正比例函数
正比例函数
正比例函数学习目标1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．要点梳理知识点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；（3）、若与成正比例；（4）、（为常数且≠0）.知识点二、正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.知识点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.典型例题类型一、正比例函数的定义1、已知，当为何值时，是的正比例函数？举一反三B组正比例函数的定义1、若函数是关于的正比例函数，求、的值.2、设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数（1）求证：是的正比例函数；（2）如果＝1，＝4时，求出关于的函数关系式.举一反三类型二、正比函数的图象和性质2、已知正比例函数的函数值随着的增大而减小，则大致图象为（）A. B. C. D.答案与解析3、若正比例函数中，随的增大而增大，则的值为________. 举一反三4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（）A．＜＜＜B．＜＜＜C．＜＜＜D．＜＜＜答案与解析【变式】已知正比例函数的图象上一点（，），且＜0，＋＞0，那么的取值范围是（）A. ＜ B．＞ C．＜或＞ D．不确定类型三、正比函数应用5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（）．A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲、乙同速 D．不一定答案与解析举一反三B组正比函数应用4、已知正比例函数的图像上有一点P(,)和一点A(6，0)，O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？【答案与解析】解：依题意：∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6∴；【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.巩固练习一.选择题1. 直线过点（0，0）和点（）A.（－1，－3）B.（1，3）C.（1，－3）D.（3，－1）2. 下列函数中，是正比例函数的是（）A． B． C． D．3．正比例函数的图象经过（）．A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限4. 如图所示，直线的函数解析式是（）．A． B． C． D．5. 结合函数的图象回答，当＜－1时，的取值范围（）A．＜2 B．＞2 C. ≥ D. ≤6．点A（–5，）和B（–2，）都在直线上，则与的关系是（）A. ≤B. ＝C. ＜D. ＞二.填空题7．若直线经过点A（－4，3），则＝______．如果这条直线上点A的横坐标＝4，那么它的纵坐标＝______．8. 已知三角形底边长为4，高为，三角形的面积为，则与的函数关系式为_______________.9. －2与＋1成正比例，比例系数为－2，将表示成的函数为：___________.10. 正比例函数，当 _______时，随的增大而增大.11. 若函数是正比例函数，那么＝______,图象经过第_______象限.12. 已知与成正比例，且当＝1时，＝2，那么当＝3时，＝_______.三.解答题13. 蜡烛点燃后缩短长度（）与燃烧时间（分钟）之间的关系为，已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6，求：（1）与之间的函数解析式；（2）此蜡烛几分钟燃烧完.14. 已知＋2与－1成正比例，且＝3时＝4.（1）求与之间的函数关系式；（2）当＝1时，求的值。
正比例函数
正比例函数内容正比例函数概念内容解析一次函数是最简单的函数模型之一。
正比例函数是特殊的一次函数，其特殊性表现在，函数值是自变量的值与一个常数的积。
小学中，学生学习过正比例关系，正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型。
正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y=kx(k是常数，k≠0）的函数叫正比例函数。
概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过图象研究其性质，并用这种函数模型描述和研究现实中的运动变化过程。
这种研究具体函数模型的方法，在今后的函数学习中还会经常用到知识技能目标1.理解正比例函数的概念；2.根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式．过程性目标1.经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；2.探求正比例函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．教学重点正比例函数的概念，体会具体函数模型研究的一般方法教学过程一、创设情境问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。
思考下列问题：1. y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？师生活动：学生个别回答，老师在黑板上板演，老师加以引导。
设计意图：从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量。
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0°C 的物体，使它每分钟下降2°C ，物体温度T （单位：°C ）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．师生活动：学生独立写出函数解析式，老师课堂巡视，并进行个别指导。
正比例函数解析式
正比例函数解析式函数解析式，是函数表达方式。
函数与函数解析式是完全不同的两个概念。
再说函数解析式，函数主要有三种表达方式：1、列表；2、图象；3、解析式（较常用）。
因此函数解析式只是函数的一种表达方式。
简介函数解析式（analytic expression），函数解析式与函数式二者相似都就是算出函数x与y的函数关系。
在一次函数中就是谋k值也就是它俩的关系。
常用函数的解析式:一次函数y=kx+b正比例函数（也是特殊的一次函数）y=kx反比例函数y=k/x二次函数y=a*x^2+b*x+c特别注意：通俗地谈，函数充分反映的就是两个变量轻易的（变化）关系，严苛地说道，函数就是两个数集之间的一种对应关系（态射）。
而“规律”首先就是一个（真）“命题”，而“命题”，在逻辑学指抒发推论的语言形式，由系词把主词和宾词联系而变成。
比如：‘北京就是中国的首都’，这个句子就是一个命题。
在现代哲学、逻辑学、语言学中，命题就是指一个推论（陈述）的语义（实际抒发的概念），这个概念就是可以被定义并观测的现象。
命题不是指推论（陈述）本身。
更进一步，“规律”就是事物、现象和过程内在的、本质的必然的联系。
定律(laws) 研究宇宙间维持不变的事实规律所概括出来的结论，不同于理论、假设、定义、定理，就是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体内容的客观事实经验积累概括而变成的结论。
与“函数”概念相去甚远，不应当混为一谈。
另外，函数的“表达式”最好不要笼统的称为为“解析式”。
因为很多函数并不解析（解析的概念在大学“复变函数”等课程中学习），为避免误用，最好称为“表达式”，这样更为妥当。
概念思路分析解释函数概念；函数就是根据运算规则，“算式中最少有两个互相影响的数值”，这两个数值称为(变量)。
其中一个是“自变量”（x），为什么叫“自变量”呢？因为这个数值可控，我们通过改变它来改变另一个变量（y），另一个变量（y）由于是受这个自变量（x）改变而得到的，所以另一个变量(y)称为这个自变量(x)的函数（在初中旧版教材中称y为因变量）！为什么叫“函数”？看这个词的构成，“函”的意思是什么？“函是不二者隶属于机关之间相互洽谈工作、查问和回复问题”这个解释正好又能解释到“映射”，“不相隶属机关”就是指这两个变量，它们两个之间相互工作，相互影响。
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
正比例 函数
正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。
本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。
设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。
k被称为比例系数。
通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。
特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。
2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。
斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。
斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。
3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。
因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。
示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。
当x增加1个单位时，y也增加2个单位。
以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。
示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。
即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。
通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。
示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。
我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。
应用正比例函数在实际生活中有许多应用。
例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。
正比例函数
正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k 是常数，•k ≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function ），其中k 叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx+b ，且b ≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1，k ）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0） （3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限b>0，图象必经过第一、二象限；b<0，图象必经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系]（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]：待定系数法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型；（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
正比例函数变量之间的关系
正比例函数变量之间的关系我们来了解一下正比例函数的定义。
正比例函数可以写成y=kx的形式，其中k是常数，称为比例系数。
这个函数表示y随着x的增加或减少而成比例地增加或减少。
当x增加1个单位时，y也增加k个单位。
如果k为正数，则y随着x的增加而增加；如果k为负数，则y随着x的增加而减少。
正比例函数的特点是直线图像经过原点，并且斜率为常数k。
当k 大于0时，直线向右上方倾斜；当k小于0时，直线向右下方倾斜。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大，代表了变量之间的增长速度。
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
举个例子，我们来看看购买水果的情况。
假设每个苹果的价格是1元，那么购买n个苹果的总价格y就是y=n*1。
这个函数描述了购买苹果数量和总价格之间的关系，可以看出随着购买数量的增加，总价格也相应增加。
类似地，正比例函数也可以用来描述其他商品的价格和数量之间的关系。
比如购买书籍、电子设备等，当我们购买的数量增加时，总价格也会相应增加。
这种关系在商业中很常见，可以帮助商家和消费者更好地理解市场需求和价格变化。
除了商业领域，正比例函数在科学研究中也有着重要的应用。
例如在物理学中，正比例函数可以描述力和位移之间的关系。
根据胡克定律，弹簧的伸长量与施加的力成正比。
这个关系可以用正比例函数表示为y=kx，其中y是伸长量，x是施加的力，k是弹簧的弹性系数。
通过实验测量伸长量和施加的力，我们可以确定弹簧的弹性系数，进而研究弹簧的性质和应用。
除了物理学，正比例函数还在经济学、生物学、工程学等领域中广泛应用。
在经济学中，正比例函数可以描述供求关系、价格和产量之间的关系等。
在生物学中，正比例函数可以描述生物体的生长和发育过程。
在工程学中，正比例函数可以描述电阻和电流之间的关系，帮助工程师设计电路和设备。
总结一下，正比例函数是一种常见的数学函数形式，用来描述两个变量之间的关系。
它的特点是直线图像经过原点，并且斜率为常数。
正比例函数在商业、科学和生活中都有广泛的应用，帮助我们理解和解释现象，做出决策和预测。
正比例函数
正比例函数一、函数概念及性质理解 1、函数的概念：函数的定义：一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数．函数值是指自变量在数值范围内取某个值时,因变量与之对应的确定的值。
（一般的,自变量确定可以求函数值,函数值确定可以求自变量的值）一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象． 2、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。
3、正比例函数表达式,图像,象限,趋势（上升or 下降）,与坐标轴交点 例题例1、齿轮每分钟120转,如果n 表示转数,t 表示转动时间,那么用n 表示t 的关系是 ,其中 为变量, 为常量例2、函数=y x 的取值范围是 ；n 边形的内角和(2)180s n =-,其中自变量n 的取值范围是 例3、点A （1,m ）在函数y=2x 的图象上,则m 的值是例4、.当3-=x 时,函数732--=x x y 的函数值为 ；在函数32-=x y 中,当3=y 时,=x二、正比例函数 【知识要点】一般地,形如y=kx （k 是常数,k ≠0）的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数． 【经典例题】例1、下列函数中,哪些是正比例函数？为什么？(1)5xy -=; (2)5x y =; (3)y=3-x; (4)22x y =(2)例2:下列函数关系中,属于正比例关系的是( D ) A. 正方形面积与它的边长B. 面积是常数S 时,矩形长y 与宽xC. 路程是常数S 时,行驶的速度v 与时间tD. 三角形的底边是常数a 时,它的面积S 与这条边上的高h 例3：已知y=(k-1)x+k ²-1是正比例函数,求k 的值例4.已知y-1与2x 成正比例,当x=-1时,y=5,求y 与x 的函数解析式。
正比例函数及性质
解决实际问题
正比例函数在解决实际问题中也 有广泛应用，例如速度、加速度 等物理量可以用正比例函数表示。
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与反比例函数的区别
反比例函数的一般形式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和反比例函数在 图像上都是直线，但它们的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而反比例函数的斜率为 $-k$。此外， 正比例函数的图像过原点，而反比例函数的图像不过原点。
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。正比例函数是特殊的一次函数，其形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和一次函数在图像上都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图 像不过原点。
正比例函数和一次函数的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而一次函数的斜率为 $a$。斜率决定了函数的增减性，因此正比 例函数和一次函数的增减性也可能不同。
截距
截距定义
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此没有固定 的截距。但当我们在坐标轴上标出与直线交点的数值时， 这个数值即为该正比例函数的截距。
截距的计算
对于正比例函数$y=kx$，当$x=0$时，$y=0$，因此其 截距为0。
截距的影响
正比例函数的截距不影响函数的增减性，但会影响函数与 坐标轴的交点位置。
正比例函数和二次函数的开口方向也不同。正比例函数的图 像总是向上或向下开口，而二次函数的开口方向取决于 $a$ 的值。当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口；当 $a < 0$ 时，抛 物线向下开口。
反比例函数和正比例函数的区别
正比例函数和反比例函数都是基本的代数函数，但它们的性质和图像有所不同。
正比例函数是一种一次函数，其函数表达式为y=kx，其中k为常数。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线，当x增大时，y也随之增大，当x减小时，y也随之减小。
反比例函数是一种反比例函数，其函数表达式为y=k/x，其中k为常数。
反比例函数的图像是一条双曲线，当x和y同号时，它们的乘积为正，图像在第一和第三象限；当x和y异号时，它们的乘积为负，图像在第二和第四象限。
因此，正比例函数和反比例函数的主要区别在于它们的图像和函数表达式。
正比例函数的图像是一条直线，而反比例函数的图像是一条双曲线。
此外，正比例函数的自变量和因变量的关系是线性的，而反比例函数的自变量和因变量的关系是非线性的。
正比例函数和反比例函数的区别(附图)
正比例函数和反比例函数的区别（附图）
一：正比例函数
y=kx(k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）。
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点，
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
二、反比例函数
y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，我们就说y是x的反比例函数(自变量x的取值范围是不等于0的一切实数) 。
反比例函数的图像为双曲线，它可以无限地接近坐标轴,但永不相交，
当k>0时，图象在一、三象限,在每个象限内，y随x的增大而减小，
当k<0时，图象在二、四象限,在每个象限内，y随x的增大而增大。
正比例函数概念
一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
[编辑本段]反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：∵m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根
∴m+n=3，mn=k,
又PO=根号13，
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正 比例函数，其中k叫比例系数。
1、形式上是一个一次单项式，单项式 系数就是比例系数k
2、正比例函数的特征：（1）k≠0；（2） 自变量的指数为“1”
3、一般情况下正比例函数自变量取值范 围为一切实数，但在特殊情况下自变量 取值范围会有所不同
一、设所求的正比例函数解析式。 二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入 所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的 方程，解这个方程求出比例系数k。 三、把k的值代入所设的解析式。
不是正比例函数
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
待 4、已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求
定 系 数
y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例 又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
正比例函数的定义
3.下列式子，哪些表示y是x的正比例函的）值y ．2x
是正比例函数， 正比例系数为-0.1
是正比例函数， 正比例系数为0.5
（3）y=2x2
（4）y2=4x
不是正比例函数
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
（6） y=2(x－x2 )+2x2
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正 比例函数，其中k叫比例系数。
4、y与x成正比例函数 y=kx(常数k≠0)
5、从函数关系看，关键是比例系数k，比例 系数k一确定，正比例函数就确定了；只需知
正比例函数
正比例函数正比例函数实质上是一次函数。
定义一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数，它是一次函数的一种特殊形式。
即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，即所谓“y轴上的截距”为零，则叫做正比例函数。
关系式一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）。
当k>0时（一、三象限），k的绝对值越大，图像与y轴的距离越近；函数值y随着自变量x的增大而增大；当k<0时（二四象限），k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。
自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
性质1.单调性当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
2.对称性对称点：关于原点成中心对称。
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线。
例题下面观察这5个函数的共同点，以便归纳出正比例函数概念。
①h=2t ；② m=7.8n；③s=0.5t；④T=t/3 ；⑤y=200x。
这5个函数有什么共同的特点？1：都有自变量。
2：都是函数。
3：都有常量。
这5个函数的右边都是常量和自变量的什么形式？这5个函数都是常量与自变量的乘积形式，都可表达为y=kx(k不等于0)的形式。
下面是4个函数，请判断哪些是正比例函数？①y=3；②y=2x；③y=1/x；④y=x^2。
解答：②是正比例函数。
因为它符合正比例函数的的定义。
①，③，④则不是正比例函数。
①：它为常数函数，无自变量。
③：它为反比例函数。
④：它为二次函数。
正比例函数的特点
正比例函数的特点正比例函数是一种特殊的函数，其特点是当自变量增加时，因变量也会按照一定比例增加。
具体来说，正比例函数的定义域为实数集，值域为非负实数集，函数图像为一条通过原点的直线，斜率为常数k，函数表达式为y=kx。
正比例函数的特点有以下几个方面：1. 原点为函数图像的必经点。
因为当x=0时，y=0，所以函数图像必须经过原点。
2. 函数图像是一条直线。
因为正比例函数的斜率为常数k，所以函数图像是一条直线。
3. 自变量和因变量成正比例关系。
当自变量x增加时，因变量y也会按照一定比例增加，比例系数为k。
4. 函数值为非负实数。
因为正比例函数的值域为非负实数集，所以函数值必须大于等于0。
在中心扩展下，正比例函数的特点也会有所变化。
中心扩展是指将函数图像沿着某个轴进行平移或者缩放，从而改变函数的形状和特点。
下面是一些中心扩展下的正比例函数特点：1. 平移：如果将正比例函数沿着x轴或y轴平移，那么函数图像的斜率k不会改变，但是原点的位置会发生变化。
如果将函数图像沿着x轴平移h个单位，那么函数表达式变为y=k(x-h)，如果将函数图像沿着y轴平移k个单位，那么函数表达式变为y=kx+k。
2. 缩放：如果将正比例函数沿着x轴或y轴进行缩放，那么函数图像的斜率k会发生变化，但是原点的位置不会改变。
如果将函数图像沿着x轴缩放a倍，那么函数表达式变为y=(k/a)x，如果将函数图像沿着y轴缩放b倍，那么函数表达式变为y=kx/b。
正比例函数是一种简单而重要的函数类型，它的特点是自变量和因变量成正比例关系，函数图像为一条直线，原点为必经点，函数值为非负实数。
在中心扩展下，正比例函数的特点也会有所变化，但是它的基本特征仍然保持不变。
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11．2．1 正比例函数
教学目标
（一）教学知识点
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．
２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟）套上标志环．４个月
零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷
冻时间t（分）的变化而变化．
解：１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．
２．依据密度公式p=m
V可得：m=7．8V．
３．据题意可知： h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．
• • • •一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
活动内容设计：
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．
１．y=2x ２．y=-2x
活动设计意图：
通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣．教师活动：
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述．
学生活动：
利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．活动过程与结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：
画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：
画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y=1
2x ２．y=-
1
2x
比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=1
2x•
的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-1
2x•的
图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx．
[活动二]
活动内容设计：
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？
活动设计意图：
通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
教师活动：
引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法．从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法．
学生活动：
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．
活动过程及结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=3
2x ２．y=-3x
解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：
１．y= 3
2x （2，3）
２．y=-3x （1，-3）
小结：
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．课后作业
习题11．2─1、2题．
Ⅵ．活动与探究
某函数具有下面的性质：
１．它的图象是经过原点的一条直线． ２．y 随x 增大反而减小．
请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象． 解：函数解析式：
备选题：
汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，•t （小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？
３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？ 解法一：用图象解答：
从图上可以看出4个小时可到达．
速度＝120
4=30（千米／时）．
行驶１小时离开天津约为30千米．
当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时． 解法二：用解析式来解答：
由图象可知：Ｓ与t 是正比例关系，设S=kt ，当t=4时S=120 即120=k ×4 k=30 ∴S=30t ．
当t=1时 S=30×1=30（千米）．
当S=100时 100=30t t=10
3（小时）．
以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．毛。