导数的四则运算法则(二)

导数的基本公式与运算法则(2)

2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
2 224 2 2 x 2 x 22(1 x x(2 )6 xx ( 2)(3 2 4x)2x 2(1 21) x2 ) 2 x ( ( )( 2 2 )2 ) 2 2 (1 x ) (1 (1x x )) (1 x2 )4
( x) = 2 x 解: j ¢
\ f [j ¢ ( x)] = arcsin(2 x)
f [j ( x)] = arcsin x
2
\ ( f [j ( x)])ⅱ = f [j ( x)] j ( x) 1 2x = 2x = 1- x 4 1- x 4
f¢ [j ( x)] =
1 1- x 4

2. 设 f ( x) x ( x 1)( x 2)( x 99), 求 f (0). 解: 方法1 利用导数定义.
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
记作 f ( x ), y,
d 2 y d 2 f ( x) 或 . 2 2 dx dx
d dy ( ) d x dx
y f ( x) y f ( x) y [ f ( x)] f ( x)

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3

2-2导数及其应用常考题型导数的运算法则含解析

导数的运算法则【知识梳理】1．导数的四则运算法则（1)条件：f（x），g(x)是可导的．(2）结论：①f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）．②f(x）g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f（x)g′（x)．③错误!′＝错误!(g(x）≠0）．2．复合函数的求导公式（1）复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g（x)）．②可分解为y＝f(u）与u＝g（x)，其中u称为中间变量．（2)求导法则：复合函数y＝f（g(x））的导数和函数y＝f(u），u ＝g(x)的导数间的关系为：y x′＝y u′·u x′.【常考题型】题型一、利用导数四则运算法则求导典例］求下列函数的导数：（1）y＝x2＋log3x;（2)y＝x3·e x；(3)y＝错误!。

解] (1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2)′＋（log3x)′＝2x＋错误!.（2）y′＝（x3·e x）′＝（x3)′·e x＋x3·（e x）′＝3x2·e x＋x3·e x＝e x（x3＋3x2）．（3)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。

【类题通法】求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．【对点训练】求下列函数的导数：（1）y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；（3)y＝e x sin x。

解：(1）y′＝（sin x－2x2)′＝(sin x)′－（2x2）′＝cos x－4x。

（2）y′＝（cos x·ln x)′＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x)′＝－sin x·ln x＋错误!.（3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!题型二、复合函数的导数运算典例］求下列函数的导数：（1）y＝错误!；(2）y＝e sin（ax＋b)；（3）y＝sin2错误!;(4)y＝5log2(2x＋1)．解] （1)设y＝u－错误!，u＝1－2x2，则y′＝（u－12）′ （1－2x2）′＝错误!·(－4x）＝－错误!（1－2x2)－错误!(－4x）＝2x(1－2x2）－错误!。

导数的四则运算法则

x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地，有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ．区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）；（log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx

选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．问题导航(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 2．例题导读通过P 15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P 15例3为导数的实际应用问题，P 17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))．②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y ′x＝y ′u ·u ′x ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)√ (2)×2．函数y ＝x ln x 的导数为( ) A ．y ′＝ln x ＋1 B ．y ′＝ln x －1 C ．y ′＝ln x D ．y ′＝1 解析：选A.y ′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 3．y ＝sin 2x 的导数是( ) A ．y ′＝2sin x B ．y ′＝2cos x C ．y ′＝sin 2x D ．y ′＝cos 2x解析：选C.y ′＝(sin 2x )′ ＝2sin x cos x ＝sin 2x . 4．求下列函数的导数：(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________；(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________；(3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________．答案：(1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2（x ＋1）21．应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量． (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．应用导数的运算法则求导求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝（x sin x ）′cos x －x sin x （cos x ）′cos 2x＝（sin x ＋x cos x ）cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x.(3)法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)·(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11；法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(4)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝（x －1）′（x ＋1）－（x －1）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）2＝2（x ＋1）2. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′（x ＋1）－2（x ＋1）′（x ＋1）2＝2（x ＋1）2.求函数的导数的策略：(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]，故选D.(2)已知f (x )＝e xx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：∵f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0.解得x 0＝12.答案：12复合函数的导数运算(1)若函数f (x )＝1（1－3x ）4的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________．[解析] 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∴f ′(x )＝y ′u ·u ′x ＝(－4)(1－3x )－5(1－3x )′＝12（1－3x ）5， ∴f ′(1)＝－38.[答案] －38(2)求下列函数的导数：①y ＝1－2x cos x ；②y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)．[解] ①由于y ＝1－2x cos x 是两个函数y ＝1－2x 与y ＝cos x 的乘积， y ′＝(1－2x )′cos x －1－2x sin x ＝（－2）21－2x cos x －1－2x sin x ＝－cos x 1－2x－1－2x sin x .②令y ＝3u ，u ＝log 2v ，v ＝x 2－2x ＋3，则y ′u ＝3u ln 3，u ′v ＝1v ln 2，v ′x ＝2x －2，所以y ′x ＝（2x －2）·3log 2（x 2－2x ＋3）·ln 3（x 2－2x ＋3）ln 2＝2log 23·（x －1）3log 2（x 2－2x ＋3）x 2－2x ＋3.(1)求复合函数的导数的步骤：分层—选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 ↓分别求导—分别求各层函数对相应变量的导数 ↓相乘—把上述求导的结果相乘 ↓变量回代—把中间变量回代(2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析：选A.y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .导数运算的综合应用求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1. 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.利用导数的运算法则及复合函数的求导法则求得函数的导数，再结合导数的几何意义、三角函数、不等式等知识点综合考查求函数的解析式，参数的取值范围，不等式的求解与证明等是考查导数运算应用的常规考法，同时也体现了导数的优越性．3．已知两边取对数可以使“积”的形式化为“和”的形式，函数f (x )＝ln y 就变成了复合函数，它是由f ＝ln u 和u ＝y 复合而成的．根据上面的信息，求y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －10)(x >10)的导数．解：两边同时取自然对数，得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －10)．两边对x 求导，得 1y ·y ′＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －10. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －10·(x －1)·(x －2)·…·(x －10)．已知抛物线y ＝ax ＋bx －5在点(2，1)处的切线为y ＝－3x ＋7，求b 的值． [解] ∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝－3. 又点(2，1)在曲线上，∴4a ＋2b －5＝1，联立组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b －5＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9. [错因与防范](1)在求解切线问题时，注意切点既在曲线上，又在切线上，因容易找不全条件导致求解困难．(2)已知曲线上某点的切线，有两层意思：一是在该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的坐标满足已知曲线的方程．4．若f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．解：f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1.由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即（x －3）2（x －5）（x －1）>0， ∴x >5或x <1.又两函数定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，x －1>0，∴x >5.∴不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．1．f (x )＝ln xx的导数是( )A ．f ′(x )＝1＋ln x x 2B ．f ′(x )＝1＋ln xx C ．f ′(x )＝1－ln x x 2D ．f ′(x )＝1＋ln xx 2解析：选C.f ′(x )＝（ln x ）′x －（ln x ）x ′x 2＝1－ln xx 2.2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：33．函数y ＝sin n x cos nx 的导数为________．解析：y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x (sin x )′cos nx ＋sin n x (－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x cos x ·cos nx －sin nx sin nx ·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1x cos[(n ＋1)x ]．答案：n sin n －1x cos[(n ＋1)x ][A.基础达标]1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：选C.利用求导公式和求导法则求解．f ′(x )＝－5x －6＋3cos x ．故选C. 2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x .3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析：选D.令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2.4．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －x D ．e x ＋e －x解析：选A.y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12(e x －e －x )． 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选B.设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵切线的斜率为1，∴1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2，故选B. 6．f (x )＝ln(x 2＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝1x 2＋1·2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 答案：xx 2＋17．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________．解析：∵f ′(x )＝8x ＋4a ， f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20. ∴a ＝1. 答案：18．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝（1＋sin x ）（x ＋sin x ）－（1＋cos x ）（x －cos x ）（x ＋sin x ）2＝（x ＋1）sin x ＋（1－x ）cos x ＋1（x ＋sin x ）2，∴y ′|x ＝2＝3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）2.答案：3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）29．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又∵曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 10．求下列函数的导数．(1)y ＝a ax cos(ax )＋b bx sin(bx )； (2)y ＝log a (log a x )．解：(1)y ′＝(a ax )′cos(ax )＋a ax [cos(ax )]′＋(b bx )′·sin(bx )＋b bx [sin(bx )]′＝a ax ln a ·(ax )′cos(ax )＋a ax [－sin(ax )](ax )′＋b bx ln b ·(bx )′·sin(bx )＋b bx cos(bx )(bx )′＝a ax ＋1[cos(ax )ln a －sin(ax )]＋b bx ＋1[sin(bx )ln b ＋cos(bx )]．(2)y ′＝1log a x log a e ·(log a x )′＝log a e log a x ·1x ·log a e ＝log 2a e x log a x. [B.能力提升]1．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝[f (x )＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．ln 2 C.12D ．2 解析：选C.由于A ，B ，C 三点共线，于是有f (x )＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即f (x )＝ln(x ＋1)－2f ′(1)＋1，则f ′(x )＝1x ＋1，于是f ′(1)＝12.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，它的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．－b2a >0，4ac －b 24a>0B ．－b2a <0，4ac －b 24a>0C ．－b2a >0，4ac －b 24a<0D ．－b2a <0，4ac －b 24a<0解析：选A.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，则c ＝0，于是f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.所以－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.3．(2015·高考陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)4．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋1x，∵存在垂直于y 轴的切线，∴此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点．法一：(图象法)再将之转化为g (x )＝－2ax 与h (x )＝1x存在交点．当a ＝0时不符合题意；当a >0时，如图①所示，数形结合可得显然没有交点；当a <0时，如图②所示，此时正好有一个交点，故有a <0，应填(－∞，0)．图① 图②法二：(分离变量法)上述也可等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)5．(2015·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1.(2)因为f ′(x )＝4－4x 2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎡⎦⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－12，4. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，若函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a n )．求f ′(0)．解：f ′(x )＝x ′[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′ ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′∴f ′(0)＝(－a 1)(－a 2)·…·(－a n )＝(－1)na 1a 2·…·a n 由题意知a 1＝2，a 2＝4，∴a n ＝2n .∴f ′(0)＝(－1)n ·21＋2＋3＋…＋n＝(－1)n·2n （1＋n ）2.。

函数导数四则运算法则

函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。

函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。

函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。

2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。

3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。

4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。

这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。

这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。

函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。

总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。

原创1：5.2.2　导数的四则运算法则

例1 求下列函数的导数.
x
e
1
(1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－ 2；(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；(4)y＝x2＋tan x；(5)y＝x＋1.
x
解
(1) y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.
(2)y′＝(lg x)′－(x－2)′
②[cf(x)]′＝ cf′(x) . f′xgx－fxg′x

fx
2

(3)商的导数
[gx]
(g(x)≠0).
′＝
gx
fx
f′x

(4)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，
.
′≠
g′x
gx
典例精析
题型一：导数的计算
(3) y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′
＝2x(e ＋ln x)＋(x
x

1
x
＋3)e ＋x

3
＝e (x ＋2x＋3)＋2xln x＋x＋x .
x
1
2
＝xln 10＋x3.
2
2
典例精析
题型一：导数的计算
例1 求下列函数的导数.
x
e
1
(1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－ 2；(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；(4)y＝x2＋tan x；(5)y＝x＋1.
而 ′ = 2, ′ = 1,所以 +
同样地，对于上述函数， −
′
= ′ +
′ =

导数的四则运算法则

t
2
1)t
2t 2 t 2 1 t 2 1
t2
(2)求函数f(x)
tx2 ex
的导数.
解
:
(2)
f
(
x)
(
x ex
)
xex x(ex ) (ex )2
xex x(ex ) ex xex 1 x
(ex )2
e2x ex
12
练习 1.求 y 2x 3 3x 2 5x 4的导数
(x2 ) (sin x) 2x cosx
(2)求函数g(x) x3 3 x2 6x 2的导数. 2
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6
2
8
法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即：
x2 6x (x2 3)2
3
当x
3时,
f
(3)
32 (32
63 3)2
3
1 6
16
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切线的方程.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15，又切线过点(2,6)，切线方程为: y 6 15(x 2)，即：15x y 24 0．
导数的四则运算法则
1
一、复习回顾
1、基本求导公式: (1)C 0(C为常数)
(2)(x )' x 1(为常数）
(3)(a x )' a xlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)'
1 xlna
(a 0,且a 1)

导数运算法则加减乘除

导数运算法则加减乘除一、导数的定义导数是微积分中重要的概念，它主要用于表达函数在某一点处的变化速度。

可以用来研究函数运动规律，反映函数曲线的变化趋势。

二、导数的运算1、加法运算规则：设函数f（x）=f1（x）+f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）+f2'（x）2、减法运算规则：设函数f（x）=f1（x）-f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）-f2'（x）3、乘法运算规则：设函数f（x）=f1（x）*f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）*f2（x）+f2'（x）*f1（x）4、除法运算规则：设函数f（x）=f1（x）/f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=（f1'（x）*f2（x）-f2'（x）*f1（x））/（f2（x）*f2（x））三、导数运算法则的应用导数运算法则广泛应用于几何、物理学、经济学、管理学等多学科，其应用范围非常广泛。

例如，在几何学中，用来描述曲线的凹凸性，在物理学中，可以用来解析运动物体的位移关系，也可以用来研究二者之间的力学原理。

在经济学中，导数法则可以用来研究经济中的边际效应，以及经济变量之间的关系。

在管理学中，可以应用导数法则进行管理绩效的诊断，以便更好地进行企业管理。

四、总结导数具有重要的概念价值和重要的应用价值，可以用来描述函数的变化，反映曲线的变化趋势。

导数运算法则几乎可以应用于各学科领域，可以使解决问题的过程更有效率。

5.2.2导数的四则运算法则

(100−98)
费用的瞬时变化率是1321元/吨.
课堂小结
1. 函数的和、差的导数运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则

′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
5
2
=
5 ′
2
+
3 ′
2 2
+
]′
3 ′
2 2
5 3
3 1
= 2 + 2 ∙ 2
2
2
1
5 3
= 2 + 3 2 .
2
.
典型例题
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的
提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%时
所需费用（单位：元）为
5284
′ = 2
, ′ = 1 .
设ℎ = + = 2 + ；求ℎ′ .
∆
因为
∆
=
(+∆)2 + +∆ −( 2 +)
∆
(∆)2 +2 ⋅ ∆ + ∆
= ∆ + 2 + 1，
=
∆
∆
′
ℎ′ = ′ + ′ .
所以ℎ = lim
们有如下法则：

′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .

导数的四则运算法则

1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数（1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ）（A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)

导数的四则运算证明

导数的四则运算证明1.加法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，则有：(f(x) + g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) + g(x + Δx) -(f(x) + g(x))]/Δx由于f(x)和g(x)都在[a,b]上可导，根据可导的定义，有：f'(x) = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δxg'(x) = lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx我们可以将其展开并化简得到：(f(x) + g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) + g(x + Δx) - f(x) - g(x) + f(x) - f(x + Δx) + g(x) - g(x + Δx)]/Δx根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) + g(x))' = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δx +lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx即：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2.减法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，则有：(f(x) - g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) - g(x + Δx) -(f(x) - g(x))]/Δx同样，根据可导的定义，有：f'(x) = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δxg'(x) = lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx将其代入上式得到：(f(x) - g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x) - g(x + Δx) + g(x)]/Δx根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) - g(x))' = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δx -lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx即：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)3.乘法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，则有：(f(x) * g(x))' = lim_(Δx→0) [(f(x + Δx) * g(x + Δx) -f(x) * g(x))]/Δx根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) * g(x))' = lim_(Δx→0) [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x)]/Δx= lim_(Δx→0) [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x) + f(x+ Δx) * g(x) - f(x + Δx) * g(x)]/Δx应用极限的性质进行化简，得到：(f(x) * g(x))' = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δx * g(x)+ f(x) * lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx即：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法的导数法则证明：设函数f(x)和g(x)都在区间[a,b]上可导，并且g(x)≠0，则有：(f(x) / g(x))' = lim_(Δx→0) [(f(x + Δx) / g(x + Δx) -f(x) / g(x))]/Δx同样，根据可导的定义，有：f'(x) = lim_(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)]/Δxg'(x) = lim_(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)]/Δx将其代入上式得到：(f(x) / g(x))' = lim_(Δx→0) [(f(x + Δx) * g(x) - f(x) *g(x + Δx))/(Δx * g(x) * g(x + Δx))]根据极限的性质，我们可以将这个式子拆分成多个极限的和：(f(x) / g(x))' = [lim_(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx * g(x) - f(x) * lim_(Δx→0) [g(x + Δx) - g(x)]/Δx] / g(x)^2即：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2综上所述，我们证明了导数的四则运算法则。

导数四则运算法则

我们知道一元函数 y = f (x) 的导数的几何
意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率，而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数，实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数．因此二元函数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义也是曲线切线的斜率.
x 0 x
x 0 x x 0 x x 0
u (x )v (x ) u (x )v (x ).
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).

推论 2

1 u( x)

u( x) u2(x) .
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
第三章函数的微分学
第二节导数的四则运算法则
一、导数的四则运算二、偏导数的求法
一、导数的四则运算
定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，
则它们的和、差、积与商 v(x) (u(x) 0) u(x)
在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
另外可求得
(arcsin x) 1 , 1 x2
(arccos x) 1 , 1 x2
(arctan
x)

1
1 x2
,
(arc
cot
x)

1

1 x2
.
(以后补证)
一、偏导数的求法
例 6 求函 zx数 23x y2y3 在点 (2 , 1) 处

课件9：1.2.3 导数的四则运算法则（二）

∴当 x＝－12时，y′＝2， ∴曲线 y＝e2x＋1 在点(－12，1)处的切线方程为 y－1＝2(x＋21)，即 2x－y＋2＝0.
小结求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．
跟踪训练 3 曲线 y＝e2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 5，求直线 l 的方程．解：y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′ ＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x) ＝e2x(2cos 3x－3sin 3x) 即当 x＝0 时，y′＝2. 则切线方程为 y－1＝2(x－0)，即 2x－y＋1＝0.
问题探究探究点一复合函数的定义问题1 观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量的函数．
【解析】y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．
2．若函数y＝sin2x，则y′等于 A．sin 2x C．sin xcos x
【解析】y′＝2sin x·(sin x)′ ＝2sin x·cos x＝sin 2x.
( A) B．2sin x D．cos2x
3．若y＝f(x2)，则y′等于 A．2xf′(x2) C．4x2f(x)
(3)函数 y＝5log2(2x＋1)可以看成函数 y＝5log2u 和函数 u＝2x＋1 的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝u1ln02 ＝(2x＋110)ln 2.

导数的四则运算法则

y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)，切线方程为 : y 6 15( x 2)，即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t

高中数学导数的四则运算法则

2
( x)2
x
x sin x 1 cos x
2x
2x sin x cos x
x
2x x
cos x 2x sin x 2x x
例6．求y= 1 x 的导数.
3 x
解：
y' (1 x )' 3 x
(1 x)(3 x2 ) (1 x)(3 x2 ) (3 x2 )2
3 x2 (1 x)(2x) x2 2x 3
解：f ’(x)= (a0 xn a1xn1 L an1x an ) '
a0nxn1 a1(n 1)xn2 L an1 例2．求y=xsinx的导数。解：y’=(x·sinx)’
=x’·sinx+x·(sinx)’
=sinx+xcosx.
例3．求y=sin2x的导数。解：y’=(2sinxcosx)’
x02 3x0
2
又∵ y’=3x2－6x＋2，
∴ k=3x02－6x0＋2， ∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0．
∵ x0≠0, ∴ x0=
3 2
k=3x02－6x0＋2=－
1 4
，
综上所述，k=2或k=－ 1
4
1.2.3 导数的四则运算法则
一．函数和（或差）的求导法则
设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’= f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).
即 (u v)' u'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]

一、导数的四则运算法则

x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
即u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
例7 设y sin(ln x)，求y。
解： y' cos(ln x) 1 cos(ln x)
x
x
例8 设y ln( x4 tan x)，求y。
解：
y'
x4
1 (4x3 tan x
sec2
x)
4 x3 sec2 x x4 tan x
Hale Waihona Puke 例9 设y esin3x，求y。
解： y' esin3x cos 3x 3
且有 f (( x)) f (u)( x),或记为
dy dy du dx du dx
证明因为y f (u)在对应点u处可导，即f (u) lim y
u0 u
那么，由无穷小与函数极限的关系，有 y =f '(u)+，（其中为当u 0时的无穷小）
u
得 y=f '(u)u+u
于是 lim y = lim f '(u)u+u
3、
u( v(
x) x)
'
u
'( x) v( x) u( x) v v2(x)
'(x)

导数的四则运算法则(二)

导数的基本公式与运算法则(2)

导数的四则运算法则

2-2导数及其应用常考题型导数的运算法则 含解析

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选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

函数导数四则运算法则

原创1：5.2.2 导数的四则运算法则

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导数运算法则加减乘除

5.2.2导数的四则运算法则

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原创1：5.2.2　导数的四则运算法则