圆中有关最值问题一

圆中有关最值问题（1）教学设计

一、设计思路：

圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。

二、学情分析

学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节课的学习奠定了良好的知识技能基础。

学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础；另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。

三、教学目标

知识与技能：

1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题；

2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。

方法与途径：

通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。

情感与评价：

通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思维变得更加灵活。

现代教学手段：

多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进一步感受何时取得最大值问题。

四、教学重点与难点

教学重点：将试题转化为最值中的有关模型

教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法

H G F E O A B C C'C O B A A'D O C B

A P 五、教学准备

教师备：多媒体、几何画板课件

六、教学方法：

探究发现法：让学生在现实情景中探究问题，在动手操作中发现规律，从而使他们掌握新的

内容

启发式教学法：发扬教学民主，鼓励学生大胆发言

七、教学过程

例1：如图，在半径为7的⊙O 中，AB 为其一条弦，点C 是圆上的一个动点，且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙交于G 、H 两点，则GE+FH 的最大值是___________ 分析：由于GE+FH=GH-EF ， EF=12

AB ，AB 不变，则EF 不变，所以只要GH 最大，则GE+FH 的值最大，利用直径是圆中最长的弦这一事实解决该问题。

例2：在半径为7的⊙O 中，AC 为其直径，点B 是圆上的定点，∠ACB=30°，点A '在⊙O 上运动，（不与A 、C 重合），C B '⊥A B '交A C '的延长线于点C '，则BC '的最大值为_______ 练习1：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，点P 是半圆上一个动点，连接AP ，则AP 的最小值为_____________

分析：本题考查圆外点与圆上各点的连线当中最近距离问题，即连接该点与圆心，与圆的交点就是所求点的位置。

例3：在矩形ABCD 中，AD=2,AB=3,点E 是AD 边的中点，点F 是射线AB 上一动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折得到△A'EF ，连接A'C ，则A'C 的最小值为____________

分析：本题主要难点是找出点A '的运动轨迹，由于A 'E 长度始终不变，所以A '在以E 为圆心、AE 为半径的圆上运动，所以A'C 的最小值即转化为圆外点（C ）与圆上点（A '）的最近距离问题。

例1题图 例2题图 练习1图 例3题图

练习2：如图⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C上的一个动点，则22

m n 的最大值是___________, 最小值是_________

练习3:如图，正方形ABCD边长为2，以AD为边长构建等边△ADE，P为平面内一动点，且AP⊥PC，则EP的最大值为__________

能力提升：

如图，∠CAB=60°，半径为1的圆O与∠CAB两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于点D、E, 连接DE，则线段DE的最大值为________

练习2图练习3图能力提升图

八、互助交流，总结收获

谈谈你本节课的收获？

九、作业

练习册“有关圆的最值问题”