第四章 平面任意力系

§4–2
平面任意力系的简化•主矢与主矩
例题 4-1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用 着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。
y F2 60° B F3
解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果： ①求主矢R：
因此：刚体平衡条
继续保持平衡状态 不能保持平衡状态
件是变形体平衡的必 要而非充分条件。
§4–4
一、刚体系的平衡
刚体系的平衡
刚体系平衡时，其任一部分也平衡。于是，根据刚 化原理，刚体系的平衡问题归结为单一刚体的平衡 问题。
刚体系的平衡
等价
力系的平衡
§4–4
刚体系的平衡
平面一般力系的解题步骤：
1.选取研究对象
W
G
P
2.5 3.0
A
Q
1.8 2.0
B
解：
NA
NB
1、取汽车及起重机为研究对象。
2、受力分析如图。
§4–3
y
平面任意力系的平衡条件
3、列平衡方程：
N A NB P Q G W 0 F 0: M F 0 : 5.5P 2.5G 2Q 3.8 N A 0
F1 F2
A2 A1
F1
R
O
A3
=
F3
F2
M2 O
M1 M3
F3
=
MO
O
§4–2
平面任意力系的简化•主矢与主矩
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在
点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3 F1 F2 F3
A
2m
F2 60°
B
F3
R Rx2 R 2 0.794 y
F1 O y A R O B C
3m
F4
30° x
R , x 526'
Rx cosR 、 x 0.614 R
R cosR 、 y 0.789 y R
R , y 3754'
R F1 F2 Fn F
M 0 M o F1 M o F2 M o Fn M o F
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
§4–2
平面任意力系的简化•主矢与主矩
B
4、联立求解：
W
G P
2.5 3.0
1 N A 2Q 2.5G 5.5P 3.8
5、不翻条件：NA≥0
A NA
1.8
Q
2.0
B NB
1 2Q 2.5G 7.5kN 由上式可得 P 5.5
故最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN
§4–4
刚体系的平衡
刚体系 —— 由若干个刚体通过约束组成的系统 一、刚化原理 在已知力系作用下处于平衡的变形体，若将其换为 刚体，平衡状态保持不变。
第四章
平面任意力系
平面任意力系
各个力的作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行的力 系称为平面任意力系
§4–1 力的平移
一、力平移定理：
把力F 作用线向某点O 平移时，须附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原力F 对点O 的矩。 证明：
F A
=
F
F
=
F
O
d
O d A
F
O
l
A
F F F
A
l QD a P QE l b T cos c T sin l 0 2 y
4、联立求解，可得：
T = 12456 N
T FAy
A
FAx
FAx= 11290 N
FAy= 4936 N
D
C
E
α
B x
QD
P
QE
§4–3
平面任意力系的平衡条件
例题 4-5 一种车载式起重机，车重Q = 26kN，起重机伸臂 重G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重W = 31kN。尺寸 如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示 位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。
R R
R
MO
O
=
O
Mo R
R
Mo
R
A
A
=
O
R
M0 M0 F AO R R
§4–2
平面任意力系的简化•主矢与主矩
4、 R=0，而MO=0，原力系平衡。 综上所述，可见： ⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不 为零时，则该力系可以合成为一个力。 ⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主 矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
由 M c ( F ) 0
YB 2a 0
YB 0 由 Y 0 YC YB F 0
YC F
由 X 0 X C X B 0
(求不出XB)
我们已经求出YB，下一步应选取谁做为研究对象呢
(五个未知数) (三个未知数)
(四个未知数)
以DEF为研究对象
由 M E F 0
YD F
由 M B F 0
YD a F a 0
X D a F 2a 0 X D 2F
(可以求出NE)
以ADB为研究对象
由 M A F 0
X D a X B 2a 0
1 X B X D F 2 由 X 0 XD XA XB 0 X A X B X D F 由 Y 0 YD YA YB 0 YA YB YD F
§4–4
一、几个概念：
静定与静不定问题的概念
1、物体系 ——由若干个物体通过约束组成的系统 2、外 3、内 力 ——物体系以外任何物体作用于该系统的力 力——物体系内部各物体间相互作用的力
二、物体系平衡方程的数目： 由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立
的平衡方程。
§4–4
静定与静不定问题的概念
O
B
M F 0 , M F 0
A
且A、B 的连线不平行于力系中各力。 由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平
衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。
§4–3
平面任意力系的平衡条件
例题 4-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 P=2200N，吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。 有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链A 对臂AB 的水平和垂直 反力，以及拉索BF 的拉力。 y
个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
§4–2
平面任意力系的简化•主矢与主矩
一、力系向给定点O 的简化 应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定 点O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。
二、几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化 中心的位置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置 有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要 指明简化中心。
§4–2
平的简化•主矢与主矩
简化结果的讨论
1、R=0，而MO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主 矩MO 不随简化中心位置而变。 2、MO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。 3、R≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。 说明如下：
C
x
§4–2
MO Mo F
平面任意力系的简化•主矢与主矩
y
A
2m
② 求主矩：
F2 60°
B
F3
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
O
F1 C
3m
F4 30°
x
（2）、求合成结果：合成为 一个合力R，R的大小、方向与
y
A B
R’相同。其作用线与O点的垂
F
T FAy
c
C
α
B
A
FAx
D
C
E
α
B x
A
QD
a l
QE
b
解：
QD
P
QE
1、取伸臂AB为研究对象
2、受力分析如图
§4–3
平面任意力系的平衡条件
3、选列平衡方程： FAx T cos 0 Fx 0 :
F 0:
y
FAy QD P QE T sin 0
M F 0:
x
B C
M F 0 , M F 0 , M F 0
A、B、C 三点不共线。
§4–3
平面任意力系的平衡条件
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对
任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式：
二矩式：
F
y
0 ,
M F 0
§3–2
M Fd M 0 F
§4–1 力的平移
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位 置的不同而不同。 2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。 3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一