8.2.3多项式与多项式相乘
八年级上册数学多项式与多项式相乘
八年级上册数学多项式与多项式相乘一、引言多项式与多项式相乘是我们在数学学习中比较重要且常见的一个概念。
在本篇文章中，我将带领大家深入探讨八年级上册数学中的多项式与多项式相乘的知识，希望能够为大家在数学学习中提供一些帮助。
二、基础概念在开始深入讨论多项式与多项式相乘之前，我们首先需要明确多项式的概念。
多项式是由若干项的代数和构成的，每一项的指数都是非负整数，且最高次项的指数是有限的，最高次项的系数不能为零。
多项式与多项式相乘指的就是将两个多项式相乘，其实就是用分配律把一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，并且将结果相加。
三、深入讨论1. 多项式与多项式相乘的步骤在进行多项式与多项式相乘时，我们需要按照以下步骤进行：- 将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘；- 将每一项相乘的结果进行合并，即同类项相加，并化简得到最终结果。
2. 实际应用多项式与多项式相乘在实际生活中也是非常常见的，比如在计算两个多边形的面积时，我们经常会用到多项式与多项式相乘的方法，因为多项式与多项式相乘后结果仍然是多项式，可以很好地表示多个因数的乘积。
4. 个人观点和理解在学习多项式与多项式相乘的过程中，我发现通过多次练习，能够更加熟练地掌握这一概念。
我也意识到多项式与多项式相乘虽然在表面上看起来比较复杂，但只要掌握好了基本的步骤和规律，就能够比较轻松地解决问题。
五、总结通过对八年级上册数学中的多项式与多项式相乘的深入探讨，我对这一概念有了更深入的理解。
在学习过程中，我们不仅仅需要掌握基本的概念和步骤，更需要通过大量的练习来提高自己的运用能力。
希望在接下来的数学学习中，能够更加深入地理解和灵活运用多项式与多项式相乘的知识。
六、致谢感谢阅读本篇文章，希望对大家的数学学习有所帮助。
同时也感谢我的文章写手，为我撰写了这篇有价值的文章。
七、进一步探讨多项式与多项式相乘1. 多项式与多项式相乘的应用除了在计算多边形的面积时的实际应用外，多项式与多项式相乘在实际生活中还有许多应用。
多项式X多项式
尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
P64练习T1，T2，T3.
作业布置：P65习题8.2T4(4)(5)(6)，T10.
及时测评，及时巩固..
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
A．(x－1)(x＋18)B．(x＋2)(x＋9)
C．(x－3)(x＋6)D．(x－2)(x＋9)
【变式训练】
加深理解，进一步领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．
【拓展提升】
例3下列计算错误的是()
A．(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋4
B．(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6
C．(y＋4)(y－5)＝y2＋9y－20
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
学生活动：拿出准备好的硬纸板，画出图8－2－15，并标上字母．
图8－2－15
教师活动：要求学生根据图中的数据，求这个矩形的面积．
以实际问题为引例，激发学生的好奇心和求知欲.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】
学生活动：与同伴交流，计算出它的面积为：(m＋b)×(n＋a)．
(2)(ax＋b)(cx＋d)．
例2[教材P64例7]计算：(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)；
(2)(y2＋y＋1)(y＋2)．
【变式训练】
1．当m＝－3时，(2m－3)(3m＋4)的值是________．
2．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是______．
多项式的乘法
多项式的乘法多项式的乘法是代数学中的一种基本运算，用于计算两个多项式的乘积。
在多项式的乘法运算中，我们将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到最终的乘积。
本文将介绍多项式的乘法运算规则，并通过例子详细说明其计算方法。
1. 多项式的乘法运算规则设有两个多项式：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0Q(x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0其中，an, an-1, ..., a1, a0, bn, bm-1, ..., b1, b0为常数系数，n, m为非负整数，n ≥ m。
两个多项式的乘积定义为：P(x) * Q(x) = (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0)根据乘法的分配律，我们可以将上式展开为：P(x) * Q(x) = anxn * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0) + an-1xn-1 * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0) + ... + a1x * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0) + a0 * (bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0)再根据乘法的结合律，我们可以进一步简化上式为：P(x) * Q(x) = anxn * bmxm + anxn * bm-1xm-1 + ... + anxn * b1x + anxn * b0 + an-1xn-1 * bmxm + an-1xn-1 * bm-1xm-1 + ... + an-1xn-1 *b1x + an-1xn-1 * b0 + ... + a1x * bmxm + a1x * bm-1xm-1 + ... + a1x * b1x + a1x * b0 + a0 * bmxm + a0 * bm-1xm-1 + ... + a0 * b1x + a0 * b0由此可见，多项式的乘法运算实际上是将两个多项式的每一项进行相乘，并将结果按指数次数相加。
华东师大版八年级数学上册12.2.3多项式与多项式相乘说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自华东师大版八年级数学上册12.2.3节，主要教学内容为多项式与多项式相乘。这一内容是整个代数式乘法的重要组成部分，既是对单项式乘多项式的巩固与拓展，也为后续学习分式乘除法打下了基础。整个课程体系中，本节课起着承上启下的作用，具有较强的实践性和应用性。
（三）巩固练习
我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.个人练习：让学生完成教材中的习题，巩固多项式乘法法则；
2.小组合作：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题中的多项式乘法运算；
3.课堂竞赛：设计多项式乘法竞赛，激发学生的学习兴趣，提高他们的运算速度和准确性；
4.生活实践：让学生收集生活中的实际问题，运用多项式乘法法则解决问题，提升应用能力。
本节课的主要知识点有：
1.多项式与多项式相乘的法则；
2.利用多项式乘法解决实际问题；
3.掌握多项式乘法中的分配律运用；
4.能够熟练运用多项式乘法法则进行计算。
（二）教学目标
知识与技能：
1.理解并掌握多项式与多项式相乘的法则；
2.能够运用所学知识解决实际问题，提高计算能力；
3.能够运用分配律简化多项式乘法运算。
4.分层教学：针对学生的认知差异，制定不同层次的教学目标，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：准备多项式乘法运算的示例模型，帮助学生直观地理解乘法法则；
2.多媒体资源：利用PPT展示多项式乘法法则、例题解析等，增加课堂的趣味性和直观性；
3.预习下一节课内容，为学习分式乘除法打好基础。
我将以启发式教学为主，结合探究式、互动式和分层教学等方法。选择这些教学方法的理论依据如下：
多项式与多项式相乘人教版广东八年级数学上册课件
第14章第6课时 多项式与多项式相乘-2020秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
解：(1)(60－2x)(40－2x)＝4x2－200x＋2 400. 答：阴影部分的面积为(4x2－200x＋2 400)cm2. (2)当 x＝5 时，4x2－200x＋2 400＝1 500(cm2)． 这个盒子的体积为 1 500×5＝7 500(cm3)． 答：这个盒子的体积为 7 500 cm3.
数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 第6课时 多项式与多项式相乘
01 课前预习
1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项
乘另一个多项式
的 每一项
，再把所得的积相加 ．即(a＋b)(p＋q)＝a( p＋q
)＋b( p＋q
)
＝
ap＋aq＋bp＋bq
．
2.填空：(2x－5y)(3x－y)＝2x·3x＋2x· (－y)
解：(30－x)(20－x)＝x2－50x＋600. 答：余下部分的面积是(x2－50x＋600)平方米.
第14章第6课时 多项式与多项式相乘-2020秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
第14章第6课时 多项式与多项式相乘-2020秋人教 版（广 东）八 年级数 学上册 课件
03 分层检测
解：原式＝2x2－13x＋15.
解：原式＝6x2－13xy－5y2.
【变式 1】 计算： (1)(x＋3)(x－4)； 解：原式＝x2－x－12. (3)(a＋b)(2a－b); 解：原式＝2a2＋ab－b2.
(2)(x－5)(x－2)． 解：原式＝x2－7x＋10. (4)(3a＋5b)(2a－3b)． 解：原式＝6a2＋ab－15b2.
8.2整式乘法3---多项式乘以多项式
课题：8.2 整式乘法（3）第三课时 多项式与多项式相乘主备人：王刚喜 审核人： 杨明 使用时间：2011年4月 日年级 班 姓名：学习目标：1. 探索多项式乘法的法则过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算；2. 进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力.学习重点：掌握多项式与多项式相乘的法则.学习难点：通过探究理解多项式乘以多项式的运算法则一、学前准备【回顾】1.单项式与单项式乘法法则：单项式与多项式乘法法则： 2.计算：(1) ab ab ab 212322⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()()()121325x x x x x x -++--【自学】1.研读教材P59-60问题3.2.小组讨论：计算此长方形的面积有几种方法？3.想一想：你从计算中发现了什么？（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb.4.归纳：多项式与多项式乘法法则5.注意：（1）注意符号（2）不要漏乘（3）结果要化到最简形式【自学检测】1.计算：（1）(a+4)(a+3) （2）(3x＋1)( x－2)（3）(2x－5y)(3x－y)二、探究活动【例题分析】例1．计算（1）(x－8y)( x－y) （2）(x－1)(2x－3)（3）(m－2n)(3m＋n) （4）(x－2)(x2＋4)（5）(x－y) (x2＋xy＋y2) （6）n(n＋1)(n＋2) 【填一填、想一想】(x＋2)(x＋3)＝；(y＋4)(y＋6)＝.(x－2)(x＋3)＝；(y＋4)(y－6)＝.(x－2)(x－3)＝；(y－4)(y－6)＝.①根据上面的计算结果，同学们有什么发现？②观察右图，填空(x＋m)(x＋n)＝( )2＋( )x＋( )结论：.【课堂自测】1．填空：（1）(m＋5)(m－1)＝；（2）(x－5)(x－1) ＝.（3）(x－2y)(x＋4y)＝；（4）(ab＋7)(ab－3) ＝.2．计算（1）(1－3x)(1＋2x)－3x(2x－1) （2）2(x－8)(x－5)－(2x－1)(x＋2)3．解方程（1）(3x－2)(2x－3)=(6x＋5)(x－1)－1 （2）(x－2)(x＋3) =(x＋2)(x－5)三、自我测试1. 计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是（）A．4a2＋9b2B．4a2－9b2C．4a2＋12ab＋9b2D．4a2－12ab＋9b22. 若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为（）A.a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a3. (3x－1)(4x＋5)＝_________ _；(－4x－y)(－5x＋2y)＝_______ __．4. (x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________；5. (x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________6.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．7．计算下列各式(1)(2x＋3y)(3x－2y) (2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)四、应用与拓展1.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．2.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_____，b＝______．。
8.2.3 单项式与多项式相乘
根据这个规律：xa b c d ？
A. xa xb xc xd B. xa xb xc - xd
A
B
教学过程
Teaching Process
!
xa b c d
不要“漏乘”
xa + xb+ xc + （- xd） xa xb xc - xd
乘法分配律：
a (b c) ac bc
单项式×多项 式 转
不要“漏乘”
化
注意“符号” 单项式×单项 式
教学过程
Teaching Process
1
课后作业
2
1.家庭作业：课本P61练习
3
4
2.课堂作业：同步课堂反馈
3.课后思考：
(a b)(c d ) ?
谢
聆 谢
听
2
厨房
客厅
b
2b
单位：米
答：他至少需要买 平方米地板砖。
(4a 2 10a)
目录
CONTENTS
教学 分析
教学 设计
教学 过程
教学 反思
教学反思
Teaching Refletion
说说你的收获和疑问吧！
教学过程
Teaching Process
单项式与多 项式的乘法 法则： 单项式与多 项式相乘， 用单项式和 多项式的每 一项分别相 乘，再把所 得的积相加。 i
教学过程
Teaching Process
先化简，再求值： 3a(2a 2 其中
4a 3) 2a 2 (3a 4)
a 2.
6a 3 12a 2 9a 6a 3 8a 2 20a 2 9a
《多项式与多项式相乘》PPT课件 人教版八年级数学
方法一：看作一个长方形，计算它的面积.
p+q a+b
扩大后的绿地面积为（： a b）（ p q）
方法二：看作两个长方形，计算它们的面积和.
p+q
扩大后的绿地面积为：
（a p q）（b p q）
a+b
扩大后的绿地面积为：
（p a b） （q a b）
方法三：看作四个长方形，计算它们的面积和.
式 与
①相乘时按一定的顺序进行，必须做到不
多
重不漏；
项 式 相 乘
注意
②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在 合并同类项之前，积的项数等于原多项式 的项数之积；
③能合并同类项的，一定要合并同类项.
mn－m2 6n2 (4) (a 3b)(a－3b)； 解：原式 a2－3ab 3ab－9b2
a2－9b2
(5) (2x2－1)(x－4)；
解：原式 2x3－8x2－x 4
(6) (x2 2x 3)(2x－5) 解：原式 2x3－5x2 4x2－10x 6x－15
2x3－x2－4x－15
扩大后的绿地面积为：ap aq bp bq
不同的表示方法：
（a b）（ p q） （a p q）（b p q） （p a b） （q a b） ap aq bp bq
上述四个式子都表示扩大后的绿地面积，你有发现什么规律？
（a + b）（ p + q）= （a p + q）+（b p + q）= ap + aq + bp + bq
6x2 11xy－10 y2
4.计算：
(1) (2x 1)(x 3)； 解：原式 2x2 6x x 3
2023-2024学年-沪科版数学七年级下册--8.2.2.单项式与多项式相乘
?
新课探究
思考 如何计算 (a + b - c)÷m ?
1
根据 a÷b = a×__b___，可把除法转化为 _乘__法__.
由此得到
a + b -c ÷ m
= a + b - c ×
1 m
= a×
1 + b× m
1 m
c×
1 m
=a÷ m +b÷ m c÷ m
你能总结出多项式 除以单项式的规律吗？
(2)a(a2 + a) - a2(a - 2) = a·a2 + a·a - a2·a + 2a2 = a3 + a2 - a3 + 2a2 = 3a2.
说一说 单项式与多项式相乘时要注意哪些问题？
不能漏乘：即单 项式要乘遍多项 式的每一项
去括号时 注意符号 的确定
-3a2 a2 + 2a -1 = -3a4 - 6a3 + 3a2
练习
1.计算：(1) 5x ·(3x + 4) 解：(1) 5x ·(3x + 4) = 15x2 + 20x
2
5a
2
-
4 3
a
+
1 -3a
(2) 原式 = -15a3 + 4a2 - 3a
2.某长方体的长为 a+1，宽为 a，高为 3， 问这个长方体的体积是多少？
解： (a + 1) ·a×3
第三天 nc
c
n 第一天
na
a
第二天 nb
b a+b+c
第三天 nc
c
方法一：3天共修筑路面的总长为 (a+b+c) m.
《多项式与多项式相乘》
多项式的运算规则
加法
多项式相加是指相同字母的系数相加，相同字母的次数不变。例如，$(3x^{2} + 4x) + (2x^{2} - x) = 5x^{2} + 3x$。
减法
多项式相减是指相同字母的系数相减，相同字母的次数不变。例如，$(3x^{2} + 4x) (2x^{2} - x) = x^{2} + 5x$。
04
多项式相乘的应用
代数方程的求解
01
02
03
提取公因式
将多项式中的公因式提取 出来，便于进一步化简或 求解。
合并同类项
将多项式中相同的项合并 起来，使多项式更加简洁 ，便于操作。
因式分解
将多项式分解成若干个因 式之积，从而可以直接求 解代数方程。
函数的分析与求解
函数的零点
通过多项式相乘可以求出 函数的零点，即函数值为0 的点。
《数学年刊》
该期刊发表了一些重要的数学研究成果，包 括多项式相乘的某些特殊情况和性质的研究 。
感谢您的观看
THANKS
级数展开
通过多项式相乘可以将函数展开成 无穷级数，从而可以更好地分析函 数的性质。
05
多项式相乘的注意事项
符号问题
保持符号的一致性
在多项式相乘时，要注意保持各项符号的一致性。例如， $(x^2 + 2x) \times (x^2 - 4)$中，$x^2$的系数是正数， $2x$的系数是负数，相乘时要注意各项符号的一致性。
函数的极值
通过多项式相乘可以判断 函数的极值点，即函数值 发生变化的点。
函数的单调性
通过多项式相乘可以判断 函数的单调性，即函数值 增大或减小的趋势。
七年数学下册第8章整式乘法与因式分解8.2.5多项式与多项式相乘目标二整式乘法的基本运算习题课件(新
10
解：(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋ (n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n. 根据展开式中不含x3和x2项，得 m＋4＝0，n－3m＝0，解得m＝－4，n＝－12.
(2)求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值． 解：(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－ mn2＋n3＝m3＋n3. 由(1)知m＝－4，n＝－12， 所以原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792.
5 先化简，再求值： (1)(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中x＝3. 解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4. 当x＝3时，原式＝3－4＝－1.
(2)－13xy2·[xy(2x－y)＋2x(xy－y2)]，其中 x＝－32，y＝2. 解：原式＝19x2y2·(2x2y－xy2＋2x2y－2xy2) ＝19x2y2·(4x2y－3xy2)＝49x4y3－13x3y4. 当 x＝－32，y＝2 时， 原式＝49×－324×23－13×－323×24＝18＋18＝36.
6 解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4. 解：x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4， x2－5x＋6＝x2＋10x＋13， －15x＝7， x＝－175.
7 解不等式：45＋(－x)2＋6x(x＋3)>(－x)(2x－13)＋ (－3x)2.
解：45＋x2＋6x2＋18x>－2x2＋13x＋9x2， 7x2＋18x＋45>7x2＋13x， 5x>－45， x>－9.
3 计算：2(x＋3)(x－4)－(2x－3)(x＋2)． 解：原式＝2(x2－x－12)－(2x2＋x－6)＝2x2－2x－ xy(2x－y)＋xy2]． 解：原式＝19x2y4·(2x2y－xy2＋xy2)＝ 19x2y4·2x2y＝29x4y5.
8.2.2 单项式与多项式相乘 (第2课时)课件(15张PPT)2023-2024学年沪科版七年级数
8.2.2 单项式与多项式相乘 第2课时
学习导航
学习目标 新课导入 合作探究 当堂检测 课堂总结
一、学习目标
1.由单项式与多项式的乘法性质，探究多项式与单项式的除法； 2.能熟练运用多项式除以单项式的运算法则进行运算.(重点)
二、新课导入
复习回顾 1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去 乘多项式的每一项 ， 再把所得的 积 相加.
解： (1)原式=6a2b÷a + 3a÷a (2)原式=4x3y2÷(-2x2y)-x2y2÷(-2x2y)
=6ab + 3.
=-2xy +
1 2
y.
(3)(20m4n3-12m3n3+3m2n) ÷(-4m2n)；
(3)原式=20m4n3÷(-4m2n)-12m3n3÷(-4m2n)+3m2n÷(-4m2n) =-5m2n2+3mn2 - 3 .
结论：多项式除以单项式，所得的商仍然是多项式，并且商的项数和原多项 式的项数相同.
三、合作探究
(4)如果某次多项式除以单项式计算得出的商乘以原单项式，得出的结果不 是原多项式，这次计算是否正确？ 小技巧：多项式除以单项式与单项式乘以多项式是互逆运算，因此可用单项 式乘以多项式来验证多项式除以单项式的结果是否正确． (5)如何计算[4(x+y)7+6(x+y)6]÷2(x+y)3呢？谈谈你的思路. 把(x+y)看作一个整体，再利用多项式除以单项式法则进行计算. 拓展：多项式除以单项式的法则，可用公式(am+bm+cm)÷m=a+b+c表示. 当这里的m表示一个多项式时，同样也能套用公式计算.
多项式乘多项式(解析版)
9.3多项式乘多项式题型一：多项式乘以多项式计算【例题1】（2021·广西）计算：()()36x x -+． 【答案】x 2+3x -18【分析】根据多项式乘以多项式的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（x -3）（x +6）=x 2+6x -3x -18 =x 2+3x -18．【点睛】本题考查多项式乘以多项式的计算方法，掌握多项式乘以多项式的计算法则，是解决问题的关键． 变式训练【变式1-1】（2021·陕西）计算：()()()241221x x x x +---． 【答案】92x -【分析】先根据多项式与多项式乘法及单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：()()()241221x x x x +--- =4x 2-x +8x -2-(4x 2-2x ) =4x 2-x +8x -2-4x 2+2x =92x -．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，知识点管理 归类探究再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 【变式1-2】（2021·江西南昌·八年级期末）计算：（1）()()211x x x -++；（2）()()()321x x x x +---． 【答案】（1）31x -；（2）26x -【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：原式3221x x x x x =++---31x =-．（2）解：原式22236x x x x x =-+--+26x =-．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【变式1-3】（2021·湖南七年级期中）计算： （1）222(35)a a b - （2）(53)(32)x y x y +-．【答案】（1）42610a a b -；（2）22156x xy y --【分析】（1）根据单项式乘多项式的计算方法及同底数幂的乘法运算直接计算； （2）根据多项式乘多项式的计算方法及同底数幂的乘法运算，合并同类项直接计算． 【详解】解：（1）22422(35)610a a b a a b -=-， （2）22(53)(32)151096x y x y x xy xy y +-=-+- 22156x xy y =--．【点睛】本题考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式，解题的关键是掌握基本的运算法则． 题型二：(x+a)(x+b)型多项式相乘【例题2】（2021·福建省宁化县教师进修学校七年级月考）（Ⅰ）计算，将结果直接填在横线上： (1)(2)x x ++=______．(1)(2)x x --=______． (1)(2)x x -+=______．(1)(2)x x +-=______．（Ⅰ）认真观察（Ⅰ）中的算式与计算结果的特征，总结其中运算规律，用公式来表示这种运算规律（用a ，b 表示常数，）．【答案】（1）x 2＋3x ＋2，x 2−3x ＋2，x 2＋x −2，x 2−x −2；（2）（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab 【分析】（1）根据多项式乘法的法则逐一计算即可，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）根据（1）计算的结果，式子的一般形式是（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab ． 【详解】解：（1）（x ＋1）（x ＋2）＝x 2＋3x ＋2， （x −1）（x −2）＝x 2−3x ＋2， （x −1）（x ＋2）＝x 2＋x −2， （x ＋1）（x −2）＝x 2−x −2．故答案是：x 2＋3x ＋2，x 2−3x ＋2，x 2＋x −2，x 2−x −2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab 结构． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2019·全国七年级单元测试）若(x ＋a )(x ＋2)＝x 2－5x ＋b ，求a ＋b 的值． 【答案】－21.【分析】先根据多项式乘多项式法则把多项式的左边展开，合并同类项后再根据多项式两边相同字母的系数相等，列出方程，求出a ，b 的值即可．【详解】解：()()222225x a x x ax x a x x b ++=+++=-+，则252a a b +=-=，， 解得714.a b =-=-， 则21.a b +=-【点睛】考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键. 【变式2-2】（2021·福建）阅读理解： （1）计算()()21232x x x x ++=++，()()12x x --=____________________， ()()12x x -+=_______________，()()12x x +-=___________________，()()()2x a x b x x ++=++_____________；（ 2）应用已知a 、b 、m 均为整数，且()()212x a x b x mx ++=++，则m 的可能取值有_____________个．【答案】（1）232x x -+，22x x +-，22x x --；a b +，ab ；（2）6【分析】（1）根据多项式乘法的法则逐一计算即可，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）根据（1）计算的结果，式子的一般形式是2()()()x p x q x p q x pq ++=+++，121122634(1)(12)(2)(6)(3)(4)=⨯=⨯=⨯=-⨯-=-⨯-=-⨯-，故m 的取值6个．【详解】解：（1）2(1)(2)32x x x x ++=++， 2(1)(2)32x x x x --=-+，2(1)(2)2x x x x -+=+-，2(1)(2)2x x x x +-=--；()()()2x a x b x a b x ab ++=+++（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合2()()()x p x q x p q x pq ++=+++结构，因为12可以分解以下6组数，112a b ⨯=⨯，26⨯，34⨯，(1)(12)-⨯-，(2)(6)-⨯-(3)(4)-⨯-，所以m a b =+应有6个值．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2-3】（2020·厦门外国语学校海沧附属学校八年级期中）已知(x+a)(x+b)=x 2+mx+n （1）若a=1，b=2，则m=______，n=_______ （2）若a=6，b=-3，求2m+2n 的值 【答案】（1）m=3，n=2；（2）-28【分析】把已知式子展开，得出m ，n 和a ，b 的关系式，带入求解即可；【详解】Ⅰ()()()22x a x b x a b x ab x mx n ++=+++=++，Ⅰa b m +=，ab n =， （1）Ⅰa =1，b =2，Ⅰ123m =+=，122n =⨯=， 故答案是：3，2． （2）Ⅰa =6，b =-3，Ⅰ()633m =+-=，()6318n =⨯-=-，Ⅰ()322221883628m n +=+⨯-=-=-．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确利用整式乘法展开计算是解题的关键． 题型三：多项式乘以多项式化简求值【例题3】（2021·江苏鼓楼·七年级期中）先化简，再求值：(1)(2)3(3)2(2)(1)x x x x x x ---+++-，其中12x =． 【答案】102x --； 7-【分析】多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项对整式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：(1)(2)3(3)2(2)(1)x x x x x x ---+++-()2223239222x x x x x x x =-+--++--，222122224x x x x =--+++-， 102x =--，当12x =时，原式110272=-⨯-=-． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式展开，合并同类项代入求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 变式训练【变式3-1】（2021·江苏省江阴市第一中学七年级阶段练习）先化简，再求值：(3)(4)2(1)(5)y y y y +---+，其中2y =-【答案】292y y ---；12．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把y 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：(3)(4)2(1)(5)y y y y +---+22(12)2(45)y y y y =---+- 22122810y y y y =----+ 292y y =---，当2y =-时，原式()()22922=---⨯--12=．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则，准确计算是解本题的关键．【变式3-2】（2021·浙江七年级期中）先化简，再求值：()222242(()3)m m m m m -++--，其中2m =-【答案】368m m -+-，12-【分析】先分别根据多项式乘多项式、单项式乘单项式计算，再合并同类项，最后代入2m =-即可求解． 【详解】解：原式322382++44622m m m m m m m ---+-=33826m m m -=-+368m m =-+-，当2m =-时，原式()()32628=--+⨯--8128=--12=-【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式、单项式乘单项式计算法则． 【变式3-3】（2020·江苏省盐城中学新洋分校七年级期中）先化简，再求值：（x+2）（x -1）-2x （x+3）,其中x=-1.【答案】252x x ---，2．【分析】原式利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=222226x x x x x -+---， =252x x ---， 当x=-1时， 原式=-1+5-2=2．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型四：已知多项式乘积不含某项求字母的值【例题4】（2017·江苏·兴化市海河学校七年级阶段练习）若（x 2+ax +8）（x 2﹣3x +b ）的乘积中不含x 2和x 3项，求a ，b 的值． 【答案】a =3，b =1【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则，进而利用合并同类项法则得出x 2和x 3项的系数为零进而得出答案．【详解】解：（x 2+ax +8）（x 2-3x +b ） =x 4-3x 3+bx 2+ax 3-3ax 2+abx +8x 2-24x +8b=x 4+（-3+a ）x 3+（b -3a +8）x 2+（ab -24）x +8b ， Ⅰ（x 2+ax +8）（x 2-3x +b ）的乘积中不含x 2和x 3项， Ⅰ-3+a =0，b -3a +8=0， 解得：a =3，b =1．【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 变式训练【变式4-1】（2021·江苏·常熟市第一中学七年级阶段练习）若关于x 的多项式()2(3)x x m mx +-⋅-的展开式中不含2x 项，求4(1)(2)(25)(3)m m m m +--+-的值． 【答案】16【分析】将多项式展开，合并同类项，根据不含2x 项得到m 值，再代入计算．【详解】解：原式()2(3)x x m mx =+-⋅-3222333mx x mx x m x m =-+--+()322(3)33mx m x m x m =+--++由题意得30m -=， Ⅰ3m =，Ⅰ原式4(31)(32)(235)(33)16=⨯+⨯--⨯+⨯-=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，多项式的应用，解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简，难度不是很大．【变式4-2】（2021·江苏·昆山市第二中学七年级阶段练习）若()2(2)x x ax b -++的积中不含x 的二次项和一次项，求2(32)2a b ab -+的值． 【答案】20【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x 的二次项和一次项，求出a 与b 的值，再把a 、b 的值代入计算可得．【详解】解：（x -2）（x 2+ax +b ）=x 3+ax 2+bx -2x 2-2ax -2b =x 3+（a -2）x 2+（b -2a ）x -2b ， Ⅰ（x -2）（x 2+ax +b ）的积中不含x 的二次项和一次项， Ⅰa -2=0且b -2a =0， 解得：a =2、b =4，将a =2、b =4代入2(32)2a b ab -+=2(3224)224⨯-⨯+⨯⨯ =4+16 =20．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 【变式4-3】（2021·江苏省江阴市第一中学七年级阶段练习）若()2133x p x x q ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与2x 项（1）求p 、q 的值； （2）求代数式20192020p q 的值 【答案】（1）13p =，3q =；（2）3 【分析】（1）先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p 、q 看作常数合并关于x 的同类项，令x 2及x 的系数为0，分别求出p 、q 的值． （2）把p 、q 的值代入求解即可． 【详解】解：（1）21(3)()3x p x x q +-+=2321333x x qx px px pq -++-+=23131)(3+3()x p x q p x pq -+-+又Ⅰ式子展开式中不含x 2项和x 项， Ⅰ310p -=，13=03q p -解得，13p =，3q = （2）当13p =，3q =时，20192019201920201=()(3)31333p p q q q =⨯⨯=⨯= 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．题型五：多项式乘以多项式面积问题【例题5】（2020·江苏·泰兴市实验初级中学七年级期中）如图是火箭模型截面图，上面是三角形，中间是长方形，下面是梯形．（1）用含有a 、b 的代数式表示该截面的面积S ；（需化简） （2）当a ＝8cm ，b ＝5cm 时，求这个截面图的面积．【答案】（1）S=2a 2+2ab ；（2）208【分析】（1）先算出上面三角形的面积，中间长方形的面积，下面梯形的面积，即可表示出横截面的面积； （2）把a ，b 代入（1）式中求解即可；【详解】（1）上面三角形的面积为12ab ，中间长方形的面积为22a ，下面梯形的面积为()13222a b b ab +=，则该截面的面积为221322222S ab a ab a ab =++=+； （2）当a ＝8cm ，b ＝5cm 时，22226428512880208S a ab =+=⨯+⨯⨯=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 变式训练【变式5-1】（2021·江苏淮安·七年级期末）如图，某市有一块长(3)a b +米，宽为(2)a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米． （2）当2,1a b ==时求绿化面积． 【答案】（1）5a 2+3ab ；（2）26平方米【分析】（1）绿化面积=长方形的面积-正方形的面积； （2）把a =2，b =1代入（1）求出绿化面积．【详解】解：（1）S 绿化面积=（3a +b ）（2a +b ）-（a +b ）2 =6a 2+5ab +b 2-a 2-2ab -b 2=5a 2+3ab ；答：绿化的面积是（5a 2+3ab ）平方米； （2）当a =2，b =1时，绿化面积=5×22+3×2×1 =20+6 =26．答：当a =2，b =1时，绿化面积为26平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式及代数式求值，看懂题图掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 【变式5-2】（2021·江苏滨湖·七年级期中）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解决下列问题．（1）在图4中，黑色瓷砖有 块，白色瓷砖有 块；（2）已知正方形白色瓷砖边长为1米，长方形黑色瓷砖长为1米，宽为0.5米．现准备按照此图案进行装修，瓷砖无需切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，贴瓷砖的费用每平方米15元．请回答下列问题： Ⅰ铺设图2需要的总费用为 元；Ⅰ铺设图n 需要的总费用为多少元？（用含n 的代数式表示） 【答案】（1）20；20；（2）Ⅰ1380； Ⅰ2115345230n n ++．【分析】（1）通过观察发现规律得出，第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +，将4n =代入即可求解；（2）Ⅰ求得图2的白瓷砖的块数和黑色瓷砖的块数，然后再求得占用的面积，根据费用求解即可；Ⅰ求得图n 的白瓷砖的块数和黑色瓷砖的块数，然后再求得占用的面积，根据费用求解即可； 【详解】解：（1）通过观察图形可知，1n =时，黑色瓷砖的块数为8，白色瓷砖的块数为22n =时，黑色瓷砖的块数为12，白色瓷砖的块数为6 3n =时，黑色瓷砖的块数为16，白色瓷砖的块数为12则第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +当4n =时，黑色瓷砖的块数为20，白瓷砖的块数为20故答案为20，20（2）Ⅰ图2，黑色瓷砖的块数为12，白色瓷砖的块数为6，所占用的面积为1210.561112⨯⨯+⨯⨯=（平方米）所需的费用为1250610012151380⨯+⨯+⨯=（元）故答案为1380Ⅰ第n 个图形中，黑色瓷砖的块数可以表示为4(1)n +，白瓷砖的块数可以表示为(1)n n +占用的面积为4(1)10.5(1)112(1)(1)(1)(2)n n n n n n n n +⨯⨯++⨯⨯=+++=++所需的费用为24(1)50(1)10015(1)(2)115345230n n n n n n n +⨯++⨯+⨯++=++故答案为2115345230n n ++【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，涉及了列代数式，整式的乘法等运算，解题的关键是根据前面图形，找到规律．【变式5-3】（2021·江苏徐州·七年级期中）（1）探究：我们小学时学过乘法分配律a （b +c ）＝ab +ac ． 下面我们用等积法证明乘法分配律：如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为a ，另一边长为（b +c ），所以长方形ABCD 的面积为a （b +c ）；方法二，长方形ABFE 的面积为ab ，长方形CDEF 的面积为ac ，所以长方形ABCD 的面积为（ab +ac ），所以a （b +c ）＝ab +ac ．我们把这种用两种不同的方式表示同一图形面积的方法称为等积法．（2）应用请你用等积法，画出图形，并仿照上面的说理方法证明：（a +b ）（c +d ）＝ac +ad +bc +bd ；（3）拓展请直接写出（a +b ）（c +d +e ）＝ ．【答案】（2）证明见解析；（3）ac ad ae bc bd be +++++【分析】（2）画出图形，并仿照（1）的说理方法证明即可；（3）根据（1）的方法画出图形，进行计算即可．【详解】（2）如图，方法一：长方形ABCD 的一边长为()a b +，另一边长为()c d +，所以长方形ABCD 的面积为()()a b c d ++； 方法二，长方形AGOE 的面积为ac ，长方形EODH 的面积为ad ，长方形GOFB 的面积为bc ，长方形OFCH 的面积为bd ，所以长方形ABCD 的面积为（ac ad bc bd +++），所以()()a b c d ac ad bc bd ++=+++．（3）如图，同理可得：方法一可得长方形ABCD 的面积为()()a b c d e +++，方法二可得长方形ABCD 的面积为ac ad ae bc bd be +++++∴()()a b c d e ac ad ae bc bd be +++=+++++故答案为：ac ad ae bc bd be +++++【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积的关系，数形结合是解题的关键．题型六：多项式乘以多项式规律问题【例题6】（2021·常熟市第一中学七年级月考）观察下列各式：223324(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-（1）根据以上的规律得：123(1)(1)_______m m m x x x x x ----+++++=（m 为正整数）（2） 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：Ⅰ23468691222222+++++++Ⅰ（﹣2）50＋（﹣2）49＋（﹣2）48＋…＋（﹣2）＋1【答案】（1）x m -1；（2）Ⅰ7021-；Ⅰ51213+ 【分析】（1）归纳出一般规律可得；（2）Ⅰ原式乘（2-1），用规律即可得出结论；Ⅰ将原式变形为()()()()()5049481121222213++⎦⎡⎤-⨯---+--⋯+-+⎣，再依照所得规律计算即可． 【详解】解：（1）（x -1）（x m -1+x m -2+…+x +1）═x m -1（m 为正整数）；（2）Ⅰ23468691222222+++++++ =()()2346869212222221+++++++- =7021-；Ⅰ()()()()50494822221---⋯++-+++ =()()()()()5049481121222213++⎦⎡⎤-⨯---+--⋯+-+⎣ =()511123⎡⎤--⨯-⎣⎦ =51213+ 【点睛】本题考查找规律解题，仔细观察，找出规律是求解本题的关键．变式训练【变式6-1】（2021·利辛县第四中学七年级期中）（1）计算：(1)(1)______a a -+=；2(1)(1)____a a a -++=；......猜想：9998972(1)(......1)_____a a a a a a -++++++=；（2）请你利用上式的结论，求199198212+2++2+2+1的值；（3）请直接写出202020192018213+3+3+3+3+1+的值．【答案】（1）231;1;a a --1001a -；（2）20021-；（3）20211(31)2⋅-． 【分析】（1）根据多项式乘多项式可进行求解；（2）由2-1=1及（1）中结论可直接进行求解；（3）根据（1）中结论可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：2(1)(1)1a a a -+=-，23223(1)(1)11a a a a a a a a a -++=++---=-，……猜想：9998972100(1)(......1)1a a a a a a a -++++++=-；故答案为231,1,a a --1001a -；（2）由（1）可得：原式=()()19919819720021222......2121-+++++=- （3）由（1）的结论可得：原式=()()2020201928201210211)3+3+3131(31221+3+3+-+=⨯⨯⋅-． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．【变式6-2】（2021·辽宁）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a +b ）n （n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3展开式中各项的系数等等．（1）根据上面的规律，（a +b ）4展开式的各项系数中最大的数为 ；（2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值；（3）若（x ﹣1）2020＝a 1x 2020+a 2x 2019+a 3x 2018+……+a 2019x 2+a 2020x +a 2021，求出a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020的值．【答案】（1）6；（2）﹣1；（3）﹣1【分析】（1）由“杨辉三角”构造方法判断即可确定出（a+b ）4的展开式中各项系数最大的数；（2）将原式写成“杨辉三角”的展开式形式，即可的结果；（3）当x ＝0时，a 2021＝1，当x ＝1时，得到a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020+a 2021＝0，即可得到结论．【详解】解：（1）第五行即为1、 4、 6、 4 、1对应（a +b ）4展开式中各项的系数，Ⅰ（a +b ）4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6；（2）Ⅰ（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，．．．．．．根据展式中的2最大指数是5，首项a =2，末项b =-3,Ⅰ25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5＝[2+（﹣3）]5＝（2﹣3）5＝﹣1；（3）Ⅰ（x ﹣1）2020＝a 1x 2020+a 2x 2019+a 3x 2018+……+a 2019x 2+a 2020x +a 2021，Ⅰ当x ＝1时，（1﹣1）2020＝a 1×12020+a 2×12019+a 3×12018+……+a 201912+a 2020×1+a 2021，即a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020+a 2021＝0，当x ＝0时，（0﹣1）2020＝a 1×02020+a 2×02019+a 3×02018+……+a 2019×02+a 2020×0+a 2021，即a 2021＝1，Ⅰa 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020= a 1+a 2+a 3+……+a 2019+a 2020+a 2021- a 2021＝0﹣1＝﹣1．【点睛】本题考查完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应a b n +（）中，相同字母a 的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高． 【变式6-3】（2021·河南省淮滨县第一中学）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：14(25)(36)2x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ⋅⋅=，常数项为：45(6)120⨯⨯-=-，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：15(6)2(6)434532⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-，即一次项为3x -． 请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算()()()23153x x x ++-所得多项式的一次项系数为______．（2）若计算()()2213(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值；（3）若202120212020201901220202021(1)x a x a x a x a x a +=+++⋯++，则2020a =______．【答案】（1）-11；（2）3a =-；（3）2021．【分析】根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得．（1）(2)(31)(53)x x x ++-中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出(2)(31)(53)x x x ++-所得多项式的一次项系数．（2）22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a 、-1，再根据22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a 的一元一次方程，从而求出a ．（3）2021(1)x +中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，2020a 为2021(1)x +所得多项式的一次项系数．所以根据结论2020a 为2121个11⨯相加，即可得出结果．【详解】（1）根据题意可知(2)(31)(53)x x x ++-的一次项系数为：()()11333252111⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-．故答案为-11．（2）根据题意可知22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-的一次项系数为：()()()11311213a a a ⨯⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯=+Ⅰ该多项式不含一次项，即一次项系数为0，Ⅰ30a +=解得3a =-．（3）根据题意可知2020a 即为2021(1)x +所得多项式的一次项系数．Ⅰ20202021(11111111)2021a =⨯+⨯+⨯++⨯=故答案为2021【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．【真题1】（2019·江苏南京·中考真题）计算22()()x y x xy y +-+．【答案】33x y +【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a ＋b ）（m ＋n ）＝am ＋an ＋bm ＋bn ，计算即可．【详解】解：()()22x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+.【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．【真题2】（2013·江苏南京·中考真题）计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++++------+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是_______． 【答案】16【详解】设11112345x +++＝， 则原式()111166x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ 22115666x x x x x +---+＝ 16＝ 【真题3】（2015·江苏连云港·中考真题）已知m +n =mn ,则(m -1)(n -1)=_______.【答案】1【详解】试题分析：根据乘法公式多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，可求(1)(1)m n --=mn -m -n+1=mn -（m+n ）+1，直接代入m+n=mn 可求得(1)(1)m n --=1.考点：整体代入法【真题4】（2019·台湾·中考真题）计算()()2334xx +﹣的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A ．74x -+B ．712x --C ．2612x -D ．2612x x --【答案】D【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再链接中考把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积．【详解】解：由多项式乘法运算法则得()()22233468912612x x x x x x x-+=+---=-．故选D．【点睛】本题考查多项式乘法运算法则，牢记法则，不要漏项是解答本题的关键．【拓展1】（2021·江苏阜宁·七年级期中）如图，长方形的长为a，宽为b，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为c，则空白部分的面积是___．【答案】2ab ac bc c--+【分析】先把阴影的为平行四边形的面积化为长方形的面积，然后经过平移得到空白部分的为长方形，长为a-c，宽为b-c，根据长方形面积公式列式计算即可求解即可求解．【详解】解：原图形可化为图1，将阴影部分平移得到图2，所以空白部分的面积为：()()2=a cbc ab ac bc c----+．故答案为：2ab ac bc c--+满分冲刺【点睛】本题考查了列代数式，平移，多项式乘以多项式等知识，根据题意，将平行四边形的面积转化为长方形的面积，进而进行平移，将空白部分面积转化为长方形的面积是解题关键．【拓展2】（2020·江苏徐州·七年级期中）阅读以下材料：2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-； ()324(1)11x x x x x -+++=-（1）根据以上规律，()123(1)1n n n x x x x x ----+++++= ；（2）利用（1）的结论，求2345201820192000155555555+++++++++的值 【答案】（1）1nx -；（2）2021514- 【分析】（1）仔细观察上式就可以发现得数中x 的指数是式子中x 的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成()123(1)1n n n x x x x x ----+++++形式，即可利用（1）的结论进行求解.【详解】（1）()123(1)1n n n x xx x x ----+++++中最高次项为1n n x x x -•=， 所以()123(1)1n n n x x x x x ----+++++=n x -1；（2）2345201820192000155555555+++++++++ =14（5-1）（2345201820192000155555555+++++++++） =2021514- 【点睛】仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.【拓展3】（2020·江苏·南通市八一中学八年级期中）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数.延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，故答案为1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．。
沪科版七年级数学下册课件8.多项式与多项式相乘
新知探究
多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项分别 乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
2
1
(a+b)(m+n)
1
2
3
4
=am +an +bm +bn
3 4
多乘多顺口溜：
多乘多, 来计算, 多项式各项都见面,
乘后结果要相加, 化简、排列才算完.
七年级数学沪科版·下册
第八章 整式乘法 与因式分解
8.2.3 多项式与多项式相乘
新课导入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？ ① 将单项式分别乘以多项式的各项; ② 再把所得的积相加.
2.进行单项式与多项式乘法运算时, 要注意什么? ① 不能漏乘,即单项式要乘遍多项式的每一项; ② 去括号时注意符号的确定.
解: (1)去括号, 得x2-5x+6+18=x2+10x+9, 移项合并, 得15x=15, 解得x=1. (2)去括号,得9x2-36 < 9x2+9x-54, 移项合并,得9x > 18, 解得 x > 2 .
课堂小测
拓展提升 b 8.小东找来一张挂历画包
数学课本. 已知课本长a cm, 宽b cm, 厚c cm, 小东想将 课本封面与封底的每一边
解：原式＝a3-8b3-a3-3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝-8b3＋2a2b＋15ab2.
当a＝-1, b＝1时, 原式＝-8＋2-15＝-21.
新知探究
例3 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项,
也不含x项, 求系数a, b的值．
多项式乘多项式-八年级数学上册教学课件(人教版)
扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成,所以这 块绿地的面积为 (ap+aq+bp+bq) 平方米.
a
b
a
b
ap
b
p
ap
bp
p
q
aq aq
a+b)看 作一个整 体
单项式乘以多项式的法则，得
(a+b)(p+q)= q(a+b) ＋ p(a+b)
= ap+aq+bp+bq
从整体看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由多项式(a+b)的每一项 乘以多项式(p+q)的每一项,再把所得的积相加而得到的。
先化简，再求值： (a－2b)(a＋2b)－(a+4b)(a－b)，其中a＝2，b＝ － 1.
解：(a－2b)(a＋2b)－(a+4b)(a－b) =a2 ＋2ab －2ab－4b2－ (a2 － ab +4ab－4b2) =a2 ＋2ab －2ab－4b2－ a2 + ab －4ab+4b2 =－3ab 当a＝2，b＝ － 1时，原式= － 3 ×2 ×(－ 1)=6
4.如果(x-3)(x+4)＝x2+px+q，那么p，q的值是（A ）
A.p=1,q=﹣12
B.p=﹣1,q=12
C.p=7,q=12
D.p＝7，q＝﹣12
5.下列多项式相乘的结果为x2+3x﹣18的是( D ) A.(x-2)(x+9) B.(x+2)(x﹣9) C.(x+3(x﹣6) D.(x﹣3(x+6)
p(a+b+c) =pa+pb+pc
八年级数学上册第2课时 多项式与多项式相乘
作品编号：8567941235890031445888659学校：量印超jgj市收高眉镇页设小学*教师：谢德刚*班级：字文叁班*14.1.4整式的乘法第2课时多项式与多项式相乘一、新课导入1.导入课题：今天我们继续研究整式的乘法，重点探讨多项式乘以多项式的运算法则.2.学习目标：（1）能说出多项式与多项式相乘的法则.（2）能灵活地运用法则进行运算.3.学习重、难点：重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.难点：多项式乘以多项式时负号的用法.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究多项式乘以多项式的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：类比上节课单项式乘以多项式的研究方法来探讨多项式乘以多项式的运算法则.（4）探究提纲：①如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m 米的长方形绿地，长增加了b米，宽增加了n米.你能用两种方法求出扩大后的绿地面积？看谁能写出来？方法1：（a+b）(m+n)，方法2：am+an+bm+bn.②由①你得到的等式为（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.③在上节课中，我们由等式p(a+b+c)=pa+pb+pc得到单项式乘以多项式的运算法则，那么由②的等式你得到什么运算法则？并用文字表述此法则.多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.④试一试(x+y)(2x+y)=2x2+3xy+y2.2.自学：学生结合探究提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：通过看、问、查的方式了解学生的探究过程和结果是否正确.②差异指导：关注学困生在多项式乘以多项式中出现漏乘的问题.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）总结交流：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：（a+b）（m＋n）= am+an+bm+bn.（2）计算：①（x+2）（x－3）②（3x－1）（2x+1）=x2-x-6 =6x2+x-11.自学指导：（1）自学内容：教材第101页例6.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：对照运算法则，认真观察例6解题的过程，注意多项式的每一项都应该带上它前面的正负号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号.（4）自学参考提纲：①为了使相乘的顺序清晰，“每一项”与“每一项”相乘不遗漏，你有什么办法？相乘时，要按一定的顺序进行.②（x-8y）（x-y）的计算第一步为什么xy和8xy前是负号，8y2前是正号？异号为负，同号为正.③练习计算：a.(2x+1)( x+3 )=2x2+7x+3；b.(m＋2n)(m-3n)=m2-mn-6n2.④怎样计算:（a-1）2=a2-2a+1.⑤计算教材第102页“练习”第1题的(4)、(5)、(6).练习（4）：a2-9b2练习（5）：2x3-8x2-x+4练习（6）：2x3-x2-4x-152.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否学会例题的计算方法、格式及符号确定的方法.②差异指导：对(a-1)2的实际意义应进行点拨引导，对学生计算中出现的错误进行引导纠正.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）总结：计算多项式相乘时注意多项式的每一项都应该带上它前面的正负号；正确理解两个“每一项”的意思；在计算时一定要首先确定积中各项的符号.（2）练习：计算：①（x－3y）（x+7y）②（2x+5y）（3x－2y）=x2+4xy-21y2=6x2+11xy-10y2三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学时可先利用几何图形的方式验证多项式乘法法则的正确性，形成直观感受；再把公式中的（m+n）整体看作一个单项式，利用单项式与多项式相乘法则，进一步推证多项式乘法法则，从中让学生体验转化的数学思想，课堂上引导学生解决一些具体的数学问题，帮助学生巩固对法则的理解认识.一、基础巩固（60分）1.计算：（1）（1－x）（0.6－x）；（2）（2x+y）（x－y）；（3）（x－y）2；（4）（－2x+3）2；（5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）；（6）（x－y）（x2+ xy+ y2）解：（1）x2-1.6x+0.6（2）2x2-xy-y2（3）x2-2xy+y2（4）4x2-12x+9（5）5x+y+8（6）x3-y3二、综合应用（每题10分，共20分）2.化简求值：x2（x－1）－x（x2+ x－1），其中x=12.解:原式=x3-x2-x3-x2+x=-2x2+x当x=12时，原式=-2×122+12=0.3.计算：(－x－y)2解:原式=x2+2xy+y2三、拓展延伸（20分）4.确定（x+3）(x+p)=x3+mx+36中m和p的值. 解：m=15,p=12。
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7 3 4 3 4 2 4 15x y z (1)(-3x y)(-5x y z )=_______;
(2)-3ab2(-4a+3ab-2) =________________ 12a2b2 -9a2b3 +6ab2
探究与思考
问题3 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。 现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地 的面积。
比一比，看谁算得快又准：
(1) (2) (3) (4) (5) (2a–3b)(a+5b) ; (xy–z)(2xy+z) ; (x–1)(x2+x+1) ; (2a+b)2; (3a–2)(a–1)–(a+1)(a+2) ;
作业提示：
P62 习题 8.2 4.（3）（4）（6） 7.
Hale Waihona Puke 分析与比较可以发现：
(a+b)(m+n) =（a+b）m+（a+b）n = a（m+n）+b（m+n） = am+an+bm+bn
由此你能得到什么启发？
你会说吗？
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘, 先用一个多 项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
2
(a+b)(m+n)= am+an +bm+bn
探究与思考
问题3 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。 现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地 的面积。 （a+b）n
n m a （a+b）m b
算法三：如图所示，分别求出图中两个 长方形的面积，再求总面积。扩大后菜 地的面积为 ：（a+b）m + （a+b）n
探究与思考
问题3 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。 现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地 的面积。
3 4
1
1
2
3
4
跟我学
例 计算:
(1) (x+2y)(5a–3b) ; (2) (–2x – 3)(x – 4) ;
小试牛刀
计算：
(1) (2n+6)(n–3); (2) (3x–y)(3x+y); (3) (2x+5) .
2
想挑战吗？
计算：
(1) (3a–2)(a–1) +(a+1)(a+2);
n m
a(m+n) a
b(m+n)
b
算法四：如图所示，分别求出图中两个 长方形的面积，再求总面积。扩大后菜 地的面积为 ： a(m+n) + b(m+n)
分析与比较
观察这几个式子：
(a+b)(m+n) （a+b）m+（a+b）n a（m+n）+b（m+n） am+an+bm+bn
你能说出它们有何关系吗？
(2) (3x-5)(2x+3)-(2x-1)(x+1)
温馨提示
1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不 重不漏. 2.多项式与多项式相乘，仍得多项式. 3.注意确定积中的每一项的符号，多项式 中每一项都包含它前面的符号，“同号得正， 异号得负”. 4.多项式与多项式相乘的展开式中，有同
类项要合并同类项.
n m a b
探究与思考
问题3 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。 现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地 的面积。
n m a b
算法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是 m+n，所以它的面积是 (a+b)(m+n)
探究与思考
问题3 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。 现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地 的面积。
n m a b
算法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是 m+n，所以它的面积是 (a+b)(m+n)
的 算你 法还 吗有 ？其 它
探究与思考
问题3 一块长方形的菜地, 长为 a,宽为m。 现将它的长增加b,宽增加n,求扩大后的菜地 的面积。 an
bn
n m
am
a
bm
b
算法二：先算4块小矩形的面积，再求总面积。扩 大后菜地的面积是 am + an+ bm +bn