistics and Machine Learning Toolbox工具箱，其中包含了丰富的统计分析和机器学习功能。
在广义极值分布参数估计方面，该工具箱提供了诸多函数和工具，方便我们进行参数估计分析。
2.2 基于极大似然估计的参数估计函数在Statistics and Machine Learning Toolbox中，我们可以使用`gevfit`函数进行广义极值分布的参数估计。
该函数通过最大化样本观测值的似然函数，自动计算出位置参数、尺度参数和形状参数的估计值。
2.3 参数估计的可靠性分析除了参数估计函数外，Statistics and Machine Learning Toolbox还提供了一些用于参数估计可靠性分析的函数。
《环境统计》电子教案
《环境统计》电子教案第一章：环境统计概述1.1 环境统计的定义与作用1.2 环境统计的基本概念与分类1.3 环境统计的数据来源与处理方法1.4 环境统计学的发展历程及趋势第二章：环境统计数据的收集与整理2.1 环境统计数据的收集方法2.2 环境统计数据的整理方法2.3 环境统计表的编制与分析2.4 案例分析：某城市环境质量统计数据整理第三章：环境统计分析方法（一）3.1 描述性统计分析方法3.2 参数估计与假设检验3.3 相关与回归分析3.4 案例分析：某污染物浓度与环境因素相关性分析第四章：环境统计分析方法（二）4.1 聚类分析与判别分析4.2 主成分分析与因子分析4.3 时间序列分析与预测4.4 案例分析：某城市空气质量趋势预测第五章：环境统计评价与应用5.1 环境统计评价方法概述5.2 环境质量评价案例分析5.3 环境统计在环境管理中的应用5.4 环境统计在未来发展趋势及挑战第六章：环境监测数据的统计处理6.1 环境监测数据的特点与处理需求6.2 监测数据的质量控制与评估6.3 监测数据的统计分析方法6.4 案例分析：环境监测数据的处理与分析第七章：环境污染物的分布与扩散7.1 环境污染物的空间分布特征7.2 污染物扩散模型与统计分析7.3 空间数据分析方法与环境地图制作7.4 案例分析：某地区水质污染物的空间分布与扩散第八章：环境风险评估的统计方法8.1 环境风险评估的基本概念与方法8.2 概率与概率分布模型在环境风险评估中的应用8.3 风险评估的统计推断与不确定性分析8.4 案例分析：某污染物泄漏环境风险的统计评估第九章：环境经济统计与可持续发展9.1 环境经济的统计指标体系9.2 环境价值评估方法与环境经济统计分析9.3 可持续发展指标与统计评价9.4 案例分析：某地区环境经济统计分析与可持续发展评价第十章：环境统计软件与应用10.1 环境统计软件的功能与选择10.2 SPSS、R语言与环境统计分析10.3 环境统计软件在实际案例中的应用10.4 未来环境统计软件发展趋势与挑战重点和难点解析重点一：环境统计的定义与作用解析：理解环境统计的基本概念，掌握环境统计在环境管理、环境评价和环境科学研究中的重要性和具体应用。
第三章-路径分析PPT课件
路径图中没有环，误差项之间没有双向（弧线）箭头
•8
❖ 非递归模型。至少符合以下条件之一
模型中任意两个变量之间存在直接或间接的反馈作用 某变量存在自身反馈作用（自相关） 误差项相关
内生变量的误差项与其外生变量相关 不同内生变量的误差项相关 路径图中有环，误差项之间有双向（弧线）箭头
建立待估计参数个数与方程个数的关系，以判断 模型参数是否能够识别或者估计。
•14
极大似然估计(MLE)
❖ 基本思想：在已经得到实验结果的情况下，我们应该寻找 使这个结果出现的可能性最大的参数作为真实参数的估计
❖ 似然函数：
n
离散型随机L变 ()量 ： p(ix;),
i1
n
连续性随机L变 ()量 ： f(xi;), i1
•3322
本讲内容
3.1模型设定-路径图 3.2参数估计 3.3模型检验与评价 3.4效应分解
•1
路径分析的步骤
❖ 模型设定 ❖ 参数估计
递归模型：OLS 非递归效应：ML/LS/GLS
❖ 模型检验与评价 ❖ 效应分解
因果效应：变量之间由于存在因果关系而产生的影响作用 直接效应/间接效应
虚假效应：两个内生变量的相关系数中，由于共同的起因产生影 响作用的部分
❖ 似然函数反映了参数的各个不同取值导出实验结果的可能 性的大小，我们选择使似然函数达到最大值的那个参数值 作为参数的估计。
•15
模型的协方差矩阵
Y BY X 其中，E ( X ) E ( ) 0, Cov( X , ) 0 Y BY X (I B)Y X Y (I B)1(X )
非递归路径模型单个方程的识别
❖ 阶条件（必要条件）：若第i个方程未包括的内生变 量和外生变量数之和大于或等于p-1 ，则该方程有可 能被识别
3.2 参数估计
X 不变而不是回归方程中被忽略的那些相关变量不变时，1 增
加一个单位对Y的影响。
例子：美国每年人均啤酒需求量的模型
∧
CB
∧
t
= 37 .54 − 0.88 Pt + 11 .9Yd t
CB Pt 式中， t 为第t年人均啤酒消费量（单位：磅/每人）；
Yd 为第t年啤酒价格（单位：美分/磅）； t为第t年人均可
n
n
2.1.1使用OLS的原因
1. OLS的应用相对简单 2. 以最小化残差平方和为目标，从理 论角度而言是非常合理的。 3. OLS估计量有很多有用的性质
2.1.2 OLS如何实现系数的估计
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n） 要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
记
1 2 ∑x = ∑(Xi − X) = ∑X − n(∑Xi ) 1 ∑xi yi = ∑(Xi − X )(Yi −Y ) = ∑XiYi − n ∑Xi ∑Yi
2.2.2 多元回归模型的OLS估计
方法：对一元回归模型的推广。 OLS技术 应用于含有多个解释变量的方程与仅含有单 个解释变量的方程很相似。思想一致，只是 公式更复杂。
“对总体真值的一个样本估计值”—— 对这句话的理解。
第一，估计的结果与样本有关，如果样本发生了 改变，那么估计的结果一定会改变！即估计的结果依 赖于样本观测值。 第二，样本给定之前，估计结果被称为“估计 量” ，是一个随机变量；而样本给定后，该结果称为 “估计值”，是一个确定的量。
⌢ 第三，β 0， 1是对 β 0， 1的估计； β β ⌢ Yi 是对 E (Y X = X i ) 的估计。
⌢
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS） 普通最小二乘法
3.2 双变量线性回归模型的参数估计
i
i
i
ˆ
X Y X
2 i
i i
样本回归线的性质
通过Y和X的样本均值点 估计的Yi的均值等于实际观测的Yi的 均值 残差的均值为0 残差与解释变量Xi不相关 残差与估计的Yi值不相关
高斯定理
结论：在古典假定条件下 ,OLS 估计式是最佳线 性无偏估计式（BLUE）
三、最大似然估计法(ML)
2
评价要素（高斯定理前奏）
1.无偏性，方法、样本一定，抽样不同 2.最小方差性，样本一定，方法不同 3.渐进性，大样本时，具有最小渐近方差 （渐近有效）
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：残差的平方和最小。
基本原理： 对于最大似然法，当从模型总体随机抽 取n组样本观测值后，最合理的参数估计量 应该使得从总体中抽取该n组样本观测值的 概率最大。
双变量线性回归模型： Yi 1 2 X i ui
在满足11条基本假定的条件下
Yi ~ i.i.n.(1 2 X i , )
2
Yi的概率密度函数为 （i=1,2,…n）
将该似然函数极大化，即可求得到模型参 数的最大似然估计量。
对lnLF求极大值:
解得模型的参数估计量为：
2
~ ( X X )(Y Y ) x y x (X X )
i i i 2 i 2 i i
1 Y 2 X
~
~
2 ~2 u ˆ i n
可见，在满足一系列基本假设的情况下， 模型结构参数的最大似然估计量与普通最小 二乘估计量是相同的。
统计学：3.2 多元线性回归参数估计
E[(ˆ )(ˆ )' ]
已知： ˆ ( X ' X )1 X '
E[( X ' X )1 X ' ][( X ' X )1 X ' ]'
E[( X ' X )1 X ' ' X ( X ' X )1 ]
( X ' X )1 X ' E( ') X ( X ' X )1
( y
xˆ )' ( ˆ
y
xˆ )
0
(
y'ˆ
'
x')(y ˆ
xˆ
)
0
(
y'
y
y'
xˆ
ˆ' ˆ
x'
y
ˆ
'
x'
xˆ
)
0
( y'
y
2y' xˆ ˆ
ˆ
'
x'
xˆ )
0
2x' y 2x' xˆ 0
e' e ˆ
0
x' xˆ x' y
ˆ (x' x)1 x' y
12
2的最小二乘估计
40
随机误差项的方差的估计量为
(*)
方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。
4
正规方程组的矩阵形式
见教材P66
n
X i1
X i1 X i1 2
X ik
X i1X
ik
ˆ0 ˆ1
1
X11
参数估计理论与应用(第三章 )
那么它仍然有可能是一个好的估计。
考虑实随机过程{xk}的相关函数的两种估计量：
Rˆ1( )
1
N
N
xk xk ,
k 1
Rˆ2 ( )
1 N
N k 1
xk
xk
假定数据{xk}是独立观测的，容易验证
E[
Rˆ1
(
)]
E[
N
1
N
xk xk ]
k 1
1
N
N
E[ xk xk ]
k 1
Fisher 信息 Fisher 信息用J（θ）表示，定义为
J ( )
E{[
ln
p(x
| ]2}
E[
2
2
ln
p(x
| )]
（3.1.1）
2020/4/9
第三章 参数估计理论与应用
当考虑 N 个观测样本 X={ x1,…,xN }, 此时，联合条件分 布密度函数可表示为
p(x | ) p(x1, , xN | )
0
lim P{|
N
1 N
N
xi2 x 2 (E[ x2 ] E2[x]) | }
i 1
lim
N
P{|
ˆ
2 N
2
|
}
0,
0
2020/4/9
第三章 参数估计理论与应用
于是
lim
N
P{ | ˆ1
1
|
}
3
lim
N
P{|ˆ N
|
}
0
lim
N
P{ | ˆ2
2
|
}
2
3
参数估计的方法与原理
参数估计的方法与原理参数估计是统计学中的重要概念，用于根据样本数据来估计总体参数的值。
在统计分析中，我们经常需要通过对样本数据的分析来推断总体的性质。
而参数估计的方法和原理则帮助我们确定如何从样本数据中得出总体参数的估计值。
一、参数估计的概念参数估计是统计学中的基本问题，在研究中起到了至关重要的作用。
参数是用来描述总体特征的数值，如平均值、方差等。
参数估计则是根据从总体中抽取的样本数据，对总体参数进行估计。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方式。
1. 点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的一个单一数值估计。
常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指在给定模型的条件下，选择使观测数据出现的可能性最大的参数值作为估计值。
矩估计则是通过样本矩对总体矩的估计来得到参数的估计值。
2. 区间估计区间估计是指对总体参数进行一个区间的估计，该区间包含了真实参数值的可能范围。
常用的区间估计方法有置信区间估计和贝叶斯区间估计。
置信区间估计是通过样本数据得到参数的一个区间估计，该区间中的值有一定的置信度可以包含真实参数值。
贝叶斯区间估计则基于贝叶斯定理，通过样本数据和先验信息来得到参数的一个区间估计。
二、参数估计的方法参数估计的方法包括最大似然估计、矩估计、贝叶斯估计等。
不同的方法适用于不同的情况和模型。
1. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它假设样本数据是独立同分布的。
最大似然估计的基本思想是找到使观测数据概率最大的参数值。
具体而言，最大似然估计是通过求解目标函数的最大值来得到参数的估计值。
最大似然估计具有一致性、渐进正态性等良好的统计性质，在实际应用中广泛使用。
2. 矩估计矩估计是一种基于样本矩对总体矩的估计来得到参数的方法。
矩估计的基本思想是将总体矩与样本矩相等，然后解方程得到参数的估计值。
矩估计方法简单易用，但在样本较小或模型复杂的情况下可能存在偏差较大的问题。
3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它将样本数据和先验信息结合起来得到参数的估计值。
统计学：3-参数估计
5 - 14
2008年8月
3.统1 计参学数估计的基本原理
三ST、(A第T三I区S版TI间C) S估计——置信区间的表述 (confidence interval)
点估计值
10. 实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义
比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很 有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过 窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上 去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量， 而现实中样本量总是有限的
5 - 16
2008年8月
总体分布 样本量
2已知 2未知
正态分布 大样本 n≧30
正态分布 小样本
n˂30 非正态分布 大样本
n≧30
x Z
2
n
x Z
2
n
x Z
2
n
x Z
2
s n
x t (n 1)
2
s n
x Z
2
s n
5 - 19
2008年8月
3.统2 计一学个总体参数的区间估计
STATISTICS (第三版)
3.2 一个总体参数的区间估计
一、 总体均值的区间估计 二、 总体比例的区间估计 三、 总体方差的区间估计
3.统2 计一学个总体参数的区间估计
STATISTICS (第三版)
总体参数 均值 比例 方差
5 - 18
符号表示
2
样本统计量
x p s2
2008年8月
统计学 一个总体均值的区间估计
3.2 多元线性模型的参数估计
于（k+1）的矩条件，就是广义矩估计法（GMM）。
四、参数估计量的性质
说明
• 在满足基本假设的情况下，多元线性模型结构
参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及
矩估计具有线性性、无偏性、有效性。
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有渐 近无偏性、渐近有效性、一致性。
工资性收入 X1 30273.0 23231.9 14588.4 16216.4 18377.9 15882.0 14388.3 12525.8 33235.4 21890.0 24453.0 15535.3 21443.4 14767.5 21562.1
14822.0
14704.2
其他收入 X2 15000.8 12423.7 9554.4 7797.2 8600.1 12022.9 9155.9 8623.4 15643.9 13241.0 16788.0 9470.8 11939.3 8181.9 9066.0
• ML必须已知随机项的分布。
2、估计步骤:以一元模型为例
Yi ~ N(ˆ0 ˆ1 X i , 2 )
Yi的分布
P(Yi )
1
e
1
2
2
(Yi
ˆ0
ˆ1
X
i
)
2
2
Yi的概率函数
L(ˆ0 , ˆ1, 2 ) P(Y1,Y2 , ,Yn )
1
e
1
2
i 1
一组矩条件，等同于OLS估计的正规方程组。
3、矩估计法是工具变量方法和广义矩估计法 的基础
• 矩估计利用随机干扰项与各解释变量不相关特性 构造矩条件。
第3章概率密度函数的估计new
1 2 N 1 2 N
ˆ 将 d ( x1 , x2 , , xN )称为 的最大似然估计量。 最大似然估计量：令( )为样本集D的似然函数， ˆ D {x , x , , x }，如果 d ( D) d ( x , x , , x )
[1 , 2 , ,S ]T
用 表示梯度算子:
(3-6)
求解似然函数最大值就需要对的每一维分别求导， ,..., (3-7) S 1 对似然函数求导并令梯度等于零： l ( ) 0 H( )为对数似然函数： H( ) ln[( )] lnp(D| ) lnp(x1 ,x2 , ,xN |1 , 2 , ,S ) (3-8)
13
第3章 概率密度函数估计
3.2 参数估计的基本概念
（3）点估计、估计量和估计值： 点估计问题是要构造一个统计量d ( x1 ,..., xN )作为参数的 ˆ 估计, 在统计学中称 为 的估计量。如果x ( i ) , , x (i )是属于
1 N
类别i的几个样本观察值，代入统计量d 就得到对于第i类 ˆ 的 的具体数值，这个数值在统计学中称为 的估计值. （4）区间估计： 除点估计外，还有另一类估计，它要求用区间(d1 , d 2 )作为
k 1
N
从： H ( ) 0
(3 -11)
的S 个方程能够获得 的最大似然估计量的必要条件。 ˆ ˆ 如果式(3 -11)的解 能够使得似然函数值最大，则 就是 的最大似然估计。
29
3.2.1 最大似然估计
需要注意的是： 1，有时式(3 -11)无唯一解。如图3.1中有5个解。虽然这 5个都是解，但有的解可能是真正的全局最大值点， 也可能是局部极值点，或者还可能是函数的拐点。 2，此外，我们必须注意检查所得到的解是否位于函数 H ( )定义域的边界上。如果所有的极值解都已经求得了 ，我们就能确定其中必有一个是全局的最大值。然后 检查确定真正的全局最优点。
5.3.2--参数估计
置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得 一个区间,此区间不一定包含未知参数
的真值, 而包含真值的区间占95%.
若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877)
它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
设X 的密度(或分布)为 f (x,1, ,k )
则定义似然函数为
L(x1, , xn;1, ,k ) n
L(1, ,k ) f (xi ,1, ,k ) i1
xi , i 1, 2, , n (1, ,k )
若 L(x1, , xn;1, ,k ) 关于1, …, k可微,则称
r
L( x1 ,
独立观察中, 事件 “X < 4” 出现了21 次, 试
用频率替换法求参数 的估计值.
解 由 P(X 4) (4 ) 21 0.75
2 28
查表得 4 0.675
2
于是 的估计值为 3.045
矩估计法
方法
用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的 估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数
k i
)
1 n
n i 1
E
(
X
k i
)
1 n
n k
k
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i 1
X i2是总体
二阶原点矩 2 E( X 2 ) 的无偏
估计量
有效性 设 ˆ1 1(X1, X 2,, X n )
ˆ2 2 (X1, X 2,, X n )
自动化控制方法
自动化控制方法引言概述：自动化控制方法是指通过使用计算机技术和先进的控制算法，实现对各种工业过程和系统的自动控制。
它可以提高生产效率、降低成本、提高产品质量，并且能够应对复杂的工程问题。
本文将介绍自动化控制方法的五个大点，分别是传感器与执行器的选择、控制算法的设计、系统建模与参数估计、控制器的设计和优化、以及自适应控制方法。
正文内容：1. 传感器与执行器的选择1.1 传感器的选择传感器是自动化控制系统中的重要组成部份，它能够将物理量转换为电信号，并传递给控制器。
在选择传感器时，需要考虑其测量范围、精度、响应时间等因素。
1.2 执行器的选择执行器是自动化控制系统中的另一个关键组件，它能够根据控制器的指令执行相应的动作。
在选择执行器时，需要考虑其输出能力、响应速度、可靠性等因素。
2. 控制算法的设计2.1 PID控制算法PID控制算法是自动化控制中最常用的一种算法，它通过调节比例、积分和微分三个参数来实现对系统的控制。
在设计PID控制算法时，需要根据系统的特性和要求进行参数调整。
2.2 含糊控制算法含糊控制算法是一种基于含糊逻辑的控制方法，它能够处理含糊和不确定性的问题。
在设计含糊控制算法时，需要建立含糊规则库，并进行含糊推理和解含糊处理。
2.3 预测控制算法预测控制算法是一种基于模型预测的控制方法，它通过建立系统的数学模型来进行预测，并根据预测结果进行控制。
在设计预测控制算法时，需要选择合适的预测模型和优化算法。
3. 系统建模与参数估计3.1 系统建模方法系统建模是自动化控制的基础，它能够将实际系统抽象成数学模型。
在系统建模时，可以使用物理模型、统计模型或者神经网络模型等方法。
3.2 参数估计方法参数估计是指通过实验数据来估计系统模型中的未知参数。
常用的参数估计方法有最小二乘法、极大似然估计法等，需要根据具体情况选择合适的方法。
4. 控制器的设计和优化4.1 控制器设计方法控制器设计是根据系统模型和控制目标来设计控制器的结构和参数。
统计学与数据分析的实用方法
统计学与数据分析的实用方法统计学和数据分析是现代科学与商业领域中不可或缺的工具。
它们的发展与应用为我们提供了深入理解数据、获取洞察力以及做出准确的决策的方法。
本文将探讨一些统计学与数据分析的实用方法，帮助读者更好地应用它们于各个领域。
一、数据收集与整理在进行统计学与数据分析之前，首先需要收集和整理数据。
数据的质量和数量对于统计分析的准确性至关重要。
下面是一些数据收集与整理的实用方法：1.1 数据源的选择：根据所需的数据类型和研究目的，选择合适的数据源。
可以是原始数据、调查数据、数据库、实验数据等等。
1.2 数据质量的评估：在使用数据之前，评估数据的准确性、完整性和一致性。
排除错误和异常值，确保数据可靠。
1.3 数据整理和清洗：对数据进行整理和清洗，包括去除重复数据、缺失数据的处理、数据格式的统一等。
确保数据的一致性和可用性。
二、探索性数据分析探索性数据分析（EDA）是对数据进行初步探索和可视化的过程。
通过EDA，可以发现数据的模式、趋势和异常情况，为后续的统计模型和分析提供基础。
以下是一些EDA的实用方法：2.1 描述统计分析：计算和描述数据的基本统计特征，例如均值、中位数、标准差等。
这些指标可以帮助我们了解数据的整体分布和集中趋势。
2.2 数据可视化：使用图表、图形和统计图来展示数据。
例如直方图、散点图、箱线图等。
可视化可以更直观地理解数据的分布和关系。
2.3 相关性分析：通过计算相关系数，了解变量之间的相关性。
例如Pearson相关系数可以衡量两个变量之间的线性相关性。
三、假设检验与参数估计假设检验和参数估计是统计学常用的方法，用于验证研究假设和估计总体参数。
下面是一些假设检验与参数估计的实用方法：3.1 假设检验：根据问题的设置和研究目的，选择合适的假设检验方法。
例如单样本t检验、双样本t检验、方差分析等。
通过比较观察值和理论值，判断结果的显著性。
3.2 参数估计：基于样本数据，对总体的参数进行估计。
§3.2-多元线性回归模型的参数估计
共计
2420
21450 21285
15510
例3.2.1：家庭收入-消费支出 ，
1 ( X ' X) X 1 1 X2 1 X1 1 1 X 2 n X Xn i 1 X n
X X
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 0 1 1i 2 2i ki Ki
i=1,2…n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
Q0 ˆ 0 Q0 ˆ 1 ˆ Q0 2 Q0 ˆ k
( XX) 1 X( Xβ μ ) β ( XX) 1 Xμ
和
) 2I E (μμ
五、样本容量问题 ⒈ 最小样本容量
所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理 和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）,即 n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1
i=1,2…n
其矩阵形式为
ˆ e y xβ
其中 ：
y1 y2 y y n
x11 x x 12 x 1n x 21 x 22 x2n x k1 xk 2 x kn
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X ) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X ) 1 E ( X μ ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
3.2 多元线性回归模型的参数估计
上式中，矩阵PP´的主对角线上所有元素非负，所以
有：Var bi Var(ˆi ),i 0,1 , k
以上证明过程中得到了参数估计量的方差，即：
X X Var ˆi 2
'
1
2Ci1,i1(i 0,1 , k)
i1,i1
若用ˆ 2代替上式中的 2，则可得：
通常称为回归标准差或残差标准差。
其证明过程如下：
e Y Yˆ Y X ˆ Y X (X ' X )1 X 'Y X U X ( X ' X )1 X ' ( X U )
U X ( X ' X )1 X 'U In X ( X ' X )1 X ' U MU
其中：M In X (X 'X )1 X ' ,显然M是n n对称 幂等矩阵，即M M ', M M 2 e'e (MU )' MU U 'M 'MU U 'MU
L122
，S(ˆ2 )
ˆ
L11 L11L22 L122
i1, j1
以下证明最小方差性： 设b是β的又一线性无偏估计量，不失一般性，令
b (A P)Y
其中P为一个非随机的（k 1) n阶常数矩阵。
则：
b ( A P)(X U )
AX PX (A P)U
PX (A P)U
∴ E(b) PX 根据b的无偏性知：PX 0 ∴ b ( A P)U
2、无偏性 无偏性是指估计量的数学期望等于参数真实值。
证明 βˆ = (XX)-1 XY = (XX)-1 X(Xβ U) = β (XX)-1 XU
对上式两端取数学期望得
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2. 使用 t 分布统计量
t x s n ~ t ( n 1)
3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 s x t 2 n
24/46
统计学 x t
s n
STATISTICS 2
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取 16只，测得其使用寿命(单位：h) 如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 36
35 42
39 46
27 43
36 31
44 33
42
34 39 34
22/46
53
28 49 39
45
39 38 45
54
36 34 48
47
44 48 45
24
40 50 32
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(大样本的估计)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39 .5 ，s 7.77 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
1. 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参 数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计； 用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的 估计
由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到 的估计值很可能不同于总体真值
2. 无法给出估计值接近总体参数程度的信息
一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差 来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给 出估计的可靠性的度量
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统计学
STATISTICS
总体比例的区间估计
(例题分析—传统方法)
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机地抽取 了 100 名 下 岗 职 工，其中 65 人为 女性职工。试以 95% 的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
总体比例的区间估计
(传统方法)
总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10
1.
假定条件
2.
使用正态分布统计量 z
z
3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
p ~ N (0,1) (1 ) n
p (1 - p ) p z 2 n 样本比例±分位数值×样本比例的标准误差
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统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(大样本的估计)
总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
1. 假定条件
2. 使用正态分布统计量 z x z ~ N (0,1) n 3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有 把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄) 的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很 准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现 实中样本量总是有限的
3.
区间估计总是要给结论留点儿余地
12/46
1 参数估计的一般问题 1.2 评价估计量的标准
July 31,
统计学
STATISTICS
置信水平
(confidence level)
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例，也称置信度 2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
相应的 为0.01，0.05，0.10
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
25 1 93.21
39.3641 12.4011 56.83 2 180.39 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区 间为56.83 g~180.39g
34/46
2
25 1 93.21
统计学
STATISTICS
一个总体参数的区间估计
(小结)
待估参数 均值 大样本 2已知 Z分布 2未知 Z分布 小样本 2已知 Z分布 2未知 t分布 July 31, 比例 大样本 Z分布 方差 2分布
x z 2
21/46
n
或 x z
2
s ( 未知) n
统计学
STATISTICS 2
x
z
n
或 x (z ( 未知 2 大样本的估计 ))
总体均值的区间估计 s
n
【例】一家保险公司收集到由 36 个投保人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如 下表。试建立投保人年龄90%的置信区间
统计学
STATISTICS
July 31, 2010
1/46
参数估计
1 2 3 4 参数估计的基本原理 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本量的确定
统计学
STATISTICS
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
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July 31,
参数估计
1 参数估计的基本原理
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
ˆ) P(
无偏 有偏
A
B
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ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ 的抽样分布 1
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
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统计学
STATISTICS
一致性
(consistency)
一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
ˆ) P(
较大的样本量
B A
较小的样本量
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ˆ
参数估计
2 一个总体参数的区间估计
2.1 总体均值的区间估计 2.2 总体比例的区间估计 2.3 总体方差的区间估计
25袋食品的重量
112.5 102.6
101.0 107.5
103.0 95.0
102.0 108.8
100.5 115.6
100.0 116.6
136.8
33/46
123.5 95.4
102.8
102.0 97.8
101.5
101.6 108.6
98.4
102.2 105.0
93.3
统计学
STATISTICS
x t
2
s 24.77 1490 2.131 n 16 1490 13.2 1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为 1476.8h ～ 1503.2h
26/46
2 一个总体参数估计的区间估计 2.2 总体比例的区间估计
统计学
STATISTICS
7/46
统计学
STATISTICS
区间估计
(interval estimate)
1. 2.
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计 区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
统计学
STATISTICS
一个总体参数的区间估计
总体参数
符号表示
样本统计量
均值
比例
x p
2
方差
18/46
s
2
July 31,
2 一个总体参数估计的区间估计 2.1 总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
总体均值区间的一般表达式
1. 总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差 得到的 2. 估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误 差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计 时所要求的置信水平为 1 - 时，统计量分布两侧 面积为 / 2的分位数值，它取决于事先所要求的 可靠程度 3. 总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表 达为 样本均值±分位数值×样本均值的标准误差
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p z 2
p(1 p ) n
65% 1.96
65%(1 65%) 100
65% 9.35% 55.65%, 74.35%
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为55.65%~74.35%
2 一个总体参数估计的区间估计 2.3 总体方差的区间估计
统计学
16灯泡使用寿命的数据
1510 1450 1480 1460
25/46
1520 1480 1490 1460
1480 1510 1530 1470
1500 1520 1510 1470
统计学 x t
s n
STATISTICS 2
总体均值的区间估计
(小样本的估计)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ，s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 37.37,41.63