刘徽和祖冲之、祖暅父子在球体积计算方面的成就-课件(共20张PPT)

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方程新术 在《九章算术 方程术》注中，他 提出了解线性方程组的新方法，运 用了比率算法的思想。
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重差术
在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术， 采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。 他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由 两次测望，发展为“三望”、“四望”。而 印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究 两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国 古代数学发展产生了深远影响，而且在世界 数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘 徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中 国数学史上的牛顿”。
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祖冲之（429~500）
祖冲之（429-500）， 字文远。祖籍范阳郡遒县 （今河北涞水县），中国南 北朝时期杰出的数学家、天 文学家。
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祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡 献在数学、天文历法和机械制造三方面。 他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法 的基础上，首次将“圆周率”精算到小 数第七位，即在3.1415926和3.1415927 之间，他提出的“祖率”对数学的研究 有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学 家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
刘徽
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刘徽是中国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人。 他的一生是为数学刻苦探求的一生。 他虽然地位低下，但人格高尚。他 不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下 了宝贵的财富。
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他的主要著作有：《九章算术注》 10卷；《重差》1卷，至唐代易名为 《海岛算经》；《九章重差图》l卷。 可惜后两种都在宋代失传。
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祖暅原理（幂势既同，则积不容异） 与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”。
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用水平截面去截球和“牟合方盖”， 可知截面的面积之比恒为π：4，于是由 刘徽原理立即得到：
V球:V牟=π：4 即： V球= （π/4） V牟。
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“小方盖差” 与球体积公式
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左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水 平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半 径r，UP是高h。根据勾股定理得a2 = r2 – h2; 这正是截平面PQRS的面积。
中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 －a2 =h2.
右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在 等高处的截面面积也是h2.
根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱 锥的体积相等。
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当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。 为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人， 不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人 昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到 人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境， ��
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由他撰写的《大明历》是当时最 科学最进步的历法，对后世的天文研究 提供了正确的方法。其主要著作有《安 边论》、《缀术》、《述异记》、《历 议》等。
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据《随书·律历志》记载，祖冲之 求得的π值的取值范围为3.141592 < π<3.1415927。（并称为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆术得到上述结果， 需要从正六边形起，连续的倍增正多边 形的边数，至24576边形。
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二是在继承的基础上提出了自己的创见。 这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率， 他在《九章算术--圆田术》注 中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了 计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开 始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到 π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到 π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
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数系理论
①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分 数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意 义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十 进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、 通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一 的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”， 即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算 原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对 “勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了 中国特色的相似理论。
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面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术” 的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种 几何形、几何体的面积、体积计算问题。这 些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
《九章算术》约成书于东汉之初， 共有246个问题的解法。在许多方面： 如解联立方程，分数四则运算，正负数 运算，几何图形的体积面积计算等，都 属于世界先进之列。
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刘徽的数学成就大致为两方面：
一是整理中国古代数学体系并奠定 了它的理论基础，这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个 比较完整的理论体系：决锥体体积时，提出了关于多面 体体积计算的刘徽原理。
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“牟合方盖”说
在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球 体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性， 并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。 “牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直 的内切圆柱体的贯交部分。
刘徽和祖冲之、祖暅父子 在球体积计算方面的成就
人物简介
刘徽（约公元225年—295 年），汉族，山东邹平县人，魏 晋期间伟大的数学家，中国古典 数学 理论的奠基人之一。是中 国数学史上一个非常伟大的数学 家，他的杰作《九章算术注》和 《海岛算经》，是中国最宝贵的 数学遗产。刘徽思想敏捷，方法 灵活，既提倡推理又主张直观。