第十五章 达朗伯原理2

N g 令 F = − ma 于是， 是一个力，称之为质点的惯性力 惯性力。 于是，假想 F g是一个力，称之为质点的惯性力。F g 的 大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积， 大小等于质点的质量与其加速度大小的乘积，方向与 其加速度的方向相反。 其加速度的方向相反。 g 则有 F+N+F =0
即：在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动 在质点运动的任一瞬时， 力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式 上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理 质点的达朗伯原理。 上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。
∑ mA ( F ) = 0
l F d cosθ − P sin θ = 0 2
g
例2
15.1
F g的数值，有 代入
达 朗 伯
2l 2 Pl sin θ ( ω cosθ − 1) = 0 2 3g
故有
3g ) θ = 0 或 θ = arccos( 2 2lω
下面用静力学力系简化理论研究刚体运动时惯 性力系的简化结果。 性力系的简化结果。 15.2 首先研究惯性力系的主矢。 首先研究惯性力系的主矢。设刚体内任一质 刚 刚体的质量为M， 点 M i的质量为 mi ，加速度为ai ，刚体的质量为 ， 体 质心的加速度为aC，则惯性力系的主矢为 惯
系 的 简 化
ε 2、当刚体作匀速转动时， = 0 ，若转轴不过 、当刚体作匀速转动时， F g，且F g = − MaC ， 质心， 质心，惯性力系简化为一惯性力 同时力的作用线通过转轴O。 同时力的作用线通过转轴 。 3、当刚体作匀速转动且转轴通过质心 时， 、当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时
性 力 系 的 简 化
F g = ∑ Fi g = ∑(− mi ai ) = − ∑ mi ai
由质心的矢径表达式知 ∑ mi ri = MrC ，将其两边对时 间求两阶导数， 间求两阶导数，有 于是有
∑ mi ai = MaC g F = − MaC
此式表明：无论刚体作什么运动， 此式表明：无论刚体作什么运动，惯性力系的主 矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积， 矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方 向与质心加速度的方向相反。 向与质心加速度的方向相反。
g g F g = F平动 + F转动 = − MaC g g g M C = M 平动 + M 转动 = − J C ε
综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系， 综上可得结论：平面运动刚体的惯性力系， g 可以简化为通过质心C的一个惯性力 可以简化为通过质心 的一个惯性力 F 和一 15.2 g Fg 个惯性力偶 M C力 的大小等于刚体的质量 。 刚 与其质心加速度大小的乘积， 与其质心加速度大小的乘积，方向与质心加 体 g 惯 速度的方向相反；力偶 M C 速度的方向相反； 的矩等于刚体对过 性 质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积， 质心轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积， 力 转向与角加速度的转向相反。 转向与角加速度的转向相反。 系 的 在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时， 在用达朗伯原理求解刚体动力学问题时， 简 应首先分析刚体的运动形式， 应首先分析刚体的运动形式，正确虚加惯 化 性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。 性力和惯性力偶，然后再列平衡方程求解。
例1
aτ = 0 a n = rω 惯性力F g的大小为 F g = mrω 2 假想地加上惯性力，由达朗伯原理 ∑ Fn = 0 N + mg cosθ − F g = 0
2
例1
rω 2 15.1 解得： N = mg ( − cos θ ) 达 g 这就是钢球在任一位置 θ 时所受的法向反力， 朗 显然当钢球脱离筒壁时， N = 0 ，由此可求出其 伯 脱离角 α 为
球磨机的滚筒以匀角速度 ω 绕水 F g F 15.1 平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的 ω α 达 物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离 M θ r N mg O 朗 筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下， 伯 从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半 径为 r ，试求钢球的脱离角 α 。 解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象， 受力如图。 钢球未脱离筒壁前，作圆周运动，其加速度为
∑ Fi + ∑ Fi + ∑ Fi = 0
e i g
∑ mO ( Fi ) + ∑ mO ( Fi ) + ∑ mO ( Fi ) = 0
e i g
二、质点系的达朗伯原理
因为质点系的内力总是成对出现， 因为质点系的内力总是成对出现，并且彼此等 15.1 值反向，因此有 ∑ Fi i = 0 和 ∑ m ( F i ) = 0 ；而剩下的 值反向， O i 达 外力系又可分为作用在质点系上的主动力系和外约 束反力系。 朗 束反力系。设 Fi 、 N i 分别为作用在第 i 个质点上的 主动力的合力和外约束反力的合力， 主动力的合力和外约束反力的合力，于是的得
gl
F
y
元段虚加惯性力dF g ，dF g 的大小为
2 g 2
P
P Pω dF = dm ⋅ an = (ξ sin θ )ω dξ = sin θ ⋅ ξdξ gl gl
B
ξ
例2
于是整个杆的惯性力的合力的大小为 X A 2 15.1 l Pω P g g F = ∫ dF = ∫ sin θ ⋅ ξdξ = lω 2 sin θ A 达
F Fτ
g n
ω
a ri
n i
ε
g
τ aC
g
O MO n aC
Fiτg
Mi i
i i
F = m a = mi riω
g in n i i
Fing
2
方向如图所示。该惯性力系对转轴 的主矩为 方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为
M = ∑ mO ( F ) + ∑ mO ( Fiτ )
g 惯性力系自成平衡力系。 F g = 0，M C = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
g M C = − J C ε 。此时惯性力系简化为一惯性力偶。 此时惯性力系简化为一惯性力偶。
三、刚体作平面运动
如图所示，设刚体作平面运动， 如图所示，设刚体作平面运动， 15.2 取质心 为基点，这时可将刚体的作平 取质心C为基点 为基点， 刚 面运动分解为随同质心的平动和绕质 体 心的转动。将随同质心平动部分的惯 心的转动。 惯 性力系向质心C简化，得 性力系向质心 简化， 简化
Fg
ε
aC
g MC
性 力 系 的 简 化
F
g 平动
= − MaC 和M
= 0和M
g 转动
g 平动
=0
将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心C简化，注 将绕质心轴转动部分的惯性力系向质心 简化， 简化 意到转轴通过质心， 意到转轴通过质心，得
F
g 转动
= − J Cε
将以上两式合并，即为刚体作平面运动时， 将以上两式合并，即为刚体作平面运动时，惯 性力系向质心C简化的结果 性力系向质心 简化的结果
0
YA
d
θ
Fg
朗 伯
gl
2g
设力F g的作用点到点A的距离为 d ， 由合力矩定理，有
F ⋅ (d cosθ ) = ∫ (ξ cosθ )dF g
g l
P
B
ξ
即
d=
∫
l
0
Pω 2 sin θ ⋅ ξ 2 dξ 2 gl = l P 3 lω 2 sin θ 2g
0
假想地加上惯性力，由质点系的达朗伯原理
15.2
刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
对于惯性力系的主矩，一般来说， 对于惯性力系的主矩，一般来说，除与刚体 运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。 运动形式有关外，还与简化中心的位置有关。下 面就刚体平动、 面就刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力 系的简化结果。 系的简化结果。 M
一、刚体作平动
例2
重P长 l 的等截面均质细杆AB，其 C 15.1 ω A端铰接于铅直轴AC上，并以匀角速 达 度ω 绕该轴转动，如图。求角速度 ω A ξ 朗 与角θ 的关系。 dξ g θ dF an 解：以杆AB为研究对象，受力如图。 伯 B 杆AB匀速转动，杆上距A点 ξ 的 ξ 微元段 dξ 的加速度的大小为 YA 2 XA an = (ξ sin θ )ω d A P 微元段的质量dm = dξ 。在该微 g θ
Fi g
g
i
ri
C
ai
如图所示， 如图所示，将惯性力系向刚体的 质心C简化 简化， 质心 简化，惯性力系的主矩为
F
aC
g M C = ∑ ri × (− mi ai ) = (− ∑ mi ri ) × aC = − MrC × aC 式中， 是质心C的矢径 由于C为简化中心 的矢径， 为简化中心， 式中， rC 是质心 的矢径，由于 为简化中心，显 然 rC = 0 ，于是有
rω α = arccos( ) g
2
二、质点系的达朗伯原理
个质点组成， 设非自由质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个 15.1 质点的质量为 mi，其加速度为 a ，作用在此质点上 i 达 的外力的合力为 F e，内力的合力为 F i。在该质点上 i i g 朗 假想地加上惯性力 Fi = − mi ai ，则由质点的达朗伯 原理， 伯 原理，有 e Fi + Fi i + Fi g = 0 (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n) 对整个质点系来讲， 个这样的力系， 对整个质点系来讲，有 n 个这样的力系，将这 些力系叠加，将构成一个任意力系， 些力系叠加，将构成一个任意力系，此任意力系亦 为平衡力系。由静力学知， 为平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是 力系的主矢和对任意点O的主矩分别等于零 的主矩分别等于零， 力系的主矢和对任意点 的主矩分别等于零，即