P031例析圆中的最值问题

例析圆中的最值问题
在解圆中的最值问题时，涉及到二元函数变量的取值范围，直接涉及到不等式的有关性质，如果不注意合理使用不等式的性质，就会造成错解，下面分析一例。

例：平面上有两点A （-1，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22的最大值与最小值，并求相应的P 点坐标。

错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00，则S AP BP x y x y x y =+=+++-+=++||||()()()220202
0202
02
02
1121 点P （x y 00,）在已知圆上，
∴+=+-x y x y 02
02
006821
∴=+-+=+-S x y x y 268211434100000()()
()()x y x x 02
02
00344423215
-=--≤∴-≤-≤≤≤，
同理，()()y x y y 020200443424226-=--≤-≤-≤≤≤，，
∴≤≤≤≤≤+-≤331584244434101160000x y x y ，，()，即4116≤≤S 。

∴S 的最大值为116，最小值为4。

错解2：设点P 的坐标为（x y 00,），则S AP BP x y =+=+++||||()220202
1
()()()x y x y x y 02
2
0202
00121221-+=++≥+
当x y 00=时等号成立，把x y 00=代入圆的方程化简，得21421002
0x x -+=，解得
x 077
2=
±，取较小值得
x y 0077
2
==
-，这时
S ≥-+=-2277
2
1581472
[(
)]。

∴S 的最小值为58147-，而无最大值。

错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把x y 00、看成相互独立的，能同时达到最大值、最小值的量。

实际上x y 00、作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受
()()
x y 02
02
344-+-=的约束，这个约束条件表示了x 0与y 0的最大取值区间。

但是，
当x 0、y 0成为没有联系的独立变量后，就不一定同时满足()()x y 02
02
344-+-=约束条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。

例如当x 0取得最大值5时，y 0只能等于4，不能取得最大值6；当y 0取得最大值6时，x 0只能等于3，不能取得最大值5。

同样x y 00、也不能同时取得最小值。

在不等式的性质中，若“a b c d a c b d >>⇒+>+，”，但反之，由“a c b d +>+⇒/a b c d >>，”，也就是说，a b c d a c b d >>+>+，是的充分不必要条件。

错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集，比如：设a m n ∈[]，，b p q ∈[,]，可以得到：
a b m p n q a b m q n p +∈++-∈--[][]，，，
然
而
，
由
a b m p n q a b m q n p +∈++-∈-+[,],[,]
却得不出
a m n
b p q ∈∈[][,]，，，
只能得出a m p q n q p b p m n q n m ∈+
-+
-∈+
-+
-[,],[,]2
2
2
2。

这是因为
a b a b -+与中的a b 、不是独立的，而是相互制约的，从而扩大了所求S 的取值范围。

比如，-≤≤-≤≤1111sin cos αα，，但是-≤+≤22sin cos αα是不成立的，因为sin cos sin()[]αααπ
+=
+
∈-24
22，，这也是由于sin α与cos α都受
s i n c o s 2
2
1αα+=条件约束，当s i n α与cos α离开约束条件sin cos 22
1αα+=以后，
sin cos αα+的范围明显发生了改变，即扩大了取值范围。

错因分析2：在错解2中，利用不等式x y x y x y 0202
0000200+≥>>()，求最值，不等式的一边必须为定值，若乘积x y 00为定值m ，则当x y m 00==时，
平方和x y 0202
+的最小值为2m ；若平方和x y 02
02
+为定值n ，则当x y n 0022
==时，乘积x y 00的最大值
为
n 2。

但因错解2中乘积x y 00不是定值，因而不能应用这一方法求最值。

正解：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为
(,)x y 00，则S AP BP x y x y x y =+=+++-+=++||||()()()2
2
02
02
02
02
02
02
1121
点P (,)x y 00在已知圆上，
∴+=+-∴=+-+=+--+-==+=+∴=+++-=++=++=<<
x y x y S x y x y x y x y S 02
02
0000000202
006821
26821143410344324243324421046815406034
02
()()
()()cos ,sin ,
[(cos )(sin )](cos sin )sin()tan ()
，可设，其中θθθθθθθϕϕϕπ
-≤+≤∴≤≤=
=
=
=+=+=
=
-1120100
34
45
35
10012
2
sin(),tan cos ,sin sin(),θϕϕϕϕθϕθϕπθπϕ
S S 由可求得当时，，
s i n c o s ,c o s s i n c o s ,s i n s i n (),θϕθϕθθθϕθϕπθπ
ϕ
==
==
∴=+=+==+=+
==+=-+==
-45
35
32365215
42485285
2013232
00x y S 当时，，
s i n c o s c o s s i n c o s ,s i n θϕθϕθθ=-=-=-=-
∴=+=-==+=-=
453
5
32365954248512
5
00，x y
∴S 的最大值是100，这时点P 的坐标是(,)21528
5。

S 的最小值是20，这时点P 的坐标
是（
9512
5
,）。

印象文华：
不等式的性质是解题的理论基础，要深刻理解与正确应用不等式的性质，不仅要弄清每一个性质的条件和结论各是什么，还需要弄清条件和结论之间是“单向”的（如a b c d a c b d >>⇒+>+，就是单向的，即条件a b c d >>,是结论a c b d +>+的充分
不
必
要
条
件
；
还
有
a b c d ac bd
>>>>⇒>00，，但
ac bd >⇒/a b c d >>>>00，等也是单向的）、不可逆的，还是“双向”的（如
a b a b >->是0的充分必要条件，即a b >⇔->a b 0）。

在解题时若被忽视，就容易
产生错误。

“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形，这样，每应用一次这一性质，就会使所求范围扩大。

在使用重要不等式定理求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代数式中，各变数均应是正数（如不是，则进行变号转换）；②各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值（如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数）；③各变数有相等的可能。

若这三个条件缺少任何一个，使用此定理解题都是错误的，也就是平常所说的“一正、二定、三相等”。

圆()()x a y b r -+-=222上点的坐标（x,y ）可以设成x a r =+c o s θ
，y b r =+sin θ，由此可将相关的二元问题化为一元问题，有利于问题的求解。