【数学】2016-2017年山东省菏泽一中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2016-2017学年山东省菏泽一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{1，2}D．{﹣1，2}2．（5分）设命题p：∃x＜0，x2≥1，则¬p为（）A．∀x≥0，x2＜1 B．∀x＜0，x2＜1 C．∃x≥0，x2＜1 D．∃x＜0，x2＜1 3．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，2]C．[0，2]D．[0，2）5．（5分）若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．16．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若当x∈（，）时，f（x）=（）x，则f（2017）=（）A．﹣ B．C．﹣4 D．49．（5分）如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=，=，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣]B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣1]D．（﹣，﹣1）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）定积分的值为．12．（5分）不等式|x﹣2|﹣|2x﹣1|＞0的解集为．13．（5分）已知cos（α﹣）=，α∈（0，），则=．14．（5分）一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C 在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是海里．15．（5分）设函数f（x）=若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）设函数f（x）=sinωx•cosωx﹣（ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为．（1）求ω的值；（2）若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间[0，2π]上的单调减区间．17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量与向量共线．（1）求角C的值；（2）若，求的最小值．18．（12分）已知m∈R，设p：对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣4m2+8m﹣2≥0恒成立；q：∃x∈[1，2]，成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点P（a n，S n）（其中n≥1且n∈N*）在直线4x﹣3y﹣1=0上，数列是首项为﹣1，公差为﹣2的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．21．（14分）已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求实数t的最大值；（ii）证明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．2016-2017学年山东省菏泽一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{1，2}D．{﹣1，2}【解答】解：由N中的不等式解得：﹣1＜x＜2，即N=（﹣1，2），∵M={﹣1，0，1，2}，∴M∩N={0，1}．故选：A．2．（5分）设命题p：∃x＜0，x2≥1，则¬p为（）A．∀x≥0，x2＜1 B．∀x＜0，x2＜1 C．∃x≥0，x2＜1 D．∃x＜0，x2＜1【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴¬p：∀x∈R，都有x2＜1．故选：B．3．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，故选：C．4．（5分）函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，2]C．[0，2]D．[0，2）【解答】解：由，解得0≤x＜2．∴函数的定义域为：[0，2）．故选：D．5．（5分）若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解答】解：变量x，y满足的平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A时z最小，由得到A（﹣1，﹣1），所以z=2×（﹣1）﹣1=﹣3；故选：A．6．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A．8．（5分）函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若当x∈（，）时，f（x）=（）x，则f（2017）=（）A．﹣ B．C．﹣4 D．4【解答】解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵当x∈（，）时，f（x）=（）x，∴f（2017）=f（1）=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故选：A．9．（5分）如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=，=，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，=，∴=λ=λ（=，∵三点M，N，P共线．∴，则λ=．故选：D．10．（5分）函数f（x）=（kx+4）lnx﹣x（x＞1），若f（x）＞0的解集为（s，t），且（s，t）中只有一个整数，则实数k的取值范围为（）A．（﹣2，﹣]B．（﹣2，﹣）C．（﹣，﹣1]D．（﹣，﹣1）【解答】解：令f（x）＞0，得：kx+4＞，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜e，故g（x）在（1，e）递增，在（e，+∞）递减，画出函数草图，如图示：，结合图象，解得：﹣2＜k≤﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）定积分的值为e+1．【解答】解：原式==e+1；故答案为：e+1．12．（5分）不等式|x﹣2|﹣|2x﹣1|＞0的解集为（﹣1，1）．【解答】解：x≥2时，x﹣2﹣2x+1＞0，解得：x＜﹣1，不合题意，＜x＜2时，2﹣x﹣2x+1＞0，解得：x＜1，x≤时，2﹣x+2x﹣1＞0，解得：x＞﹣1，故不等式的解集是（﹣1，1）；故答案为：（﹣1，1）．13．（5分）已知cos（α﹣）=，α∈（0，），则=﹣．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，0），∵cos（α﹣）=，∴sin（α﹣）=﹣=，==﹣=﹣2sin（）=﹣．故答案是：﹣．14．（5分）一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C 在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是10海里．【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故答案为：；15．（5分）设函数f（x）=若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3等于2．【解答】解：由题意，只有当f（x）=1时，它有三个根．故关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有3个不同实数解，即解分别是0，1，2．故则x1x2+x2x3+x1x3=0+2+0=2．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）设函数f（x）=sinωx•cosωx﹣（ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为．（1）求ω的值；（2）若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间[0，2π]上的单调减区间．【解答】解：（1）∵=，设T为f（x）的最小值周期，由f（x）图象上相邻最高点与最低点的距离为，得，∵f（x）max=1，∴，整理可得T=2π，又∵ω＞0，T==2π，∴ω=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x﹣），∴f（x+φ）=sin（x+φ﹣），∵y=f（x+φ）是奇函数，则sin（φ﹣）=0，又∵0＜φ＜，∴φ=，∴g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣），令，则，∴单调递减区间是，又∵x∈[0，2π]，∴当k=0时，递减区间为；当k=1时，递减区间为，∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是，．17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，向量与向量共线．（1）求角C的值；（2）若，求的最小值．【解答】解：（1）向量与向量共线．∴（a﹣b）•sin（A+C）=（a﹣c）（sinA+sinC），由正弦定理可得（a﹣b）•b=（a﹣c）（a+c），∴c2=a2+b2﹣ab，∴，∵0＜C＜π，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，（当且仅当时，取“=”），∴的最小值为．18．（12分）已知m∈R，设p：对∀x∈[﹣1，1]，x2﹣2x﹣4m2+8m﹣2≥0恒成立；q：∃x∈[1，2]，成立．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．【解答】解：若p为真：对∀x∈[﹣1，1]，4m2﹣8m≤x2﹣2x﹣2恒成立，设f（x）=x2﹣2x﹣2，配方得f（x）=（x﹣1）2﹣3，∴f（x）在[﹣1，1]上的最小值为﹣3，∴4m2﹣8m≤﹣3，解得，∴p为真时，；若q为真：∃x∈[1，2]，x2﹣mx+1＞2成立，∴成立，设，易知g（x）在[1，2]上是增函数，∴g（x）的最大值为，∴，∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假，当p真q假时，，∴，当p假q真时，，∴，综上所述，m的取值范围为或．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点P（a n，S n）（其中n≥1且n∈N*）在直线4x﹣3y﹣1=0上，数列是首项为﹣1，公差为﹣2的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）解：由点P（a n，S n）在直线4x﹣3y﹣1=0上，∴4a n﹣3S n﹣1=0即3S n=4a n﹣1，又3S n﹣1=4a n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得a n=4a n ，﹣1∴，∴{a n}是以4为公比的等比数列，又a1=1，∴，∵是以为首项，以﹣2为公差的等差数列，∴，∴．（2）由（1）知，，∴，∴，以上两式相减得，==+，∴T n=．20．（13分）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），∴总用氧量（v＞0）．（2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增，∴当时，函数在上递减，在上递增，∴此时时用氧量最少．当时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．21．（14分）已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求实数t的最大值；（ii）证明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．【解答】解：（1）由题意x∈（0，+∞）且，∴，又，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即x﹣2y﹣1=0．（2）（i）由题意知，设，则=，设，则，当t≥0时，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，又，∴g（x）＜0不符合题意．当t＜0时，设ϕ（x）=tx2+2x+t，①若△=4﹣4t2≤0即t≤1时，ϕ（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＞0，，g（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，，g（x）＞0，符合题意．②若△=4﹣4t 2＞0即﹣1＜t ＜0时，ϕ（x ）的对称轴，∴ϕ（x ）在上单调递增， ∴时，ϕ（x ）＞ϕ（1）=2+2t ＞0，∴h'（x ）＞0，∴h （x ）在上单调递增，∴h （x ）＞h （1）=0，而，∴g （x ）＜0，不符合题意．综上所述t ≤﹣1，∴t 的最大值为﹣1． （ii ）由（i ）知t=﹣1时，， 当x ＞1时整理得，令，则，∴，∴， ∴，即．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。