高中数学第二章2.2.1双曲线及其标准方程学业分层测评新人教B版
高中数学(人教B版 选修2-1)学业分层测评第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．焦点在轴上，短轴长为，离心率为的椭圆的标准方程是( )＋＝．＋＝＋＝．＋＝【解析】由题意知＝，得＝，所以＝－＝，又＝＝，解得＝，＝，又焦点在轴上，故椭圆的标准方程为＋＝，故选.【答案】．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为()．．【解析】由题意知＝，∴＝＝＝.【答案】．曲线＋＝与＋＝(<<)的关系是( )．有相等的焦距，相同的焦点．有相等的焦距，不同的焦点．有不等的焦距，不同的焦点．以上都不对【解析】曲线＋＝的焦距为＝，而曲线＋＝(＜＜)表示的椭圆的焦距也是，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选.【答案】．已知是坐标原点，是椭圆＋＝的一个焦点，过且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则∠的值为( )【导学号：】．－．－【解析】由题意，＝，＝，故＝＝＝.不妨设(，)，(，－)，所以＋＝，解得＝±，所以＝，＝＝＝.由余弦定理知∠＝＝＝－.【答案】．如图--，直线：－＋＝过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为( )图--．．【答案】二、填空题．已知长方形，＝，＝，则以，为焦点，且过、的椭圆的离心率为．【解析】如图，＝＝，∵点在椭圆上，∴＋＝＝＋＝，∴＝＝＝.【答案】．设是椭圆＋＝(>>)的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则·＝.【解析】设(，)，(，)，则中点坐标，得＝，＝，·＝，＋＝，＋＝，得(－)＋(－)＝，即＝－.【答案】－．已知(，)是椭圆＋＝上的一个动点，则＋的取值范围是．【解析】因为(，)是椭圆＋＝上的一个动点，所以＋＝，即＝－，所以＋＝－，又－≤≤，所以≤－≤，所以≤＋≤.。
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质学业分层测评 新人教B版选修11
2.2.2 双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( )A ．4x ±3y ＝0B ．16x ±9y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )【导学号：25650072】 A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±22x D ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 【答案】 C4．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1. 【答案】 D5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 29－y 216＝1 【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1. 由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14.故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A 二、填空题6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴ca ＝3，即e ＝3.【答案】 37．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长是________．【解析】 联立消去y ，得x 2＋3x ＋2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝2，∴|AB |＝1＋32·－32－4×2＝2.【答案】 28．若直线x ＝2与双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________．【解析】 由双曲线为x 2－y 2b2＝1得渐近线为y ＝±bx ，则交点A (2,2b )，B (2，－2b )．∵S △AOB ＝12×2×4b ＝8，∴b ＝2.又a 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5. ∴焦距2c ＝2 5. 【答案】 2 5 三、解答题9．已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255，求双曲线C 的方程．【解】 依题意，双曲线的焦点在y 轴上，顶点坐标为(0，a )，渐近线方程为y ＝±a bx ，即ax ±by ＝0，所以ab a 2＋b 2＝ab c ＝255.又e ＝ca＝52， 所以b ＝1，即c 2－a 2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫52a 2－a 2＝1， 解得a 2＝4，故双曲线方程为y 24－x 2＝1.10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使|PF 1|＝2|PF 2|，试确定双曲线离心率的取值范围.【导学号：25650073】【解】 由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P ，使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a . ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a .又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ，∴1＜c a≤3，即1＜e ≤3.[能力提升]1．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)【解析】 双曲线方程化为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 【答案】 B2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.【答案】 B3．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．【解析】 由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)， 设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )， ∴PA 1→·PF 2→＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2， 由双曲线方程得y 2＝3x 2－3，代入上式得PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116， 又x ≥1，所以当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值，且最小值为－2.【答案】 －24．双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程； 【导学号：25650074】(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠± 3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3，所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标
2.3.1 双曲线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的左支 C ．一条射线D ．双曲线的右支【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．【答案】 C2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F 2(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 2的中点坐标为(0,2)，则该双曲线方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1【解析】 易知点P 的坐标为(5，4)，把点P 的坐标代入选项中的方程只有B 适合． 【答案】 B3．已知P 是双曲线x 24－y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9【解析】 由题意a ＝2，∴||PF 1|－|PF 2||＝4.∴|PF 2|＝7. 【答案】 C4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 【答案】 A5．F 1，F 2是椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点，P 是两曲线的一个公共点，则cos∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.110D.19【解析】 不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，|PF 1|－|PF 2|＝23，①由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2 6. ② 由①②可得，|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3， ∵|F 1F 2|＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝13.【答案】 B 二、填空题6．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(2,0)，那么k ＝________. 【解析】 方程可化为x 2－y 2－5k＝1，∴1－5k ＝2，解得k ＝－53. 【答案】 －537．(2014·北京高考)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．【解析】 由题意，设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b ＞0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.【答案】 x 2－y 2＝18．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．【解】 ∵|F 1F 2|＝10， ∴2c ＝10，c ＝5.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴4a 2＋16a 2＝100. ∴a 2＝5.则b 2＝c 2－a 2＝20. 故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.10．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解】 设动圆M 的半径为r ，由于动圆与圆C 1相外切，所以|MC 1|＝r ＋2，又动圆与圆C 2相内切，所以有|MC 2|＝r －2，于是|MC 1|－|MC 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝22，且22<|C 1C 2|，因此动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有2a ＝22，即a ＝2，又c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－2＝14，于是动圆圆心的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．[能力提升]1．已知F 1、F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4 B ．37－4 C.37－2 5D ．37＋2 5【解析】 如图所示，连接F 1P 交双曲线右支于点A 0.∵|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－25，∴要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值．当A 落在A 0处时，|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|最小，最小值为37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为37－2 5. 【答案】 C2．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞【解析】 由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1.OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B. 【答案】 B3．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是________.【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.【答案】x 22－y 2＝14．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 【解】 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学业
2.1 曲线与方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________． 【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图211，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图211【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22， 当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0)B ．y ＝－43x (0≤x ≤4)C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4)D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4x B ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3) D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3) 【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )， 依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4， 方程表示半径为2的圆， 因此图形的面积S ＝π·22＝4π. 【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1， 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝x －2＋y －2，|AB |＝x2＋y 2，∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.1-2.2.1双曲线及其标准方程-课件
焦点坐标 a，b，c 的关系
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝ a2＋b2
双曲线标准方程的理解
x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示的曲线为 C，给出下列四个 4 －k k －1 命题： ①曲线 C 不可能是圆； ②若 1＜k＜4，则曲线 C 为椭圆； ③若曲线 C 为双曲线，则 k＜1 或 k＞4； 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k＜ . 2 其中正确命题的序号是________．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝± 2a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a.
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x 2 y2 － ＝1(a＞0，b＞0)． a2 b2
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】 双曲线标准方程中 x2 与 y2 的系数的符号决定了焦 点所在的坐标轴：当 x2 系数为正时，焦点在 x 轴上；当 y2 的系数 为正时，焦点在 y 轴上，而与分母的大小无关．
双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程
x2 y2 － ＝1 a2 b2
(a>0，b>0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2
【答案】 ③④
1．双曲线焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的系数为正；双曲 线焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的系数为正．
x2 y2 2． 在曲线方程 ＋ ＝1 中， 若 m＝n＞0， 则曲线表示一个圆； m n 若 m＞0，n＞0，且 m≠n，则曲线表示一个椭圆；若 mn＜0，则曲 线表示双曲线．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标
2.3.1 抛物线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝xD ．y 2＝－x【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左，其方程应为y 2＝－x .【答案】 D2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1.【答案】 A3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) 【导学号：25650079】 A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x2＝y ，故选C.【答案】 C4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(2,0)或(－2,0)D ．(4,0)【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.【答案】 C5．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，即p ＝4.【答案】 D 二、填空题6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p2＝4，∴p ＝2.【答案】 27．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 ) 【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④ 三、解答题9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，则准线为x ＝p2.由题意，设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10.∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．10．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：25650080】【解】 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1.∵两圆外切，∴|MC |＝R ＋1. 又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切． ∴圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .∴|MC |＝d ＋1，即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .[能力提升]1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 【答案】 B2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和到y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2D.5－1【解析】 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.【答案】 D3．如图232所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图232【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.∴x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y 得x 20＝6， ∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m. 【答案】 2 64．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离. 【导学号：25650081】【解】 设抛物线焦点为F ，连结AF ，BF ，如图，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.。
高中数学2.2.1双曲线及其标准方程教材分析新人教B版选修1-1
高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程教材分析新人教B版选修1-1教材分析1、地位与作用双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一，无论从知识的角度还是从思想方法的角度双曲线都与椭圆有类似之处。
与椭圆相比，双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加灵活，能力要求更高。
可以说圆锥曲线是解析几何的核心,而双曲线又是圆锥曲线的核心。
也可以说，解析几何无论从知识结构、题目类型、解题方法还是数学思想的哪方面说都在双曲线这里达到高潮。
学习双曲线本身就是对椭圆知识和方法的巩固、深化和提高。
自然也为进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础。
本节课：“双曲线及其标准方程”是双曲线的第一节课，在这一节我们要准确的理解双曲线的定义，并在此基础上推导双曲线的标准方程，显然学好本节内容又是学习好双曲线的重要前提。
2、教学目标及确立的依据由于双曲线的定义和标准方程是本节课的基础知识,也是学好双曲线的重要前提,所以本节课的第一个教学目标就是理解双曲线的定义,掌握双曲线标准方程。
要正确的理解概念，就必须从正反、数形等多角度的分析讨论，在这个过程中就自然要求我们要有目的的培养学生的观察能力、概括能力和分析问题和解决问题的能力，这就是本节课的第二个教学目标。
双曲线是动点运动的轨迹，学生通过在动点运动变化过程中观察变化规律，抓本质属性，寻找、总结双曲线定义，既可以加深学生对双曲线定义的理解，同时自然对学生潜移默化的进行了运动变化和对立统一观点的教育。
这就是本节课的第三个教学目标。
3．重点难点分析重点：双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．（1）双曲线的标准方程是在其定义的基础上推导的, 所以我们对双曲线的定义应给与重视．双曲线的定义与椭圆定义类似, 在理解时应注意：①注意定义中的条件的限定．若 , 则动点的轨迹为两条射线；若 , 则轨迹不存在．②注意定义中的关键词“绝对值”．事实上若去掉定义中“绝对值”三个字, 动点轨迹只能是双曲线的一支（2）根据双曲线定义求双曲线的标准方程, 思想方法与推导过程和椭圆完全类似（3）两种标准方程的双曲线的异同（4）定义的引入用演示实验，形象的展示双曲线的定义及图形形状，帮助学生加深理解。
高中数学(人教B版 选修2-1)学业分层测评第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．如果方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )．(，＋∞)．(－∞，－)．(，＋∞)∪(－∞，－)．(，＋∞)∪(－，－)【解析】由于椭圆的焦点在轴上，所以(\\(＞＋，＋＞，))即(\\((＋((－(＞，＞－.))解得＞或－＜＜－，故选.【答案】．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是( )＋＝＋＝或＋＝＋＝．以上都不对【解析】设椭圆方程为＋＝(>，>，≠)，则(\\(()＋＝，,()＋＝，))∴(\\(＝，＝().))∴椭圆的方程为＋＝.【答案】．设，是椭圆＋＝的两个焦点，是椭圆上的点，且∶＝∶，则△的面积等于( )．．．．【解析】由椭圆方程，得＝，＝，＝，∴＋＝＝，又∶＝∶，∴＝，＝，由＋＝()，可知△是直角三角形，故△的面积为·＝××＝，故选.【答案】．椭圆＋＝－(<<)的焦点坐标为( )【导学号：】．(，±) ．(±，)．(，±) ．(±，)【解析】将＋＝－(<<)化成标准方程得＋＝，由<<⇒－>－>，得焦点在轴上，即＝－，＝－，得＝－＝－，故选.【答案】．设是椭圆＋＝上一点，到两焦点，的距离之差为，则△是( )．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，＋＝＝，又－＝，∴＝，＝，又＝＝＝，即＋＝，∴△为直角三角形．【答案】二、填空题．已知，是椭圆：＋＝(>>)的两个焦点，为椭圆上一点，且⊥.若△的面积为，则＝.【解析】依题意，有(\\(＋＝，·＝，＋＝，))可得＋＝，即－＝，故有＝.【答案】．已知椭圆经过点()，且点()为其右焦点，则椭圆的标准方程为．【解析】法一：依题意，可设椭圆的方程为＋＝(>>)，且可知左焦点为′(－)．从而有(\\(＝，＝＋′＝＋＝，))解得(\\(＝，＝.))又＝＋，所以＝，故椭圆的标准方程为＋＝.法二：依题意，可设椭圆的方程为＋＝(>>)，则(\\(()＋()＝，－＝，))解得＝或＝－(舍去)，从而＝，所以椭圆的标准。
人B版数学选修1-1：学业分层测评 第2章 2-2-2 双曲线的几何性质
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程是( )A ．4x ±3y ＝0B ．16x ±9y ＝0C ．3x ±4y ＝0D ．9x ±16y ＝0【解析】 由题意知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，b ＝4，∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 【答案】 A2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4【解析】 令y ＝0，得x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 【答案】 A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )【导学号：25650072】A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x【解析】 由已知，得b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝ 2.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .【答案】 C 4．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 【解析】 由题意得e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.【答案】 D 5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，且与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线的方程为( )A.y 216－x 29＝1B.x 216－y 29＝1C.y 29－x 216＝1 D.x 29－y 216＝1【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为x 236－y 264＝λ(λ＜0)，即y 2－64λ－x 2－36λ＝1. 由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－14.故所求双曲线的方程为y 216－x 29＝1.【答案】 A二、填空题。
高中数学(人教B版 选修1-1)学业分层测评第2章 圆锥曲线与方程 2-2-1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．双曲线－＝的两个焦点分别是，，双曲线上一点到的距离是，则到的距离是( )．．．或．或【解析】由双曲线方程－＝得＝，∴－＝×＝.又∵＝，∴＝或.故选.【答案】．焦点分别为(－)，()且经过点()的双曲线的标准方程为( ) 【导学号：】．－＝－＝．－＝－＝【解析】由双曲线定义知，＝－＝－＝，∴＝.又＝，∴＝－＝－＝，因此所求双曲线的标准方程为－＝.【答案】．设动点到(－)的距离与它到()的距离的差等于，则点的轨迹方程是( )－＝－＝－＝(＜) －＝(＞)【解析】由双曲线的定义得，点的轨迹是双曲线的一支．由已知得(\\(＝，＝，))∴＝，＝，＝.故点的轨迹方程为－＝(＞)，因此选.【答案】．已知双曲线－＝的焦点为，，点在双曲线上，且⊥轴，则到直线的距离为( )【解析】不妨设点(－)，容易计算得出＝＝，－＝.解得＝.而＝，在直角三角形中，由·＝·，求得到直线的距离为.故选.【答案】．椭圆＋＝与双曲线－＝有相同的焦点，则的值是( )．或－．．或【解析】由于＞＜＜，且－＝＋，所以可解得＝，故选.【答案】二、填空题．经过点(－)和(－，－)，且焦点在轴上的双曲线的标准方程是. 【导学号：】【解析】设双曲线的方程为＋＝(<)，则(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝－()，＝()，))故双曲线的标准方程为－＝.【答案】－＝．已知方程＋＝表示的曲线为.给出以下四个判断：①当＜＜时，曲线表示椭圆；②当＞或＜时，曲线表示双曲线；③若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则＜＜；④若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则＞.。
高中数学(人教B版 选修2-1)学业分层测评第2章 圆锥曲线与方程 2.1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．曲线－－－＋－＝与轴的交点坐标是( )．()和(－) ．()和(－)．()和() ．()和()【解析】在曲线－－－＋－＝中，令＝，则－－＝，∴＝－或＝.∴交点坐标为(－)和()．【答案】．方程(－)(－)＝表示的图形是( )．两条直线．四条直线．两个点．四个点【解析】由(－)(－)＝得(＋)(－)(＋)·(－)＝，所以＋＝或－＝或＋＝或－＝，表示四条直线．【答案】．在平面直角坐标系中，若定点()与动点(，)满足·＝，则点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝．＋＝．＋＝【解析】由＝(，)，＝()得·＝(，)·()＝＋＝，则＋＝即为所求的轨迹方程，故选.【答案】．方程(－＋)·＝表示的曲线是( )【导学号：】．一个点与一条直线．两个点．两条射线或一个圆．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于＋－＝，即＋＝，或(\\(－＋＝，＋－≥，))故选.【答案】．已知方程＝和＝＋(＞)所确定的两条曲线有两个交点，则的取值范围是( )．＞．＜＜．＜＜或＞．∈∅【答案】二、填空题．“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”是“方程(，)＝是曲线的方程”的条件．【解析】“方程(，)＝是曲线的方程”⇒“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”，反之不成立．【答案】必要不充分．方程·(＋＋)＝表示的几何图形是．【解析】由方程得(\\(＋＋＝，－≥，))或－＝，即＋＋＝(≥)或＝.【答案】一条射线和一条直线．已知定点()，动点在轴上运动，点在轴上，且·＝，延长到点，使得＝，则点的轨迹方程是．【解析】由于＝，则为的中点．设(，)，则(－)，，由·＝，得·＝，所以(－)·＋·＝，则＝，即点的轨迹方程是＝.【答案】＝三、解答题．如图--，圆与圆的半径都是，＝，过动点分别作圆、圆的切线，(，分别为切点)，使得＝，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．图--【解】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，。
学年新教材高中数学第二章平面解析几何..双曲线的标准方程训练含解析新人教B版选择性必修第一册
第二章平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程课后篇稳固提升必备知识根底练1.假设一双曲线与椭圆4x 2+y 2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,那么该双曲线的方程为( )A.y 2-3x 2=36B.x 2-3y 2=36C.3y 2-x 2=36D.3x 2-y 2=36椭圆的标准方程为y 264+x 216=1,焦点为(0,±4√3),离心率为√32,那么双曲线的焦点在y 轴上,c=4√3,e=√3,从而a=6,b 2=12,故所求双曲线的方程为y 2-3x 2=36. 2.(多项选择)当α∈(π4,3π4)时,方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的轨迹可以是( ) A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线α∈(π4,3π4)时,sin α∈(√22,1],cos α∈(-√22,√22),可得方程x 2sin α+y 2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0).也可以是双曲线(sin α>0,cos α<0),也可能是两条直线(sin α=1,cos α=0).3.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,假设|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,那么该双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1B.x 23−y 22=1C.x 2-y 24=1D.x 22−y 23=1{|PF 1|-|PF 2|=2a =b ,c 2=a 2+b 2,2c =2√5,解得{a 2=1,b 2=4, 那么该双曲线的方程为x 2-y 24=1.4.双曲线x24−y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,那么PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.7F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,那么动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).6.双曲线x2m −y2n=1(m>0,n>0)和椭圆x25+y22=1有相同的焦点,那么4m+1n的最小值为()A.2B.3C.4D.5,双曲线x 2m −y2n=1(m>0,n>0)和椭圆x25+y22=1有相同的焦点,∴m+n=5-2=3,∴4m +1n=13(m+n)4m+1n=135+4nm+mn≥135+2√4nm·mn=3,当且仅当4nm=mn,即m=2n时等号成立,故4m +1n的最小值为3.7.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.以下结论中,其中正确的有(写出所有正确结论的编号).①当d=0时,D为直线;②当d=1时,D为双曲线;③当d=2时,D与圆C交于两点;④当d=4时,D与圆C交于四点;⑤当d>4时,D不存在.当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;②当d=1时,∵||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;。
人教新课标版数学高二B版选修1-1课件 双曲线及其标准方程
跟踪训练2 已知双曲线的方程是 1x62 －y82＝1，点P在双曲线上，且到其中一 个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)． 解 设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线， 所以|ON|＝12|PF2|， 因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10， 所以|PF2|＝2 或 18，|ON|＝12|PF2|＝1 或 9.
[思考辨析 判断正误] (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨 迹是双曲线．( × ) (2)在双曲线标准方程ax22－by22＝1 中，a＞0，b＞0 且 a≠b.( × )
(3)在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.( × )
题型探究
类型一 求双曲线的标准方程 例1 求下列双曲线的标准方程． (1)与椭圆2y52 ＋1x62 ＝1 有公共焦点，且过点(－2， 10)；
解答
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)； 解 因为双曲线经过点M(0,12)， 所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25. 所以双曲线的标准方程为1y424－2x52 ＝1.
解答
(3)过点 P3，145，Q－136，5，且焦点在坐标轴上．
12345
解答
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6). 解 由已知得c＝6，且焦点在y轴上， 因为点A(－5,6)在双曲线上， 所以 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程为1y62 －2x02 ＝1.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学业分层测评新人教B版选修2-1
2.3.2 双曲线的几何性质（建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1（－6，0）,则它的标准方程是( ）A.错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C。
错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1【解析】设等轴双曲线方程为错误!－错误!＝1（a＞0），∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为x218－错误!＝1。
【答案】B2．已知双曲线方程为x2－错误!＝1，过P(1，0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( ）A．4条B．3条C．2条D．1条【解析】因为双曲线方程为x2－错误!＝1，所以P(1,0）是双曲线的右顶点，所以过P （1,0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P（1，0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B。
【答案】B3．双曲线C：错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为错误!,则双曲线C的焦距等于（)A．2 B．2错误!C．4 D．42【解析】由已知得e＝错误!＝2，所以a＝错误!c，故b＝错误!＝错误!c,从而双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，由焦点到渐近线的距离为错误!，得错误!c＝错误!，解得c ＝2，故2c＝4，故选C。
【答案】C4．若实数k满足0〈k〈5,则曲线错误!－错误!＝1与曲线错误!－错误!＝1的( )A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解析】若0〈k<5，则5－k〉0，16－k>0，故方程错误!－错误!＝1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k,焦距2c＝2错误!,离心率e＝错误!；同理方程错误!－错误!＝1也表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为错误!，虚半轴的长为错误!，焦距2c＝221－k,离心率e＝错误!。
可知两曲线的焦距相等,故选D。
新教材高中数学第二章双曲线及其方程：双曲线的几何性质分层作业pptx课件新人教B版选择性必修第一册
|1 |2 + |2 |2 = 4 2 = 48,
解得|PF1||PF2|=8,
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8.[探究点一(角度2)]求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;
(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
解 (1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有
b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为
6.[探究点一(角度 1)·2021 全国乙,理 13]已知双曲线 C: -y =1(m>0)的一条渐
近线为 3x+my=0,则 C 的焦距为
4
解析 由双曲线方程可知其渐近线方程为
.
±y=0,即
解得 m=3.
可得 C 的焦距为 2 + 1=4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
D.-4
2
2.[探究点一(角度 1)·2021 全国卷,文]点(3,0)到双曲线16
−
2
=1 的一条渐近线
9
的距离为( A )
9
A.5
解析
8
B.5
6
C.5
2
由题意可知,双曲线的渐近线方程为16
不妨考虑点(3,0)到直线 3x+4y=0 的距离 d=
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2.2.1 双曲线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线方程x 225－y 29＝1得a ＝5，∴||PF 1|－|PF 2||＝2×5＝10. 又∵|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝2或22. 故选D. 【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) 【导学号：25650064】A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 22－y 22＝1 【解析】 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 A3．设动点M 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ＜0) D.x 29－y 216＝1(x ＞0)【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62， |MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝526.而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C.【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 【答案】 D6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________. 【导学号：25650065】【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】y 225－x 275＝1 7．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t－1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．【解析】 设右焦点为F ′，依题意，|PF |＝|PF ′|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF ′|＋4＋|PA |＝|PF ′|＋|PA |＋4≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9. 【答案】 99．求以椭圆x 216＋y 29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．【解】 由x 216＋y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A 点，由双曲线定义得2a ＝|－2＋－5－2－－2＋－5＋2|＝25，∴a ＝5，又c ＝3， 从而b 2＝c 2－a 2＝4， 又焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________. 【导学号：25650066】【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y 28＝1，所以a ＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图222，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.图222求双曲线的标准方程．【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝PF 1|－|PF 22＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。