第二课时(2.1函数,2.2函数的表示法)
《函数的概念及其表示》函数的概念与性质PPT(第二课时函数的表示法)
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2.1 函数和它的表示法 第2课时
（2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数y （个） 计划购买50元的乒乓球，则所购的总数y 50元的乒乓球 与单价x 的关系. 与单价x （元）的关系. 解析：两个变量x,y 解析：两个变量x,y 50
y = x
y是x的函数
（3）一个铜球在0 ℃的体积为1000cm3，加热后温度每 的体积为1000cm 一个铜球在0 ℃的体积为 增加1℃，体积增加0.051cm t℃时球的体积为 时球的体积为Vcm 增加1℃，体积增加0.051cm3，t℃时球的体积为Vcm3 . 1℃ 解析：两个变量x,y 解析：两个变量x,y V=0.051t+1000 y是x的函数
信件质量m/克 信件质量m/克 m/ 邮资y/元 邮资y/元 y/ 0＜m≤20 0.80 20＜ 20＜m≤40 1.20 40＜ 40＜m≤60 1.60
解析：两个变量m,y 解析：两个变量m,y y是m的函数
【规律方法】函数问题一定要采用数形结合的方法对问 规律方法】 题进行分析说明，灵活运用三种函数的表示方式， 题进行分析说明，灵活运用三种函数的表示方式，并注 意它们的区别与联系. 意它们的区别与联系
根据图象填表： 根据图象填表：
t/分 t/分 h/米 h/米
0 3
1 11
2 37
3 45
4 37
5 11
…… ……
做一做
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如图摆放.
1.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 1.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 随着层数的增加 2.请填写下表： 2.请填写下表： 请填写下表 层数n 层数n 物体总数y 物体总数y 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 … … n
§2 2.2 函数的表示法
像这样， 像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来 的方法，称为图像法. 的方法，称为图像法. 特点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律， 特点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律， 进而可以预测它的整体趋势. 进而可以预测它的整体趋势.
3.解析法 3.解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 （简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法. 简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法. 例如，设正方形的边长为x 面积为y 例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y 是x的函数，用解析式表示为 y 的函数，
2.2 函数的表示法
1. 通过丰富的实例，体会函数的三种表示方法. 通过丰富的实例，体会函数的三种表示方法. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 2. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数， 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能 通过具体实例 简单应用. 简单应用.
= x , x ∈ (0, +∞).
2
特点： 特点：解析法表示的函数关系能较便利地通过计算 等手段研究函数性质.但是，一些实际问题很难找到它的 等手段研究函数性质.但是， 解析式. 解析式.
例题讲解
例1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的 1.国内跨省市之间邮寄信函, 国内跨省市之间邮寄信函 邮资如下表: 邮资如下表:
在研究函数的过程中， 在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函 数，可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质， 可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质， 同时也是研究函数的重要手段. 同时也是研究函数的重要手段. 初中学习过的函数的表示法有三种： 初中学习过的函数的表示法有三种： 法一：列表法，即题中的表格. 法一：列表法，即题中的表格. 法二：解析法， 法二：解析法， 法三：图像法. 法三：图像法. y
人教A版必修一1.2.2.2函数的表示法
x 2, x 0, 因此y= 5 x 2,0 x 1, x 2, x 1.
依上述解析式作出图象，如图.
由图象可以看出：所求值域为
规律方法：对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值 的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数 图象.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时 要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. 变式训练2－1：已知函数f（x）=1+ （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域. 解：（1）当0≤x≤2时，f（x）=1+ 当－2＜x＜0时，f（x）=1+
类型一：分段函数及其应用
思路点拨：由题目可获取以下主要信息： ①函数f（x）是分段函数； ②本例是求值问题. 解答本题需确定f（f（－3））的范围，为此又需确定 f（－3）的范围，然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解.
解：∵－3＜0，∴f（－3）=0， ∴f（f（－3））=f（0）=π ， 又π ＞0，∴f（f（f（－3）））=f（π ）=π +1， 即f（f（f（－3）））=π +1.
（4）是映射，因为A中每一个元素在 符合映射定义.
作用下对应的元素构成的集合
规律方法：（1）给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是从集合A到集合B的映 射，主要利用映射的定义.用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”、“一对 一”、“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而最后一种不是A到B的映射. （2）理解映射这个概念，应注意以下几点： ①集合A到B的映射，A、B必须是非空集合（可以是数集，也可以是其他集合）； ②对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一 般是不同的； ③与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集. 变式训练3－1：如图中各图表示的对应构成映射的个数是（ ）
122函数的表示法第二课时教案.docx
2011-2012学年上学期高一数学备课组教案应用举例探究性质(1)A跟B这两个集合有先后顺序，/：A->B和/：B-A是截然不同的；(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思.(3)集合A中的元素不可剩，集合B中的元索可剩余.补充:映射/：A-B 'I', A中元索成为原象，B屮与A屮元索相对应的元素称为象.例1：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1) A=｛P\P是数轴上的点｝, B二R,对应关系数轴上的点与它所代表的实数对应；(2 ) A=｛P\P是平面直角坐标中的点｝, B = [(x,y)\xe R,ye/?｝,对应关系/ ：平面直角处标系中的点与它的坐标对应；(3) A=｛三角形｝, B=｛x|兀是圆｝,对应关系/：每一个三角形都对应它的内切圆；(4 ) A=｛x\x是新华中学的班级｝,B = ｛x\x是新华屮学的学生｝，对应关系/：每一个班级都对应班里的学生.思考：将(3)小的对应关系/改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系/改为：每一个学生都对应他的班级，那么对•应f : B-A是从集合B到集合A的映射吗？例2：在下图中,图(1), (2), (3)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，下列情况是不是映射？明，挖掘概念中学生难理解，易混乱的问题.通过例题讲解进一步掌握本节课的重点内容探究性质，激发学生学习兴趣.例题讲解，便于理解.性质课堂练习及延展A 求平方B、49 /判定是否是映射主要看两点：一是A集合屮的元素都要有象，但B屮元素未必要有原象；二是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式，不能出现“多对一”的形式.完成下面练习.1. （x, y）在/下象是（x+y, xy）,则（3, 4）的象是_________（1, -6）的原象是____________ .归纳知识、构建知识网及时体验提髙,增加题目多样性.析：原象象(x, y) (x+y, xy)(3, 4) (7,⑵(2,・3)或者(・3, 2) (1, -6)⑵ /(%) = <的图象X, (x> 1)5.设兀w (-oo,+oo),求函数/(x) = 2|x-l|-3|x| 的解析式, 并画出它的图象.解：函数的解析式为一2—3兀,兀>1;-3,x = l;/(%) = < 一5x + 2,0 v x < 1;2,兀=0;x + 2,x v 0.图像变式：求函数/(x) = 2|x-l|-3|x|的最大值. 析：出上面可得/(x)max = 2.1. 映射的定义；2. 彖与原彖定义；3. 判断是否是映射的条件;4. 画分段函数的图像；5. 求函数的解析式.主备课教师： 邱惠彬 备课组老师:课堂小 结课堂小 结，构造 知识体 系.。
初三数学教案学习函数的概念与性质
初三数学教案学习函数的概念与性质初三数学教案：学习函数的概念与性质概述：本教案旨在帮助初三学生学习数学函数的基本概念和性质。
函数是数学中常见的概念，对于理解数学问题和解决实际问题具有重要作用。
通过本教案的学习，学生将了解函数的定义、常见表示方法以及函数的性质与特点，培养他们运用函数解决实际问题的能力。
一、函数的概念与定义（约500字）1.1 函数的基本概念1.2 函数的定义及数学表达方式1.3 函数的自变量和因变量二、函数的表示方法（约800字）2.1 函数关系图2.2 函数的符号表示法2.3 函数的表格表示法2.4 函数的公式表示法三、函数的性质与特点（约1000字）3.1 定义域和值域3.2 奇偶性与周期性3.3 单调性和极值3.4 增减性和凹凸性3.5 对称性和反函数四、函数的应用（约500字）4.1 函数在数学问题中的应用4.2 函数在实际问题中的应用4.3 函数图像的应用五、教学活动设计（约200字）5.1 案例分析与讨论5.2 练习题的设计和解答5.3 课堂小组合作活动5.4 实际问题解决演练六、教学反思与总结（约200字）本教案的教学策略、活动设计和教学效果进行总结，对学生的学习情况进行反思，提出改进建议。
通过以上六个部分的设计，我们可以使学生在初三数学课堂上通过学习函数的概念与性质，培养他们的逻辑思维和问题解决能力，并将函数应用于实际问题中，提升学生的数学素养和学习兴趣。
教案的整体排版合理，内容详尽，对学生能力的培养有良好的引导作用。
期望本教案能够在初三数学教学中发挥积极作用，促进学生的数学学习和成长。
人教版高中数学A版高中数学必修一《函数的概念及其表示》函数的概念与性质(第二课时函数的表示法)
描点法作函数图象的三个关注点 1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. 2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象. 3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等.
14
图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
15
[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
20
函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
21
【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
所以 f(x)＝2x＋83或 f(x)＝－2x－8.
24
(3)由题意，在 f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代 x 可得 f(－x)－2f(x) ＝1－2x，联立可得ffx－－x2－f2－fxx＝ ＝11＋ －22xx， ， 消去 f(－x)可得 f(x)＝23x－1.]
人教B版高中数学必修一《第二章 函数 2.1 函数 2.1.2 函数的表示方法》_13
一、函数的表示法——教学目标：1.知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3.情感态度与价值观通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。
二、函数的表示法——教学重难点：重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像三、函数的表示法——教学过程：（一）、复习引入：1．函数的定义，函数的三要素（函数相同的条件）．集合A集合B当对应关系符合下面的条件之一时，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（1）11（集合A和B一一对应）（2）2或者更多1（集合A多个对B一个）误区：12或者更多×构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数相同：当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
2．函数图象的基本方法画法（列表、描点、作图.）本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法（二）、讲解新课：（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
说明：①解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。
以下是我国1992年-1998年的国内生产总值（单位：亿元）年份1992199319941995199619971998生产总值26651.934560.54670.057494.966850.573142.776967.1根据我们学习的函数的概念，我们知道年份与生产总值之间构成了函数。
而我们仅仅是通过一个图表就知道生产总值与年份之间的关系，像这种函数的表示法，我们称为列表法。
2.2函数的表示法
例1：请画出函数y=|x|的图像。 解：由绝对值的定义，得
x, y =| x |= − x,
x ≥ 0, x < 0.
它的图像为第一和第二象限的角平分线，如图所示。
例 2： 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应 的邮资如下表.画出函数的图像,并写出函数的解析式.
0<m≤20 0.80
x > 2或x < 0, 0 < x < 2.
如图所示： 如图所示：
的正方形ABCD中，点P从A开始沿 ，B， 开始沿A， ， 例5：在边长为 的正方形 ：在边长为4的正方形 中 从 开始沿 C，D，A方向运动，求点 与A，B连成图形的面积 ，与点 方向运动， 连成图形的面积S， ， ， 方向运动 求点P与 ， 连成图形的面积 P运动的距离 之间的函数关系，并作出函数图像。 运动的距离x之间的函数关系 运动的距离 之间的函数关系，并作出函数图像。 分析： 分析：
◆练习1 练习 画出下列函数的图象： 画出下列函数的图象：
(1)
f ( x) = 2 x, x ∈ Z , 且 x ≤ 2;
(2)
1, x ∈ (0, +∞), y= −1, x ∈ (−∞, 0].
解（1） ）
f ( x) = 2 x, x ∈ Z , 且 x ≤ 2;
（2） ）
1, x ∈ (0,+∞), y= − 1, x ∈ (−∞,0].
例如： 例如： 国内生产总值
单位： 单位：亿元
年份 生产 总值
1990 18598.4
1991 21662.5
1992 26651.9
1993 34560.5
列表法的优点： 列表法的优点： 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值。 对应值。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
函数的表示法(第二课时)
特点
表格表示法直观、易于理 解，可以展示函数在不同 自变量值下的取值情况。
示例
一个气温随时间变化的表 格，通过表格可以清晰地 看出不同时间的气温值。
图象表示法
定义
图象表示法是指将函数关 系以图像的形式呈现出来 的一种方法。
特点
图象表示法形象、直观， 可以展示函数的变化趋势 和性质，便于观察和分析。
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复合函数
定义
复合函数是指由两个或两个以 上的函数通过复合运算得到的
函数。
形式
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则 复合函数可以表示为$y = f(g(x))$。
性质
复合函数具有链式法则，即 $f(g(h(x))) = f(u) circ g(x) circ h(x)$。
应用
在数学、物理、工程等领域中 ，复合函数的应用非常广泛。
函数的表示法(第二课时)
contents
目录
• 函数的概念 • 函数的表示方法 • 函数的应用 • 函数的扩展知识
01 函数的概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的关系。对于集合A中的每一个元素x， 按照某种对应关系f，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。
函数的定义可以表示为：如果存在一个对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从集合A到集合B的函数。
示例
一个正弦函数的图像，通 过图像可以清晰地看出函 数的周期性、振幅等性质。
03 函数的应用
函数在实际生活中的应用
金融计算
函数可以用来描述金融数据之间 的关系，如利率、本金、利息等，
2.1.2函数的表示法
例题：根据下列函数的图象写出函数解析 式
y 1
y
1
O
-1
x
-1
2
O
-1
x
列表、描点、连线 （视其定义域决定是否连线）
0
x
解析法:(公式法）用数学表达式表示两个变量之间的 对应关系 P38
【例.】某种笔记本的单价是5元，买x
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数
x 1,2,3,4,5
y 5x, x 1,2,3,4,5
例1：作函数 x 的图像
根据定义：
函数实质上是非空数集A到数集B的对应法则 记为：y=f(x) 列表法
自 然 语 言
函数
数 学 语 言
图像法
解析法
1.函数的表示法
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系
看书P38
【例.】某种笔记本的单价是5元买x
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数
x 1,2,3,4,5
例2 ：设x是任意的一个实数，y是不超过x的 最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？ 如果是，画出这个函数的图像。
例3：已知函数y=f(n),满足f(0)=1,且 f(n)=nf(n-1),n∈N+
求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)
练习：p41
例4：已知一个函数y=f(x)的定义域 为区间[1，2]，当x∈[0,1]时，对应 法则为y=x,当x∈(1,2]时，对应法则 为y=2-x,试用解析式与图像法分别表 示这个函数。
2.分段函数（定义）
在函数的定义域内，对于自变量x的不同 取值区间，有着不同的对应法则，这样的 函数通常叫做分段函数。
例5：在某地投寄外埠平信，每封信不 超过20g付邮资80分，超过20g不超过 40g付邮资160分，超过40g不超过60g 付邮资240分，以此类推，每封 xg(0<x≤100)的信应付多少分邮资（单 位：分）？写出函数的表达式，作出函 数的图像， 并求函数的值域。
第二课时2.1函数,2.2函数的表示法
第二课时（2.1函数,2.2函数的表示法）第二课时（2.1函数,2.2函数的表示法）
教学目的：
1. 理解函数的概念，映射的概念；
2. 初步掌握函数的表示法.
教学重点难点：函数，映射的“三要素”，分段表示函
数的解析式.
教学过程：
一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法
二、例题
例1 已知函数-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).
例2下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴
例3 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
例5某种笔记本每个5元，买 x{1,2,3,4}个笔记本的钱
数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，
定义域，值域，并画出这个函数的图像。
例6 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮
资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0x100)的信函应付邮资为（单位：分），
试写出以x为自变量的函数y的解析式，定义域，值域，
并画出这个函数的图像。
三、课堂练习：课本P51练习1，5，6； P56练习 1，2，3
四、作业习题2.1 4，5，6（3）（4）（6）。
高中数学第二章函数2.1函数2.1.2函数的表示方法bb高一数学
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练根据下列各条件,求函数f(x)的解析式:
(1)f(x)是一次函数,且满足f(2x)+4f(x-2)=18x-29;
(2)f(√-2)=x-4√+2;
(3)f(x)+2f(-x)=x+1.
解:(1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思想方法
当 1-x<0,且 x≥0,即 x>1 时,
由 f(1-x)>f(x),得 1>x2+1,此时不成立.
综上可知,所求 x 的取值范围是 -∞,
1
2
.
方法二(数列结合法)
2 + 1, ≥ 0,
画出函数 f(x)=
的图象,如图所示,
1, < 0
由图象可知,若 f(1-x)>f(x),
反思感悟1.已知函数值,求自变量的值时,切记要进行检验.解题
时一定要注意自变量的范围,只有在自变量确定的范围内才可以进
行运算.
2.已知f(x),解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求
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并集.
探究一
探究二
探究三
思想方法
作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=|x+2|+|x-3|;
∴a=-4.
综上可知,a=-4或a=2.
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案 新人教B版必修1
2．1.2.1 函数的表示方法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：列表法，图象法，解析法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法．教学难点：分段函数的表示及其图象的初步认识．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路 2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：列表法、图象法和解析法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．应用示例思路1例1作函数y＝x的图象．分析：已知函数的定义域是[0，＋∞)，在直角坐标系中，由函数y＝x所确定的有序实数对有无限多个．可以想象，当自变量x在区间[0，＋∞)上从0开始连续无限增大时，相应的点(x，y)会形成一条连续不断的曲线．我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象，只能画出它在有限区间上的图象．也不可能作出函数图象上的无限多个点，但可以画出有限个坐标为(x，y)的点．现在的问题是，如何选取x值，通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象，如下图所示．点评：“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．例2某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示．思路2例1设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数x，都能够写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个小于1的非负数．例如，6．48＝6＋0.48,6＝6＋0，π＝3＋0.141 592…，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋0.48，….由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x和y之间是函数关系．这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，y＝[－1.35]＝－2.这个函数的图象，如下图所示．点评：本题中的函数通常称为取整函数，记为y＝[x]，x∈R.例2已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．分析：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝5×24＝120.点评：例题中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算．这种定义函数的方法在计知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．5．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．6．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？解：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．7．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数．(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y 与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x≥0得x∈∅，故x 无值可取，y 不是x 的函数．拓展提升问题：画函数图象时，除去描点法外，还有其他方法吗？解答：还有变换法作图．变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y ＝f(x)的图象向左平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x ＋a)的图象；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x －a)的图象；(3)将函数y ＝f(x)的图象向上平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)＋b 的图象；(4)将函数y ＝f(x)的图象向下平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)－b 的图象． 简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0即y 轴对称；(2)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0即x 轴对称；(3)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(－x)的图象关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y ＝|f(x)|的图象可以将函数y ＝f(x)的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f(|x|)的图象可以将函数y ＝f(x)的图象y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f(x)在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用．备课资料[备选例题]例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x)＝－0.2x ＋1 750，x∈N ＋且0≤x≤3 500.(2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625，画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水；其中一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：由上图甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水． 由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A。
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教学素材 新人教B版必修1
2.1.2.1 函数的表示方法教学建议1.函数的三种常用表示方法各有优点列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值;用图象法表示函数关系的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况;解析法有两个优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系.二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.函数这三种常用表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系.应让学生明确:有的函数三种方法都能用;有的函数只能用某种表示方法.我们所学的大部分函数可用图象和解析式表示,并且它们在解题过程中可根据需要灵活转换.学习过程中,要多练习画一些函数的图象,这样既有利于深化理解函数解析式的意义,也有利于形成数形结合的观念.函数的图象是一种特殊的图形,据函数意义,自变量x 在定义域中取每一个值时,相应的函数值y 是唯一的,反映到图象上是和y 轴平行的直线与函数的图象只有一个交点或没有交点,若有两个或两个以上的交点,则这个图形必不是函数的图象.2.使学生掌握函数解析式的求法(1)由具体的实际问题建立函数解析式,一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系,将函数用自变量和其他量的关系表示出来.需要注意的是,一定不能忘记确定自变量的取值范围.(2)由函数f ［g(x)］的关系式求f(x),一般采用换元法、待定系数法及解方程等方法.备用习题1.已知x≠0,函数f(x)满足f(x x 1-)=x 2+22x ,则f(x)等于( ) A.x 2+2(x≠0) B.x 2+2C.x 2+22x (x≠0)D.x 222x-(x≠0) 解析：∵f(x x 1-)=x 2+22x =(x x 1-)2+2, ∴f(x)=x 2+2.故选B.答案：B 2.已知f(1+x 1)=21xx -,则f(x)等于( ) A.x x x 212-+ B.xx x 212-- C.x x x 212--(x≠0) D.xx x 212--(x≠1) 解析：令1+x 1=t(t≠1),则x=11-t . 于是f(t)=2)11(111---t t =t t t 212--(t≠1). 所以f(x)=x x x 212--(x≠1).故选D. 答案：D3.函数y=x|x|的图象大致是( )解析：当x≥0时,y=x2;当x<0时,y=-x2.故选A.答案：A4.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x、y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.解析：方法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),设x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.方法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).又令-y=x,代入上式,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),∴f(x)=x2+x+1.。
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教学目的：
1. 理解函数的概念，映射的概念；
2. 初步掌握函数的表示法.
教学重点难点：函数，映射的“三要素”，分段表示函数的解析式.
教学过程：
一、复习：函数的概念，映射的概念，函数的表示法
二、例题
例1 已知函数 =3 -5x+2，求f(3), f(- ), f(a+1).
例2下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴；⑵；⑶
例3 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
②
③
4
例5某种笔记本每个5元，买 x {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，定义域，值域，并画出这个函数的图像。
例6 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0<x 100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，定义域，值域，并画出这个函数的图像。