高等数学I(本科类)第1阶段测试题1b
高等数学I本科类第阶段测试题
江南大学现代远程教育 第一阶段测试卷 考试科目:《高等数学》专升本 第一章至第三章（总分100分） 时间：90分钟__________学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一、选择题 (每题4分，共20分)1. 函数y = 的定义域是 ( A ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 10lim(13)xx x →+ ( C) (a) e (b) 1 (c) 3e (d) ∞ 3.要使函数()f x x=在0x =处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是( D ). (a) 1 (b)2(c)(d) 5 4. 设 sin 3x y -=, 则 y ' 等于 ( B ). (a)sin 3(ln 3)cos x x - (b) sin 3(ln 3)cos x x -- (c) sin 3cos x x -- (d) sin 3(ln 3)sin x x --5. 设函数 ()f x 在点 0x 处可导, 则 000(3)()lim h f x h f x h→+-等于 ( B ). (a) 03()f x '- (b) 03()f x ' (c) 02()f x '- (d) 02()f x '二.填空题(每题4分，共28分)6. 设 2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =__ x 2+3x+5 __.7. 2sin(2)lim 2x x x →-++=__1__. 8. 设 1,0,()5,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩, 则 0lim ()x f x +→=___1__.9. 设 ,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =__0.5__ 10. 曲线 54y x -= 在点 (1,1) 处的法线方程为___y=（4/5）x+1/5__ 11. 由方程 2250xyx y e -+=确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=__2xy 22e y +2y -2xy x （）___ 12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=__3+2ln 2___三. 解答题(满分52分)13. 求 45lim()46x x x x →∞--. 答：14. 求01lim sin 3x x→. 答：15. 确定A 的值, 使函数 62cos ,0(),tan ,0sin 2x e x x f x Ax x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩在点 0x = 处连续。
高数b1大一期末试题及答案
高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。
答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。
答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。
答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。
答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。
答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。
答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。
2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。
切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。
答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。
大学高等数学试题一答案
大学高等数学试题一答案（标题：大学高等数学试题一答案）题目一：已知函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，且在 (a,b) 内可导。
记 F(x) =∫[a,x] f(t)dt，其中 a、b 是常数，且 a < b ，若存在ξ ∈ (a,b) ，使得F(b) - F(a) = (b - a)f(ξ)证明：存在ξ ∈ (a,b) ，使得f(ξ) = (F(b) - F(a)) / (b - a)解答：首先我们对函数 F(x) 应用柯西中值定理，即存在ξ1 ∈ (a,b) ，使得F'(ξ1) = [F(b) - F(a)] / (b - a)由于 F(x) 是 F'(x) 的原函数，所以F'(ξ1) = f(ξ1)将上述结果代入，得到f(ξ1) = [F(b) - F(a)] / (b - a)我们需要证明ξ1 = ξ 。
假设ξ1 ≠ ξ ，即ξ1 ！= ξ 。
由于 f(x) 在区间 (a,b) 内可导，根据罗尔定理，存在ξ2 ∈ (a,b) ，使得f'(ξ2) = (f(ξ1) - f(ξ)) / (ξ1 - ξ)将f(ξ1) 和f(ξ) 的表达式代入，得到f'(ξ2) = ([F(b) - F(a)] / (b - a) - [F(b) - F(a)] / (b - a)) / (ξ1 - ξ)= 0然而，根据题意，f(x) 在区间 (a,b) 内可导，所以f'(ξ2) ≠ 0，与假设矛盾。
因此，假设不成立，必有ξ1 = ξ ，即f(ξ) = [F(b) - F(a)] / (b - a)经过推导，我们证明了存在ξ ∈ (a,b) ，使得f(ξ) = (F(b) - F(a)) / (b - a) ，得证。
题目二：给定函数 f(x) = (x + 1) / (x^2 + 2)，求函数 f(x) 在区间 [0,1] 上的平均值。
解答：函数 f(x) 在区间 [0,1] 上连续，所以根据积分中值定理，存在ξ ∈[0,1] ，使得∫[0,1] f(x)dx = f(ξ)计算∫[0,1] f(x)dx ，得到∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] (x + 1) / (x^2 + 2) dx化简被积函数，得到∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] (x + 1) / (x^2 + 2) dx= 1/2 * ln(3)因此，函数 f(x) 在区间 [0,1] 上的平均值为 ln(3) / 2。
高数第一章测试题
高数第一章测试题高等数学作为大学课程中的重要基础学科，对于很多同学来说是一个不小的挑战。
而第一章往往是为后续的学习打下基石的关键部分。
接下来，就让我们一起通过这份测试题来检验一下对第一章知识的掌握程度。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x 1}＼）的定义域为（）A ＼（x ＼neq 1\）B ＼（x ＞ 1\）C ＼（x ＜ 1\）D ＼（x ＼neq 0\）2、设＼（f(x) ＝＼sqrt{x}＼），则＼（f(f(4)）＼）的值为（）A 2B ＼（＼sqrt{2}＼）C 4D ＼（＼sqrt{4}＼）3、当＼（x ＼to 0\）时，下列函数中与＼（x\）等价无穷小的是（）A ＼（x^2\）B ＼（＼sin x\）C ＼（1 ＼cos x\）D ＼（e^x 1\）4、函数＼（f(x) ＝ x^3 3x ＋ 1\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, －1)＼）和＼（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（－1,1)＼）C ＼（（＼infty, ＋＼infty)＼）D 以上都不对5、曲线＼（y ＝ x^2 ＋ 1\）在点＼（（1, 2)＼）处的切线方程为（）A ＼（2x y ＝ 0\）B ＼（x 2y ＋ 3 ＝ 0\）C ＼（2x ＋ y 4 ＝ 0\）D ＼（x ＋ 2y 5 ＝ 0\）6、设函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处连续，且＼（f(0) ＝2\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} f(x)＼）的值为（）A 0B 1C 2D 不存在二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、函数＼（f(x) ＝＼ln(x ＋ 1)＼）的导数为________。
2、极限＼（＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1}＼）的值为________。
3、曲线＼（y ＝ e^x\）在点＼（（0, 1)＼）处的切线斜率为________。
高等数学1教材试题及答案
高等数学1教材试题及答案一、选择题1. 下列函数中，是偶函数的是（）A. y = x^3 - 2xB. y = x^2 + 1C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像在x轴上的截点为（）A. (1, 0)和(2, 0)B. (0, 1)和(0, 2)C. (-1, 0)和(2, 0)D. (1, 0)和(1, 2)答案：A3. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f[g(1)]的值为（）A. 0B. 1C. eD. -1答案：C二、填空题1. 设函数f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，则f(π/4)的值为______。
答案：12. 设函数y = ln(1 + e^x)，则其反函数为______。
答案：y = ln(e^x - 1)三、计算题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数f'(x)。
解答：f'(x) = 6x - 42. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4的定积分∫[0, 1] f(x)dx。
解答：∫[0, 1] f(x)dx = [x^4/2 - x^3 + 4x] |[0, 1]= (1/2 - 1 + 4) - (0/2 - 0 + 0)= 3.5四、应用题1. 一个圆的半径逐渐增长，当半径为r时，其面积为A。
求圆的面积A与半径r之间的函数关系。
解答：圆的面积公式为A = πr^2，其中π为常数。
所以，A与r之间的函数关系为A = πr^2。
2. 一座塔高380米，顶部和底部之间的水平距离为500米。
求参观塔顶时的斜率。
解答：设塔底部的位置为点A(0, 0)，塔顶部的位置为点B(500, 380)。
斜率可以通过点A和点B的坐标计算。
斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (380 - 0) / (500 - 0) = 38/50 = 0.76答案：0.76综上所述，我提供了一些高等数学1教材试题及答案。
高数测试卷一及答案(第一章)
高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（ ）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。
故选B 。
3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量 答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。
4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。
高等数学1B第一次作业答案 - 西南交通大学网络教育学院
lim n→∞n 2 n 2 +π = lim n→∞n 2 n 2 +nπ =1 ,
所以
lim n→∞( n n 2 +π + n n 2 +2π +⋯+ n n 2 +nπ )=1 .
(2)因为
n n 2 +n≤1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 +⋯+ 1 n 2 +n≤n n 2 +1 ,
(4)
lim x→0 xcot x= lim x→0 x sin x cos x=1 .
(5)
lim x→0 1−cos 2x xsin x = lim x→0 1−cos 2x x 2 x sin x = lim x→0 [ sin 2x x 2 ] 2 1 1+cos 2x =2 .
(6)
lim x→+∞x( x 2 +1 −x)= lim x→+∞x x 2 +1 +x = lim x→+∞1 1+ 1 x 2 +1 = 1 2
参考答案：
解:由罗尔定理知
f′(x)=0有三个不同的实根,分布在(1,2), (2,3), (3,4).
21.设a>b>0 , n>1 ,证明: n b n−1 (a−b)< a n − b n <n a n−1 (a−b) . [本题2分]
参考答案：
证明:设
f(x)= x n ,
在
[b,a]区间上使用中值定理得:
[本题2分]
参考答案：
解:(1)
y′=8 (2x+5) 3 ,
(2)
2019年本科一级B试题及答案(1)
5
二、（9 分）设 f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 且 b f (x) d x (b a) f ( a b) ，
a
2
证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) 0 .
证 令 F (x) x f (t) d t (x a) f ( a x) ，（2 分）
.
（2 分）
0
20
2
0
设 n x (n 1) ，则
n2
n f (t ) dt
x f (t ) dt
(n 1)
1
f (t ) dt (n 1)2
，（2 分）
0
0
0
x
x
n2
从而
(n 1)2 2
0
f (t) d t
x2
(n 1)2 n2 2
，由夹逼准则得： lim x
0 f (t) d t 1 .
由题意： 1 xk d x 1 1 ， 1 1 1
0
2k 12 k 1 2k 12
所以 k 2 5k 6 0 ，得 k 3 （ k 2 舍去），（3 分）
或者 1
12
1 (1
0
y
1
y
1 k
)
d
k
y
y
1 2k
( y 1) 2
1
1 1 1
1 1 yk
1 1 2k
k
0
1 1 1
a
2
则 F (a) F (b) 0 ， x1 (a, b) ，使得 F (x1) 0 ，即
f
( x1 )
f
(a
x1 ) 2
1 2
(
大学高等数学第一册考试试题答案详解
大学高等数学第一册考试试题答案详解【大学高等数学第一册考试试题答案详解】一、选择题：1. 答：B解析：首先应用导数求解微分方程，得到特解y=e^x。
再将y=e^x 代入$x^2y''+xy'-y=0$式中，可以得到等式左边为0，故选项B正确。
2. 答：D解析：根据导数的定义得出，当x=1时，函数f(x)的导数为0，由此可推知f(x)在x=1处取极值。
又根据极值点的判定条件，当导数变号时，极值达到。
从而得出答案为选项D。
3. 答：C解析：由公式算得h(t)=1−0.2t，比较上下限得到兴趣区间为(0,5]，同时根据积分的定义算得兴趣总量为1.2。
4. 答：A解析：利用二重积分计算可以得出此立体体积为选项A中的数字。
5. 答：D解析：根据函数与其导函数的关系，对f(-3)进行积分，可以得到选项D的答案。
二、填空题：1. 答：$-1/4$解析：利用分部积分法计算，并带入上下限，得到此结果。
2. 答：2解析：根据积分的性质计算得到积分结果为2。
3. 答：27解析：由多重积分公式计算得积分结果为27。
4. 答：0.5解析：利用积分求解二次方程得出结果为0.5。
5. 答：$\arcsin(2/3)+C$解析：通过求导验证可得到该结果。
三、解答题：1. 答：解释二重积分与定积分的关系。
解析：二重积分是定积分的推广，用于计算平面区域上的面积，其中积分的上下限分别为该区域的y轴边界函数和x轴边界函数。
定积分则是对一个区间上的函数进行求和，其中积分的上下限为该区间的起点和终点。
2. 答：证明洛必达法则在极限存在的条件下成立。
解析：洛必达法则用于解决极限存在但无法直接求解的情况。
在证明洛必达法则成立时，可以通过应用导数定义以及泰勒级数展开等方法进行推导，最终得到洛必达法则的条件以及成立的证明过程。
四、应用题：1. 答：$\frac{1}{6}\pi^3$解析：根据旋转体体积的计算公式，可以得到此结果。
高等数学第一章综合测试卷含答案
第一章 函数与极限综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分,共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-= .2、当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A= .3、已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数1()2x f x -=,则函数值 (0)f = . 4、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+ = .5、若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→= .二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x →+时, 无穷小量是 [ ].（A ） 1sin x x （B ） 1x e （C ） ln x (D) 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的 [ ]. （A ） 连续点 （B ） 第一类非可去间断点 （C ） 可去间断点 (D) 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 [ ]. （A ） 充分非必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件 (D) 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于 [ ]. （A ）1- （B ）0 （C ）1 (D) 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于 [ ].（A ） ∞ （B ）2 （C ）0 (D) 2- 三、解答题（共60分）1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- . 2、（7分）求极限 3tan sin limx x xx →-. 3、（7分）求极限 123lim()21x x x x +→∞++. 4、（7分）求极限1x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ .7、（7分）试确定常数a ,使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续.8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2e - 2、3 3、0 4、1 5、1 二、选择题1、（A ）2、（C ）3、（D ）4、（A ）5、（D ） 三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++⋅⋅⋅=⋅= .2、 原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.3、原式= 232lim (1)(1)lim(1)2121x x x x x x x eee →∞→∞+-++++===.4、原式=201sin 12lim 2x x xx →=.5、 因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a =,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++. 6、 此时,()()x x αβ7、 当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续.20001lim ()lim sin 0,lim ()lim()x x x x f x x f x a x a x+-→→→→===+= 所以,当0a =时,()f x 在0x =连续,因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞内连续. 8、 因为()f x 在(,)a b 内连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)α→=-+=-+-+=∴==- x x x x x x x x c n c x c112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂,使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+.第一章 函数与极限综合测试题B 卷一、填空题（每小题5分,共30分） 1、若()2110x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =2、ln 12sin x x →+=3、102lim arccos xx x π→⎛⎫= ⎪⎝⎭4、limn →∞⋅=5、121limn n n n n n ββαααβ→∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6、()lim 1txtxt x e f x e →+∞+=+,()f x 的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、(),012,12,12x x f x x x x <<⎧⎪==⎨⎪-<≤⎩的连续区间为 [ ] .（A ）[]0,2； （B ）()0,2； （C ）[)(]0,11,2 ； （D ）()(]0,11,2 .2、01sinlimsin x x x x→的值为 [ ]. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在 （D ）0.3、若222lim 22x x ax bx x →++=--,则必有 [ ]. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==- （D ）2,8a b ==-. 4、若0x →时,()f x 为无穷小,且()f x 是2x 的高阶无穷小, 则()20limsin x f x x→= [ ].（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）12. 5、()11121arccot1xxe f x xe-=+,则0x =是()f x 的 [ ]. （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点.6、(),0,0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,要使()f x 在0x =处连续,则a = [ ].（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-. 三、计算题（每小题6分,共30分） 1、求13521lim 2482n n n →∞-⎛⎫++++⎪⎝⎭ .2、讨论函数()221lim1nn n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 3、设()()()4,1,2122,1x ax bx x x x f x x ⎧++≠≠-⎪-+=⎨⎪=⎩在1x =处连续,求,a b 的值.4、求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ . 5、求()()222ln sin limln 2x xx x e x e x x→+---.四、证明题（共10分）1、若()f x 在[],a b 上连续,12n a x x x b <<<<< ,证明:在[]1,n x x 上必有ξ,使()()()()121n f f x f x f x nξ=+++⎡⎤⎣⎦ .综合测试B 卷答案一、填空题1、()20x x x -≠; 2、2; 3、2e π-; 4、2; 5、2βα+; 6、0x =二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B) 三、计算题 1、()12121231,2,222n n n n n n n --++=-= ,13521lim 3.2482n n n →∞-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭2、()22,11lim0,11,1nnn x x x f x x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩,1x =±也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3a b ==-.4、()()221111221n n n n n x n n n n n ++≤≤++++,由夹逼准则1lim 2n n x →∞=. 5、 原式()()222222002sin ln 1ln sin ln lim lim ln ln ln 1x x x x x x x x x x e e e x e x e e →→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==⎛⎫--- ⎪⎝⎭2222222000sin sin lim lim lim 1x x xx x x x x e x x e e x e xx --→→→==-=-=-- . 四、证明题因为()f x 在[],a b 上连续,[][]1,,n x x a b ⊂,故()f x 在[]1,n x x 上连续,因而在[]1,n x x 上()f x 必有最大值M 和最小值m .于是()(),1,2,i m f x Mi n ≤≤= ,作和,有()1ni i nm f x nM =≤≤∑,于是()11ni i m f x M n =≤≤∑.由介值定理的推论,[]1,n x x 上连续的函数()f x 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值,即存在[]1,n x x ξ∈,使()()11ni i f f x n ξ==∑.。
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷B)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内 A ．()f x 必有界 B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =− =−在π2t =处的切线方程为A ．πx y +=B ．π4x y −=−C ．πx y −=D ．π4x y +=−6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值7．设π(1,2,,)i i x i n n ==，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π1cos d πx x ∫ D ．π1cos(π)d πx x ∫8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为 A ．2e x a bx c ++ B ．22e x ax bx c ++ C ．22e x ax bx cx ++ D ．2e x ax bx c ++二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．5．x =___________．6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解．2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．（2）求定积分0∫，其中0a >．4．设曲线y =，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．5．证明：当01x <<时，21e 1x xx−−<+．6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点答案 B解析 令1t x=，因为 11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 223e txt t x x x f x −−→−∞→→++===++，11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 323e t xt t x x xf x ++→+∞→→++===++， 则0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =是()f x 的跳跃间断点，故选B 项． 2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内A ．()f x 必有界B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=答案 C解析 连续函数在闭区间有界，开区间无法保证有界，故A 错误；单调的连续函数存在反函数，故B 错误；零点定理需要函数在端点处函数值异号，故D 错误；连续函数必存在原函数，故本题选C ．3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e答案 D 解析 因为111tan 2tan lim ln lim ln 1π111ln tan 1tan 1tan 4π1lim tan lim e e e4n n n n n n n nn n n n n n →∞→∞+++−−→∞→∞+=== ，而00112tan 2tan 2tan 2lim ln 1lim lim lim 211(1tan )(1tan )1tan 1tan n n t t n t t n n n t t t t n n ++→∞→∞→→+==== −− −−， 所以2π1lim tan e 4n n n →∞ +=， 故选D 项．4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在答案 A解析 因为200000sin 1()(0)sin cos 1sin lim limlim lim lim 0022x x x x x xf x f x x x x x x x x x →→→→→−−−−−=====−， 故选A 项．5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =−=−在π2t =处的切线方程为 A ．πx y += B ．π4x y −=− C ．πx y −= D ．π4x y +=−答案 B 解析 当π2t =时，有π22x y =− =，故πππ222d ()22cos 1d ()2sin t t t y y t tx x t t ===′−===′， 由点斜式可得切线方程为2(π2)y x −=−−，整理得本题选B ．6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值 B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值答案 A解析 由条件可得4300()1()1limlim 044x x Φx f x A x x →→==>，所以在点00x =的某个邻域内都有()0(0)Φx Φ>=，所以(0)Φ是()Φx 的极小值，应选A 项．7．设π(1,2,,)ii x i n n== ，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π01cos d πx x ∫ D ．π01cos(π)d πx x ∫ 答案 C解析 由定积分的定义可知π01111π0π1lim cos lim cos cos d ππn n i n n i i i x x x n n n →∞→∞==−==∑∑∫，故选C 项． 8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<答案 D解析 由“偶倍奇零”可知π42π22sin cos d 01x Mx x x −==+∫，ππ34422ππ22(sin cos )d cos d 0N x x x x x −−=+=>∫∫，ππ234422ππ22(sin cos )d cos d 0P x x x x x x −−=−=−<∫∫，故P M N <<，应选D 项．9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫答案 A解析 双纽线22222()x y x y +=−的极坐标形式为2cos 2r θ=，再根据对称性，有ππ2440014d 2cos 2d 2A r θθθ=×=∫∫，故选A 项．10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为A ．2e x a bx c ++B ．22e x ax bx c ++C ．22e x ax bx cx ++D ．2e x ax bx c ++答案 D解析 题设微分方程是一个二阶非齐次线性微分方程，其所对应的齐次线性微分方程40y y ′′−=的特征方程为240λ−=，特征根为1,22λ=±．又因为24e x y y ′′−=的特解形式为21e x y ax =，4y y x ′′−=的特解形式为2y bx c =+，故原方程特解形式为2e x ax bx c ++，应选D 项．二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．答案13解析 令x t u −=，则当0x →时，021sin()d sin d sin d 1cos 2xxxx t t u u u u x x −=−==−∼∫∫∫， 又由泰勒公式可知222e 1()x x o x =++，2222cos 1()1()2!2x x x o x o x =−+=−+， 故22222223e cos [1()]1()()22x x x x o x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知223e cos ~2x x x −，因此2sin()d 1lim3e cos xx x x t tx→−=−∫． 2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．答案 32−解析 由2d 2()y xf x x ′=∆得 1d 2(1)0.050.1(1)x yf f =−′′=−×=−，因为y ∆的线性部分为d y ，由0.1(1)0.15f ′−=得3(1)2f ′=−．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．答案24137x x− 解析 令1()d f x x A +∞=∫，由条件得241111d d 1226A AA x x x x +∞+∞=−=−∫∫， 解得67A =，所以 2413()7f x x x =−． 4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．答案 1解析 由条件得ln ln y x x y =，两边对x 求导可得d d ln ln d d y y x y x y x x y x+=+⋅， 解得ln d d ln yyy xx x xy−=−， 当1x =时易得1y =，故1d 1d x y x==．5．x =___________．答案 2C +解析222x C +∫． 6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________． 答案 24y x =−解析 因为545241lim lim 2x x y x x kx x x →∞→∞−+==+，544241lim(2)lim 241x x x x b y x x x →∞→∞ −+=−=−=− +， 所以曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为24y x =−．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解． 解 由22x y xy y ′+=可得2d d y y yx x x=− ， 令yu x=，原方程可化为 2d d u xu u x=−， 两边积分得121ln ln ||ln 22u x C u −=+， 即得22u Cx u−=， 代入(1)1y =得1C =−．故原方程的特解为221xy x =+． 2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．解 易知函数()f x 为偶函数，所以我们只需考虑()f x 在[0,)+∞内的最大最小值即可．令22()2(2)e 0x f x x x −′=−=可得()f x 的唯一驻点x =x ∈时，()0f x ′>；当)x ∈+∞时，()0f x ′<．考虑到驻点的唯一性，可知x =与x =均为函数()f x 的最大值点，最大值为(f f ==211e +． 注意到0lim ()(2)e d 1t x f x t t +∞−→∞=−=∫及(0)0f =，所以函数()f x 的最小值为(0)0f =．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．解 令ππsin 22x t t =−<< ，当0x =时，0t =；当1x =时，π2t =．则ππ1222222000sin cos d sin (1sin )d xxt t tt t t =−∫∫∫ππ242201π31ππsin d sin d 2242216t t t t =−=⋅−⋅⋅=∫∫． 注 这里用到了华里士公式ππ2201321,123sin d cos d 131π,222n n n n n n n n I x x x x n n n n n −− ×××× −=== −− ×××× −∫∫ 为大于的奇数为正偶数． （2）求定积分0∫，其中0a >．解 方法一 令ππsin 22x a t t =−<< ，当0x =时，0t =；当x a =时，π2t =．则ππ2200cos 1(sin cos )(cos sin )d d sin cos 2sin cos a t t t t t t t a t a t t t++−=++∫∫∫ πππ2220001cos sin 11d(sin cos )1d 1d 2sin cos 22sin cos t t t t t t t t t t−+ =+=+++ ∫∫∫ π20π1π[ln |sin cos |]424t t =++=． 方法二 令ππsin 22x a t t =−<< ，则π20cos d sin cos tt t t=+∫∫，又令π2tu =−，则有 ππ2200cos sin d d sin cos sin cos t ut t t tu u =++∫∫，所以πππ2220001sin cos 1πd d 1d 2sin cos sin cos 24t t t t t t t t t =+== ++∫∫∫∫． 小结 被积函数中含有根式的，尽量去掉根式，去根式的方法一般是根式代换或三角代换法．4．设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．解 设切点为(a ，则过原点的切线方程为y =，将(a 代入切线方程得2a =1=，故切线方程为12y x =．由曲线y =[1,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为21111π2πd 2ππ1)6S y s x x ==−∫∫∫． 切线12y x =在曲线[0,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为222002πd πS y s x ===∫∫．故所求旋转曲面的表面积为12π1)6S S S =+=． 5．证明：当01x <<时，21e 1x x x−−<+． 证 令 ()ln(1)ln(1)2f x x x x +−−−，则(0)0f =，且22112()20(01)111x f x x x x x ′=+−=><<+−−， 由(0)0()0f f x = ′>可得，当01x <<时，()0f x >，化简整理得 21e 1x x x−−<+． 6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫． 证 令()()d x a F x f t t =∫，则()F x 在区间[,]a b 上三阶连续可导，取2a b c +=，由泰勒公式可得 231()()()()()()()()26F F c F a F c F c a c a c a c ξ′′′′′′=+−+−+−，1(,)a c ξ∈， 232()()()()()()()()26F F c F b F c F c b c b c b c ξ′′′′′′=+−+−+−，2(,)c b ξ∈， 两式相减可得321()()()()()[()()]48b c F b F a F c b a F F ξξ−′′′′′′′−=−++， 即321()()d ()[()()]248b a a b b c f x x b a f f f ξξ+− ′′′′=−++ ∫， 因为()f x ′′在区间[,]a b 上连续，所以存在12[,](,)a b ξξξ∈⊂，使得211()[()()]2f f f ξξξ′′′′′′=+， 所以 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+ ∫．。
高等数学1试卷(附答案)汇编
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )(3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
高等数学(一)本科-练习题 (含答案)
《高等数学Ⅰ》练习题一、单项选择题(1) f(x)在x 0连续是0)(lim x x x f → 存在的（ ）。
A.必要条件B.充分条件C.充要条件D. 无关条件(2) x→∞时，f(x)=)1(sin x 3cosx 是21x的（ ）。
A.等价无穷小 B.高阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D. 低阶无穷小(3) f(x 0+0)与f(x 0-0)存在且相等，是)(lim 0x f x x →存在的（ ）。
A.必要条件 B.充分条件 C. 无关条件D. 充要条件(4) f +(0)=f -(0)=a ，则xx f x f x x 2)()2(lim 0-→ =（ ）。
A. 2a B. 0 C. a D. a /2(5) f(x)在x 0连续是f’(x 0)存在的（ ）。
A.必要条件B.充分条件C.充要条件D. 无关条件(6) 若f(x)在x 0取得极小值，则f(x)在x 0必然满足（ ）。
A. 在x 0连续B. f’(x 0)=0C. f’(x 0)=0且f 〃(x 0)>0D. f’(x 0)=0或f’(x 0)不存在(7) 在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（ ）。
A. f(x)=|x|，x ∈[-1,1]B. f(x)=32)1(-x ，x ∈[0,9]C. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>0,20,sin x x x x ，x ∈[0,2π]D. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>+0,10,)1ln(x x x x ，x ∈[0,1] (8) 若f(x)可微，下列各式中，不成立的是（ ）。
A. f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x)B. ln (1+x 2)≈x , |x|<<1C. e x ≈x, |x|<<1D. f(2a+△x)-f(2a)≈f’(2a)△x, |△x|<<1(9) 计算积分⎰+dx x a 22时应作变量代换（ ）。
高等数学第一章测试卷及答案
高等数学第一章测试卷（B ）一、选择题。
（每题4分，共20分）1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞→（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在2.设函数nn x x x f 211lim)(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(xx x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ）A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在D. 极限n n n c b ∞→lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分）6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+∀，则=)(x f ____________。
7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 2lim 0__________。
8.若1])1(1[lim 0=--→xx e a x x ，则实数=a ___________。
9.极限=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→xx b x a x x ))((lim 2___________。
高数一 第1-4套 参考答案
三二、选择题四、计算题（鉴于算法与过程多样性，仅给出部分参考方法，评分需视具体情况而定）1． 295172lim 22+--+∞→x x x x x解：约除公因子或使用罗比达法则，结果为52. 2. xx x 210)31(lim +→解：凑指数或直接使用经验公式，结果为23e 。
3. xey sin =求dy解：x e x edy x xcos )(sin sin sin ='=4．的凹向区间。
求x x y ln 33-= 解：上凹),0(02,,0212+∞∴>+=''-='>--xx y x x y x5. 的最值。
在求]2,1[ln 33x x y -= 解：（最大值）最小值2ln 38)2()(31)1(;10,012-=<===>=-='>-y y x x x y x 6. ⎰-dx xe x解：c e xe dx e xe e xd dx xe x x x x x x ++=-==⎰⎰⎰)(-)(--------7.dx x ⎰-22sin ππ解：20cos 2sin 2sin 22022=-==⎰⎰-ππππxdx x dx x8.⎰-ππxdx x 23cos sin解：根据奇函数在对称区间积分性质或凑微分法dcosx ，结果为0。
9．的数量积，求向量b a b a ,}3,2,2{},3,2,1{== 解：15332221}3,2,2{}3,2,1{=⨯+⨯+⨯=∙=∙b a10．都垂直的单位向量，求与向量b a b a ,}3,2,2{},3,2,1{==解：}2,3,0{131};2,3,0{322321-±=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=c e k j i b a c高数一 第3套 参考答案三高数一 第4套 参考答案一、判断题四、计算题（鉴于算法与过程多样性，仅给出部分参考方法，评分需视具体情况而定）1． 945872lim 55+--+∞→x x x x x解：约除公因子或使用罗比达法则，结果为52. 2. 431)21(lim +→-xx x解：凑指数或直接使用经验公式，结果为32-e。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dxx=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号：2. 设()232x xf x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )( 3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2x y d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
高等数学I一、单项选择题本大题有...
高等数学I一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x=处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdx x f x F 0)()(）高数I 解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
《高等数学(一)》题库及答案
《高等数学（一）》题库及答案一、求下列函数的定义域（1）x y cos =；（2）)1ln(+=x y 。
（1）;11x y -=二、用区间表示变量的变化范围：(1)6≤x ；(2)1)1(2≤-x(3）41≤+x ；三、求下列极限 (1)x x xx 3)1(lim +∞→； (2)hx h x h 220)(lim -+→； (3）nn n 1lim 2+∞→ (4))12(lim 21x x x +-∞→; (5)xx x arctan lim ∞→; (6)xx x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3nn n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0xx x → (9）145lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3n n +∞→；(11）xx x 55sin )sin(lim ∞→；(12）xx x 3tan lim∞→； 四、求下列函数的微分：（1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）；（2）)3cos(x ey x -=-五、求下列函数的导数(1）54323-+-=x x x y ；(2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=；(4);cos ln x y = (5)x x y ln =; (6)xy 211+=; (7);)7(5+=x y(8)21x e y +=；(9)3.1x y =；(10))1ln(2x y +=；(11)4)52(+=x y ；(12）)ln(ln x y =；六、求下列函数的二阶导数（1）)1ln(x y +=；（2）x e x y 22=。
（3）x y sin =；七、求下列不定积分(1）xdx ⎰； (2）xdx 2cos ⎰；(3）xdx +⎰1； (4)xdx 3sin ;(5)⎰-14x dx ; (6)dx x x ⎰+)2(8; (7）dx xx ⎰+221； (8）⎰-x dx 21；(9）⎰xdx tan ；(10）⎰;ln xdx x(11）⎰3x xdx ；八、求下列定积分：(1）⎰π0sin xdx . (2）⎰-+1121x dx (3)⎰π20sin dx x ;(4)41dx ⎰ (5）⎰---+211e x dx ；(6）dx x x ⎰++102)123( (7）⎰-+3121x dx ； 九、 综合(1)已知2,0,(),<0.x x f x x x ⎧≥=⎨-⎩(2)设6)10()(+=x x f ，求)8('''-f ,求)0(1+f 及)0(1-f 。
高等数学I练习题
第一章 极限与连续1．当0→x 时，x x sin -是2x 的（ ）A ．等价无穷小B ．同阶但不等价的无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小2．设321)(2--+=x x x x f ，则1-=x 是函数)(x f 的（ ）。
（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点3．=+++-∞→n n n n n n 233514lim ( ) A.54B.0C.1-D.∞4．设1x y e -=是无穷大量，则x 的变化过程是（ ）A. 0x +→B. 0x -→C. x →+∞ D . x →-∞5．函数23()32x f x x x -=-+的间断点是（ ）A.1,2x x ==B.3x =C.1,2,3x x x ===D.无间断点6．2123(1)lim n n n →∞++++-=7．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=001)(3x a x xe xf x 在0=x 处连续，则a =8.当0→x 时，1cos2x -是sin x x 的 无穷小。
9．已知b a ,为常数，3122lim 2=-++∞→n bn an n，则=a ,=b 10．2x →= ___________.11．1lim3sin 2x x x →∞=12、讨论函数100x x y x -<⎧⎪=≥在点0x =处的连续性.第二章 导数1．设函数)(x f 在点1=x 处可导，且1)1()21(lim 0=∆-∆-→∆x f x f x ，则)1(f '等于() A ．21 B ．21- C ．2 D ． 2-2．设f 可微，则=---→1)1()2(lim 1x f x f x （ ）。
（A ）)1(-'-x f （B ）)1(-'f （C ）)1(f '- （D ） )2(f ' 3．已知)2323(+-=x x f y ，()2arcsin x x f ='，则0=x dx dy 等于( )。
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江南大学现代远程教育 第一阶段测试卷
考试科目:《高等数学》专升本 第一章至第三章（总分100分）
时间：90分钟
__________学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分： 一、选择题 (每题4分，共20分)
1. 函数
y = 的定义域是 ( A ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 10lim(13)x
x x →+ ( C ) (a) e (b) 1 (c) 3e (d) ∞
3. 要使函数()f x =
0x =处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是( D ).
(a) 1 (b) 2 (c)
(d) 54. 设 sin 3
x y -=, 则 y ' 等于 ( B ). (a)sin 3(ln3)cos x x - (b) sin 3(ln3)cos x x -- (c) sin 3cos x x -- (d) sin 3(ln3)sin x x --
5. 设函数 ()f x 在点 0x 处可导, 则 000(3)()lim h f x h f x h
→+-等于 ( B ). (a) 03()f x '- (b) 03()f x ' (c) 02()f x '- (d) 02()f x '
二.填空题(每题4分，共28分)
6. 设 2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =__x ²+3x+5_________.
7. 2sin(2)lim 2
x x x →-++=__1___. 8. 设 1,0,()5,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩
, 则 0lim ()x f x +→=___1____. 9. 设 ,0(),2,0
x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =___21___ 10. 曲线 5
4y x -= 在点 (1,1) 处的法线方程为_______()15
41-=-x y ________ 11. 由方程 2250xy x y e -+=确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=____222222xy xy xye x xy y e y --=
'____
12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=___32ln 2+_____
三. 解答题(满分52分)
13. 求 45lim()46
x x x x →∞--. ()416464)6411lim(6454lim e x x x x x x x =-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛----∞→ 14. 求
01sin 3x x
→. ()
3111232lim 3sin 112lim 00=++=-+=→→x x x x x x x 15. 确定A 的值, 使函数 62cos ,0(),tan ,0sin 2x e x x f x Ax x x
-⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩ 在点 0x = 处连续。
()82
42lim 2sin tan lim 4cos 26lim 0004=⇒=⇒==-→→-''→A A x Ax x Ax x e x x x x ，又
16. 设 2sin 1
x y x =-, 求 dy 。
dx x x x x x dy x x x x x y 222222)
1(2)(sin )1)((cos )1(2)(sin )1)((cos ---=⇒---=' 17. 已知曲线方程为 12
y x =+, 求它与 y 轴交点处的切线方程。
x y y x y y 4121,41)0()2(21,02-=--='⇒+-='⎪⎭
⎫ ⎝⎛-所求切线方程为，轴交点为显然曲线与18. 曲线 1(0)y x x =>, 有平行于直线 1104
y x ++= 的切线, 求此切线方程。
014
1)2(4121,2
12,41)2(412=-+⇒--=-=⇒=-='⇒-='--x y x y y x y x y 所求切线方程式为当，而已知直线的斜率为
19. 若()f x 是奇函数, 且(0)f '存在, 求 0(8)lim x f x x
→。
]0)0()([),0(88)0()8(lim 8)8(lim 0='=-=→f X f f x
f x f x x f x 是奇函数，所以因为。