2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)(一试+二试,附详细解答)
2012全国高中数学联赛广东预赛试题及解答
2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k .答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 . 答案：1解：因为所以)(x f 的最小值为1. 3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 . 答案：1.4解：由于 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =. 4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 . 答案：9(,2).4-- 解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=.根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.43 1.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22U . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--. 5. 将25个数排成五行五列：已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11-解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-. 6.设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种. 所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足||k >.解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =，有a =， 即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a a b a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分 解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a b Q θθ. ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-. sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分 2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求 的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y *N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除. 解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。
2012年全国高中数学联赛模拟试题二及其解答
5050 98
2x50 = S100 – 50 =
150 98
=
7(D)
2、若 sin x sin y A
2 2
tan
B
2 6 ，则 sin(x y) 等于（ ） , cos x cos y 2 2 3 6 C D 1 2 2
x+y 2
解：sinx + siny = 2sin
x+y 2
cos
x –y 2
=
3
2 2
, cosx + cosy = 2cos
x+y 2
cos
x −y 2
=
6 2
,
=
3 3
, sin(x + y) =
2
x2 y2 1 在第一象限上的动点，过点 P 引圆 x 2 y 2 9 的两条切线 PA、PB，切点分 16 9 别为 A、B，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N，则 S MON 的最小值为（ ） 9 9 27 27 3 C 3 A B D 2 4 4 2
2
ω
二、填空题：每小题 9 分，满分 54 分 7、函数 f ( x) 满足：对任意实数 x,y，都有
2 2
f ( x) f ( y ) f ( xy ) x y 2 ，则 f (36) 3
.
解： x = y = 1 时， f(1） − f 1 = 12 , f(1) = 4 ,或 f(1) = - 3 x = y = 0 时， f(0） − f 0 = 6 , f(0) = 3 ,或 f(0) = - 2 9 x = 0 ，y = 1 时， 如 f 1 = 4 , 则 f(0) = 3 ，如 f(1) = - 3 ，则 f（0）= - -4 ∴ 只能 f (1) = 4, f(0) = 3 x = 1, y = 36 时，f(1) = 4 ,则 3 f(36）= 117 , f(36) = 39 ,
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试_附详细解答)
n
a0 n
当 n 1 时，
1 a0 n ．即有 an a0 n ,从而 an1 a0 (n 1) .于是， i 1 1 ai 1
n
1 a
i 1
n
1
i 1
1 1； 1 a0
a 当 2 n 0 1 时，由 {an } 递减得 2
距离的两倍,设 P(x, ex)为 y=ex 上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 d ( x)
/ 因 d ( x)
| ex x | 2
ex x 2
,
2 ,即 PQ min= 2 . 2 2 2 2 2 6.解: 解：用 1 x 代替原式中的 x 得： f ( x 3x 5) 2 f ( x x 3) 6 x 2 x 13 2 2 解二元一次方程组得 f ( x x 3) 2x 2x 3 ，所以： f ( x) 2 x 3 ，则 f (2011) 4019 ． （分析得 f ( x ) 为一次多项式，可直接求 f ( x ) 解析式）
n
1 a
i 1
n
1
i 1
n n 1. 1 an1 a0 n 2
1 故 a0 n an a0 n a0 n 1．所以， [an ] a0 n . i 1 1 ai 1 10. 解（1）依题意设直线 l 方程为 y k ( x 2) 3 ，与椭圆联立得
kabc (a b) 2 (a b 4c) 2 ，求 k 的最大值。 abc
1
2012 年全国高中数学联赛模拟卷答案
1.解：令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin( x
试卷、试题—--2012年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)
2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b Cc B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2012年高中数学竞赛试题及解答
2012年高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,, a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++ n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1A二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．参考答案：1 2、92 3、11 4、(){},04-∞ 526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥，解得（结合1x >） 11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆- ，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m = 不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+= ． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆- ，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=-- ，由于12221n n +->-，故()2B f n =+． 又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆- ，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++= ． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆- 满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21n n n n n B A =---- ，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<- ， 所以{}21,2,,21n B ⊆- ，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=- ，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得≤++≤+++f f f(100)(50)501(25)25151≤+++≤+++f f(12)12377(6)6192≤+++=．…………………（16分）(3)3199108f。
全国高中数学联赛全真模拟卷8一试
2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ．2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____． 5．所有的满足条件11a b a b a b ab a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b c a b c +++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于 ．8．已知A , B , C 为△ABC 三内角, 向量)2sin 3,2(cosB A B A +-=α,2||=.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, ||AB 最大值是__ ___. 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{a n }中的最大值．10．给定正实数k ，圆心为(b a ，)的圆至少与抛物线2kx y =有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（用k 表示）．11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *), 使得函数)(x f y=在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)答案1． 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x 解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得 3．提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-= 当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则 ∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件.∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有b ab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-a a ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a -≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）． 综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得 0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。
2012年全国高中数学联赛试题详细解析
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是 ．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。
圣才学习网2012年全国高中数学联赛模拟试题(8)
2012年全国高中数学联赛模拟试题（8）一试一、填空题：1 求方程22sin()10x x xy ++=的实数解_____________2 已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，则2010a =________3 两位数)0,0(>>b a ab 若满足1),(≠ba ab ，则称ab 为好数，则好数共有_____个。
4 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_______个。
5 若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b+的最大值为 。
6 已知抛物线x y 42=及其上的一点P , 焦点)01(，F 和)225(，A ，则22PA PF+的最小值为 。
7 有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置方案。
8 设常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交直线，交点为P . 若点,A B 分别在这两条直线上，且1PA PB ==，则P A P B ∙= ______ .二、解答题：9 已知+∈R w z y x ，,,，求222232wzyxzw yz xy M +++++=的最大值。
10 数列{}n a 定义如下：21142,2nn a a a --==+，而数列{}n b 定义为n b =*1,2Nn a n n ∈+（1） 求{}n a 的通项公式 （2） 证明：*1,.n n b b n N +<∈ （3） 证明：*7,.n b n N <∈11 已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax ，其长轴为A A 1，P 是椭圆上不同于A A ,1的一个动点，直线1,PA PA 分别与同一条准线l 交于1,M M 准线两点，试证明：以线段1MM 为直径的圆经过椭圆外的一个定点。
(2021年整理)4.2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)(一试+二试,附详细解答)
（完整）4.2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)(一试+二试,附详细解答) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）4.2012年全国高中数学联赛模拟卷(二)(一试+二试,附详细解答)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2012年全国高中数学联赛模拟卷（二）第一试（考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题,每小题8分,共64分)1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________解：令sinx +cosx =t ， 则t =]2,1()1,2[)4sin(2---∈+ πx ，2sinxcosx =t 2－1,1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-⋅=++-=t t t t t t x x x x y 关于t +1在)0,21[-和]21,0(+上均递增，所以,221+≥y 或221-≤y ， 即值域),221[]221,(+∞+--∞ . 2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长， 点(m , n )在直线ax +by +c =0上。
则m 2+n 2的最小值是___________解：因（m 2+n 2)c 2=（m 2+n 2）(a 2+b 2）=(ma )2+(nb )2+（mb )2+(na )2≥(ma ）2+（nb )2+2mnab =（ma +nb )2=c 2， 所以m 2+n 2≥1, 等号成立仅当mb =na 且am +bn +c =0，解得（m , n ）=(cb c a --,）， 所以m 2+n 2最小值是1。
2012年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为B卷)(含解答)
小值是
．
解： ９８３．
因为 Ａ、Ｂ都是集合 Ｕ的子集，所以 ０≤ａ≤３１，１０１４≤ｂ≤２０１２．
所以 Ａ∩Ｂ＝{ｘ│ｂ－１０１４≤ｘ≤ａ＋１９８１}，或 Ａ∩Ｂ＝{ｘ│ａ≤ｘ≤ｂ}．
故当且仅当 ａ＝０，ｂ＝２０１２，或 ａ＝３１，ｂ＝１０１４时，集合 Ａ∩Ｂ的长度最小，最小值为 １９８１－９９８
＝１０１４－３１＝９８３．
所以 Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ）
＝（１－１）３ ＋（１－６）３ －（１ －６）３ ＝２．
２
３６ ２ ３６ ３
故 Ｐ（Ｃ）＝１－Ｐ（Ｃ）＝１ ３．
二、解答题：本大题共 ３小题，共 ５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
９．（本小题满分 １６分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎｘ－１ ２ｃｏｓ２ｘ＋ａ－３ａ＋１ ２，ａ∈Ｒ且 ａ≠０．
（ｂ２ ＋ｃ２）２ －４９＝１２． ２
当且仅当 ｂ＝ｃ＝５时，上式等号成立．
故 △ＡＢＣ面积的最大值为 １２．
６．如图 ２，在长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝ＣＣ１＝２槡２，Ｍ是 ＢＣ１的中点，Ｎ是 ＭＣ１
的中点．若异面直线 ＡＮ与 ＣＭ所成的角为 θ、距离为 ｄ，则 ｄｓｉｎθ＝
又 Ｓ△ＡＦ１Ｂ ＝１２·２ｃ·│ｙ１－ｙ２│ ＝４ｃ．
所以，由 ２ａ＝４ｃ，得 ｅ＝ａｃ＝１ ２．
{ ｘ３ ＋３ｘ２ －ｘ－３＞０，
４．若关于 ｘ的不等式组
（ａ＞０）的整数解有且只有一个，则 ａ的取值范围
ｘ２ －２ａｘ－１≤０
是
．
解： ［３４，４３）． 由 ｘ３＋３ｘ２－ｘ－３＞０，得 －３＜ｘ＜－１或 ｘ＞１．
（１）若对任意 ｘ∈Ｒ，都有 ｆ（ｘ）≤０，求 ａ的取值范围；
2012年全国联赛模拟试卷
由题设可知， MND 为直角三角形，MN 为斜边，在线段 MN 的运动 过程中，总有 DP MN 1 ，所以 P 点的轨迹是以 D 为球心，半径为 1 的球面被直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 所截得的部分，又因为∠ ADC=120° ，所以 P 点的轨迹恰好是半个球面的三分之一，它与该直 平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积为 4．答案： 194．
1 2 2 ( xM x N ) x ( y M y N ) y ( y M yN ) ( xM x N ) 2
1 2 2 又 ( yM yN ) ( xM x N ) 2 1 4 2 ( 2 4k 2 ) ( 2 2k 2 ) 0 2 k k
2012 年高中数学联赛模拟真题 第一试 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在 横线上． 1 ． 对 于 任 意 的 x ， 都 有 a cos x b cos 2 x 1 ， 则 a b 的 最 大 值 是 。
2．对于任意实数 a，b，不等式 max a b , a b , 2010 b C 恒成立， 则常数 C 的最大值是 中的最大者． ） 3．已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，∠ BAD=60° ，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动，另 一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 中点 P 的轨迹与该直 平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为 ___________．
1 1 4 3 2 1 ． 3 2 3 9 1 2
由题知 a c 2b, bd c2 , d a 90 ，消去 c、d，可得 b(a 90) (2b a)2 ， 即 90b 4b a b a ，因为 4b a b a mod 6 ，所以 4b a, b a 都是 6 的倍数， 又因为 3b 4b a 4b 22.5 b a 30 ，所以 b a 24 ， 从而 4b a
(2021年整理)6.2012年全国高中数学联赛模拟卷(三)(一试+二试,附详细解答)
（完整）6.2012年全国高中数学联赛模拟卷(三)(一试+二试,附详细解答) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）6.2012年全国高中数学联赛模拟卷(三)(一试+二试,附详细解答)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2012年全国高中数学联赛模拟卷（三)第一试（考试时间：80分钟 满分：120分）姓名：_____________考试号：______________得分:____________一、填空题（本大题共8小题,每小题8分,共64分)1．函数 y =的最大值是 _______。
解：函数的定义域为[1, 5]，且y ＞0，y =22≤===，等号成立,即x ＝错误!时函数取最大值6错误!2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃。
到达D 点或者跳满五次则停止。
不同跳跃方式有____________种.解：跳5步共有32种,其中包含3步跳到D 的两种情形，应减去8种，所以满足条件的5步跳有24种。
在加上2种3步跳，共26种。
3．设2()f x ax bx c =++，(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________。
解:()()()24233f a b c a b c a b c c =++=+++-+-()()()()()()3113031130f f f f f f =+--≤+-+3137≤++=， 当()221f x x =-+时， ()27f =4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =,则通项n a = ______。
2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
2012年全国高中数学联赛一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
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2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 在△ABC 中，若2AB = ，3AC = ，4BC = ，O 为△ABC 的内心，且AO AB BC λμ=+，则λμ+= .2. 已知函数21, (0),()(1), (0),x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是3. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。
如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是4. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．5. 设{a n }为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n ∈N *．若20072008a ， 则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．6、直角坐标平面内，曲线21=+-+y x x 围成的图形面积是____________．7、集合M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，求出它的每一个非空子集中各元素的乘积（若该子集中仅有1个元素，则该元素即为要求的积），再求出这些积的和，这个和等于__________．8. 100432432242322214321=+++=+++a a a a a a a a ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ ． 二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9. 设数列}{n a 满足1111+=⋅=+n a a a n n ，（*N n ∈），求证：)11(211-+≥∑=n a nk k.10．设2()32f x ax bx c =-+, 若0a b c -+=, 0)0(>f ,0)1(>f . （1）求证：方程()0f x =在区间(0，1)内有两个不等的实数根； （2）若,,a b c 都为正整数，求a b c ++的最小值.11. 已知椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过定点A (1，0)，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。
现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M (m ，0)，当椭圆的离心率满足23＜e 2＜1时，求实数m 的取值范围。
(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）设A B C D E 、、、、为直线l 上顺次排列的五点，AC BCCE CD=，F 在直线l 外的 一点，连结FC 并延长至点G ，恰使FAC AGD ∠=∠，FEC EGB ∠=∠同时成立. 求证：FAC FEC ∠=∠二、（本题满分40分）已知：a , b , c ≥0，a ＋b ＋c ＝2，求证：()()()1111bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++三、（本题满分50分）正整数n 大于1，它的全部正因数为d 1，d 2，…，d k ，满足1=d 1<d 2<…<d k = n .设D ＝d 1d 2＋d 2d 3＋…＋d k －1d k . (i ) 证明：D <n 2； (ii ) 确定所有的n ，使得D 整除n 2四、（本题满分50分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．1、设AO 交BC 于点D ，由角平分线定理知23BD AB DC AC ==，于是3255AD AB AC =+ ，又54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD +====+，∴()5121293939AO AD AB AC AB AB BC ==+=++ 5299AB AC =+ ，因此79λμ+= 2. (),1-∞ 利用函数图象进行分析易得结果。
3. 若计算器上显示n 时按下按键，∵此时共有0~n -1共n 种选择，∴产生给定的数m 的概率是1n.如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了12,,,n a a a ， 则概率为1211111112011999999n a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，所以所求概率为 1211111112011999999n p a a a =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑11111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11111111111110099981098⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注意到()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相除即得6111110001001010p =⨯⨯= 4. 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。
设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-=因为()2222222111111163491599611m mm m m m +==≤++++++++，所以内切圆半径12384F PQ S r ∆=≤，因此其面积最大值是9π165. 当2n ≥时，将原式变形为()()()12111n n a a n n n n n n +=-+-+，令()1n n a b n n =-，则有()121n n b b n n+=-+，叠加可得21122n b b n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，于是()()()21122n n n a a n n -=--- 由20072008a ，得2200720062008200620052a ⨯⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，化简得()26mod2008a ≡。
由2008n a ，得()()()()21120mod 20082n n a n n ----≡，将上述关于2a 的结果代入得()()()110mod1004n n +-≡，于是质数()()25111n n -+且n 是奇数，所以满足条件的最小的n 是5016. 如图考虑y ≥0的情况，则12-+=-x x y ． 当x ≥1时，12-+=-x x y ＝2x －1 ∴y ＝－2x ＋3(x ≥1，y ≥0)为图中AB 段．当x ∈(0，1)时，1)1(2=-+=-x x y , 即y ＝1为BC 段．当x ≤0时，21221(0,0)y x y x x y -=-⇒=+≤≥为CD 段．当y ≤0时，将折线ABCD 沿x 轴翻折，得AB /C /D ，所以所围成的图形为六边形AB /C /DCB ， 其面积为()3)21(12122=+⋅=+⋅⋅⋅==AD BC yc S S ABCD 7、设M 中的元素为a 1、a 2、a 3……a 8，要求的值是(a 1＋a 2＋a 3……＋a 8)＋(a 1a 2＋a 1a 3＋a 1a 8)＋ (a 1a 1a 3＋……＋a 6a 7a 8)＋（a 1a 2……a 8），括号中依次代表单个数之和，两两积之和，3个3个数积之和……7个7个数积之和，8个数之积．设要求的和为S ，则S ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a 8)－1，所以S ＝()81119!1362880i i a =⎡⎤+-=-=⎢⎥⎣⎦∏． 8. 由柯西不等式，得24124134124132⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅∑∑∑∑====k k k k k k kka k k a k k a ， ①等号成立当且仅当()432132，，，k P k k a k==． ② 由已知，∑∑∑======41413241100k k k k k k k a ka ，所以代入①可知，①不等式应为等式，故②成立，即42pk a k =．代入100412=∑=k k k a 解得P ＝1．∴100＝∑∑∑=====≤4141414100k k k kkk k ak ka , 等号取到当且仅当2k a a k k ==．∴30432122224321=+++=+++a a a a注：一般地，若()∑∑=-+==nk k nk k n n ka ka 1222141，则222121,2,,n a a a n ==⋯= 9、证明:由题意知.,0,2*2N n a a n ∈>=当1=n 时,)12(2111->=a ,命题成立；当2≥n 时，由11+=⋅+n a a n n ，得n a a n n =⋅-1，∴1)(11=--+n n n a a a ，111-+-=n n na a a ， 从而有)11(2222)(111121111-+≥-≥-+=-+=++=-+=∑∑n a a a a a a a a n n n n nk k k n k k10. 证明（1）(0)0f c =>①，(1)320f a b c =-+>②，0a b c -+=③， 由①③得：0a b a b -<⇒<④，由②③得：202a b a b ->⇒>⑤， 由④⑤得：2a b a >>⑥，∵b a c =+代入②得：a c >∴0>a∴由⑤得：12b a <<, ∵对称轴12(,)333b x a =∈，又(0)0,(1)0f f >> 且22224124()12(2)30b ac a c ac a c c ∆=-=+-=-+> ∴ 方程0)(=x f 在)1,0(内有两个不等实根（2）若,,a b c 都为正整数，(0)f 、(1)f 都是正整数，设12()3()()f x a x x x x =--，其中12,x x 是0)(=x f 的两根，则12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠ ∵22112291(0)(1)9(1)(1)16a f f a x x x x ≤=--< ∴2916,a a >为正整数，∴2,a ≥∴2(2)426abc c c c ++≥+++=+≥若取2a =，则(1,2)2b ba =∈得：(2,4)b ∈，∵b 为正整数，∴3b =，1c b a =-=2()6610f x x x =-+=的两根都在区间)1,0(内，∴a b c ++的最小值为611. 解：椭圆过定点A （1，0），则,1,12b c a -==,12b e -=∵1322<<e ，∴330<<b 由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线)0(≥=x x y 的交点，就必过椭圆与射线)0(≥-=x x y 的交点。