从一道高考题思考学生的数学核心素养

从一道高考题思考学生的数学核心素养

【背景】

2019年全国高考数学科目中，山东卷第15题为“如图，正方形ABCD中，点E，F分

别在边AB，CD上，且AE=CF.连接BE，AF交对角线BD于点P，Q，BP=CQ. 如果正方形ABCD的面积为1，那么三角形APQ的面积为________.”

【解题思路】

解决这个问题，需要学生具备的一些数学核心素养。

1、几何平面上的基本操作：如图、连接等。

首先，学生需要具备一定的几何平面上的基本操作，例如对于题目中所给出的正方形ABCD，学生需要理解并且准确描述该正方形的特点，明确二个对角线互相垂直并相等。此

外在题面中由E、F点和AE=CF条件所描述的呈45度角的图形，也应该能够清晰的表示出来。同时，对于三角形APQ，学生也需要对三角形APQ的类型有一定的认识，理解该三角

形为等腰三角形，即AP=QP。

2、计算问题的基本技能：利用相似三角形和面积公式计算

接下来，学生需要利用相似三角形和面积公式等基本技能，推导出三角形APQ的面积。首先，我们需要证明两个三角形：分别为△ABP与△PFQ相似以及△AQB与△AMB相似。在

证明过程中，学生需要将相似性质进行清晰的表达，并利用了BP=CQy等已知条件建立相

关方程。接下来，学生需要将AP:PB与FP:QF关系式转化为与AP:FB和AP:AF同阶的形式，并推导AP:FB:AF=2:3:5。最后，利用△APB和△APQ的面积比例，得出

AP:PB:EQ:ET=1:1:1:1，于是三角形APQ与△PQZ的面积比为25:36，三角形APQ的面积所

求结果即可得到。

3、灵活运用数学知识，学以致用

在完成问题求解过程中，学生还需要能够运用数学知识灵活处理题目中所给的信息，

发现其中的规律和性质，并将其运用到实际计算中。在此题中，我们看到正方形ABCD面

积为1，很容易让学生联想到单位正方形的面积为1，这就能够引导学生从更广范围的视

角看待该题。同时，让学生善于转换和利用信息，用已知条件去求解未知量，这样有助于

学生掌握数学解题的能力，灵活运用已有知识，进行更好的学以致用。

【结语】

综上所述，这道高考数学题虽然看起来简单，实际上涉及了学生的多方面知识和能力。通过学生的解题过程，我们可以发现一些数学核心素养的重要性。学生需要掌握几何平面

上的基本操作，熟练运用常用面积公式和相似三角形的知识，并具备在实际问题情境下运

用已有知识解决未知问题的能力。同时，这道题目还考察了学生的空间想象能力，以及视角转换的能力。综合来看，这道题目的解答，能够反映出学生的数学思维和解决问题的能力，更重要的是，引导学生探究数学真谛，发现数学知识的魅力。