广东省梅州市2020届高三总复习质检试卷理科数学含答案(2020.06)

梅州市高三总复习质检试卷()2020.6理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。

1．复数21iz i=-，则其共轭复数z = A ．-1-i B ．-1+i C ．1-i D ．1+i2．已知集合22{|1,},{|2},R M y y x x N x y x ==-==-∈则M N I = A ．B ．[)1,+∞C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．)2,⎡-+∞⎣3．在ABC ∆中,,D BD DC E A =u u u r u u u r 是的中点，则EB =u u u r21.33A AB AC -u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u ur u u u r 31.44C AB AC +u u u r u u u r D.3144AB AC -u u ur u u u r 4．以下四个命题：①若p q ∧为假命题，则p,q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉…； ③"2"a =是”函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件; ④()()sin f x x ϕω=+为偶函数的充要条件是2πϕ=其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为A ．300B ．450C ．600D ．7506.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为 A ．120 B ．160 C ．200 D ．2407．已知在各项均不为零的等差数列72311{}220,n a a a a -+=中，数列{}n b 是等比数列， 且77,b a =则86b b ⋅等于 A ．2 B ．4 C ．8D ．168．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．2πB ．4πC ．16πD ．不存在9．若110,a b>>有下列四个不等式：()33l a b <；21log 3log 3;a b ++>②<④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③10．已知直线1l ：2x-y+3=0和直线2l ：x=-1，抛物线24y x =上的点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是AB ．2 CD 11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，五世纪末提出几何体体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为A ．①②B ．①③ .C ②④D ．①④12．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点对(A ，B 与B ，A 为同一对).函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上关于原点成中心对称的点对有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S = ▲14．曲线()tan f x x =在点,14π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 ▲ 15．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系kx by e +=（e 为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C 的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33C 的保鲜时间是 ▲16．已知双曲线C ：()22220,0x y l a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 、PF 2分别交双曲线C 的左、右支于另一点M 、N ．若12||2||,PF PF =且260,N MF ︒=∠则双曲线C 的离心率为 ▲三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分17．(12分)已知a ，b ，c 分别为说角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，满足222sin sin sin sin sin 0.A B C B C --+= (1)求A ；(2)若b=2，，求ABC ∆面积的取值范围。

18．(12分)如图PAD ∆中,90,2,DP DA B PDA ︒∠===、C 分别是PA 、PD 的中点，将PBC ∆//BC 折起连结PA 、PD ，得到多面体PABCD 。

(1)证明：在多面体PABCD 中,;BC PD ⊥；(2)在多面体PABCD 中，当PA =B-PA-D 的余弦值。

19．(12分)某市《城市总体规划（20162035-年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈“指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6~1)、良好小区(指数为0.4-0.63、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0-0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标值的调查数据：注：每个小区”15分钟社区生活圈”指数21133442,T T wT w T w T w =+++其中1w 、2w 、3w 、4w 为该小区四个方面的权重，4123,,,T T T T 为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值)现有100个小区的“15分钟社区生活圈“指数数据，整理得到如下频数分布表：(1)分别判断A 、B 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ζ，求ζ的分布列及数学期望。

20．(12分)已知两动圆1F ：(222x y r ++=2F 和：(()()222404x y r r +=-<<，把它们的公共点P 的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上相异的两点A ，B 满足：→MA ⋅→MB =0． (1)求曲线C 的方程;(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标;(3)求ABM ∆面积S 的最大值.21．(12分)已知函数()222ln .a f x x ax x=-+(1)当01a <<时，求证：02a f ⎛⎫>⎪⎝⎭; (2)当f(x)有三个零点时，求a 的取值范围.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为2521x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为4cos .3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求直线和圆C 的直角坐标方程;(2)若点(),P x y 在圆Cy -的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲](10分) 已知函数()|23||1|.f x x x =+-- (1)求不等式()3f x …的解集；(2)若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。

梅州市高三总复习质检试题（2020、6）理科数学参考答案与评分意见一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.二、填空题:每题5分，满分20分. 13.1)23(-n . 14. 0212=-+-πy x . 15. 6. 16.3.17.(12分)解:(1)由已知及正弦定理得, ,222bc c b a -+= ……………………2分由余弦定理可得.21cos =A ……………………4分 又.3,0ππ=∴<<A A ……………………6分(2) 由已知及正弦定理得, ,sin sin 2BCc =……………………7分 由,32π=+C B 得A BC S ABC sin sin sin 2221⨯⨯=∆ ……………………8分 .tan 12323sin )32sin(3BB B ⨯+=-=π……………………9分 △ABC 是锐角三角形,得,2320,20πππ<-<<<B B 得.26ππ<<B ……………………10分 .3tan 10,33tan <<∴>∴BB ……………………11分 .3223<<∴∆ABC S所以△ABC 面积的取值范围是).32,23(……………………12分 18.(12分)(1)证明: △PAD 中,因为C B ,分别是PD PA ,的中点,,90ο=∠PDA所以,90,//ο=∠=∠BCD BCP AD BC ……………………1分 所以多面体PABCD 中, ,,CD BC PC BC ⊥⊥ ……………………2分⊥∴=⋂BC C CD PC ,平面PCD . ……………………3分 ⊂PD 平面PCD ,.PD BC ⊥∴ ……………………4分(2)依题意可得, ,1==CD PC 直角△ADC 中,得,5=AC 又,6=PA所以CA PC AC PC PA ⊥∴+=,222, ……………………5分 由(1)知, ⊥∴⊥PC PC BC ,平面.ABCD ……………………6分 以C 为坐标原点,分别以CP CD CB ,,为z y x ,,轴,建立如图的坐标系. ……………………7分 则)1,0,0(),0,1,0(),0,1,2(),0,0,1(P D A B , ……………………8分得).1,1,0(),1,0,1(),1,1,2(-=-=-=……………………9分 设平面PAD PAB ,的一个法向量分别是),,(),,,(r q p z y x ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅.0,02z x z y x 可取)1,1,1(-=. ……………………10分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅.0,02r q r q p 可取)1,1,0(=. ……………………11分023110||||,cos =⋅+-=⋅>=<n m n m . ……………………12分 所以二面角D PA B --的余弦值为0. 19.(12分)解：（1）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区； ……………………1分B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区； ……………………2分C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区； ……………………4分（2）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个， 其它小区1046-=个. ……………………6分 依题意ξ的所有可能取值为0、1、2. ……………………7分()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====. ……………………10分则ξ的分布列为：……………………11分1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= . ……………………12分20. (12分)解：（1）两动圆的公共点为P ，则有：||4||||2121F F PF PF >=+． 由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，2a =，c =， ……………………2分所以曲线C 的方程是：2214x y +=. ……………………4分（2）由题意可知：()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①得：()222148440k x kmx m +++-=， .0)14(16)1)(41(1664222222>+-=-+-=∆m k m k m k122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④， ……………………5分 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=， ……………………6分()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理： ()()()2222244811101414m km k k m m k k--++-+-=++，化简得： ()()1530m m -+=，35m =-或1m =（舍）.当53-=m 时 ,0>∆ 成立. 此时直线AB 过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………7分当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =,过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………8分（3）ABM ∆面积1212AMN BMN S S S MN x x ∆∆=+=-= ……………9分 由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k=⋅+，……………………10分 方法一:222122)41(425850)425)(41(212532k k k k k k S ++-⨯++⨯='-425)41()7100(222+++-=k k k k . ……………………11分0>k 时,S S ,0<'在),0(+∞上递减,0<k 时,S S ,0<'在),0(+∞上递增,0=k 时,S S ,0='有最大值.2564所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． ……………………12分 方法二:)411(425)411(4925324142525324142525322222222k k k k k k S +++-⋅=++⋅=++⋅=,令,42549)(,1411022u u u g k u +-=≤+=< ……………………11分 1=u 时,)(u g 有最大值4.此时0=k 时,.2564=s 所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． ……………………12分 方法三:因N 在椭圆内部，所以k ∈R，可设2t ≥，23232(2)9494t S t t t t==≥++， ……………………11分 ,094)(,2,94)(2>-='≥+=tt g t t t t g得.225)2()]([min ==g t g 此时0k =,2564=s ． ……………………12分 所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． 21.(12分)（1）证明：222ln 2222a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………………1分令2a t =，()322ln 22a f t t g t t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ……………………2分()2222221'6160g t t t t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭， ……………………3分()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()11112ln 442ln202244g t g ⎛⎫>=-+=--> ⎪⎝⎭.…………………4分所以原命题成立.（2）由()222ln a f x x ax x =-+222ln (0)a x ax x x=-+>有三个零点可得, ()ln (0)ah x x ax x x=-+>有三个零点.()22'(0)ax x ah x x x-+-=>. ……………………5分 ①0a ≤时，()'0h x >恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； ……………………6分 ②当12a ≥时，()'0h x ≤恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； …………………7分 ③当102a <<时，记()2(0)x ax x a x ϕ=-+->的两个零点为1x ，2x ， 不妨设120x x <<，且121x x ⋅=. ……………………8分()10,x x ∈时，()'0h x <；()12,x x x ∈时，()'0h x >；()2,x x ∈+∞时,()'0h x <，观察可得()10h =，且121x x <<，当()12,x x x ∈时，()'0h x >,()h x 单调递增， 所以有()()()121h x h h x <<，即()()120h x h x <<， ……………………9分()10,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，()2,x x ∈+∞时,()'0h x <，()h x 单调递减，由（1）知，0h >，且()10h x <，所以()h x 在1x ⎫⎪⎪⎭上有一个零点，……………10分设,0ln )(),,2(00010=+-=∈x aax x x h x a x 则,0)(11ln )1(00000=-=+⋅-=x h ax x a x x h所以01x 也是)(x h 的零点 . ……………………11分综上可知()ln (0)ah x x ax x x=-+>有0,01,1x x 三个零点.即当()222222ln ln (0)a a f x x ax x ax x x x =-+=-+>有三个零点时，a 的范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.……………………12分22.(10分)解：（1）由题意，直线l的参数方程为5212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t ，得直线l的直角坐标方程为20x +-=， ……………………2分又由圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ=+，………………4分 又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，y =θρsin ， 可得圆C 的直角坐标方程为()(2214x y -+-=. ……………………5分（2）因为点(),P x y 在圆C上，可设()12cos 2sin P θθ+(θ是参数)， ………………7分22sin 4sin 3y πθθθ⎛⎫-==+⎪⎝⎭. ……………………9分 因为2sin [1,1]3πθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭y -的取值范围是[]4,4-. ……………………10分 23.(10分)解：（1）|23||1|3x x +--≤Q ,12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩. ……………………3分 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩.173x ∴-≤≤. ……………………5分即不等式()3f x ≤的解集为1[7,]3-. ……………………6分 （2）|,33|2)(-->x a x f 即|,33|2|1||32|-->--+x a x x得.2|22||32|a x x >-++ ……………………7分,5|2232||22||32|=+-+≥-++x x x x Θ ……………………9分.25,52<<∴a a 所以实数a 的取值范围是).25,(-∞ ……………………10分。