任意角的概念

与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K ∈ Z
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与 终边相同的角的集合为
S { | k • 360o , k Z} 注:（1） k ∈ Z
（2） 是任意角 （3）K·360°与 之间是“+”号，
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同，终边相同的角有无数多个， 它们相差360°的整数倍。
S={β/ 90º+K·360º＜ β ＜ 180º+K·360º,K∈Z};
第三象限角的集合：
S={β/ 180º+K·360º＜ β ＜ 270º+K·360º,K∈Z};
第四象限角的集合：
S={β/ 270º+K·360º＜ β ＜ 360º+K·360º,K∈Z};
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坐标轴上的角：（轴线角）
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例3 写出终边落在y轴上的角的集合。
❖ 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z}
={β| β=900+1800 的偶数倍} 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z}
1.1.1 任意角
1
学习目标： 1.了解角的概念 2.掌握正角、负角和零角的概念，
理解任意角的意义 3.熟练掌握象限角、终边相同的角
的概念，会用集合表示这些角
2
【复习引入】
一、角的定义 1 初中角的定义 静止观点 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
边
顶点
边
3
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。运动观点
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
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合作探究
终边落在X轴的正半轴的集合：S={β/ β =0º+K·360º,K∈Z}; 终边落在X轴的负半轴的集合：S={β/ β =180º+K·360º,K∈Z}; 终边落在Y轴的正半轴的集合：S={β/ β =90º+K·360º,K∈Z}; 终边落在Y轴的负半轴的集合：S={β/ β =270º+K·360º,K∈Z}; 终边落在X轴上的集合：S={β/ β =0º+K·180º,K∈Z}; 终边落在Y轴上的集合：S={β/ β =90º+K·180º,K∈Z}; 终边落在坐标轴上的集合：S={β/ β =0º+K·90º,K∈Z};
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练习： 1、锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角。
2、第一象限的角是否都是锐角？举例 说明 答：第一象限的角并不都是锐角。
3、小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角， 它也有可能是零角或负角。
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练习
以下四个命题:
①第一象限的角一定不是负角
②小于90°的角是锐角
③锐角一定是第一象限的角
B 终边
顶
点
o
始边 A
记法：角 或 ， 可简记为
4
逆时针
规定：
顺时针
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角
意 负角：按顺时针方向旋转形成的角
角 零角：射线不作旋转时形成的角
α =45º α = -30º
B
O
α =0º
A
O
B
O 正角 A 负角
B
零角
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画出750°、210°、－150°、－660°角
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例1、在0°到360°范围内，找出与下列 各角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？ （1）－950 ° 12'（2）640 °（3）－120°
（1）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是
129°48 ’ 角，它是第二象限角。
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（2）640°=360°+280° 所以与640°角终边相同的角是280°角，
它是第四象限角。
（3）-120°= -360 °+240 ° 所以与-120 °角终边相同的角是240 ° 角，它是第三象限角。
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判断一个角 是第几象限角，方法是： 所给角改写 成 ：
0+k ·3600 ( K∈Z,00≤ 0＜3600) 的形式， 0在第几象限， 就是
第几象限角。
④第二象限的角是钝角
其中不正确的命题个数是（
）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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在直角坐标系中画出30°、390°、－330°角
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三 终边相同的角
y
-3300
3900
o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
-3300=300-3600 =300 -1x3600
={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z}
={β| β=900+1800 的奇数倍}
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所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2
={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+n∙1800 ，n∈Z}
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例3：写出终边在直线y=x上的角的集合S， 并把S中 适合不等式－3600≤ ＜7200
的元素 写出来
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角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
象限角 轴线角
终边相同角
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{x | k •360o 90o x k •360o 180o,k Z}
第三象限角 {x | k •360o 180o x k •360o 270o,k Z}
第四象限角 {x | k •360o 270o x k •360o 360o,k Z}
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二 象限角 终边
y
终边
x Ⅰ Ⅱ
o 始边 Ⅲ Ⅳ
终边
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
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合作探究
第一象限角的集合：
S={β/ 0º+K·360º＜ β ＜ 90º+K·360º,K∈Z};
第二象限角的集合：
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写出终边落在x轴正半轴y轴正半轴x轴负 半轴y轴负半轴的角的集合。
900 +Kx3600 y
1800 +Kx3600
x 00 +Kx3600
O 或3600＋KX3600
2700+Kx3600
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象限角的表示法
第一象限角 第二象限角
{x | k •360o x k •360o 90o,k Z}