任意角知识点

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教师版__任意角和弧度制知识点和练习

9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。例3：求两个集合的交集已知集合，，练习：1、集合，，则等于（）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（）（A）（B）（C）（D） 3、，求例4：判断下列角的集合的关系：已知集合集合,则（）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是（）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对 16．设集合M={α|α=

完整版)三角函数知识点归纳

完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。

2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。

3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。

弧度与角度可以互相转换。

2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。

注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。

和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。

2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。

任意角与弧度制知识点汇总

任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角(de)概念(de)推广定义：一条射线OA由原来(de)位置,绕着它(de)端点O按一定(de)方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠可以简记成α.2、角(de)分类：由于用“旋转”定义角之后,角(de)范围大大地扩大了.可以将角分为正角、零角和负角.正角：按照逆时针方向转定(de)角.零角：没有发生任何旋转(de)角.负角：按照顺时针方向旋转(de)角.3、“象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角(de)顶点合于坐标原点,角(de)始边合于x轴(de)正半轴.角(de)终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限(de)角角(de)终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角.例1、（1）A={小于90°(de)角},B={第一象限(de)角},则A∩B=（填序号）.①{小于90°(de)角} ②{0°～90°(de)角}③ {第一象限(de)角} ④以上都不对（2）已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A、B 、C 关系是（）A ．B=A∩CB ．B∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用(de)角(de)集合表示方法 1、终边相同(de)角：（1）终边相同(de)角都可以表示成一个0 到360 (de)角与)(Z k k ∈个周角(de)和.（2）所有与终边相同(de)角连同在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角终边相同(de)角,都可以表示成角与整数个周角(de)和注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同(de)角不一定相等,但相等(de)角(de)终边一定相同.终边相同(de)角有无数个,它们相差360°(de)整数倍.4、一般(de),终边相同(de)角(de)表达形式不唯一. 例1、（1）若θ角(de)终边与58π角(de)终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ(de)角终边相同(de)角为 .（2）若βα和是终边相同(de)角.那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同(de)角(de)集合,并求出其中(de)最小正角,最大负角：（1） 210-；（2）731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角(de)终边相同,且[] 1260180，-∈θ．2、终边在坐标轴上(de)点：终边在x 轴上(de)角(de)集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向(de)角：终边在y =x 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称(de)角：若角α与角β(de)终边关于x 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-=k 360若角α与角β(de)终边关于y 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-+= 180360k若角α与角β(de)终边在一条直线上,则角α与角β(de)关系：βα+=k 180角α与角β(de)终边互相垂直,则角α与角β(de)关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β(de)中变得位置关系是（）.A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角(de)单位制, 它(de)单位是rad 读作弧度定义：长度等于 (de)弧所对(de)圆心角称为1弧度(de)角.如图： AOB=1rad , AOC=2rad , 周角=2 rad 注意：1、正角(de)弧度数是正数,负角(de)弧度数是负数,零角(de)弧度数是02、角 (de)弧度数(de)绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同. 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用. 2、角度制与弧度制(de)换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应(de)圆心角大小叫一弧度角度与弧度(de)互换关系：∵ 360 = rad 180 = rad∴ 1 =rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角(de)弧度数为正数,负角(de)弧度数为负数,零角(de)弧度数为零.例1、把'3067 化成弧度例例2、把rad π53化成度例3、将下列各角从弧度化成角度（1）36πrad （2） rad （3） rad π533、弧长公式和扇形面积公式or C 2rad1rad r l=2o A A Br l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同(de)角是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）(de)形式是（）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°3、终边在第二象限(de)角(de)集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题(de)是（）Α．三角形(de)内角必是一、二象限内(de)角 B ．第一象限(de)角必是锐角 C ．不相等(de)角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A 、B 、C 关系是（）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限(de)角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④7、若α是第一象限(de)角,则-2是( ) A.第一象限(de)角B.第一或第四象限(de)角C.第二或第三象限(de)角D.第二或第四象限(de)角8、下列结论中正确(de)是( )A.小于90°(de)角是锐角B.第二象限(de)角是钝角C.相等(de)角终边一定相同D.终边相同(de)角一定相等9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角(de)终边都在( )轴(de)正半轴上轴(de)正半轴上轴或y 轴上轴(de)正半轴或y 轴(de)正半轴上10、α是一个任意角,则α与-α(de)终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间(de)关系是( )C.Ｘ=Y≠Y12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β(de)范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°13、下列命题中(de)真命题是（）A ．三角形(de)内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限(de)角是锐角C ．第二象限(de)角比第一象限(de)角大D ．角α是第四象限角(de)充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 14、设k ∈Z ,下列终边相同(de)角是（）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2(de)圆心角所对(de)弦长也是2,则这个圆心角所对(de)弧长是（） A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16、设α角(de)终边上一点P(de)坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于（）A ．5πB ．5cot πC ．)(1032Z k k ∈+ππD ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α(de)终边（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于（）A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,}D ．{07,031-1ππ }19、“21sin =A ”“A=30o”(de)（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°(de)扇形,它(de)弧长为2π,则它(de)内切圆半径为（） A ．2B ．3C ． 1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+(－1)k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确(de)是（）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角(de)终边在 . 23、与－1050°终边相同(de)最小正角是 .24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α(de)范围是 .任意角(de)三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负(de)有（）A. ①B. ②C. ③D. ④3. 02120sin 等于（）A.23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限(de)角,那么tan α(de)值等于（）A. 43- B. 34- C. 43D. 345．若θ∈（5π4 ,3π2）,则1－2sin θcos θ 等于θ－sin θθ＋cos θθ－cos θD.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝13,则cos 2θ＋sin θcos θ(de)值是A.－65B.－45C. 45D.65二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π(de)正弦线和余弦线,则给出(de)以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确(de)是_____________________________. 3．若角α(de)终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ .4．使tan x －xsin 1有意义(de)x (de)集合为 .5．已知α是第二象限(de)角,且cos α2 ＝－45 ,则α2 是第象限(de)角.三、解答题 1. 已知1tan tan αα，是关于x (de)方程2230x kx k -+-=(de)两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +(de)值.2. 设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0),求θ(de)其他三角函数值.3．证明(1)1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(2)tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +(de)值.。

047-任意角

7.1.1任意角学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．知识点一任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的．2．角的表示：如图，OA是角α的，OB是角α的，O是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．思考角的概念中主要包含哪些要素？3．角的分类：知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知识点三象限角和轴线角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．如果角的终边在，就叫轴线角．思考“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？1．判断正误.（1）第二象限角是钝角．( )（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( )（3）终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．()2.下列说法正确的是()A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同C．小于90°的角是锐角D．第一象限的角是正角一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120° B．－120° C．－60° D．60°二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.跟踪训练2(1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z三、区域角的表示例3已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．跟踪训练3如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．1．与－30°终边相同的角是()A．－330° B．150° C．30° D．330°2．－240°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}5.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是．1．知识清单：(1)任意角的概念．(2)终边相同的角与象限角．(3)区域角的表示．2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.1．－870°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}3．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°4．下面说法正确的个数为()①第二象限角大于第一象限角；②终边在x轴非负半轴上的角是零角；③钝角是第二象限角．5．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是．7．与－2 019°角终边相同的最小正角是_______．8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________ ．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)250° ；(3)－50°；(4)650°.10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．11．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α13．若角α与240°相同的始边与终边，则2是第几象限的角？。

高一必修四任意角知识点

高一必修四任意角知识点高一必修四任意角知识点一、定义任意角是指角的大小可以是大于0°小于360°的角。

任意角可以用弧度或度数表示。

二、角的转角1. 角的正向转角：角按照逆时针方向转动，转角为正。

2. 角的负向转角：角按照顺时针方向转动，转角为负。

三、角的初边和终边1. 初边：与x轴正半轴重合的射线。

2. 终边：从初边出发，按照逆时针方向旋转得到的射线。

四、角的度数和弧度的转换1. 角度到弧度的转换公式：弧度 = 角度× π / 1802. 弧度到角度的转换公式：角度 = 弧度× 180 / π五、角的相关概念1. 相互对立角：两条射线共享一个起点，但是方向相反的角。

它们的度数和为180°。

2. 余角：与给定角相加得到90°的角。

3. 补角：与给定角相加得到180°的角。

六、三角函数与任意角1. 正弦函数（sin）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其正弦值等于该角对应终边上的y坐标值与终边长的比值。

2. 余弦函数（cos）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其余弦值等于该角对应终边上的x坐标值与终边长的比值。

3. 正切函数（tan）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其正切值等于该角的正弦值与余弦值的比值。

七、任意角的三角函数值的四象限规定1. 第一象限：角的终边位于x轴的正半轴。

2. 第二象限：角的终边位于y轴的正半轴。

3. 第三象限：角的终边位于x轴的负半轴。

4. 第四象限：角的终边位于y轴的负半轴。

八、反三角函数与任意角的关系1. 反正弦函数（arcsin）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。

其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

2. 反余弦函数（arccos）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。

其定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。

3. 反正切函数（arctan）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。

三角函数基本概念-角的推广

三角函数基本概念一、知识要点梳理知识点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.知识点三：任意角的三角函数1.三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.2.三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.二、规律方法指导1.象限角问题是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以2.角度制与弧度制(1)可利用比例关系进行角度制与弧度制的互化；(2)弧长公式： (是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：3.三角函数定义及其应用(1)三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、我们只需计算点到原点的距离, 那么,,(2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)三. 经典例题透析类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角； (2)集合，,那么两集合的关系是什么？2．集合{|04},{|}2A B k k παααπαπ=≤<=<≤+，求A B ⋂？3．（1）已知“是第一象限角，则2α是第几象限角?（2）已知“是第二象限角，则是第几象限角?举一反三：【变式1】集合，，则( ) A 、B 、C 、D 、【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题4．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？5．已知一面积为S的扇形，求使它的周长最小时，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.类型三：利用三角函数的定义解题6．已知角的终边过点，求的三个三角函数值.举一反三：【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.。

三角函数任意角和弧度制知识点

三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。

α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。

终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。

终边落在坐标轴角的集合为__________________。

象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。

第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。

例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。

（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。

三角函数知识点归纳

单调增区间可由2k － ≤x＋≤2k ＋，k∈z解得；
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋，k∈z解得。
在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。
如函数的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求的递增区间，由得
，所以y的递减区间是
四、函数的图像和三角函数模型的简单应用
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
② ；问：；；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案：）
④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

(完整版)任意角和弧度制知识点和练习

知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ．知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。

高中任意角知识点总结

《高中任意角知识点总结》在高中数学的学习中，任意角是一个重要的概念，它为我们进一步研究三角函数等知识奠定了基础。

下面我们就来对高中任意角的知识点进行全面总结。

一、角的定义角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

旋转开始时的射线叫做始边，旋转终止时的射线叫做终边，端点叫做角的顶点。

二、任意角的概念1. 正角、负角和零角- 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；- 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；- 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

2. 象限角- 使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

- 例如，角的终边在第一象限，我们就称这个角为第一象限角。

3. 终边相同的角- 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S = {β|β = α + k·360°，k∈Z}。

- 即终边相同的角相差360°的整数倍。

三、任意角的度量1. 角度制- 把圆周分成 360 等份，每一份所对的圆心角叫做 1 度的角，记作1°。

- 角度制下的角的度量单位是度、分、秒。

1° = 60′，1′ = 60″。

2. 弧度制- 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1rad。

- 在弧度制下，角的大小与半径的大小无关。

- 弧度与角度的换算：180° = π rad，即1° = π/180 rad，1 rad = (180/π)°。

四、弧长公式与扇形面积公式1. 弧长公式- 在半径为 r 的圆中，圆心角α（α 为弧度制）所对的弧长l = αr。

2. 扇形面积公式- S = 1/2αr²（α 为弧度制），也可以表示为 S = 1/2lr （其中 l 为弧长）。

五、任意角的三角函数1. 定义- 设角α的终边上任意一点 P 的坐标为（x，y），它与原点的距离为 r（r = √(x² + y²)＞0）。

三角函数知识点归纳

三角函数知识点归纳一、任意角与弧度制 1.任意角 (I)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. J 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类［按终边位置不同分为象限角和轴线角(3)终边相同的角：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合S=｛缈=a+ 2kιt, Λ∈Z!.(3)象限角与轴线角今1(第一象限角)卜| 第二致限角阳2A"专VaV2痴 2⅛π<α<2⅛π+-g-,⅛∈z} +π,⅛∈ZT 第三敛限角)卜性"τrVaV2"+等"刃第四象限角］{α∣2⅛π+^<α<2⅛π+2π,⅛∈z}2.弧度制的定义和公式角a 的弧度数公式 IaI=%/表示弧长)角度与弧度的换算 ①1。

=念 rad ；② 1 rad=, 弧长公式 l=∖a ∖r 扇形面积公式S=»=如/ (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 3.任意角的三角函数一、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么Sina=y, cos α=x, tan α=^(x≠()).二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)三角函数定义的推广：设点P(x, y)是角Q终边上任意一点且不与原点重合，r=∣OP∣,则• V X V,1八、sin a= , COSa=-, tanα=-(Xw0).r rχ∖ ,三、特殊角的三角函数：3.1 象限角及终边相同的角例1、若角。

是第二象限角，则辞()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角∩例2、一的终边在第三象限，则。

的终边可能在() 2A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限或y轴非负半轴D.第三、四象限或y轴非正半轴3.2 三角函数的定义例1、已知角α的终边经过点P(一χ, — 6),且COSa=—/,则1;+%½= _________________ .1J SlIl (A IdIl (A例2、已知角α的终边经过点(3, -4),则Sin a+»^=.3.3 、三角函数符号的判定例1、已知Sina < 0旦cosa > 0,则a的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.4 扇形面积问题1.已知一个扇形的弧长和半径都等于2,则这个扇形的面积为().A. 2B. 3C. 4D. 6二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1 .同角三角函数的基本关系(1)平方关系：siMα+cos2α=l; (2)商数关系：tan α=黑吃.同角三角函数的基本关系式的几种变形(l)sin2α= 1 — cos2α=(l + cos «)(1 —cos a)； cos2a= 1 - sin2a=(l ÷sin a)(l — sin a)； (sin a±cos a)2 =l±2sin acos a.(2)sin a=tan acos a(a≠5+E, &WZ).2 .诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”公式一：sin(a+2⅛π)=sin a, cos(a÷2hc)=cos a»la∏(6Z + <λkτf)= t∏∏OC其中公式二：sin(π+ct)= ~sin a> cos(π+cc)=~cos ct> Ian(Tr+a)=Ian a.公式三：sin(π~a)=sin a,cos(π-a) = — cos ct, ta∏(^-6Z)= —ta∏ OC ∙公式四：sin(-ct)=—sin a, cost—«)=cos a,t<l∏) = -13∏ CX .公式五：Sine-a) =cos a, COSe—a) =Sina 公式六：SinC+a)=cos a，CoSC+«) = -sin a.诱导公式可概括为〃∙]±a的各三角函数值的化简公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把a看成锐角时，根据在哪个象限判断厚三曲函数值的符号，最后作为结果符号.8.方法与要点一个口诀I、诱导公式的记忆。

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

24任意角与弧度制知识点总结

②几何法：即利用三角函数线来作出正弦函数在0，2 内的图象，再通过平移得到
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终边重合。这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y

sin
x
在
2k

2
，2k

2

3 2

sin
，

任意角函数知识点总结

任意角函数知识点总结任意角函数是初等数学中的一个重要概念，它是对常规角函数的拓展，使其可以适用于任意角度的情况。

任意角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

在学习和运用任意角函数时，需要了解其定义、性质、图像等基本知识，下面我们将对任意角函数进行详细的总结。

一、正弦函数正弦函数是最基本的任意角函数之一，它表示一个角的正弦值。

在直角三角形中，正弦函数的定义是指对边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。

正弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合奇函数的性质。

正弦函数的反函数为反正弦函数，可以表示为y=sin⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。

二、余弦函数余弦函数是另一个重要的任意角函数，它表示一个角的余弦值。

在直角三角形中，余弦函数的定义是指邻边与斜边的比值，它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。

余弦函数的图像也是一条周期为2π的曲线，其波动幅度在[-1,1]之间，且符合偶函数的性质。

余弦函数的反函数为反余弦函数，可以表示为y=cos⁻¹x，其中定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。

三、正切函数正切函数是对角的正切值的表示，它的定义是指对边与邻边的比值。

正切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。

正切函数的图像是一条以π/2为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。

正切函数的反函数为反正切函数，可以表示为y=tan⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(-π/2,π/2)。

四、余切函数余切函数是对角的余切值的表示，它的定义是指邻边与对边的比值。

余切函数的定义域为实数集合中除以π的奇数倍的数，其值域为实数集合。

余切函数的图像也是一条以π为周期的振荡曲线，不存在振荡幅度的上限和下限。

余切函数的反函数为反余切函数，可以表示为y=cot⁻¹x，其中定义域为实数集合，值域为(0,π)。

任意角知识点

任意角知识点任意角是指角的度数可以是正数、负数或零的角。

在平面几何中，我们经常遇到各种类型的角，例如锐角、直角和钝角。

但是，这些角度都限制在0到90度之间。

然而，当我们需要处理超过90度的角度时，我们就需要使用任意角的知识。

在本文中，我们将详细介绍任意角的概念、性质和常见的度量单位。

1. 任意角的概念任意角是指度数不受限制的角。

它可以是正数、负数或零。

我们通常用字母表示任意角，如∠A、∠B、∠C等。

任意角通常是由终边上的一个点P和坐标轴原点O连接而成的射线所确定的。

2. 任意角的性质任意角具有以下性质：- 任意角可以有无数个终边- 两个角的终边相同，则它们的度数相等- 两个角的度数为正数时，它们的终边方向相同；度数为负数时，它们的终边方向相反3. 任意角的度量单位在度量任意角时，我们可以使用以下两种常见的度量单位：- 角度：角度是最常见的度量单位，用度（°）表示。

一个完整的圆是360度，一个直角是90度。

例如，一个180度的任意角表示半个圆，而一个-90度的任意角表示向下的直角。

- 弧度：弧度是另一种度量角的单位。

它用弧长和半径的比值来表示。

一个完整的圆对应的弧度是2π，即约等于6.28。

弧度的计算可以使用弧长公式：θ = s/r，其中θ表示弧度，s表示弧长，r表示半径。

4. 任意角的转换我们可以通过转换来改变任意角的度数，例如：- 角度到弧度的转换：通过角度与弧度的换算公式（θ = π/180 × α），我们可以将角度转换为弧度。

- 弧度到角度的转换：通过弧度与角度的换算公式（α = 180/π × θ），我们可以将弧度转换为角度。

5. 任意角的四象限在坐标平面中，我们可以将任意角根据终边所在的象限进行分类。

四象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限：- 第一象限：角的终边位于x轴正半轴和y轴正半轴之间，角度范围为0度到90度。

- 第二象限：角的终边位于x轴负半轴和y轴正半轴之间，角度范围为90度到180度。

任意角的知识点

任意角的知识点任意角是指角的度数可以是任意实数的角。

它与第一象限的钝角、直角、锐角不同，因为它的角度可以大于360度或小于0度。

在数学、物理、几何中，任意角都是一个重要的概念，下面是任意角的一些相关知识点。

1、弧度制度量与转角；在任意角的度量中，弧度指的是弧长等于半径的圆的弧长中所对应的圆心角的度数。

弧度用rad表示，表示单位长度等于该圆的半径的角度。

既然在弧心圆内的一段弧长度和其所对应的圆心角，对于每个圆形总是相等的，所以弧度与角度可以互相转换。

一个小于180度的角可以用弧度的方式表示，用角度与弧度之间的比例来进行转换，这个比例是pi/180度。

因此，90度的角度等于pi / 2的弧度数。

2、三角函数的定义和性质在任意角中，三角函数的定义和性质与一定角相同。

通常，在数学之前，三角函数的定义和研究都是针对任意角的研究，并被引入到一些更广泛的领域中。

三角函数的定义包括正弦、余弦、正切、余切、secant和cosecant。

这些函数是依据一个三角形和一个平面直角坐标系而定义的，其中三角函数的函数值定义为该角度确定的角度上对应的三角形上某个特定边的比例值。

三角函数的性质可以用来计算三角函数的值。

例如，正弦函数在周期2π内有正值和负值，并且它是一个奇函数，因此sin（-x）=-sin（x）。

同样，余弦函数在周期2π内都是正的，并且它是偶函数，因此cos（-x）=cos（x）。

函数的任意角版本遵循这些相同的性质，但它们也可以不同于一定角的情况。

3、任意角的三角函数的图像与图形变换在任意角的情况下，通过改变角度大小来改变三角函数的周期、最大值和最小值的地方相对应的直线的位置。

三角函数默认的周期是2π，可以由倍数调整。

在一些情况下，还需要使用平移、反射和伸缩等变换，以便正确表示任意角的三角函数图像。

这些变换是按照通用的函数图像变换原则操作的。

4、三角函数的反函数三角函数的反函数可以通过将函数进行反转来定义。

通常，可以通过将y=sin（x）图像上的点的坐标进行反转来比较方便地定义反函数y=arcsin（x）。

新人教A版必修四第一章1.1.1任意角知识梳理及重难点题型(含解析版)

.1.1.1 任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点 1 任意角的概念】1.任意角定义构成要素表示2.角的分类分类正角负角零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边、顶点、终边常用大写字母 A ，B ，C 等表示腊字母 α，β，γ 等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母 x 表示.定义按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角【知识点 2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{x | k ⋅ 360o < α < k ⋅ 360o + 90o , k ∈ Z }第二象限角{x | k ⋅ 360o + 90o < α < k ⋅ 360o + 180o , k ∈ Z }第三象限角{x | k ⋅ 360o + 180o < α < k ⋅ 360o + 270o , k ∈ Z }第四象限角{x | k ⋅ 360o + 270o < α < k ⋅ 360o + 360o , k ∈ Z }3.非象限角βββββ β{ }当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示角的终边位置x 轴的非负半轴集合表示{ | β = k ⨯ 360 , k ∈ Z }x 轴的非正半轴{ | β = k ⨯ 360+ 180, k ∈ Z }x 轴上{ | β = k ⨯180 , k ∈ Z }y 轴非负半轴y 轴非正半轴{ | β = k ⨯ 360{ | β = k ⨯ 360+ 90 , k ∈ Z }- 90 , k ∈ Z}y 轴上{ | β = k ⨯180+ 90, k ∈ Z }【知识点 3 终边相同的角】一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S = β | β = α + k ⋅ 360 , k ∈ Z ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.举一反三【考点 1 象限角与集合间的基本关系】【例 1】（2019 春•杜集区校级月考）设 A ＝{小于 90°的角}，B ＝{第一象限角}，则 A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于 90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【考点 3 已知 α 终边所在象限求 2α， α，】【变式 1-1】（2019 秋•钦南区校级月考）已知 A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于 90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆CC ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【变式 1-2】（2019 秋•黄陵县校级月考）设 A ＝{θ|θ 为锐角}，B ＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C ＝{θ|θ 为第一象限的角}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【变式 1-3】（2019 秋•宜昌月考）设 M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k•45°，k ∈Z }，则（） A ．M ⊆NB ．M ⊇NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅【考点 2 求终边相同的角】【例 2】（2019 春•娄底期末）下列各角中与 225°角终边相同的是（）A ．585°B ．315°C ．135°D ．45°【变式 2-1】（2018 春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A ．﹣398°，1042°C ．﹣398°，38° B ．﹣398°，142°D ．142°，1042°【变式 2-2】（2018 春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A ．{α|α＝k •360°+457°，k ∈Z }C ．{α|α＝k •360°+263°，k ∈Z } B ．{α|α＝k •360°+97°，k ∈Z }D ．{α|α＝k •360°﹣263°，k ∈Z }【变式 2-3】（2018 春•林州市校级月考）在 0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（）A ．136°18'B ．136°42'C ．226°18'D ．226°42'α2 3【例 3】（2018 秋•宜昌期末）已知 α 为锐角，则 2α 为（）2是（A．第一象限角C．第一或第二象限角B．第二象限角D．小于180°的角【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则α的终边所在位置不可能是（）3A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则α所在的象限是（）2A．第一或第二象限C．第一或第三象限B．第二或第三象限D．第二或第四象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则-α）A．第一象限角C．第一或第三象限角B．第一或第二象限角D．第二或第四象限角【考点4终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合C．关于x轴对称B．关于原点对称D．关于y轴对称【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．（2）集合 M = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ ，N = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ 那么两集合的关系是什么？k k 2 4【考点 5 已知终边求角】【例 5】（2019 春•凉州区校级月考）已知 α＝﹣1910°．（1）把角 α 写成 β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出 θ 的值，使 θ 与 α 的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【变式 5-1】若角 α 的终边落在直线 x +y ＝0 上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角 α．【变式 5-2】已知 α、β 都是锐角，且 α+β 的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β 的终边与 670°角的终边相同，求∠α、∠β 的大小．【变式 5-3】（2018 春•武功县期中）已知角 α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭【考点 6 已知角终边的区域确定角】【例 6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【变式 6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1任意角的概念】1.任意角.β定义构成要素表示2.角的分类分类正角负角零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形始边、顶点、终边常用大写字母 A ，B ，C 等表示腊字母 α，β，γ 等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母 x 表示.定义按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角【知识点 2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{x | k ⋅ 360o < α < k ⋅ 360o + 90o , k ∈ Z }第二象限角{x | k ⋅ 360o + 90o < α < k ⋅ 360o + 180o , k ∈ Z }第三象限角{x | k ⋅ 360o + 180o < α < k ⋅ 360o + 270o , k ∈ Z }第四象限角{x | k ⋅ 360o + 270o < α < k ⋅ 360o + 360o , k ∈ Z }3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示角的终边位置x 轴的非负半轴集合表示{ | β = k ⨯ 360 , k ∈ Z }ββββ β{ }x 轴的非正半轴{ | β = k ⨯ 360+ 180, k ∈ Z }x 轴上{ | β = k ⨯180 , k ∈ Z }y 轴非负半轴y 轴非正半轴{ | β = k ⨯ 360{ | β = k ⨯ 360+ 90 , k ∈ Z }- 90 , k ∈ Z}y 轴上{ | β = k ⨯180+ 90, k ∈ Z }【知识点 3 终边相同的角】一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S = β | β = α + k ⋅ 360 , k ∈ Z ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.举一反三【考点 1 象限角与集合间的基本关系】【例 1】（2019 春•杜集区校级月考）设 A ＝{小于 90°的角}，B ＝{第一象限角}，则 A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于 90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【分析】先求出 A ＝{锐角和负角}，B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，由此利用交集的定义给求出 A ∩B ．【答案】解：∵A ＝{小于 90°的角}＝{锐角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，∴A ∩B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}．D故选：D ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角的概念的合理运用．【变式 1-1】（2019 秋•钦南区校级月考）已知 A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于 90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆CC ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【分析】分别判断，A ，B ，C 的范围即可求出【答案】解解：∵A ＝{第一象限角}＝（k •360°，90°+k •360°），k ∈Z ；B ＝{锐角}＝（0，90°），C ＝{小于 90°的角}＝（﹣∞，90°）∴B ⊆C ，故选：B ．【点睛】本题考查了任意角的概念和角的范围，属于基础题．【变式 1-2】（2019 秋•黄陵县校级月考）设 A ＝{θ|θ 为锐角}，B ＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C ＝{θ|θ 为第一象限的角}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【分析】根据 A ＝{θ|θ 为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得结论．【答案】解：根据 A ＝{θ|θ 为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，＝{θ|θ 为小于 90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得 A ＝D ．故选：D ．【点睛】本题考查象限角和任意角，考查学生对概念的理解，比较基础．【变式 1-3】（2019 秋•宜昌月考）设 M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k•45°，k ∈Z }，则（）A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】讨论k为偶数和k为奇数时，结合N的表示，从而确定N与M的关系．【答案】解：∵N＝{α|α＝k•45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n时，n∈Z，α＝k•45°＝2n•45°＝n•90°，∴当k为奇数，即k＝2n+1时，n∈Z，α＝k•45°＝（2n+1）•45°＝n•90°+45°，又M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，∴M⊆N．故选：A．【点睛】本题主要考查了集合之间的关系与应用问题，是基础题．【考点2求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（）A．585°B．315°C．135°D．45°【分析】写出与225°终边相同的角，取k值得答案．【答案】解：与225°终边相同的角为α＝225°+k•360°，k∈Z，取k＝1，得α＝585°，∴585°与225°终边相同．故选：A．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，是基础题．【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°C．﹣398°，38°B．﹣398°，142°D．142°，1042°【分析】根据终边相同的角的定义，化﹣398°和1042°为α+k•360°，k∈Z的形式，再判断即可．【答案】解：由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．【点睛】本题考查了终边相同角的概念与应用问题，是基础题．）【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又263°与﹣457°终边相同．【答案】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k•360°，k∈Z，又263°与﹣457°终边相同，∴{α|α＝263°+k•360°，k∈Z}，故选：C．【点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．）【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（A．136°18'B．136°42'C．226°18'D．226°42'【分析】直接由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′得答案．【答案】解：由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′，可得，在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为226°42′，2，3】3的终边所在位置不可能是（故选：D．【点睛】本题考查终边相同的角的表示法，是基础题．【考点3已知α终边所在象限求2α，αα【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角【分析】写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．【答案】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选：D．【点睛】本题考查象限角与轴线角，基本知识的考查，送分题．【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则αA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【分析】写出第二象限的角的集合，得到的范围，分别取k值得答案．【答案】解：∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z．则30°+k•120°＜＜60°+k•120°，k∈Z．当k＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．）2是（由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查终边相同角的集合，是基础题．【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则α所在的象限是（）2A．第一或第二象限C．第一或第三象限B．第二或第三象限D．第二或第四象限【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【答案】解：∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则-αA．第一象限角B．第一或第二象限角）C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【分析】由α是第三象限角，得到180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，从而能求出﹣的取值范围，由此能求出﹣所在象限．【答案】解：∵α是第三象限角，∴180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，∴﹣135°﹣k•180°＜﹣＜﹣90°﹣k•180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意第三象限角的取值范围的合理运用．【考点4终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合C．关于x轴对称B．关于原点对称D．关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可．【答案】解：α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°，∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【点睛】本题主要考查角的终边位置关系的判断，结合角的关系是解决本题的关键．【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【分析】角α的终边与45°角的终边关于原点对称，可得α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【答案】解：∵角α的终边与45°角的终边关于原点对称，∴α＝k•360°+225°，（k∈Z）．故答案为：α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【点睛】本题考查了终边相同的角，属于基础题．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【分析】求出β∈[0°，360°）时角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称的值，再根据终边相同的角写出角β的取值集合．【答案】解：若β∈[0°，360°），则由角α＝﹣60°，且角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称，可得β＝330°，所以当β∈R时，角β的取值集合是{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．故答案为：{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题主要考查了终边相同的角的定义和表示方法，是基础题．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【分析】由题意画出图形，然后利用终边相同角的表示法得答案．【答案】解：如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k•360°，k∈Z；210°+k•360°，k∈Z；30°+k•360°，k∈Z．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，数形结合使问题更加直观，是基础题．【考点5已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【分析】（1）利用终边相同的假的表示方法，把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，然后指出它是第几象限的角；（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且﹣720°≤θ＜0°．【答案】解：（1）∵﹣1910°＝﹣6×360°+250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式为：﹣1910°＝﹣6×360°+250°，它是第三象限的角．（2）∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k•360°+250°，k∈Z，k＝﹣1，k＝﹣2满足题意，得到θ＝﹣110°，﹣470°．【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查．【变式5-1】若角α的终边落在直线x+y＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【分析】求出角α的终边相同的角，然后求解在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【答案】解：角α的终边落在直线x+y＝0上，则直线的倾斜角为：45°，角α的终边的集合为：{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}．当k＝﹣2时，α＝﹣315°，k＝﹣1时，α＝﹣135°，k＝0时，α＝45°，k＝1时，α＝225°，在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α：﹣315°，135°，45°，225°．【点睛】本题考查终边相同角的表示，考查计算能力．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【分析】按照终边相同角的表示方法将α+β、α﹣β表示出来，然后解出α、β，由α、β都是锐角得到所求．【答案】解：因为α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，所以α+β＝﹣280°+360°k；α﹣β＝670°+360°k；k∈Z；（2）集合 M = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ ，N = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ 那么两集合的关系是什么？k k 2 4 两式相加，2α＝390°+720°k ＝360°+30°+720°k ＝30°+720°k ；α＝15°+360°k ；因为 α，β 是锐角，所以 α＝15°；β＝65°．【点睛】本题考查了终边相同角的表示，利用方程组的思想求两角，属于基础题．【变式 5-3】（2018 春•武功县期中）已知角 α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭【分析】（1）所有与角 α 有相同终边的角可表示为 45°+k ×360°（k ∈Z ），列出不等式解出整数 k ，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数 k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【答案】解析：（1）由题意知：β＝45°+k ×360°（k ∈Z ），则令﹣720°≤45°+k ×360°≤0°，得﹣765°≤k ×360°≤﹣45°，解得，从而 k ＝﹣2 或 k ＝﹣1，代回 β＝﹣675°或 β＝﹣315°．（2）因为 M ＝{x|x ＝（2k +1）×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N ＝{x|x ＝（k +1）×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ⊊N ．k 【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k ，代回求出所求解；（2）可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论．【考点 6 已知角终边的区域确定角】【例 6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【分析】利用象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质即可得出．【答案】解：图 1：角的集合为{α|30°+k ×360°≤α≤120°+k •360°，k ∈Z }；图 2：角的集合为{α|﹣210°+k •360°≤α≤30°+k •360°，k ∈Z }；图 3：角的集合为{α|﹣45°+k •360°≤α≤30°+k •360°，k ∈Z }；图 4：角的集合为{α|60°+k •360°≤α≤120°+k •360°， ∈Z }∪{α|240°+k •360°≤α≤300°+k •360°， k ∈Z }．【点睛】本题考查了象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【变式 6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．k【分析】（1）直接由终边相同角的表示法写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）结合（1）中写出的终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合，利用不等式表示出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】解：（1）如图，终边落在 OA 上的角的集合为{α|α＝150°+k •360°，k ∈Z }．终边落在 OB 上的角的集合为{α|α＝﹣45°+k •360°，k ∈Z }；（2）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为{β|﹣45°+k •360°≤β≤150°+k •360°， ∈Z }．【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题．【变式 6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于 x 轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图 1 所表示的角的集合：{α|k •360°﹣30°＜α＜k •360°+75°，k ∈Z }．图 2 终边落在阴影部分的角的集合．{α|k •360°﹣135°＜α＜k •360°+135°，k ∈Z }【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图（1）所表示的角的集合：{α|k•360°﹣135°≤α≤k•360°+135°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合{α|k•180°+30°≤α≤k•180°+60°，k∈Z【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．。

三角函数基础知识复习1

三角函数基础知识复习（一）一、任意角：知识点1、角的概念的推广：1、“旋转”形成角（角包括顶点、始边、终边）；2、角的分类：正角、负角、零角（逆时针、顺时针、没有旋转）。

例1、（1）钟表经过10分钟，分针转了______度；（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了______度。

知识点2、象限角和轴线角：1、象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；2、轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角叫轴线角，它不属于任何象限。

如：00，900，1800，2700，3600，-900，-1800，-3600，等等。

例2、（1）3700位于第___象限；（2）-1200位于第___象限；（3）2900位于第___象限；（4）-2600位于第____象限；（5）4弧度的角位于第___象限。

例3、A=｛小于900的角｝，B=｛第一象限的角｝，则A∩B=（）A、｛锐角｝B、｛小于900的角｝C、｛第一象限的角｝D、以上都不对例4、已知集合A=｛α|α=k·900-360，k∈Z｝，B=｛β|-1800<β<1800｝，则A∩B=（）A、｛-360，540｝ B、｛-1260，1440｝ C、｛-1260，-360，540，1440｝ D、｛-1260，540｝知识点3、终边相同的角：所有与α终边相同的角（包括α本身在内）构成一个集合, 这个集合可表示为｛β|β=________________________｝，终边相同的角相差3600的整数倍。

例5、已知角α=450，则在区间[-7200，00]内且与α终边相同的角是____________________。

例6、已知α是第二象限的角，且2α与7α的终边相同，则α=________________________。

例7、用描述法写出下列角的集合：（1）第一象限的角___________________；（2）第二象限的角___________________；（3）第三象限的角___________________；（4）第四象限的角___________________；（5）x轴正半轴上的角________________；（6）x轴负半轴上的角_____________________；（7）x轴上的角_______________；（8） y轴正半轴上的角_________________；（6）y轴负半轴上的角___________________________；（7）y轴上的角________________；（8）坐标轴上的角______________________________。