圆中有关最值问题一
有关圆的最值问题几种类型及方法
有关圆的最值问题几种类型及方法圆形是初中数学中常见的图形，它有很多特殊的性质。
其中一项重要性质就是它具有最小和最大值。
在圆形的几何学中，有不同的最值问题类型，本文将介绍其中几种类型和解决方法。
问题类型1. 半周长最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一个周长为定值的最大圆。
解决方法：利用相似三角形比值和性质，通过求出最大圆的半径得出周长最大的圆。
2. 面积最大问题描述：在一个固定的圆中，找到面积最大的圆。
解决方法：通过对已知条件进行约束，运用微积分的极值问题求解最大面积圆的面积。
3. 离心率最大问题描述：在一个固定的圆中，找到一点使得其到圆的距离与到圆心的距离之比最大。
解决方法：通过对于点到圆心的距离公式的推导，结合相关性质，使用数学分析方法解决问题。
4. 切线长度最短问题描述：如何从一个外圆割出一个内接圆的形状，且切线的长度最短。
解决方法：通过运用切线长度公式和勾股定理，推导出最短切线的长度公式，通过微积分求解最小值。
解决方法方法1：运用几何知识在解决这些最值问题时，通过几何知识、特殊性质、面积比和相似性质等直观的方法，可以解决一些简单的最值问题。
例如，第一类问题可以通过找到两个相似三角形的比值，解出最大圆的半径；第二类问题可以通过勾股定理求出直角三角形的面积比例。
方法2：微积分方法对于一些复杂的最值问题，采用微积分的方法计算可能更为简便。
通过设出方程，运用微积分的极值问题方法求出函数的最值点，并验证其确为最值点，就可以直接求解最大或最小值。
例如，第二类问题就是一个极大值问题，可以通过设定面积函数，求该函数的一阶和二阶导数，分析得出最大值点的位置和最大面积值。
方法3：从物理学的角度出发物理学的一些基本定理也可以用来解决圆的最值问题。
例如，第一类问题中，最大圆对应的角速度是圆心角的一半，这是由圆周运动的基本物理定律所得。
将圆周运动和相似三角形的比例性质联系起来，可以解出最大圆的半径。
圆是初中数学中比较基础的图形，但在解决圆的最值问题时，需要综合运用几何知识、微积分知识和物理学知识等多方面的知识。
问题8.1与圆有关的最值问题-最新高三数学专题讲解(解析版)
精选问题一与圆有关的最值问题经过对近几年的高考试题的剖析比较发现, 高考对直线与圆的考察, 体现逐年加重的趋向, 与圆有关的最值问题 , 更是高考的热门问题. 因为圆既能与平面几何相联系, 又能与圆锥曲线相联合, 命题方式比较灵巧, 故与圆有关的最值问题备授命题者的喜爱. 本文就此问题从内容和办理方法长进行概括, 以帮助同学们攻陷这个难点 .一、与圆有关的最值问题的联系点与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式 k ＝ tan ( ≠90°) 将直线的斜率与倾斜角密切联系到一同, 经过正切函数的图象能够解决已知斜率的范围探究倾斜角的最值, 或许已经倾斜角的范围探究斜率的最值.办理方法：直线倾斜角的范围是[0, π), 而这个区间不是正切函数的单一区间, 所以依据斜率求倾斜角的范π与π, 当α∈ 0，π＋围时,要分 0，，π 两种状况议论．由正切函数图象能够看出时 , 斜率k∈[0,2 2 2ππ，π时 , 斜率k∈( －∞ ,0)∞) ；当α＝2时 , 斜率不存在；当α∈2 ．【例 1】坐标平面内有相异两点A(cos ,sin 2 ), B(0,1) ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A．, B．0, 3 , C．0, 3 , D ．, 34 4 4 4 4 4 4 4【答案】 C【评论】由斜率取值范围确立直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要擅长利用数形联合的思想, 要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时 , 需依照正切函数y＝ tan x的单一性求k的范围．【小试牛刀】【2017 届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点P 23， 2 的直线与圆 x2 y2 4 有公共点 , 则该直线的倾斜角的取值范围是（）A． 0， B ． 0 ，6 3C. 0， D ． 0 ，6 3【答案】 B【分析】当过点P(23, 2) 的直线与圆 x2 y2 4 相切时,设斜率为k,则此直线方程为y+2=k( x 2 3) ,即 kx y 2 3k 2 0 . 由圆心到直线的距离等于半径可得| 2 3k 2 |, 求得k 221k 0或k 3 ,故直线的倾斜角的取值范围是[0, ] ,所以B选项是正确的.3与距离有关的最值问题在运动变化中 , 动点到直线、圆的距离会发生变化, 在变化过程中 , 就会出现一些最值问题, 如距离最小 , 最大等 . 这些问题经常联系到平面几何知识, 利用数形联合思想可直接获得有关结论, 解题时即可利用这些结论直接确立最值问题. 常有的结论有：（ 1）圆外一点A到圆上距离近来为AO r ,最远为 AO r ；（ 2）过圆内一点的弦最长为圆的直径, 最短为该点为中点的弦；（ 3）直线与圆相离 , 则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离 d r ,近来为 d r ；（ 4）过两定点的全部圆中, 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.（ 5）直线外一点与直线上的点的距离中, 最短的是点到直线的距离；（ 6）两个动点分别在两条平行线上运动, 这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例 2】过点M2y225 交于A,B两点, C为圆心,当ACB 最小时 , 1,2 的直线l与圆C：x 3 4直线 l 的方程是．答案 : x y 3 0分析：要使ACB 最小 , 由余弦定理可知 , 需弦长AB 最短 . 要使得弦长最短 , 借助结论可知当M 1,2 为弦的中点时最短 . 因圆心和M 1,24 21,则所求的直线斜率为1,由点斜式可得所在直线的 k13y 1 (x 2) x y 3 0 .【评论】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般依据长度或距离的几何意义, 利用圆的几何性质数形联合求解．本题经过两次转变, 最后转变为求过定点的弦长最短的问题.【例 3】【 2016-2017 学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆 C ： x2 y 2 2x 4 y 3 0 对于直线 2ax by 6 0 对称,则由点 ( a,b) 向圆C所作的切线长的最小值是（）A．2 B ． 3 C．4 D．6【答案】 C【评论】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题, 解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直, 从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【 2016 届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y 中,圆C1 : x 1 2 225 ,圆 C 2 : x2y 302上存在一点 P ,使得过点 P 可作一y 6 17 r 2．若圆 C2条射线与圆C1挨次交于点, , 知足 2 , 则半径r的取值范围是（）A．5,55 B ． 5,50 C ． 10,50 D ． 10,55【答案】 A【分析】由题 , 知圆C 的圆心为 ( 1,6) ,半径为5,圆 C 的圆心为(17,30) , 半径为r , 两圆圆心距为1 2(17 1)2 (30 6)2 30 ,如图,可知当 AB 为圆 C1的直径时获得最大值, 所以当点P位于点P1所在地点时 r 获得最小值,当点 P 位于点 P2所在地点时 r 获得最大值．因为| AB |max 10 ,|PA| 2|AB|, 所以r min 5 , r max55 ,应选A．[根源: ZXXK]与面积有关的最值问题与圆的面积的最值问题 , 一般转变为追求圆的半径有关的函数关系或许几何图形的关系, 借助函数求最值的方法 , 如配方法 , 基本不等式法等求解, 有时能够经过转变思想 , 利用数形联合思想求解 .【例 4】在平面直角坐标系中, A, B分别是x轴和y轴上的动点 , 若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0 相切,则圆C面积的最小值为（）A. 4B. 3C. (6 2 5)D. 55 4 4【答案】 A【分析】设直线l ：2 x y 4 0.因为|OC| 1| AB | d C l , 所以圆心 C 的轨迹为以 O为焦点 , l为准线的2抛物线 . 圆 C 半径最小值为1d O l 1 4 2 , 圆C面积的最小值为( 2 ) 2 4 .选 A.2 2 5 5 5 5【例 5】动圆 C经过点F (1,0) , 而且与直线x 1 相切 , 若动圆 C 与直线y x 2 2 1总有公共点,则圆C 的面积（）A．有最大值8 B ．有最小值 2 C ．有最小值3 D ．有最小值 4【答案】 D【分析】设圆心为(a,b) ,半径为 r , r |CF | | a 1| ,即 (a 1)2 b2 ( a 1)2,即 a 1b2,∴圆心为4(1b2 , b) , r 1 b2 1,圆心到直线 y x 2 2 1的距离为4 4b2| 4 b 2 2 1| b21,∴ b 2(2 2 3) 或b 2 ,当 b 2d 2 4时 , r min 1 4 1 2 ,∴ S min r 2 4 .4【小试牛刀】【 2016-2017 学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A( 2,0) ,B (0, 2), 点 P是圆(x 1)2 y2 1 上随意一点 , 则PAB 面积的最大值是（）B. 3 2C.3 2【答案】 B二、与圆有关的最值问题的常用的办理方法数形联合法办理与圆有关的最值问题, 应充足考虑圆的几何性质, 并依据代数式的几何意义, 借助数形联合思想求解.2 2【例 6】已知实数x, y 知足方程 x ＋ y －4x＋1＝0,求：y(1)x的最大值和最小值；(2)y－ x 的最大值和最小值；(3)x2＋ y2的最大值和最小值．【剖析】 (1) 利用斜率模型； (2) 利用截距模型； (3) 利用距离模型【分析】原方程变形为( x－ 2) 2＋y2＝ 3, 表示以 (2,0) 为圆心 , 半径r＝3的圆．y(1) 设x＝ k,即 y＝kx,由题知,直线 y＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.|2 k－ 0| 2 y∴k2＋1 ≤ 3. ∴k ≤3, 即－3≤k≤ 3, ∴x的最大值为3, 最小值为－ 3.(2) 设 y－x＝ b,则当直线 y－ x＝ b 与圆相切时, b 取最值,由|2 － 0＋b|＝3, 得b＝－ 2±6, 2∴y－ x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6.(3) 令d＝x2＋y2表示原点与点 ( x, y) 的距离 ,∵原点与圆心(2,0) 的距离为2, ∴d max＝ 2＋3, d min＝ 2－ 3.∴ x2＋ y2的最大值为(2＋3) 2＝ 7＋ 4 3, 最小值为 (2 －3) 2＝ 7－ 4 3.【评论】研究与圆有关的最值问题时, 可借助图形的性质, 利用数形联合求解．常有的最值问题有以下几种y－ b种类：①形如μ＝x－a形式的最值问题, 可转变为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题 , 可转变为动直线截距的最值问题；③形如 ( x－a) 2＋( y－b) 2形式的最值问题 , 可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【 2017 届河北武邑中学高三周考】已知直线l : x y 6 0 和曲线M : x2 y 2 2x 2 y 2 0 ,点 A 在直线l上,若直线AC与曲线 M 起码有一个公共点 C ,且MAC 300,则点 A 的横坐标的取值范围是（）A．0,5 B ．1,5C．1,3 D ．0,3【答案】 B【分析】设 A x0 ,6 x0 d AM sin30 2 2, 依题意有圆心到直线的距离 2 ,即x0 1 5 x016 ,解得 x0 1,5 .成立函数关系求最值依据题目条件列出对于所求目标函数的关系式, 而后依据关系的特色采用参数法、配方法、鉴别式法等进行求解 .【例 7】设P,Q分别为x2 y 6 2 2 和椭圆x2y2 1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是（）10A.52B.462C. 7 2D.6 2【答案】 D[ 根源:]【分析】依题意P, Q 两点间的最大距离能够转变为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上; 圆的半径 2 .设Q( x, y) . 圆心到椭圆的最大距离dx 2( y 6)29 y 2 12 y 469( x 2 )2 50 5 2.所3以 P,Q 两点间的最大距离是 6 2.应选 D.2.3 利用基本不等式求解最值假如所求的表达式是知足基本不等式的构造特色 , 如 a b 或许 a b 的表达式求最值 , 经常利用题设条件建立两个变量的等量关系 , 从而求解最值 . 同时需要注意 , “一正二定三相等”的考证.【例 8】 设 mR , 过定点 A 的动直线 x my0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0交于点 P( x,y) ,则 |PA | |PB |的最大值是.【剖析】依据 | PA |2 | PB |2 | AB |2 10 , 可用均值不等式求最值【分析】易得 A(0,0), B(1,3) . 设 P( x, y) , 则消去 m 得： x 2y 2x 3 y 0 , 所以点 P 在以 AB 为直径的圆上, PAPB , 所以 | PA|2|PB|2| AB|210, |PA| |PB ||AB |25 .2【小试牛刀】 【 2017 届河北武邑中学高三周考】设 m, nR ,若直线 m 1 xn 1 y2 0 与圆221相切 , 则 m n 的取值范围是（x 1y 1）A ． 1 3,13B． ,1 31 3,C ． 22 2,2 2 2D．,22 22 2 2,【答案】 D【分析】直线与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径 , 即m n1, 化简得 mn m n 2 ,m 1 2n 21m n2由基本不等式得m n2 mn, 令 tm n , 则 t 24t 8 0,解得2t ,2 2 2 2 2 2,.【迁徙运用】1．【 2017 河北优秀结盟上学期月考】由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 (x －3) 2＋ y 2＝ 1 引切线 , 则切线长的最小值为（）B. 2 2C.7【答案】 C3,0 ，r=1 ,圆心到直线x y 1 0 3 1【分析】圆的圆心为的距离为 d 2 2 ,所以由勾股定理可22 212 7知切线长的最小值为 22【． 2017 福建福州外国语上期末模】已知平面上两点 A a,0 , B a,0 a 0 ,若圆2 2x 3 y 44上存在点 P ,使得APB 90 , 则a的取值范围是（）A．3,6 B ．3,7C. 4,6 D ． 0,7【答案】 C3．【 2017 届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】假如直线ax by 7 a 0 ，b 0 和函数f x 1 log m x m 0 ，m 1 的图象恒过同一个定点 , 且该定点一直落在圆x b2y a 121 25 的内部或圆上 , 那么b的取值范围是（）aA．3，4B ． 0，34 ， C. 4 ， D ． 0，3 4 3 4 3 3 4【答案】 A【分析】依据指数函数的性质, 可知函数f x1 log m x ， m 0 ，m 1 恒过定点 1 ，1 , 将点1，1 代入a b 7ax by 7,可得 a b 7 ,因为1，1一直落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 b 2 25 ,由a2 b2 25,解a 3 a 4 b得b4 或 b3, 这说明点 a ，b 在以 3 ，4 和 4，3 为端点的线段上运动, 所以 a 的取值范围是3 ， 443.选A.4．【 2017 届湖南师大附中高三上学期月考四】设直线l ： 3x 4 y a 0 , 圆 C ： ( x 2)2y 22,若在圆C 上存在两点 P , Q , 在直线 l 上存在一点 M , 使得PMQ90 , 则 a 的取值范围是（）A ．C ．18,616,4B ． 6 5 2,6 5 2D．6 5 2, 6 5 2【答案】 C【分析】圆 C 半径为 2 , 从直线上的点向圆上的点连线成角 , 当且仅当两条线均为切线时 , 所成的角最大 ,此时四边形 MPOQ 为正方形 , 边长为2 , 所以对角线 OM2 , 故圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 , 所以有3 2 a6 a4,选 C.32422 , 求出 16 a55．【 2017 湖北宜昌葛洲坝中学上期中】 若圆 C ：x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0 上有四个不一样的点到直线 l ：x － y ＋ c ＝0 的距离为 2, 则 c 的取值范围是（）[ 根源: ]A ． [ － 2,2]B ．[ －2 2,2 2 ]C ． （－ 2,2 ） D．（－ 22,2 2）【答案】 D【分析】圆 C ： x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0, 配方为：22x2y216 , [根源:]∵圆上有四个不一样的点到直线l ： x-y+c=0 的距离为 2,∴圆心到直线 l 的距离 dc2 ,2解得2 2 c 2 26．【 2017 届重庆市一中高三上学期期中】设A, B在圆x 2y 21 上运动 , 且AB3, 点 P在直线3x 4 y12 0PA PB上运动,则的最小值为（ ）． 3B．4C． 17D． 19A55【答案】 D7．【 2017 届四川省高三高考适应性测试】 已知圆的方程为x 2 y 26x 0 , 过点 1 ，2 的该圆的全部弦中 , 最短的弦长为（ ）A.1B.12【答案】 C【分析】 x2y 2 6x 0 ( x 3) 2 y 29, 最短的弦长为29 (3 1)2222,选 C.8．【 2017 重庆万州二中上期中】已知圆C : x 2 y 2 8x 150, 直线 y kx 2 上起码存在一点P ,使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 则 k 的最小值是（ ）A.4B.534C.3D.553【答案】 A【分析】因为圆 C 的方程为 x 2 y 28x 15 0 , 整理得 ( x4) 2 y 2 1 , 所以圆心为 C (4,0) , 半 径为r 1, 又因为直线 y kx 2 上起码存在一点 P , 使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 所以点C 到直线 y kx 2 的距离小于或等于4k 0 22 , 化简 3k2 4k4 k0,所以2,所以 k 2 10,解得3k 的最小值是4,应选 A.39．【 2016 学年四川省雅安中学期中】已知点P （ t,t ）,t∈R,点 m 是圆 x 2 ( y1)21 上的动点 , 点 N 是圆14(x 2) 2 y 2上的动点 , 则 PNPM 的最大值是（）4B．2 C ．3 D ．【答案】 B【分析】如图：圆 x 2( y 1)21 的圆心 E （0,1 ） , 圆的圆心 F （ 2,0 ） , 这两个圆的半径都是 1 4 2要使 |PN||-|PM| 最大 , 需 |PN| 最大 , 且 |PM| 最小 , 由图可得 ,|PN| 最大值为 |PF|+ 1 ,12 PM|的最小值为 |PE|-2PN PM =|PF|-|PE|+1, 点 P （ t,t ）在直线 y=x 上 ,E （ 0,1 ）对于 y=x 的对称点 E ′（ 1,0 ） , 直线 FE ′与 y=x 的交点为原点 O,则|PF|-|PE|=|PF|- |PE ′| ≤|E ′F|=1, 故 |PF|-|PE|+1的最大值为 1+1=2, 故答案为B ．10．【 2016 届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知 P( x, y) 是直线 kx y 4 0(k 0) 上一动点 ,PA 、 PB 是圆 C ： x 2 y 22 y A B 是切点 , 若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k的0 的两条切线 , 、 值为（）A．3B．21C．22D．2 2【答案】 D【分析】圆 C 的方程可化为x2 ( y 1)2 1 ,因为四边形PACB的最小面积是 2 ,且此时切线长为 2 ,故圆心0,1 到直线kx y 4 0 的距离为 5 ,即 5 5 ,解得k 2 ,又 k 0 ,所以 k 2 ．k 2111．【 2016 湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线3ax by 1(a, b R) 与圆O1: x2 y2 2 订交于A,B 两点 , 且△ AOB是直角三角形（ O是坐标原点） , 则点 P（a,b ）与点（ 0,1 ）之间距离的最大值是A．错误！未找到引用源。
(完整版)圆最值问题题型归纳
x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。
与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题可以包括多个方面，例如圆的周长、面积、弧长等。
以下是一些常见的与圆相关的最值问题及其解决方法：
1. 圆的周长最值问题：
* 设圆的半径为r，则周长C=2πr。
当r取最小值时，C取最小值。
* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。
2. 圆的面积最值问题：
* 设圆的半径为r，则面积A=πr^2。
当r取最小值时，A取最小值。
* 解决方法：与周长最值问题类似，当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。
3. 圆的弧长最值问题：
* 设圆的半径为r，圆心角为θ，则弧长L=rθ。
当θ取最大值时，L取最大值。
* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时θ取最大值。
4. 圆内接四边形面积最值问题：
* 设圆内接四边形的边长分别为a, b, c, d，则面积S=(a×b+c ×d)/2。
当a=b=c=d时，S取最大值。
* 解决方法：当四边形为正方形时，S取最大值。
5. 圆内接三角形面积最值问题：
* 设圆内接三角形的边长分别为a, b, c，则面积S=(a×b+b×c+c×a)/4。
当a=b=c时，S取最大值。
* 解决方法：当三角形为等边三角形时，S取最大值。
以上是与圆相关的常见最值问题及其解决方法，希望对您有所帮助。
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
圆中最值问题
中考培优课程5圆中最值知识导航1、圆中最值基本模型（1）点与圆的最值已知点Q为⊙O上一动点，P为平面内任意一点，现在来探究PQ的最值.①当P为圆外一点时，连接PO交⊙O于Q2，PO延长线交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2，PQ max＝PQ1.②当P为圆内一点时，连接OP并延长交⊙O于Q2，连接PO并延长交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2，PQ max＝PQ1.③当P为圆上一点时，连接PO并延长交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2＝0，PQ max＝PQ1＝直径.（2）直线与圆的最值已知点Q为⊙O上一动点，l为平面内任意一条直线，现在探究Q到直线l的距离d的最值.①若l与⊙O相离，过点O作OP1⊥l于P1，交⊙O于Q2，延长P1O交⊙O于Q1.则d min＝P1Q2，d max＝P1Q1.②若l与⊙O相交，过点O作OP⊥l于P，分别交⊙O于Q1、Q2两点.则d min＝0，优弧中的最大值为d max＝PQ1，劣弧中的最大值为d max＝PQ2.③若l与⊙O相切，则d min＝0，d max＝直径.2、题目一般会把“已知点Q为⊙O上一动点”这一条件进行隐藏，也就是说动点的运动轨迹需要我们去证明是一个圆，这就是接下来要给大家介绍的隐圆问题.模块一线段条件产生的隐圆例1在坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是坐标系中一点，且AC＝2，则∠BOC度数取值范围为.练习在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC＝2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是．例2（2016年江汉区九上期中第10题）如图，已知等边△ABC的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，以C为圆心，CF的长为半径作圆，D是⊙C上一动点，E为BD的中点．当AE最大时，BD的长为（）A．23B．25C．23＋1 D．6练习（2016年洪山区九上期中第10题）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是（）A．22πB．2πC．2πD．22模块二线段与角度条件产生隐圆题型一定边对定角（90度）例31、（2013年武汉中考第16题）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.2、（2015年洪山区九上期中）如图，线段AB上有一动点M，分别以AM、BM为边作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O' 交于M、N两点，则直线MN的情况是（）A．定直线B．经过定点C．一定不过定点D．以上都有可能练习在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在y轴左边，且∠APB＝90°，则点P的横坐标α的取值范围是．题型二定边对定角（非90度）例41、（2016年新洲区九上期中）正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°，AP＝1，线段PE的最大值是.2、如图，已知在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝8，点D、E分别是边AC、AB上两点，且AE＝CD，BD 交CE于F，连接AF，则AF的最小值为.3、如图，等边△ABC中，BC＝2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为.4、（2015年武昌区九上期中）如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以42为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为.例51、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是.2、如图，在弓形BAC中，∠BAC＝60°，BC＝23，若点A在优弧BAC上由点B向点C移动，记△ABC 的内心为I，则△ABC内切圆半径的最大值为.3、如图，在扇形AOB中，OA⊥OB，D是AB上一动点，DE⊥OA于E，若OA＝42，记△DEO的内心为I，则△DEO内切圆半径的最大值为.题型三定边对动角例6如图，在展览大厅中，墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米，最低处点Q距地面2米，观赏者的眼睛（在E点）距离地面1.6米．当视角∠PEQ最大时，站在这个位置的观赏效果最理想，求此时E到墙壁的距离为米.练习1、已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为．2、如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝3，则弦BC的最大值为．第5讲本讲课后作业A 基础巩固1、如图，已知矩形ABCG（AB＜BC）和矩形CDEF全等，点B、C、D在同一直线上，∠APE的顶点P2、如图，正方形ABCD的边长为4，∠AED＝45°，P为AB的中点．当点E运动时，求PE的最大值和最小值．3、如图，P为正方形ABCD的边CD上任意一点，E为AP上一点，BE＝AB，∠CBE的平分线交AP延长线于点Q．若正方形的边长为a，当点P在CD边上由C移动到D时，则点Q到CD的最大距离为．B 综合训练4、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为．数学故事贝多芬的成就贝多芬的心中充满了自由、平等、博爱的理想，他是1789年法国资产阶级革命的热烈拥护者。
圆中最值问题(解析版)
圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。
圆中最值问题10种求法(供参考)
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
圆中最值问题
圆中最值问题与圆相关的最值问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2.设tan∠BOC=m，则m的取值范围是什么？引例2：在边长为1的等边三角形OAB中，以边AB为直径作圆D，以O为圆心OA长为半径作圆O。
C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交圆O 于点E，BC=a，AC=b。
求a+b的最大值。
引例3：在如图所示的情况中，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切。
P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE。
求线段DE长度的最大值。
本题考察了圆中的动点问题和最值问题，需要掌握圆的基本知识、基本技能和基本思维方法，同时注重了初、高中知识的衔接。
1.引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用。
2.引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用。
3.引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用。
解题策略：1.画出图形以获得直观感觉；2.比较特殊位置的结果；3.分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化。
1、在正方形ABCD的边AD上，有两个动点E、F，满足AE=DF。
连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
初中数学--初三重难点突破：圆中的最值问题(模型)
圆中最值问题汇编题型一圆中将军饮马例1、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为▲ ．解析：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作点．此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN=30°，∴∠AON=60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC=21、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______，最小值为3．2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3,⊙A、⊙B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为______PE+PF最小值是3．3．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（－2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值等于▲____解析：∴A′B＝(3＋2)2＋(4＋3)2＝74，∴MN＝A′B－BN－A′M＝74－2－1＝74－3，∴PM＋PN的最小值为74－3．题型二圆的定义（一周同长）例2、木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动。
下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()A. B. C. D.解析：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线。
选D.1、如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44∘，则∠CAD的度数为__.解析：∵AB=AC=AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∵∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44∘，∴∠CAD=2∠BAC=88∘2、在平面直角坐标系中，A（4,0）、B（0，-3），以点B为圆心、2为半径的圆B上有一动点P，连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值3为。
圆的最值问题归纳
圆的问题探究高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，最常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对同学们有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.222CH BH AH d d d d d ===+==-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d === 3、圆222=+y x 上的点到直0254=+y 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 13-1.2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
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圆中有关最值问题（1）教学设计
一、设计思路：
圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题。
其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定理、对称法等。
本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。
二、学情分析
学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。
学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础；另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。
三、教学目标
知识与技能：
1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题；
2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。
方法与途径：
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。
情感与评价：
通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更加灵活。
现代教学手段：
多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进一步感受何时取得最大值问题。
四、教学重点与难点
教学重点：将试题转化为最值中的有关模型
教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法
H G F E O A B C C'C O B A A'D O C B
A P 五、教学准备
教师备：多媒体、几何画板课件
六、教学方法：
探究发现法：让学生在现实情景中探究问题，在动手操作中发现规律，从而使他们掌握新的
内容
启发式教学法：发扬教学民主，鼓励学生大胆发言
七、教学过程
例1：如图，在半径为7的⊙O 中，AB 为其一条弦，点C 是圆上的一个动点，且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙交于G 、H 两点，则GE+FH 的最大值是___________ 分析：由于GE+FH=GH-EF ， EF=12
AB ，AB 不变，则EF 不变，所以只要GH 最大，则GE+FH 的值最大，利用直径是圆中最长的弦这一事实解决该问题。
例2：在半径为7的⊙O 中，AC 为其直径，点B 是圆上的定点，∠ACB=30°，点A '在⊙O 上运动，（不与A 、C 重合），C B '⊥A B '交A C '的延长线于点C '，则BC '的最大值为_______ 练习1：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，点P 是半圆上一个动点，连接AP ，则AP 的最小值为_____________
分析：本题考查圆外点与圆上各点的连线当中最近距离问题，即连接该点与圆心，与圆的交点就是所求点的位置。
例3：在矩形ABCD 中，AD=2,AB=3,点E 是AD 边的中点，点F 是射线AB 上一动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折得到△A'EF ，连接A'C ，则A'C 的最小值为____________
分析：本题主要难点是找出点A '的运动轨迹，由于A 'E 长度始终不变，所以A '在以E 为圆心、AE 为半径的圆上运动，所以A'C 的最小值即转化为圆外点（C ）与圆上点（A '）的最近距离问题。
例1题图 例2题图 练习1图 例3题图
练习2：如图⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C上的一个动点，则22
m n 的最大值是___________, 最小值是_________
练习3:如图，正方形ABCD边长为2，以AD为边长构建等边△ADE，P为平面内一动点，且AP⊥PC，则EP的最大值为__________
能力提升：
如图，∠CAB=60°，半径为1的圆O与∠CAB两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于点D、E, 连接DE，则线段DE的最大值为________
练习2图练习3图能力提升图
八、互助交流，总结收获
谈谈你本节课的收获？
九、作业
练习册“有关圆的最值问题”。