第一章_复变函数_chenlz
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复变函数与积分变换_第一章.
2.复数的概念
对于任意两实数 x , y, 我们称形如 z x yi 或 z x iy 的数为复数.
其中实数 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
记作 x Re( z ),
y Im( z ).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x. 当 x 0, y 0时, z 0.
§1.1-1.2 复数及其表示式
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
1. 虚数单位
简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
由该等式所定义的数i称为 虚数单位
虚数单位为i=j=sqrt(-1)
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
例 1.2
i i,
1.1.2 复数的四则运算
1. 复数相等 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意
复数不能比较大小.
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章(第二讲)
z → z0
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
第一章 第三节、复变函数
2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε
复变函数第一章讲义
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
复变函数第一章第1讲
复变函数与积分变换 西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
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第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义
复变函数第一章
2 y2
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y 2 x 1 y x2 i y22y x121 2 (* 2 0) 1 1 2 z 2 2 z 2 B x2 iy 2 x2 y 2 x2 y 2 B
1
2）复数的方幂运算
为了讨论复数的乘幂和方根，先考虑复数三角形式的积和商。 设有两个非零的复数 z r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z x iy
z1 x1 iy1
z 2 x2 iy 2
x x1 y y 1
y1 x2 x1 A y x1 y 2 1
2 x2
y1 z Az2 x1 z Bz
• 例4 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3. 4i)
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
2 arctan 2k 2 2k (k 0, 1, 2, ) 4
4 Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 2k 3
复数z与其共轭复数 z的几何表示
共 轭 复 数 具 有 下 列 运性 质 算
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
zz
z1 z 2 z1 z 2
x
O
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z ( z 2 0) 2
z
z与其共轭复数 z的模相等，幅角值相反 .
zz [Re z]2 [Im z]2
2、复数的几何表示及向量表示
由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的,
z1 x1 iy1 x1 x2 y1 y 2 x 1 y x2 i y22y x121 2 (* 2 0) 1 1 2 z 2 2 z 2 B x2 iy 2 x2 y 2 x2 y 2 B
1
2）复数的方幂运算
为了讨论复数的乘幂和方根，先考虑复数三角形式的积和商。 设有两个非零的复数 z r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r 2 (cos 2 i sin 2 )
z x iy
z1 x1 iy1
z 2 x2 iy 2
x x1 y y 1
y1 x2 x1 A y x1 y 2 1
2 x2
y1 z Az2 x1 z Bz
• 例4 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3. 4i)
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
2 arctan 2k 2 2k (k 0, 1, 2, ) 4
4 Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 2k 3
复数z与其共轭复数 z的几何表示
共 轭 复 数 具 有 下 列 运性 质 算
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
zz
z1 z 2 z1 z 2
x
O
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z ( z 2 0) 2
z
z与其共轭复数 z的模相等，幅角值相反 .
zz [Re z]2 [Im z]2
2、复数的几何表示及向量表示
由复数的定义可知，复数是由一对有序实数惟一确定的,
第一章第二节复变函数
b0 b1z b2 z2 ... bm zm
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
根式： z a
可以证明：
cos(iy) = chy；i.shy = sh(iy)
❖ 几个初等函数的定义式
Sh or sinh: hyperbolic sine Ch or cosh: hyperbolic cosine
ez exiy ex cos y i sin y
sin z 1 eiz eiz 2i
cos z 1 eiz eiz 2
注意：
１、sinz 和cosz有实周期 2
２、sin z 和 cosz 完全可以大于１ (p8)
验 证
３、ez, shz, chz具有纯虚数周期 2i
４、lnz有无限多个值，因为Argz不能被唯一确定
５、负数的对数
5、区域：区域就是宗量z在复数平面上的取值范围，严 格地说，区域是指满足下列两个条件的点集：
(1) 全由内点组成;
(2) 具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折 线连接起来，且折线上的点全都属于该点集。
6、闭区域：
如静电场中的导体
单连通区域
单连通闭区域 复连通区域
区域常用不等式表示。例如，
z r 表示以原点为圆心，r为半径的圆内区域； 0 arg z 2 表示第一象限；
§1.2 复变函数
(一) 复变函数的定义 (二) 区域的概念 (三) 复变函数例 (四) 复变函数可以归结为一对二元实变函数。
(一) 复变函数的定义
若在复数平面(或球面)上存在一个点集E(复数的集合)， 对于E的每一个点(每一个z值)，按照一定的规律，有一 个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数—复变 函数。z称为w的宗量，定义域为E，记作
sin z 1 eiz eiz , 2i
复变函数第一章
Re z 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z 0表 示 下 半 复 平 面 .
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )
数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证 明 若 z是 实 系 数 方 程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落于第二象限时，加
y arctan 2 x 2
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为Ｕ(z0 ,δ) (U ( z0 , )) 即， U ( z0 , ) {z z z0 }
z0
(U ( z0 , ) { z 0 z z0 }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
《复变函数》第1章
3
3
23
23
arg z
23 6
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2
5.
6
(或
arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)
i
sin(
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
第一章 复变函数
a ≡ ( a ,0) ≡ a (1,0)
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数第一章
区域:
连通的开集称为区域.
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,
记为D.
有界区域 如果一个区域可以被包含在一个以原点
为中心的圆里面,则称D为有界的. 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|<M.
r r1 2 z0
如果在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边界由 两个圆周和一个(或几个)孤立的点所 构成
-n
r n cos(n ) i sin(n )
四 复数的方根
定义 如果 n z, 则称为z的n次根, 记作 = n z.
n 当z 0时，z有n个不同的根:
2k 2k k = z r cos i sin , n n k 0,1, 2,, n 1.
1) 集合G称为f (z)的定义集合(定义域);
2) G中所有z对应的全体值所组成的集合G , 称为函数值集合(值域).
3)
如果对z G，它仅有一个值与之
对应,则称函数f ( z )是单值函数;
如果z0 G，它有多个值与之对应, 则称函数f ( z )是多值函数.
2 复变函数与二元实函数的关系
n in
(n为整数)
1 定义 z,当 | z |n.则当n为负整数时上i式仍然成立. 特别地 r 1时,即z cos sin , 有: z 1n cos 0 i sin 0 n z (cos i sin n) (cos n i sin n ) 棣莫弗公式 z r n (cos n i sin n )
y
2z
2z相当与将z伸长2倍.
z 2 2i
x
o
复变函数第一章
3、复数的模与辐角
模: 复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所 引向量oz). 向量的长度称为复数的模,定义为：
| z | x2 y2 0 即 | z |2 z z | z | 0 z 0
性质:
| z | Re z z ; | z | Im z z ;
F(1 (z z), 1 (z z)) 0
2
2i
三点z1, z2 , z3共线的充要条件是
z3 z1 t (t为非零实数) z2 z1
例11 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2, z z 2x, z z 2yi
De Moivre公式
(cos i sin )n cos n i sin n
方根 非零复数z的n次方根,是指满足n z的
复数的全体,记为n z
设z rei , ei 则 nein rei
从而 n r, n 2k
从而 n r , 2k
1
bz a bz a
例6 设 z1 , z2是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：| z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
复变函数第一章第一节
例3
化简(1) 5 12i ; (2) i i .
(1) 5 12i x iy,
解
5 12i ( x 2 y 2 ) 2 xyi,
x 2 y 2 5, 2 xy 12
x 3, y 2,
5 12i (3 2i ).
有序实数对(x,y) 平面上一点P
代数 表示 复数 z x iy
实轴、 虚轴、复平面
y
z x iy
O
Z 平面、 w 平面
x
2.复数的向量表示
z x iy
点P( x，y )
几何表示
OP
Y
y
模 ：
r
q
P z = x + iy
q
O x
辐角：
X
模:
| z |=| OP |= r =
对于∞来说,实、 虚部与辐角的概念无意义， 其 模为 | | ，对于其它复数 z ,则有 | z | .
关于∞的运算，规定如下：
a a (a ) a a (a 0) a a , 0 (a ), ( a 0, 但可为) a 0
w k 2 k w 1,
22
两边同时平方, w k
k w 1 ,
2
2
于是 w k ,
2
2
w k,
z z1 故 k. z z2
小结
学习的主要内容有复数的四则运算、共轭 运算和模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍 了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了 无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义） 的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或 正、负无穷大混为一谈．
第一章4复变函数
复变函数与积分变换
第三节复变函数
一、区域
二、复变函数
三、复变函数的极限三、复变函数的连续性
连通的开集称为区域．
闭区域：区域D 与它的边界构成闭区域，简称闭域，记为ሜD
边界：设D 是一平面区域，如果点z 0的任意邻域内既有属于D 的点又有不属于D 的点，则称z 0是D 的边界点.D 的边界点的集合称为D 的边界.
2.区域、区域的边界、闭区域
连通：若平面点集D 中任何两点都可以用完全属于D 的折线连接起来，
则称D 是连通的．
区域：
有界区域与无界区域：
如果一个区域D可以被包含在一个以原点为圆心的圆里面，即存在正实数M，使区域D的每个点z都满足z<M，那么区域D称为有界的，否则称为无界的.
例如：r1<z−z0<r2的所有点构成一个圆环域，而且是有界的.
z−z0>R的所有点构成区域是无界区域.
例1.求复变函数w=z2的实部和虚部.
解：设z=x+iy,w=z2=(x+iy)2=(x2−y2)+i2xy 则二元函数：
u(x,y)=x2−y2,v(x,y)=2xy.
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i 1
2e
i 2
1 2 e
i ( 1 2 )
12[cos( 1 2 ) i sin(1 2 )]
z1 z 2 z1 z 2
arg(z1 z2 ) arg z1 arg z2
13
★代数 形式
3、复数的除法 z1 x1 y1i ( x1 y1i)(x2 y2i) z2 x2 y2i ( x2 y2i)(x2 y2i)
★性质
x2 x1 x2
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
12
2、复数的乘法 z z ( x y i )( x y i ) 1 2 1 1 2 2 ★代数
形式
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
★指数 形式
z1 z 2 1e
b sin sin 2 sin 3 sin n cos( / 2) cos(n 1/ 2) 2sin( / 2)
23
§1.2 12
复变函数
一、复变函数的定义 、 定
★对于复数平面（球面）上存在的集合E 中的 每一复数（每一个z），按照一定的规律， 有一个或多个复数值，
n
z 1/ n ei ( 4 ) / n z e
1/ n i ( 2 / n )
e
1/ n i / n
★所以，根式函数是多值函数 ★所以 根式函数是多值函数 ——详细见§1.6 多值函数讨论；
16
kn
n
z e e
1/ n i ( 2 / n )
1/ n i / n
例2： 3 8 8 1// 3 e i ( 2 k ) / 3
k 0
3
8 8 e 8 8
1/ 3
1 / 3 i / 3
1 i 3
2
k 1 k 2
3
e
i
3
8 8
1/ 3 i 5 / 3
e
1 i 3
17
★讨论与交流：为什么不取k =3了？
(k 0,1,2,3)
z
取不同值，因为幅角不同；
15
★故 k 取不同值，幅角不同； 取不同值 幅角不同
n
z
1 / n i ( 2 k ) / n
e
k 0
n
z e
1/ n i / n
k 1
k 2 k n
n n
z 1/ n ei ( 2 ) / n
e 1 i 1 e
ie (2k 3 / 2) i i e
( k 0,1, )
例1：求 z 1
3 i 的Argz与argz
解 z 位于第二象限 解：
y 2 arg z arctg arctg( 3) x 3 2 A z arg z 2k 2k Arg 3
21
i ( n 1)
(e e ) W i / 2 i / 2 i / 2 e (e e ) e (e e ) i / 2 i / 2 (e e )
i ( n 1/ 2) i / 2
i / 2
i ( n 1 / 2 )
i / 2
←运用欧拉公式！
1 1 cos(n ) i sin(n ) cos( ) i sin( ) 2 2 2 2
2
参考书目
1、郭敦仁，《数学物理方法》，高等教育出版社 郭敦仁 《数学物理方法》 高等教育出版社 2、周明儒，《数学物理方法》，高等教育出版社 3、姚端正等，《数学物理方法》，武汉大学出版社 姚端正等 《数学物理方法》 武汉大学出版社
如何学好《数学物理方法》？
1、数学分析的知识要比较扎实； 2、普通物理学基本概念、原理比较清晰； 3、物理实际问题与数学模型相结合，进行思考； 4、多做练习； 5、记住：数学物理方法不学好，不算读了物理学！ 理论物理学也读不懂！
(第四版)
梁昆淼 编
高等教育出版社
1
数 学 物 理 方 法
第一篇 第 篇 复变函数论
复变函数；（复函数项）级数；（第一～四章） 积分变换（第五 六章） 积分变换（第五、六章）
第二篇 数学物理方程
定解问题：数学物理方程及其分类;（第七章） 定解问题 数学物理方程及其分类 （第七章） 解法一：分离变量法及解的性质;（第八、九章） 解法二：球坐标下的分离变量法;（第十章） 解法三：柱坐标下的分离变量法;（第十一章） 解法四：积分法求解数理方程;（第十二、十三章） 解法五：复变函数法求解数理方程;（第十四章） 解法六：近似法求解数理方程;（第十五章）
z (cos i sin )
6、复数的指数形式
★复平面
z x iy
y
z e
i
i
★交流与讨论：为什么有关系式？
x 复平面
A( x, y)
e cos i sin
★复数的模：
z x y
2
2
★复数的幅角：
arctg( y x ) A rg z
5
第一章
§1.1
复变函数
3、复数的几何表示 ★复平面
复数与复数运算
一、复数的基本概念
1、什么是复数？ 什么是复数？
2、复数的代数表示——直角坐标
z x iy
★式中
z x iy y
y
i 1
y Im( z )
★ x、y为实数，称为 复数的实部与虚部
r
x 复平面
A( x, y)
W a ib cos cos 2 cos 3 cos n i( (sin sin 2 sin 3 sin n )
(cos i sin ) (cos 2 i sin 2 ) (cos n i sin n )
1 ( ) 2 在复平面上的意义。 例3：讨论 Re( z 解： R e ( 1 ) 2 z x y yi z
1 1 x yi 2 2 z x yi x y
1 x Re( ) 2 2 2 z x y
x x y 2
2 2
18
1 2 1 2 2 ★为 ( x ) y ( ) 圆心在（1/4，0）圆上各点 4 4
x Re( z )
6
4、复数的极坐标表示 复数的极坐标表示
x2 y2 y arctg( ) x
★直角坐标与极坐标的换算
★复平面
z x iy y
y
x cos y s in
x
复平面
A( x, y)
7
5、复数的三角函数形式 复数的三角函数形式
3
第一篇 复变函数论
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 复变函数 复变函数的积分 幂级数展开 留数定理 傅里叶变换 拉普拉斯变换
4
第一篇 复变函数论
第一章 第 章 复变函数 §1.1 1 1 复数与复数运算 §1.2 1 2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场 §1.6 1 6 多值函数
例5：计算
cos cos 2 cos 3 cos n sin sin 2 sin 3 sin n a cos cos 2 cos 3 cos n 解： 令 b sin sin 2 sin 3 sin n
8
7、复数辐角 Arg z 的主值:主辐角 arg z
x cos y sin
y arctg( ) Arg z x
★由于辐角的周期性，辐角有无穷多个。
Arg z a rg z 2 k
★定义主辐角
( k 0, 1, 2 )
14
4、复数的乘方
n
z ( e ) e n (cosn i sin n )
n
i n
n in
★故：
(cos i sin) cos n i sin n
n
5、复数的方根
z
n
e
n
i
1/ n
e
i / n
★故k取不同值，
1/ n
e
i ( 2 k ) / n
11
二、复数的运算
1、复数的加减法
z1 z2 x1 y1i ( x2 y2i) y1 y2 y1 (x1 x2 ) ( y1 y2 )i
y
z1 z2 z1 z2 x1
x
z1 z2 (x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
y2
arg z arctg[( y1 y2 ) / ( x1 x2 )]
或 ←易于理解
arg z
0 arg z 2
A z 的主值， ★为辐角 为辐角 Arg 的主值 或主辐角，记为 或主辐角 为
arg z
9
8、共轭复数 共轭复数
(cos i sin ) ★复数：z (
★其共轭复数规定为
e
i
z (cos i sin ) (cos ( i sin i )
例4：计算 W 解： 令
a ib
z a2 b2
sin b a 2 b2 a
z a ib z (cos i sin )
W a ib
z [cos(
1 2
z (cos i sin )
) i sin(