《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)

F
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C

aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象

A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )

O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2


MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR

n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
FN —— 约束力； FI —— 质点的惯性力。
动静法
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ FI＝0
FI ＝－ ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fx 0 Fy FNy Fy 0 Fz FNz Fz 0
FAx mg

Fy 0 FAy mg ( F F ) cos 45 0 M O( F ) 0 M A FAx r mgr M O 0
R
O
n FR
MIO
F R
FAx mr ( 2 ) FAy mg mr ( 2 ) MA mr 2 mgr (3 4 ) 3
§16-1 惯性力· 质点的达朗伯原理
z m A 根据牛顿定律
F
FN
ma ＝ F + FN
ma
FI O x
F + FN － ma ＝0
y
FI ＝－ ma
F + FN ＋ FI ＝0 非自由质点的达朗伯原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
s
F —— 主动力；
2
F ma 2mr R C
n n FR maC 2mr 2
M O
7 2 J O mr 3
n R
MA
A
FAy
C B
n Fx 0 FAx ( FR FR ) cos 45 0
FAx mg

Fy 0 FAy mg ( F F ) cos 45 0 M O( F ) 0 M A FAx r mgr M O 0
M A (F ) 0
B
D C
FI
FAy
A
l l h mg cos F sin FN 0 2 2 sin
其中：
FN mg FAx
F ma
ml FN sin ( g cos a sin ) 2h ml FAx ma ( g cos a sin ) sin 2 2h ml FAy mg sin cos ( g cos a sin ) 2h
例 题 1
已知： 求：
离心调速器
m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。
O1 l l
x1
A
l C

l
B
－ 的关系。
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和约束力 2、分析运动：施加惯性力。 y1 FT3 B FI C F′T1
A

dFI
例 题4
已知：m ，R， 。
R O
求：轮缘横截面的张力。 解： 取上半部分轮缘为研究对象
m Fi Rd R 2 2R

y
FIi
Fy 0 Fi sin 2 FT 0
1 m FT R 2 sin d 2 0 2 mR 2 2
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
M A (F ) 0
B
D C
FI
FAy
A
l l h mg cos F sin FN 0 2 2 sin
其中：
FN mg FAx
F ma
(a) 当其在平衡位置的上方
应用动静法 y FN FI
FI＝ma 2sin t
FN－mg＋ma 2sin t＝0
颗粒脱离台面的条件 FN＝0， sin t＝1时， 最小。
m
y
a mg O
平衡位置
＝
g a
(b) 当其在平衡位置的下方
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y 应用动静法
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问
题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求
解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求 解动应力。
几个工程实际问题
几 个 工 程 实 际 问 题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
几 个 工 程 实 际 问 题
例 题6
已知：m , h ,a , b, f。
h
b
求：为了安全运送货物，小车的 amax。 解： 取 小车杆为研究对象
C
Fx 0 Fy 0
F F 0 FN mg 0
FI
a
h M D( F ) 0 F mgd 0 2
ah F F ma, FN mg, d 2g
例 题3
已知：m ，l， ， FT B FAy
A
求：BC 绳的张力及A 处约束反力。 解： 取AB 杆为研究对象 分析AB 杆的运动，计算惯性力 m 2 dF x sin dx l

C
mg FAx
B
m 2 1 F x sin dx ml 2 sin 0 l 2
O
d

x
FT
FT
§16-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
FIi＝－miai
对于平面问题(或者可以简化为平面问题)， 刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
n C
M O M O ( Fi ) miri ri J z


O
MIO FR
当刚体有对称平面且绕垂直于对称平 面的定轴转动时，惯性力系简化为对称 平面内的一个力和一个力偶。这个力等 于刚体质量与质心加速度的乘积，方向 与质心加速度方向相反，作用线通过转 轴；这个力偶的矩等于刚体的转动惯量 与角加速度的乘积，转向与角加速度相 反。
mi FIi ai
质点系的约束力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn
FI2
F2
m2
Fi
质点系的惯性力系
F1 , F 2 ,, Fi ,, Fn
a2
对质点系应用达朗伯原理，由动静法得到
Fi FNi Fi 0 M O ( Fi ) M O ( FNi ) M O ( Fi ) 0
惯性力系的主矢
FR＝ Fi＝ (－mi ai )＝－maC
i i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。
惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
1、刚体作平动
m2 FI1 m1
FI2
a2 m aC FIR an m n FIn
第16章
※
※
达朗伯( D′Alembert)原理
引 言
几个工程实际问题
※
※ ※ ※ ※
质点的惯性力与动静法
质点系的达朗伯原理 刚体惯性力系的简化 动绕定轴转动刚体的轴承动反力 结论与讨论
引
言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运
动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
FAx mr ( 2 ) FAy mg mr ( 2 ) MA mr 2 mgr (3 2 4 ) 3
例 题 8 已知：A物体与轮 C的质量