2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系讲义理含解析新人教A版.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·嘉兴调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 【导学号：51062274】4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·宁波中学模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]M ：x 2＋y 2－12x－14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图841(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． [解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.2分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.6分 (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.10分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.15分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：51062275】[解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.4分所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.6分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.10分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.12分所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.15分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：51062276】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)． 又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·杭州二中三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·浙江金华十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：51062277】－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.3分由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－2＝134.12分又|OA |＝32＋52＝34. 所以S ＝12|OA |d ＝12.15分10．(2017·宁波镇海中学模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2B ．2C ．4D ．2 2 B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.]2．(2017·杭州质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________. 【导学号：51062278】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？ 若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).6分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.9分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，12分故l的方程为y＝±7x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.15分。
2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书文新人教A版———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).1．(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b 的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D [由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．255[圆心为(2，－1)，半径r＝2.5圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B 两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．4π[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.](y－1)2＝5的位置关系是( )【导学号：31222298】A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．(1)A (2)x＋2y－5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为.因此切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝2.∴圆心(0,0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，|AB|＝2＝2.过C作CE⊥BD于E.如图所示，则|CE|＝|AB|＝2.∵直线l的方程为x－y＋6＝0，∴kAB＝，则∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.∴|CD|＝＝＝＝4.]x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．内切B．相交C．外切D．相离B [法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a>0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d ＝＝，解得a＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B 两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.又A，B关于OO1对称，∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.∴AB＝4.]M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．图841[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.4分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.8分因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．[解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，则r＝＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.则圆心O到直线MN的距离d＝.7分由垂径分弦定理，得＋()2＝22，即m＝±.10分所以直线MN的方程为2x－y＋＝0或2x－y－＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝.[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11C [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4C．－6 D．－8B [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20A [由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．又圆的半径r＝|OP|＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A．10 B．921C．10 D．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.2 [如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．－[圆心C(－2,0)，半径r＝2.又圆C与直线l恒有公共点．所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.因此≤2，解得－≤k≤.所以实数k的最小值为－.]三、解答题9．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值．[解] (1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.2分当a＝时，A(1，)，易知所求切线方程为x＋y－4＝0；当a＝－时，A(1，－)，易知所求切线方程为x－y－4＝0.5分(2)设过点A的直线方程为x＋y＝b，则1＋a＝b，即a＝b－1，8分又圆心(0,0)到直线x＋y＝b的距离d＝，∴2＋2＝4，则b＝±.因此a＝b－1＝±－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．[解] (1)∵点M，N到直线l的距离相等，∴l∥MN或l过MN的中点．∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，MN的中点坐标为C(－1,1).3分又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；当l过MN的中点时，k＝kCD＝.综上可知，k的值为1或.6分(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分∴d＝>，解得k<－或k>1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为( ) A．2 B．2 2C．3 D．2 3D [由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，则C(3，－1)．依题意，圆C的圆心(3，－1)在直线kx＋y－2＝0上，所以3k－1－2＝0，解得k＝1，则点A(0,1)，所以|AC|＝，故|AB|＝＝＝2.]2．(2017·济南质检)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝__________.3[如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝ 2.2又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°.故·＝××cos 60°＝.]3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C 交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.2分∵直线l与圆C交于M，N两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).5分(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.8分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)，10分故l的方程为y＝±x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x.12分。
2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何4第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课件文
直线 l 的方程为 y－k24＋k 1＝2－3kk2x－k2＋4 1， 即 y＝2－3kk2x－43，所以直线 l 过定点43，0. 综上，直线 l 恒过定点，定点坐标为43，0.
第一与第二问是平面几何性质与代数计算相结合，这种运用要 多加关注，第三问求圆的方程注意到利用定义，求定点时用了 等式恒成立思想，这种方法很重要．
【解析】 (1)两圆的方程相减得 x－2y＋4＝0. (2)两圆圆心距 d＝ 74< 66＋8， 所以两圆相交，故有 2 条切线． (3)由圆 C1 与圆 C2 相外切， 可得 （a＋b）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9， 根据基本(均值)不等式可知 ab≤a＋2 b2＝94， 当且仅当 a＝b 时等号成立． 【答案】 (1)x－2y＋4＝0 (2)2 (3)94
因为 Δ＝16m2＋20>0，所以直线 l 与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0，1)到直线 l 的距离 d＝
|m| m2＋1<1<
5，
故直线 l 与圆相交．
法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1，1)，因为点(1，1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交． (2)由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1，即 1＋m2>1， 所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
直线与圆的位置关系 (1)直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的 位置关系是________． (2)若直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，则 实数 m 的取值范围为________．
2020高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系模拟演练理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·黄冈中学模拟]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )B．[－1,3]A．[－3，－1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．[－3,1]答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )B．2条A．1条D．4条C．3条答案D解析圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.∴两圆心的距离d＝＝，r1＋r2＝3，∴d>r1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．3．[2017·湖北七市联考]将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是( )B．相切A．相交C．相离D．相交或相切答案B解析依题意得，直线l的方程是y＝tan150°(x－1)＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝＝2，因此该直线与圆相切．4．[2017·丽水模拟]若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )B．(x＋)2＋y2＝5A．(x－)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5答案B解析设圆心为(a,0)(a<0 )，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝＝1，解得a＝－，所以，所求圆的方程为：(x＋)2＋y2＝5. 5．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )B．22A.D.2C．3答案A解析如图，在Rt△PAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线y＝x＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min＝＝2，故|BP|min＝＝.6．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案22解析最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2. 7．[2017·太原模拟]圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y－2)2＝5解析由于圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为(a>0)，又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d等于圆的半径r.由a>0，得到d＝≥＝，当且仅当2a ＝，即a＝1时取等号，所以圆心为(1,2)，半径r＝，则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 8．已知直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为________________．答案x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0解析①当斜率不存在时，l的方程为x＝－4.圆心到l的距离d＝|－4－(－1)|＝3.此时弦长为2＝8.符合题意．②当斜率存在时，设为k，其方程为y＝k(x＋4)，由题意，|AB|＝8，故圆心到l的距离d＝3，即＝3，解得k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0，综上，所求直线方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.9．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．解(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2，当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当过点M的直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴2＋2＝4，解得a＝－. 10．过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B两点．(1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB|＝，求动点M的轨迹方程．解(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．又反射光线与圆C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，解得k＝－1或－，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.(2)设动点M的坐标为(x，y)(y≥0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点Q(x，－y)，设动弦AB的中点为P，则|AP|＝，故|CP|＝＝.由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|2，得|CQ|＝＝8，即＝8，即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·东莞模拟]已知点(4a,2b)(a>0，b>0)在圆C：x2＋y2＝4和圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝4的公共弦上，则＋的最小值为( )A．8B．4D．1C．2答案A解析将两圆方程作差得x＋y－2＝0，即为两圆的公共弦所在的直线方程，因为点(4a,2b)在两圆的公共弦上，故2a＋b＝1(a>0，b>0)．由基本不等式得＋＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝2a时取等号．12.如图所示，直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，若满足C2＝A2＋B2，则·(O为坐标原点)等于( )B．－1A．－2D．1C．0答案A解析原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝＝1，又圆的半径为2，所以∠MON＝120°，所以·＝||·||cos∠MON＝2×2×cos120°＝－2.故选A. 13．[2016·全国卷Ⅲ]已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.答案 4解析 设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0的距离为d ，则弦长|AB|＝2＝2，得d ＝3，即＝3，解得m ＝－，则直线l ：x －y ＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.14．[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若·＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以<1，解得<k<，所以k 的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.OM →·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2.。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为 高考必考内容．预测 2020 年高考将会考查： ①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与 圆相交时弦长问题；③利用直线与圆位置关系 求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈 现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要 忽略在解答题中出现的可能性.
答案
A．相交或相切或相离 B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案 C
答案
解析 解法一：直线 kx－y＋2－k＝0 的方程可化为 k(x－1)－(y－2)＝0， 恒过定点(1,2)，
因为 12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆 x2＋y2－2x－8＝0 的内部，所 以直线 kx－y＋2－k＝0 与圆 x2＋y2－2x－8＝0 相交．
2．小题热身 (1)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
答案
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而
0<
22<1.故选
B.
解析
(2)已知直线 l：y＝k(x＋ 3)和圆 C：x2＋(y－1)2＝1，若直线 l 与圆 C 相
基础知识过关
1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的 一元二次方程的判别式为 Δ.
2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系
（5） 如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( )
√
2.（教材例题改编）圆 与圆 的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解：两圆圆心分别为 ， ，半径分别为2和3，圆心距 .因为 ，所以两圆相交.故选B.
√
3.已知圆 截直线 所得的弦长为4, 则实数 的值是( )
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） “ ”是“直线 与圆 相交”的必要不充分条件.( )
×
（2） 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
×
（3） 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )
√
学科素养·直曲联立中的数学运算
典例 已知圆 ，直线
（1） 求证：对 ，直线 与圆 总有两个不同交点；
解：（证法一）圆 的圆心为 ，半径为 .所以圆心 到直线 的距离 ，所以直线 与圆 相交，即直线 与圆 总有两个不同交点.（证法二）因为直线 过定点 （ , ），而点 在圆 内，所以直线 与圆 相交，即直线 与圆 总有两个不同交点.
√
√
【点拨】已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式（组）求解.
变式2 若对圆 上任意一点 ， 的取值与 ， 无关， 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：依题意, 表示 到两条平行直线 和 的距离之和，因其取值与 , 无关，故两条平行直线 和 在圆 的两侧，画出图象如图所示，故圆心
【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.
高考数学 第八章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
3．(2013·高考广东卷)垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1
相切于第一象限的直线方程是( A )
A．x＋y－ 2＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋ 2＝0
4．(2013·高考浙江卷) 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝ 0所截得的弦长等于__4___5___. 5．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实 数k的 取值范围是__(_－___3_，____3_)___．
1．(2012·高考安徽卷)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2
有公共点，则实数 a 的取值范围是( C )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】 由题意知，圆心为(a，0)，半径 r＝ 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a－0＋1|≤ 2，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1.
圆的切线与弦长
(1)(2013·高考山东卷文)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－
2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为__2___2___．
(2)(2013·高考山东卷理)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两
条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 ( A )
A．2x＋y－3＝0
位置关系
r2的关系
代数法：两圆方程联 立组成方程组的解的
情况
相离 外切
_d_>_r_1＋__r_2 _ _d_＝__r_1＋__r_2
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
2025版高考数学全程一轮复习第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课件
题型三 圆与圆的位置关系 例5(1)(多选)[2024·广东珠海模拟]已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－ 3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( ) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为152 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则 PQ max＝12
值是2 2.故选D.
题后师说 涉及与圆的弦长、切线有关线段长度的最值(范围)问题，解题的关 键是弄清楚圆心到已知直线的最短距离，然后再解决问题．
巩固训练2 (1)[2024·吉林延边模拟]经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程 为( ) A．5x－12y＋26＝0 B．13x－12y＋10＝0 C．5x－12y＋26＝0或x＝2 D．13x－12y＋10＝0或x＝2
题后师说
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的 和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 得到．
(3)求两圆公共弦长时，在其中一圆中，弦心距、半弦长、半径构成 直角三角形，利用勾股定理求解．
(2)若直线l：x－ 3y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则实数 a的最小值是___－__4___.
解析：由于直线l：x－ 3y＋a＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝1有公共点， 因此圆心C(2，0)到直线l：x－ 3y＋a＝0的距离d＝ 2+a ≤1，
12+ − 3 2
于是|2＋a|≤2，解得a∈[－4，0]，因此实数a的最小值是－4.
2．(教材改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的
弦AB的长为( )
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.4 直线与
(3)(2013·陕西卷)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则
直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【解析】 因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2 ＋b2>1，而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0＋a2b＋·0b－2 1|＝
|2a－a| 5
＝
a ，半弦长为 5
1－
a 2 5
＝
25－5a2 5
，∴S△CPQ＝
a× 5
25－5a2 5
＝
a25－a2 5
＝
5a2－a4 5
，当a2＝
5 2
，S△CPQ取得最大值，最大值
为
5×552－522＝12.此时a＝
10 2.
答案：
10 2
突破考点 03
圆的切线问题
1 a2＋b2<1.
所以直线与圆相交．
【答案】 B
判断直线与圆的位置关系一般可采用几何 法或代数法．一般情况下，几何法由于计算量小而优于代数法．
突破考点 02
与圆有关的弦长问题
（重点得分型——师生共研）
求圆的弦长的两种方法 (1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2l 2＝r2－d2； (2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2].
第八章
平面解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲下载 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关 系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系讲义理
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知 识 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：[微点提醒]1.关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形. 2.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )解析 (1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修2P132A5改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝ 5.又圆心(1，2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|9＋1＝102，由⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝10，即|AB |＝10. 答案103.(必修2P133A9改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线方程x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x－y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为2 2. 答案 2 24.(2019·大连双基测试)已知直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，则m 值为( ) A.± 3B.±33C.±32D.±1解析 由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2，0)，半径r ＝2，又直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d ＝|2m |m 2＋1＝2，解得m ＝±1. 答案 D5.(2018·西安八校联考)若过点A (3，0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( ) A.(－3，3)B.[－3，3]C.(－33，33)D.⎣⎡⎦⎤－33，33 解析 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1，0)与直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33.答案 D6.(2019·北京海淀区模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 1的圆心为C 1(0，0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3，4)，半径r 2＝25－m (m <25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9. 答案 C考点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)(2019·青岛测试)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－433)∪(433，＋∞)C.(－∞，－233)∪(233，＋∞)D.(－433，433)解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆O 相交. (2)易知点B 在直线y ＝2上，过点A (0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＝kx －2， 即kx －y －2＝0.由d ＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k ＝± 3. ∴切线方程为y ＝±3x －2，和直线y ＝2的交点坐标分别为(－433，2)，(433，2).故要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－433)∪(433，＋∞).答案 (1)B (2)B规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A.相离 B.相切C.相交D.以上都有可能解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件. (2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交. 答案 (1)A (2)C考点二 圆的切线、弦长问题 多维探究角度1 圆的弦长问题【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.答案 2 2角度2 圆的切线问题【例2－2】 过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.答案 B角度3 与弦长有关的最值和范围问题【例2－3】 (2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C.[2，32]D.[22，32]解析 圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32].根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]. 答案 A规律方法 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.2.过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证. 【训练2】 (1)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线x －ay ＋1＝0平行，则a ＝________. (2)(2019·杭州测试)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.解析 (1)因为点P 在圆(x －1)2＋y 2＝5上，所以过点P (2，2)与圆(x －1)2＋y 2＝5相切的切线方程为(2－1)(x －1)＋2y ＝5，即x ＋2y －6＝0，由直线x ＋2y －6＝0与直线x －ay ＋1＝0平行，得－a ＝2，a ＝－2. (2)设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，半径r ＝2.由题意知最短的弦过P (3，1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2. 答案 (1)－2 (2)2 2 考点三 圆与圆的位置关系【例3】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为 2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到.【训练3】 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离(2)(2018·安阳模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14D.⎝⎛⎦⎤－∞，14 解析 (1)由题意得圆M 的标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)将圆C 1与圆C 2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx ＋(k －2)y －4＝0，即k (x ＋y )－(2y ＋4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4＝0，x ＋y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 即P (2，－2)，因此2m ＋2n －2＝0，∴m ＋n ＝1，则mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴mn的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14. 答案 (1)B (2)D[思维升华]1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝(l2)2＋d 2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形. [易错防范]1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12， ∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B2.(2018·佛山调研)已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝1，圆O 2的方程为(x ＋a )2＋y 2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( ) A.{1，－1，3，－3} B.{5，－5，3，－3} C.{1，－1}D.{3，－3}解析 由题意得两圆的圆心距d ＝|a |＝2＋1＝3或d ＝|a |＝2－1＝1，解得a ＝3或a ＝－3或a ＝1或a ＝－1，所以a 的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}. 答案 A3.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C4.(2019·湖南十四校二联)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－ 6 B.5或－ 5 C. 6D. 5解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋（－2）2＝1，所以a ＝± 5.答案 B5.(2019·济南二模)直线l ：kx －y ＋k ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝8交于A ，B 两点，且|AB |＝42，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，是|MN |等于( ) A.2 2B.4C.4 2D.8解析 |AB |＝42为圆的直径， 所以直线AB 过圆心(0，0)，所以k ＝－1，则直线l 的方程为y ＝－x ， 所以两条垂线的斜率均为1，倾斜角45°， 结合图象易知|MN |＝2×2×22＝8. 答案 D二、填空题6.(2019·天津河西区一模)若A 为圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，B 为圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，则线段AB 长度的最大值是________.解析 圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心为C 1(0，0)，半径r 1＝1， 圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4的圆心为C 2(3，－4)，半径r 2＝2， ∴|C 1C 2|＝5.又A 为圆C 1上的动点，B 为圆C 2上的动点， ∴线段AB 长度的最大值是|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝5＋1＋2＝8. 答案 87.已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________________.解析 由题意知圆心C (－1，0)，其到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋1)2＋y 2＝28.已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴.过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________.解析 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， 则圆心C (2，1)满足直线方程x ＋ay －1＝0， 所以2＋a －1＝0，解得a ＝－1， 所以A 点坐标为(－4，－1). 从而|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36. 即|AB |＝6. 答案 6 三、解答题9.已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C 点坐标为(1，－2)，半径r ＝|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A.3B.4C.2 3D.8解析 连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55， ∴在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴|AB |＝2|AC |＝4.答案 B12.(2018·合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A.3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B.3x ＋4y －12＝0或x ＝0C.4x －3y ＋9＝0或x ＝0D.3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C (1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C (1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2， ∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.答案 B13.(2019·上海崇明区模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0相交于A ，B 两点，且|AB →|＝15，则CA →·CB →＝________.解析 圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，AB ＝2AD ＝2AC ·cos ∠CAD ， ∴15＝2×5×cos ∠CAD ，∴∠CAD ＝30°，∴∠ACB ＝120°，则CA →·CB →＝5×5×cos 120°＝－52.答案 －5214.已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2.(1)求⊙H 的方程；(2)若存在过点P (a ，0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围. 解 (1)设⊙H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r >0)，因为⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H (m ，n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)， 所以m ＝2，n ＝1.又⊙H 截x 轴所得线段的长为2，所以r 2＝12＋n 2＝2.所以⊙H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.(2)设N (x 0，y 0)，由题意易知点M 是PN 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2，y 02.因为M ，N 两点均在⊙H 上，所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2，①⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2－22＋⎝⎛⎭⎫y 02－12＝2， 即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8，②设⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8，由①②知⊙H 与⊙I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8有公共点，从而22－2≤|HI |≤22＋2， 即2≤（a －2）2＋（1－2）2≤32，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－17≤a≤1或3≤a≤2＋17，所以实数a的取值范围是[2－17，1]∪[3，2＋17].新高考创新预测15.(思维创新)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y ＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.解析C2关于直线x－y＝0的对称圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，由题意，圆C与圆C1有交点，所以r－1≤2≤r＋1，所以r的范围是[2－1，2＋1].答案[2－1，2＋1]。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教学案含解析理
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)两种研究方法：①代数法――――――――――――――→联立方程组消去x y 得一元二次方程，Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0⇔相交Δ＝0⇔相切Δ＜0⇔相离②几何法―――――――――――→圆心到直线的距离为d 半径为r ⎩⎨⎧d ＜r ⇔相交，弦长l ＝2r 2－d2d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[常用结论]1. 圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交． ( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．直线过圆心C ．直线不过圆心，但与圆相交D ．相离B [依题意知圆心为(－1,0)，到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝012＋－12＝0，所以直线过圆心．]3．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]4．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3C.33或0 D.3或0 D [因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D]5．直线x ＋2y ＝0被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于________．45 [由已知圆心C (3,1)，半径r ＝5.又圆心C 到直线l 的距离d ＝|3＋2|5＝5，则弦长＝2r 2－d 2＝4 5.]直线与圆的位置关系1. 若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1. 因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m 2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.] 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．以上都有可能C [直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交，故选C.]3．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4C [如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．][规律方法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1几何法：利用d 与r 的关系. 2代数法：联立方程之后利用Δ判断.3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.,上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.圆与圆的位置关系【例1】 122222)2＝1相外切，则ab的最大值为( )A.62 B.32C.94D ．2 3C [由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋22＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.][拓展探究] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． [解] 由C 1与C 2内切得a ＋b2＋－2＋22＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.[规律方法] 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 1确定两圆的圆心坐标和半径长；2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 和r 1＋r 2，|r 1－r 2|的值； 3比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解] (1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.直线与圆的综合问题►考法1 【例2】 (1)已知圆的方程为x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋ 2 B ．y ＝－x ＋ 2C ．y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2D ．x ＝1或y ＝x ＋ 2(2)(2019·惠州第一次调研)过点A (3,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝2的切线l ，则切线l 的方程为________．(1)C (2)x ＋y －7＝0 [(1)在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx ＋2，则|2|k 2＋1＝1，所以k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2.(2)设切线l 的方程为y ＝kx ＋b ，点A (3,4)在切线l 上，故4＝3k ＋b.圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝2的圆心(2,3)到切线l 的距离d ＝|2k ＋b －3|1＋k 2＝2，可得|－k ＋1|1＋k 2＝2，解得k ＝－1，故b ＝7，切线l 的方程为x ＋y －7＝0.]►考法2 直线与圆相交的弦长问题【例3】 (1)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．(2)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(1)23 (2)B [(1)∵圆x 2＋y 2＝4的圆心为点(0,0)，半径r ＝2，∴圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|－2|2＝1，∴弦长|AB |＝24－1＝2 3. (2)当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y－12＝0，选B.]►考法3 直线、圆与相关知识的交汇【例4】 (2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.[解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k1＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2. [规律方法]1．圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.(1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)若直线l ：x ＋y ＝m 与曲线C ：y ＝1－x 2有且只有两个公共点，则m 的取值范围是________．(1)22 (2)[1，2) [(1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－22＝2 2.(2)画出图象如图，当直线l 经过点A ，B 时，m ＝1，此时直线l 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，当直线l 与曲线相切时，m ＝2，因此当1≤m <2时，直线l ：x ＋y ＝m 与曲线y ＝1－x 2有且只有两个公共点．]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.22 [由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|－1－1|2＝2，所以|AB |＝222－22＝2 2.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
优化探究2020届高考数学一轮复习 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教A版
试题
解析
题组训练
1．(2016·惠州调研)圆(x＋2)2
＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2
＝9 的位置关系为( B )
A．内切
B．相交
两圆的圆心距离为 17，两圆的 半径之差为 1、半径之和为 5， 而 1< 17<5，所以两圆相交．
C．外切
D．相离
考点三
题组训练
试题
解析
2．若点 A(1,0)和点 B(4,0) 如图，分别以 A，B 为圆心，1,2
到直线 l 的距离依次为 1 和
2，则这样的直线有( C )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
为半径作圆．依题意得，直线 l 是圆 A 的切线，A 到 l 的距离为 1，直 线 l 也是圆 B 的切 线，B 到 l 的距离为 2，所以直
线 l 是两圆的公切线，共 3 条(2
条外公切线，1 条内公切线)．
相离
相切
相交
知识点二
图形
方程 量 观点 化 几何
观点
Δ <0 d >r
Δ ＝0 d＝ r
Δ >0 d<r
知识点一
知识点一 知识点二
易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易
忽视切线斜率 k 不存在情形． 必备方法 求圆的弦长的常用方法：
(1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2l 2＝r2－d2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
交，故选 C.
考点一
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系4102
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．在直角坐标系xOy 中 ,以原点O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切 ,那么圆O 的方程为( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝3C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.依题意 ,圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离 ,即r ＝41＋3＝2 ,得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.2．(2021·泉州质检)假设直线3x －4y ＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －7＝0相交于A ,B 两点 ,那么弦AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．4 2解析：选D.圆x 2＋y 2－4x ＋2y －7＝0的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝12 ,那么圆心为(2 ,－1) ,半径r ＝2 3 ,又圆心到直线3x －4y ＝0的距离d ＝|6＋4|5＝2 ,所以弦AB 的长为2r 2－d 2＝212－4＝4 2.3．(2021·甘肃省诊断考试)圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4 ,O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a ,b ∈R ) ,那么两圆的位置关系是( ) A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切解析：选C.由O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4得圆心坐标为(a ,b ) ,半径为2；由O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1得圆心坐标为(a ＋1 ,b ＋2) ,半径为1 ,所以两圆圆心之间的距离为|O 1O 2|＝12＋22＝ 5 ,因为|2－1|＝1＜5＜2＋1＝3 ,所以两圆相交 ,应选C.4．(2021·（高|考）安徽卷)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切 ,那么b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解析：选D.法一：由3x ＋4y ＝b ,得y ＝－34x ＋b 4,代入x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0 ,并化简得25x 2－2(4＋3b )x ＋b 2－8b ＋16＝0 ,Δ＝4(4＋3b )2－4×25(b 2－8b ＋16)＝0 ,解得b ＝2或12.法二：由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可知圆心坐标为(1 ,1) ,半径为1 ,所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1 ,解得b ＝2或12.5．(2021·唐山模拟)圆C ：x 2＋y 2＝1 ,点M (t ,2) ,假设C 上存在两点A ,B 满足MA →＝AB → ,那么t 的取值范围是( ) A ．[－2 ,2] B ．[－3 ,3] C ．[－ 5 ,5] D ．[－5 ,5] 解析：选C.如图 ,连接OM 交圆于点D .因为MA →＝AB →,所以A 是MB 的中点 ,因为圆x 2＋y 2＝1的直径是2 , 所以MA ＝AB ≤2.又因为MD ≤MA ,OD ＝1 , 所以OM ≤3.即点M 到原点的距离小于等于3 ,所以t 2＋4≤9 ,所以－5≤t ≤ 5.6．(2021·重庆一模)P (x ,y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点 ,PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线 ,A 是切点 ,假设PA 的最|小长度为2 ,那么k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D.圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心是(0 ,1) ,半径是r ＝1 ,因为PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线 ,A 是切点 ,PA 的最|小长度为2 ,所以圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为 5 ,由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝ 5 ,因为k ＞0 ,所以k ＝2 ,应选D.7．在平面直角坐标系xOy 中 ,圆C ：x 2＋(y －3)2＝2 ,点A 是x 轴上的一个动点 ,AP ,AQ 分别切圆C 于P ,Q 两点 ,那么线段PQ 长的取值范围为________．解析：设A (a ,0) ,由题意可得A ,P ,C ,Q 四点共圆 ,且AC 是该圆的一条直径 ,记该圆的圆心为D ,那么圆D 的方程为x 2＋y 2－ax －3yPQ 是圆C 和圆D 的公共弦 ,又圆C 的方程为x 2＋y 2－6y ＋7＝0 ,所以两圆方程相减可得PQ ：ax －3y ＋7＝0 ,那么圆心C 到直线PQ 的距离d ＝2a 2＋9,又a 2≥0 ,所以d ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 23 ,所以|PQ |＝22－d 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143 22.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143 228．(2021·云南省统一检测)f (x )＝x 3＋ax －2b ,如果f (x )的图像在切点P (1 ,－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切 ,那么3a ＋2b ＝________．解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3 ,又因为f ′(x )＝3x 2＋a ,所以f (x )的图像在点(1 ,－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1) ,即(3＋a )x －y －a －5＝0 ,所以| (3＋a )×2＋4－a －5| (3＋a )2＋1＝5⇒a ＝－52 , 所以b ＝14,所以3a ＋2b ＝－7. 答案：－79．(2021·太原模拟)P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点 ,PA ,PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线 ,A ,B 是切点 ,C 是圆心 ,那么四边形PACB 面积的最|小值是________．解析：四边形PACB 的面积可表示为S ＝2×12×|PA |×1＝|PA |＝|PC |2－1 ,故当|PC |最|小时 ,四边形PACB 的面积最|小．而|PC |的最|小值是点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离 ,此时|PC |＝3 ,故S min ＝2 2. 答案：2 210．过直线x ＋y －22＝0上的点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线 ,假设两条切线的夹角是60° ,那么点P 的坐标是________．解析：因为点P 在直线x ＋y －22＝0上 ,所以可设点P (x 0 ,－x 0＋22) ,且其中一个切点为M . 因为两条切线的夹角为60° ,所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中 ,有|OP | ＝2|OM |＝2.由两点间的距离公式得|OP |＝ x 20＋ (－x 0＋2 2 )2＝2 , 解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2 ,2)． 答案：( 2 ,2)11．圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10 ,求满足以下条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4 ,－1)．解：(1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0 ,那么|1－2＋b |2＝10 ,所以b ＝1±2 5 ,所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0 ,那么|2－2＋m |5＝10 ,所以m ＝±5 2 ,所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3)因为k AC ＝－2＋11－4＝13,所以过切点A (4 ,－1)的切线斜率为－3 ,所以过切点A (4 ,－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4) , 即3x ＋y －11＝0.1．(2021·南昌模拟)过定点P (2 ,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ,B 两点 ,O 为坐标原点 ,当S △AOB ＝1时 ,直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在解析：选A.由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0) ,它表示以原点O 为圆心 ,以2为半径的半圆 ,其图像如下图． 设过点P (2 ,0)的直线为y ＝k (x －2) ,那么圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2, 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2 , 所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k21＋k2＝1 , 解得k 2＝13 ,由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33应舍去 ,故直线l 的倾斜角为150°.2．(2021·（高|考）全国卷Ⅰ)过点A (0 ,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ,N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)假设OM →·ON →＝12 ,其中O 为坐标原点 ,求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点 ,所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1 , 解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－734＋73. (2)设M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1 ,整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4 (1＋k )1＋k 2 ,x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k2＋8＝12 ,解得k ＝1 , 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上 ,所以|MN |＝2.3．曲线C 的方程为：ax 2＋ay 2－2a 2x －4y ＝0(a ≠0 ,a 为常数)． (1)判断曲线C 的形状；(2)设曲线C 分别与x 轴 ,y 轴交于点A ,B (A ,B 不同于原点O ) ,试判断△AOB 的面积S 是否为定值 ?并证明你的判断；(3)设直线l ：y ＝－2x ＋4与曲线C 交于不同的两点M ,N ,且|OM |＝|ON | ,求曲线C 的方程．解：(1)将曲线C 的方程化为x 2＋y 2－2ax －4ay ＝0⇒(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2a 2＝a 2＋4a2 ,可知曲线C 是以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2a 为圆心 ,以a 2＋4a2为半径的圆．(2)△AOB 的面积S 为定值．证明如下：在曲线C 的方程中令y ＝0 ,得ax (x －2a )＝0 ,得点A (2a ,0) ,在曲线C 方程中令x ＝0 ,得y (ay －4)＝0 ,得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 4a ,所以S ＝12|OA |·|OB |＝12·|2a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4a ＝4.(定值) (3)因为圆C 过坐标原点 ,且|OM |＝|ON | , 所以OC ⊥MN ,所以2a 2＝12,所以a ＝±2 ,当a ＝－2时 ,圆心坐标为(－2 ,－1) ,圆的半径为 5 ,圆心到直线l ：y ＝－2x ＋4的距离d ＝|－4－1－4|5＝95＞ 5 ,直线l 与圆C 相离 ,不合题意舍去 ,a ＝2时符合题意．这时曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。