刘徽和祖冲之、祖暅父子在球体积计算方面的成就-课件(共20张PPT)

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方程新术 在《九章算术 方程术》注中，他 提出了解线性方程组的新方法，运 用了比率算法的思想。
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重差术
在自撰《海岛算经》中，他提出了重差术， 采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。 他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由 两次测望，发展为“三望”、“四望”。而 印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究 两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国 古代数学发展产生了深远影响，而且在世界 数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘 徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中 国数学史上的牛顿”。
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祖冲之（429~500）
祖冲之（429-500）， 字文远。祖籍范阳郡遒县 （今河北涞水县），中国南 北朝时期杰出的数学家、天 文学家。
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祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡 献在数学、天文历法和机械制造三方面。 他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法 的基础上，首次将“圆周率”精算到小 数第七位，即在3.1415926和3.1415927 之间，他提出的“祖率”对数学的研究 有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学 家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
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祖暅原理（幂势既同，则积不容异） 与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖”。
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用水平截面去截球和“牟合方盖”， 可知截面的面积之比恒为π：4，于是由 刘徽原理立即得到：
V球:V牟=π：4 即： V球= （π/4） V牟。
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“小方盖差” 与球体积公式
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左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水 平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半 径r，UP是高h。根据勾股定理得a2 = r2 – h2; 这正是截平面PQRS的面积。
《九章算术》约成书于东汉之初， 共有246个问题的解法。在许多方面： 如解联立方程，分数四则运算，正负数 运算，几何图形的体积面积计算等，都 属于世界先进之列。
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刘徽的数学成就大致为两方面：
一是整理中国古代数学体系并奠定 了它的理论基础，这方面集中体现在 《九章算术注》中。它实已形成为一个 比较完整的理论体系：
③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算 原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对 “勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了 中国特色的相似理论。
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面积与体积理论
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术” 的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种 几何形、几何体的面积、体积计算问题。这 些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
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由他撰写的《大明历》是当时最 科学最进步的历法，对后世的天文研究 提供了正确的方法。其主要著作有《安 边论》、《缀术》、《述异记》、《历 议》等。
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据《随书·律历志》记载，祖冲之 求得的π值的取值范围为3.141592 < π<3.1415927。（并称为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆术得到上述结果， 需要从正六边形起，连续的倍增正多边 形的边数，至24576边形。
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二是在继承的基础上提出了自己的创见。 这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率， 他在《九章算术--圆田术》注 中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了 计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开 始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到 π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到 π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
刘徽
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刘徽是中国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人。 他的一生是为数学刻苦探求的一生。 他虽然地位低下，但人格高尚。他 不是沽名钓誉的庸人，而是学而不 厌的伟人，他给我们中华民族留下 了宝贵的财富。
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他的主要著作有：《九章算术注》 10卷；《重差》1卷，至唐代易名为 《海岛算经》；《九章重差图》l卷。 可惜后两种都在宋代失传。
中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 －a2 =h2.
右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在 等高处的截面面积也是h2.
根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱 锥的体积相等。
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懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏
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数系理论
①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分 数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意 义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十 进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、 通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一 的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”， 即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
②刘徽原理 在《九章算术--阳马术》注中，他在用 无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面 体体积计算的刘徽原理。
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“牟合方盖”说
在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球 体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性， 并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。 “牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直 的内切圆柱体的贯交部分。
刘徽和祖冲之、祖暅父子 在球体积计算方面的成就
人物简介
刘徽（约公元225年—295 年），汉族，山东邹平县人，魏 晋期间伟大的数学家，中国古典 数学 理论的奠基人之一。是中 国数学史上一个非常伟大的数学 家，他的杰作《九章算术注》和 《海岛算经》，是中国最宝贵的 数学遗产。刘徽思想敏捷，方法 灵活，既提倡推理又主张直观。