隐函数的导数,对数求导法,由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率

d ( t ) dt d 2 y d dy ) ( ) ( 2 dx dx dt ( t ) dx dx
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
在 t 0时刻炮弹的速度为
2 2 v v x v 2 v0 2v0 gt0 sin g 2 t02 y
x a cos 3 t 表示的函数的二阶导数. 例8 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 3a sin 2 t cos t tan t 解 2 dx dx 3a cos t ( sin t ) dt
( ( t ) 0)
思考题解答
不对．
d dy dt ( t ) 1 y y x x x dx dt dx ( t ) t ( t )
练 习 题
一、填空题： 1、设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0 确定了y 是x 的函 dy d2y 数，则 =________， 2 ________. dx (1,1) dx 2、曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程 是___________. x t cos t 3、曲线 在t 处的法线方程________. 2 y t sin t x e t cos t dy dy 4、已知 ,则 =______； =______. t dx dx t y e sin t
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
x a ( t sin t ) 例6 求摆线 在t 处的切线 2 y a (1 cos t ) 方程 .
解
dy sin t a sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
3、 y
x sin x 1 e x .
d2y 四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx x a cos t 1、 ； y b sin t x f ( t ) 2、 设 f (t ) 存在且不为零 . y tf ( t ) f ( t ) x ln(1 t 2 ) 五、求由参数方程 所确定的函数的 y t arctan t d3y 三阶导数 3 . dx f ( x ) 满足 f ( x ) 2 f ( 1 ) 3 ，求f ( x ) . 六、设 x x
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
由原方程知 x 0, y 0,
1.
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
dx vx dt dy vy dt
t t0
(v 0 t cos ) t t 0 v0 cos 1 2 (v 0 t sin gt ) t t 0 v0 sin gt 0 2
t t0
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x )称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数.
F ( x, y) 0
y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y x sin x .
多个函数相乘和幂指函数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y . 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对 x求导得
解 设时刻 t水深为h( t ), 水库内水量为V ( t ), 则
dV dh 上式两边对t求导得 dt 8000 3h dt dV 28800米 3 / 小时, 当h 20米时, dt dh 水面上升之速率 0.104米 / 小时 dt
V ( t ) 4000 3h
2
d 1 dh 500米 上式两边对t求导得 sec dt 500 dt dh 140米 / 秒, 当 h 500米时, sec 2 2 d 0.14(弧度 / 分 ) dt
dt
仰角增加率

, 例10 河水以8米 / 秒的体流量流入水库中 水库
3
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深 20米时, 水面每小时上升几米?
解 (1) 在 t 0时刻的运动方向即
y
vy
v0
v vx
轨迹在 t 0时刻的切线方向, 可由切线的斜率来反映 .
o x
1 2 (v 0 t sin gt ) dy v0 sin gt 2 dx ( v 0 t cos ) v0 cos
dy dx
t t0
v 0 sin gt 0 . v 0 cos
60 0
五、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解.
思考题
x (t ) ( t ) 设 ，由 y x ( t ) y (t ) ( t ) 可知 y ，对吗？ x ( t )
再设函数 x ( t ), y ( t )都可导, 且 ( t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
代入 x 0, y 1, y
xy 1
1 . 16
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为


y a x a ( 1) 2
即 y x a( 2 ) 2


例7 不计空气的阻力, 以初速度v 0 , 发射角
发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin 2 gt , 求 (1)炮弹在时刻 t 0的运动方向 ; ( 2)炮弹在时刻 t 0的速度大小 .
3
5、设 xy e
x y
dy ,则 =________. dx
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y ) ； y 3、 x y x ( x 0， y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升, 其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解 设气球上升 t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则 h tan 500
2
500米
2 sec t ( tan t ) d y d dy ( ) 3 2 3a cos 2 t sin t dx dx ( a cos t ) dx
2
sec t 3a sin t