攀枝花市2014届高三第一次统考数学模拟试题

2014年四川省高考模拟试题8(温柔版)2013.11.8 理科数学第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知2{2},{2,0},x A x y x x B y y x ==-==>则A B ⨯=▲A. []()0,12,⋃+∞B. [][)0,12,⋃+∞C. []0,1D. []0,22、在ABC ∆中，点M 满足0MA MB MC ++= ，若0AB AC mAM ++=，则m =▲A.3B. 32C. 32- D.-33、在ABC ∆中，AB AC BA BC = 是AC BC =的（▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4、在三角形ABC 中，P 是BC 边的中点，角,,A B C 对边长为,,a b c ，若0cAC aPA bPB ++=则三角形ABC 的形状为▲A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5、若 ()f x 是奇函数，且0x 是()xy f x e =+的一个零点，则－0x 一定是下列哪个函数的零点▲A ．()1xy f x e =-- B ．()1xy f x e-=-+ C ．()1x y e f x =- D ．()1xy e f x =+6、已知函数31()log 2.,99f x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，[]22()()()F x f x f x =-的值域为▲A ．[]2,5B ．[]1,5C ．[]1,10D ．[]2,107、设两个向量22(2,cos )a λλα=+- 和(,sin ),2m b m α=+ 其中,,m λα为实数.若2,a b = 则mλ的取值范围是 ▲A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]- 8、如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF ，中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线a 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记.的面积为S ，则关于函数的奇偶性的判断正确的是▲A.一定是奇函数B. —定是偶函数C.既不是奇函数，也不是偶函数D.奇偶性与k 有关9、如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P是圆Q 上及内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m n +的取值范围是▲ A. (1,2] B. [5,6] C. [2,5] D. [3,5] 10、设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()21f x x k =++为闭函数，则k 的取值范围是▲A. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()1,-+∞D. (),1-∞第II 卷二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．将答案直接填写在各题中的横线上）11.若存在常数0>p ，使得函数=)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x ppx f 则∈-的一个正周期为▲ 12.设b a ,为互不相等的正整数，方程082=++b x ax 的两个实根为)(,2121x x x x ≠，且,1,121<<x x ，则b a +的最小值为▲13.对于函数b x a ax x x f +-+-=)2(31)(23，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 ▲14.已知()(sin cos )sin f x x x x =+，若12111()()()222f x f x f x -≤-≤-对任意x R ∈恒成立，则12x x -最小值是▲15.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数()f x 的图象恰好通过k （*k ∈N ）个整点，则称()f x 为k 阶整点函数．给出下列函数：①()cos f x x =；②2()(1)f x x π=-；③21()()3x f x -=；④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-.其中是1阶整点函数的序号有▲.（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边，且满足ACB A CB cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. （Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<,22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值.BA COθ17．现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当3n =时,记事件A ={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求()P A ；（Ⅱ）当2n =时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求ξ的分布列；②令21ηλξλ=-++，()1E η>，求实数λ的取值范围．18．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C 、D 不重合，EF AC ⊥，EF AC O = ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ；（Ⅱ）当PB 取得最小值时，请解答以下问题： （ⅰ）求四棱锥P BDEF -的体积；（ⅱ）若点Q 满足(0)AQ=QP λλ> ，试探究：直线OQ 与平面PBD 所成角的大小是否一定大于4π？并说明你的理由．第18题图19．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-(m 为正常数)． （1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列})1cos(2{1π++n b nn 的前n 项和n T ．20.（本小题满分12分）设()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的解析式，并解不等式()f x x ≥；（Ⅱ）设1()2x g x m -=+，若对任意1[14]x ∈-，，总存在2[25]x ∈，，使12()()f x g x =，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）. （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<，求证：12()02x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．2014年四川省高考模拟试题8解答题参考答案【16解析】解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， A C B A C B cos cos -cos -2sin sin sin =+A C AB A AC A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴…a c b A BC 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴ （Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+223sin (-2cos )4OA OB OA OB θθ=++⋅ 435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， (0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+【17解析】解：(Ⅰ)事件A 为随机事件， 121336399()14C C C P A C == （Ⅱ）①ξ可能的取值为2,3,4,5,623291(2)12C P C ξ=== 1133291(3)4C C P C ξ===211333291(4)3C C C P C ξ+=== 1133291(5)4C C P C ξ=== 23291(6)12C P C ξ=== ∴ξ的分布列为：②11111()2345641243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 21ηλξλ=-++ ，2()()1E E ηλξλ∴=-++241λλ=-++()1E η> ，2141104λλλ∴-++>⇒<<【18解析】（Ⅰ）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， 1分∵ E F A C ⊥，∴P O E F ⊥． ∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =， 且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED ,2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ P O B D ⊥. 3分 ∵ A O P OO = ，∴BD ⊥平面P O A . 4分 （Ⅱ）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -. 5分（ⅰ）设.AO BD H =ξ 2 3 4 5 6P112 14 13 14 112因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形，故4BD =，2,23HB HC ==. 又设PO x =，则23OH x =-，43OA x =-.所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x ，(23,2,0)B x -，故 (23,2,)PB OB OP x x =-=--， 6分所以2222(23)22(3)10PB x x x =-++=-+ ， 当3x =时，min 10PB =. 此时3PO =， 3.OH = 7分 由（Ⅰ）知，PO ⊥平面,BFED所以221133(42)333344P BFED BFED V S PO -=⋅⋅=⋅⨯-⨯⨯=四棱锥梯形. 8分（ⅱ）设点Q 的坐标为(),0,a c ，由（i ）知，3OP =，则(33,0,0)A ，(3,2,0)B ，(3,2,0)D -，(0,0,3)P .所以()33,0,AQ a c =- ，(),0,3QP a c =-- ， 9分 ∵AQ=QP λ ，∴33,3a a c c λλλ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩⇒33,131a c λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．∴333(,0,)11Q λλλ++， ∴333(,0,)11OQ λλλ=++ ． 10分 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=．∵()3,2,3PB =- ，()0,4,0BD =- ，∴3230,40x y z y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n = .11分设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ， ∴222333113sin cos ,293332()()11OQ n OQ n OQ n λλλλθλλλλ+⋅+++=<>===⋅⋅+⋅+++2221961619922λλλλλ++==+++． 12分又∵0λ>∴2sin 2θ>． 13分∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>．因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． 14分 【19解析】（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=． 又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a m n a m -=≥+．∴数列{}n a 是首项为1，公比为1m m+的等比数列． （2）解：1122b a ==．∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥． ∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-．… （3）解：由（2）知221n b n =-，则n n n n n n b 2)12()1()1cos(211∙--=+++π 所以n n n n T 2)12()1(272523211432∙--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯-⨯+⨯-⨯=+当n 为偶数时，]2)12(2723[2)32(29252142153n n n n n T ∙-+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯-∙-+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⋅+⨯+⨯=-令1532)32(292521-∙-+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⋅+⨯+⨯=n n S ………①则17532)32(2)72(2925214+∙-+∙-+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⋅+⨯+⨯=n n n n S ………② ①-②得 11532)32(242424213+-∙--∙+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n S=11232)32(41)41(2421+-∙----⨯+⨯n n n=32)32(3232613-∙-+-+-++n n n =32)136(261-∙-++n n 92)136(261+∙-+=∴n n S 令nn S 2)12(272342/∙-+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯= ………③264/2)12(2)52(27234+∙-+∙-+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n S ………④③-④得2642/2)12(242424233+∙--∙+⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n S=21242)12(41)41(2412+-∙----⨯+n n n=32)12(32643624-∙-+-+-++n n n =32)76(282-∙-++n n92)76(282/+∙-+=∴n n S 922)16(92)76(2892)136(26121/+∙--=∙-+-∙-+=-=∴+++n n n n n n n S S T当n 为奇数时，n-1为偶数,n n nn n n n n n T T 2)12(922]1)1(6[2)12()1(11∙-++∙---=∙--+=∴+-=922)16(922)212(92)918(22)76(1-∙-=-∙-=∙-+-∙+-+n n n n n n n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∙-+∙--=∴++为奇数）为偶数）n n n n T n n n (922)16((922)16(11 【20解析】（Ⅰ）当0x =时，()0f x =； 1分当0x <时，有0x ->，由22()()[()4()]4f x f x x x x x =--=---+-=+. 3分∴()f x 的解析式为2240()40.x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，，， 4分当0x ≥时，()f x x ≥为24x x x -+≥，解得03x ≤≤；当0x <时，()f x x ≥为24x x x +≥，解得3x ≤-. 故不等式()f x x ≥的解集是{|3x x ≤-或03}x ≤≤. 6分（Ⅱ）当10x -≤<时，22()4(2)4f x x x x =+=+-，知()[30)f x ∈-，；当04x ≤≤时， 22()4(2)4f x x x x =-+=--+，知()[04]f x ∈，，∴当1[14]x ∈-，时，1()[34]f x ∈-，. 8分∵1()2x g x m -=+是R 上的增函数，∴当2[25]x ∈，时，2()[216]g x m m ∈++，， 9分 ∵对任意1[14]x ∈-，，总存在2[25]x ∈，使12()()f x g x =，∴[34][216]m m -⊆++，，， 10分 则23,164,m m +≤-⎧⎨+≥⎩解得125m -≤≤-，故实数m 的取值范围是[125]--，. 12分 【21解析】（Ⅰ）当2a =时，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(11)，， 切线的斜率(1)2k f '==，则切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. 2分（Ⅱ）2()2ln g x x x m =-+，则22(1)(1)()2x x g x x x x-+-'=-=，∵1[e]e x ∈，，故()0g x '=时，1x =.当11ex <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<.故()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-. 4分又211()2e e g m =--，2(e)2e g m =+-，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<，则1(e)()eg g <，∴()g x 在1[e]e ，上的最小值是(e)g . 6分()g x 在1[e]e ，上有两个零点的条件是2(1)10,11()20,e e g m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩解得2112e m <≤+，∴实数m 的取值范围是21(12]e +，. 8分 （Ⅲ）∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ，，，， ∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ，，则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+，2()2f x x a x'=-+，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-. 10分下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-（*），即证明2111222()ln 0x x xx x x -+<+，12x t x =， ∵120x x <<，∴01t <<，即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立. 12分 ∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++，又01t <<，∴()0u t '>，∴()u t 在(0,1)上是增函数，则()(1)0u t u <=，从而知2111222()ln 0x x x x x x -+<+，故（*）式＜0，即12()02x xf +'<成立. 14分9题变式：如题（10）图，在直角梯形ABCD 中，,1,3,AB AD AD DC AB ⊥===动点P 在以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆内运动，设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是（ ）A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．4(1,)3D ．5(1,)314．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 。