刘徽和祖冲之、祖暅父子在球体积计算方面的成就-课件(共20张PPT)
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②刘徽原理 在《九章算术--阳马术》注中，他在用 无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面 体体积计算的刘徽原理。
人物简介
“牟合方盖”说
在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球 体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性， 并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。 “牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直 的内切圆柱体的贯交部分。
人物简介
二是在继承的基础上提出了自己的创见。 这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率， 他在《九章算术--圆田术》注 中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了 计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开 始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到 π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到 π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
刘徽和祖冲之、祖暅父子 在球体积计算方面的成就
人物简介
刘徽（约公元225年—295 年），汉族，山东邹平县人，魏 晋期间伟大的数学家，中国古典 数学 理论的奠基人之一。是中 国数学史上一个非常伟大的数学 家，他的杰作《九章算术注》和 《海岛算经》，是中国最宝贵的 数学遗产。刘徽思想敏捷，方法 灵活，既提倡推理又主张直观。
刘徽
人物简介
刘徽是中国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人。 他的一生是为数学刻苦探求的一生。 他虽然地位低下，但人格高尚。他 不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下 了宝贵的财富。
人物简介
他的主要著作有：《九章算术注》 10卷；《重差》1卷，至唐代易名为 《海岛算经》；《九章重差图》l卷。 可惜后两种都在宋代失传。
人物简介
数系理论
①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分 数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意 义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十 进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、 通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一 的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”， 即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 －a2 =h2.
右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在 等高处的截面面积也是h2.
根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱 锥的体积相等。
谢谢欣赏！
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。 为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人， 不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人 昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到 人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境， ��
人物简介
祖冲之（429~500）
祖冲之（429-500）， 字文远。祖籍范阳郡遒县 （今河北涞水县），中国南 北朝时期杰出的数学家、天 文学家。
人物简介
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡 献在数学、天文历法和机械制造三方面。 他在பைடு நூலகம்徽开创的探索圆周率的精确方法 的基础上，首次将“圆周率”精算到小 数第七位，即在3.1415926和3.1415927 之间，他提出的“祖率”对数学的研究 有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学 家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
《九章算术》约成书于东汉之初， 共有246个问题的解法。在许多方面： 如解联立方程，分数四则运算，正负数 运算，几何图形的体积面积计算等，都 属于世界先进之列。
人物简介
刘徽的数学成就大致为两方面：
一是整理中国古代数学体系并奠定 了它的理论基础，这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个 比较完整的理论体系：
人物简介
由他撰写的《大明历》是当时最 科学最进步的历法，对后世的天文研究 提供了正确的方法。其主要著作有《安 边论》、《缀术》、《述异记》、《历 议》等。
人物简介
据《随书·律历志》记载，祖冲之 求得的π值的取值范围为3.141592 < π<3.1415927。（并称为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆术得到上述结果， 需要从正六边形起，连续的倍增正多边 形的边数，至24576边形。
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算 原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对 “勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了 中国特色的相似理论。
人物简介
面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术” 的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种 几何形、几何体的面积、体积计算问题。这 些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
人物简介
祖暅原理（幂势既同，则积不容异） 与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”。
人物简介
用水平截面去截球和“牟合方盖”， 可知截面的面积之比恒为π：4，于是由 刘徽原理立即得到：
V球:V牟=π：4 即： V球= （π/4） V牟。
人物简介
“小方盖差” 与球体积公式
人物简介
左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水 平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半 径r，UP是高h。根据勾股定理得a2 = r2 – h2; 这正是截平面PQRS的面积。
人物简介
方程新术 在《九章算术 方程术》注中，他 提出了解线性方程组的新方法，运 用了比率算法的思想。
人物简介
重差术
在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术， 采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。 他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由 两次测望，发展为“三望”、“四望”。而 印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究 两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国 古代数学发展产生了深远影响，而且在世界 数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘 徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中 国数学史上的牛顿”。
人物简介
“牟合方盖”说
在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球 体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性， 并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。 “牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直 的内切圆柱体的贯交部分。
人物简介
二是在继承的基础上提出了自己的创见。 这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率， 他在《九章算术--圆田术》注 中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了 计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开 始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到 π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到 π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
刘徽和祖冲之、祖暅父子 在球体积计算方面的成就
人物简介
刘徽（约公元225年—295 年），汉族，山东邹平县人，魏 晋期间伟大的数学家，中国古典 数学 理论的奠基人之一。是中 国数学史上一个非常伟大的数学 家，他的杰作《九章算术注》和 《海岛算经》，是中国最宝贵的 数学遗产。刘徽思想敏捷，方法 灵活，既提倡推理又主张直观。
刘徽
人物简介
刘徽是中国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人。 他的一生是为数学刻苦探求的一生。 他虽然地位低下，但人格高尚。他 不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下 了宝贵的财富。
人物简介
他的主要著作有：《九章算术注》 10卷；《重差》1卷，至唐代易名为 《海岛算经》；《九章重差图》l卷。 可惜后两种都在宋代失传。
人物简介
数系理论
①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分 数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意 义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十 进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、 通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一 的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”， 即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 －a2 =h2.
右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在 等高处的截面面积也是h2.
根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱 锥的体积相等。
谢谢欣赏！
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。 为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人， 不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人 昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到 人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境， ��
人物简介
祖冲之（429~500）
祖冲之（429-500）， 字文远。祖籍范阳郡遒县 （今河北涞水县），中国南 北朝时期杰出的数学家、天 文学家。
人物简介
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡 献在数学、天文历法和机械制造三方面。 他在பைடு நூலகம்徽开创的探索圆周率的精确方法 的基础上，首次将“圆周率”精算到小 数第七位，即在3.1415926和3.1415927 之间，他提出的“祖率”对数学的研究 有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学 家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
《九章算术》约成书于东汉之初， 共有246个问题的解法。在许多方面： 如解联立方程，分数四则运算，正负数 运算，几何图形的体积面积计算等，都 属于世界先进之列。
人物简介
刘徽的数学成就大致为两方面：
一是整理中国古代数学体系并奠定 了它的理论基础，这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个 比较完整的理论体系：
人物简介
由他撰写的《大明历》是当时最 科学最进步的历法，对后世的天文研究 提供了正确的方法。其主要著作有《安 边论》、《缀术》、《述异记》、《历 议》等。
人物简介
据《随书·律历志》记载，祖冲之 求得的π值的取值范围为3.141592 < π<3.1415927。（并称为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆术得到上述结果， 需要从正六边形起，连续的倍增正多边 形的边数，至24576边形。
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算 原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对 “勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了 中国特色的相似理论。
人物简介
面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术” 的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种 几何形、几何体的面积、体积计算问题。这 些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
人物简介
祖暅原理（幂势既同，则积不容异） 与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”。
人物简介
用水平截面去截球和“牟合方盖”， 可知截面的面积之比恒为π：4，于是由 刘徽原理立即得到：
V球:V牟=π：4 即： V球= （π/4） V牟。
人物简介
“小方盖差” 与球体积公式
人物简介
左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水 平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半 径r，UP是高h。根据勾股定理得a2 = r2 – h2; 这正是截平面PQRS的面积。
人物简介
方程新术 在《九章算术 方程术》注中，他 提出了解线性方程组的新方法，运 用了比率算法的思想。
人物简介
重差术
在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术， 采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。 他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由 两次测望，发展为“三望”、“四望”。而 印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究 两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国 古代数学发展产生了深远影响，而且在世界 数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘 徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中 国数学史上的牛顿”。