基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
一类带时滞pde模型在图像去噪中的理论研究
一类带时滞pde模型在图像去噪中的理论研究近些年来，随着大数据的发展，图像处理技术已经发展成了现代数字化技术的一个重要组成部分。
特别是图像去噪是图像处理技术中最重要的一个方面，它可以有效地抑制图像中的噪声，提高图像的品质，满足计算机视觉系统中计算图像信息的要求。
在这种情况下，一类带时滞PDE模型(t-PDE)可以依据图像去噪问题中时滞特性的性质，借助PDE（Partial Differential Equation，把一类带时滞PDE模型用于图像去噪可以很好地解决处理噪声图像的问题。
因此，研究一类带时滞PED模型对于图像去噪的理论研究具有重要的意义。
首先，我们来看看一类带时滞PDE模型的性质。
一类带时滞PED 模型是一种有限差分模型，具有简单的数学框架。
它使用了PDE来描述时滞系统，使用一维或二维空间结构来描述时间变化，因此可以更好地模拟现实中的真实图像信号变化。
此外，t-PDE模型的表达式可以清晰地描述噪声的极性和大小，从而使得图像去噪过程更加准确。
其次，我们来看看一类带时滞PDE模型是如何应用于图像去噪的。
一般而言，t-PDE模型在图像去噪中使用的最常见的应用包括所谓的空间噪声抑制算法，这种算法以滤波器的形式将时间域中的噪声抑制到图像信号上。
此外，t-PDE模型可以应用于像素值预测，集成式图像去噪和多层次图像去噪中。
在上述应用中，t-PDE模型的主要功能是提取图像的噪声特征，并使用时间窗口和空间窗口来抑制噪声，以获得更优的图像去噪效果。
此外，深度学习技术可以结合一类带时滞PDE模型的优点，应用于图像去噪中。
现在有很多研究者利用深度学习技术来实现图像去噪，例如利用卷积神经网络（CNN）来提取噪声特征，从而达到抑制噪声的目的，而使用t-PDE模型可以在这个过程中使用PDE去模拟图像中时滞特性，以达到更准确的抑制目的。
最后，我们来看看一类带时滞PDE模型在图像处理中的发展趋势。
一类带时滞PED模型的优点，使它成为图像去噪的有效工具，能够有效地抑制图像中的噪声，提高图像的品质。
基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进
基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进作者：刘会林罗聪秦琴张紫茵来源：《数码设计》2017年第03期摘要：对比主流图像去噪算法模型并利用信噪比衡量图像中所含噪声比例，先用高斯噪声模型对图像进行加噪得到含噪声的噪声图像，再采用三种去噪算法对该噪声图进行去噪最后对比实验结果做出改进。
实验结果表明，运用全变分去噪方法能够更好地权衡图像边缘信息及细节纹理特征之间的关系，且参数更具有稳定性。
改进的全变分去噪算法继承了原有偏微分方程算法的优点，提高了传统全变分算法的运行效率，在边缘区域实现了扩散的同时保护了边缘并且可以较为明显地提高信噪比以及直观的视觉质量。
关键词：图像去噪；偏微分方程；噪声模型；全变分中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）03-0015-05Abstract： Comparing with the mainstream image denoising algorithms and using SNR （signal-to-noise ratio） to measure the noise ratio of the image. Firstly， adding noise to the image by using Gaussian noise model to get a noisy image. And then， using three kinds of mainstream denoising algorithms to denoise the noisy image and making improvements by comparing the experimental results. The experimental results show that the total variational denoising method can balance the relationship between image edge information and detail texture features in a better way，and the parameters are more stable. The improved total variational denoising algorithm inherits the advantages of the original partial differential equation algorithm， improves the efficiency of the traditional total variational algorithm， achieves anisotropic diffusion in the edge region and protects the edges of the image， and can obviously improve signal-noise ratio and visual effects.Key words： image denoising； partial differential equation； noise model； total variation引言图像噪声是在信息传输过程中由于各种原因对图像造成的污染且很大程度上影响了图像细节的真实性，所以必须对这些噪声进行有效去除[1]。
基于偏微分方程的医学图像去噪
代入极值条件方程可以得到一个二阶微分方程
∇ u −∇ • + λ (u − ∇ u
这样求最优的 ｕ 的问题就转化为求解此微分方 程的问题。求解此微分方程有多种方法如剃度下法 ， 法等这里我们用剃度下降法。我们将
∇u β =
∇u ∂u = ∇ ⋅ ∂t ∇ u
利用离散快速迭代算法如下 ：
Á
这样就可以把此迭代过程看作一个非线性滤波
过程， 对于边缘的像素点， u 较大， 就可以保持原始 图像上的像素值。迭代次数的确定可以根据所要求的 精度， 由前后两次迭代的最小误差确定， 误差越小去 噪能力越强 ， 此时的运算速度也会相应增加。
对这种方法进行了实验 ， 实验对一含有噪声的膀
胱结石图像进行了去噪处理实验结果如图 （ ａ ） （ｂ）所示
∫ u 到的结果 仍然有很多 噪声 ， 而由范 数 ∇u d Ω 的结 ∫
最优准则求出的结果并不理想。由范数
Ω Ω
∫ u
Ω
Á
dΩ 或
２ ＴＶ 滤 波 器 去 噪 原 理 及 实 现
衡量 的尺度。函数的 ＴＶ 定义为积分 “最优”
ＴＶ（Ｔｏｔａｌ Ｖａｒｉａｔａｉｏｎ）准则是用图像函数的 ＴＶ 作为
这样定义的优点是对于超平面上的不连续函数 ＴＶ 仍 变成在上述两个约束条件下求使 ＴＶ 能量最小的 ｕ 用 ＴＶ 模型可以定义图像的能量函数为
软件天地
文章编号 ：１００８－ ０５７０（２００６）０９－ １－ ０２７６－ ０２
中文核心期刊 《 微计算机信息》（ 测控自动化 ）２００６ 年第 ２２ 卷第 ９－１ 期
基于偏微分方程的医学图像去噪
Ｍｅ ｄ ｉｃａ ｌ Ｉｍ ａ ｇ ｅ Ｄｅ ｎ ｏ ｉｓ ｉｎ ｇ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ＰＤＥ
改进的LIP偏微分方程图像去噪方法
对图像的平滑、 特征区进行更为全面客 算子来度量图像信息， 从而能更好地控制扩散过程；然后利用人类视觉的 观的定位， 结构化特性， 用噪声可见度函数构造新的保真项系数 λ 自适 应调节正则项与保真项的比重， 避免了人为估计噪声水平并 进一步保持了图像的边缘细节 。 理论分析和实验结果均表 明， 该改进方法能够更好地去除噪声和保持图像边缘细节特 征。
Improved PDE image denoising method based on logarithmic image processing
GUO Maoyin， TIAN Youxian
( College of Computer Science and Technology， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065 ， China)
收稿日期：2010 － 08 － 01 。 究方向：非线性分析、 并行计算。
1
基于 LIP 的偏微分方程去噪方法
TV 模型是图像去噪中比较成功的方法， 其实质是将图像
去噪问题转化为求解如下偏微分方程问题 。 u u = － · + λ （ u0 － u ） t u （1）
模型由正则项和保真项组成， 正则项根据图像的梯度模 有选择地进行扩散平滑， 保真项起到保持图像细节的作用， 通 过保真系数 λ 来调节二者间的平衡。因而图像的去噪质量主
Abstract: Concerning the defects of Logarithmic Image ProcessingTotal Variation ( LIP _ TV ) denoising model， an improved Partial Differential Equation ( PDE) image denoising method based on LIP was proposed． Based on LIP mathematic theory， the new LIP gradient operator was obtained by introducing four directional derivatives in the original one， which can control the diffusion process effectively because it measures image information comprehensively and objectively． The fidelity coefficient was constructed by adopting the noise visibility function based on the structure characteristic of human visual system， which can further preserve the edge details and avoid estimating noise level factitiously． The theoretical analysis and experimental results show that the improved method has superiority in the visual effect and objective quality， which can better remove noise and preserve detailed edge features． Key words: image denoising; Logarithmic Image Processing ( LIP) ; human visual system; noise visibility function; diffusion coefficient
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(PDE)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。
本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。
关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差1 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。
随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。
图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。
而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。
基于偏微分方程(PDE)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。
这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。
他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。
然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。
改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。
本文详细介绍了现存的基于PDE的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。
2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。
该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。
但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。
另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差TV(Total Variation)模型[4]就是这一类。
偏微分方程---图像去噪
• 国防科技大学的谢美华等从偏微分方程去 噪模型出发 ，论述了噪声抑制的原理。
• 考虑到传统的各向异性扩散模型无法正确 的对边缘定向，提出了一种基于边缘定向 增强的各向异性扩散去噪方法，首先利用 基于非线性光滑算子的边缘定向算子对边 缘定向然后利用边界信息确定扩散张量， 从而达到既保护边界又具有良好的去噪效 果。
• 在局部坐标意义下我们可以更加直观的从
几何意义上分析其处理效果。
• 设 ξ 代表图像在某像素处的梯度方向，η
代表与梯度垂直的方向，那么上述扩散方
程可以在由 ξ 和 η 张成的局部坐标系下
表示为:
• 对于PM扩散模型，在图像的平坦区域，
C1(u) C2 (u) 进行各项同性扩散；
• 在图像的边界或纹理等梯度比较大的像素
• 只有在空间定义域和灰度值上都离散化了 的图象才能被计算机处理，这种离散化图 象称为数字图象，空间离散化称为空间采 样，灰度离散化称为灰度量化。
目录
• 离散图象的模型用u: xΩ [0,255]表示，
这里x=(x,y)是离散的，[0, 255]表量化的 256个灰度级。
• 尽管图象在计算机中以上述离散形式存储 ，但由于在空间采样与灰度量化上这种离 散化都足够精细，从而可以用连续(或分段 连续)的数学函数近似。
在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像 处理研究领域占据着重要地位。
• 使用偏微分方程处理图像的思想可以追溯 到Gabor和Jain。
• 但是这种方法真正建立起来是K源自enderind 和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺 度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把 一组图像同时在多个尺度上表述。
处，C1(u) = C2 (u) 此时图像沿着与几乎与
基于MAP估计,变分PDE的图像去噪问题研究
基于MAP估计，变分PDE的图像去噪问题研究基于MAP估计，变分PDE的图像去噪问题研究摘要：图像去噪是数字图像处理领域中的重要问题之一。
本文针对图像去噪问题，使用了基于最大后验估计（Maximum A Posteriori, MAP）估计准则和变分偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）方法进行研究。
首先，介绍了图像去噪的概念和相关背景知识。
然后，详细介绍了MAP估计和变分PDE方法的原理和基本思想。
接着，提出了一种基于MAP估计和变分PDE的图像去噪算法，并通过实验验证了该算法的效果。
最后，对该算法进行了分析和总结，并对未来的研究方向进行了展望。
关键词：图像去噪，最大后验估计，变分偏微分方程，数字图像处理引言：随着电子设备的普及和计算机技术的进步，数字图像的处理变得越来越重要。
然而，由于图像在采集、传输和存储过程中受到噪声的影响，图像往往会出现模糊、有噪声等问题，影响了图像的质量和可视化效果。
因此，图像去噪成为了数字图像处理领域中的一个关键问题。
图像去噪的目标是通过对噪声进行准确估计并去除，恢复出原始图像的细节和清晰度。
传统的去噪方法中，常用的有空间域滤波器和频域滤波器等。
然而，这些方法往往会引入图像失真和模糊，无法完全满足实际需求。
为了解决这一问题，一些基于数学模型的图像去噪方法被提出，并取得了一定的成果。
其中，基于MAP估计和变分PDE的方法成为了研究热点，因为它可以准确估计噪声并保护图像的细节信息。
MAP估计和变分PDE方法原理及基本思想：MAP估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通过最大化后验概率来估计模型的参数。
在图像去噪问题中，我们可以将噪声视为随机变量，并假设噪声符合高斯分布。
然后，通过最大化条件概率分布来估计原始图像。
变分PDE方法是一种通过对图像进行梯度流动的过程来去除噪声的方法。
基本思想是在图像空间中构建一个偏微分方程模型，并通过迭代求解偏微分方程来去除图像中的噪声。
基于PDE的图像去噪
山东大学硕士学位论文基于PDE的图像去噪姓名：崔峰峰申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：黄淑祥20080508基于PDE的图像去噪作者：崔峰峰学位授予单位：山东大学1.学位论文张莉基于对偶树复小波的图像处理研究2006基于对偶树复小波的图像处理研究张莉摘要20世纪80年代后期发展起来的小波变换因其在处理非平稳信号方面的独特优势而成为信号去噪领域中的一个重要研究方向。
近年来，随着小波理论的不断完善，小波变换在图像去噪领域也得到了广泛的应用，并提出了许多小波图像去噪方法。
离散小波变换虽然广泛用于图像去噪中，但离散小波变换存在两个缺点：1、缺乏平移不变性，这意味着信号的微小平移将导致各尺度上的小波系数的能量分布的较大变化。
2、缺乏方向敏感性，可分离的二维小波变换只有三个方向的高频信息即水平、垂直和对角。
利用对偶树复小波变换进行图像去噪，可以克服上述离散小波变换的不足。
本论文主要围绕对偶树复小波变换及其在图像处理中的应用来进行研究。
主要进行了以下几个方面的工作：(1)对常用的小波变换图像去噪方法进行了研究，并在此基础上提出利用对偶树复小波变换进行图像去噪。
(2)介绍了对偶树复小波变换的原理和特性。
对偶树复小波变换具有近似的平移不变性、良好的方向选择性，与此同时，它还具有完全重构特性。
对偶树复小波变换在每一层产生六个具有方向选择性的子带，分别指向±15°，±45°，±75°。
将对偶树复小波变换应用于图像去噪，可以更好地表示图像的边缘和纹理特征，从而得到较小波更好的去噪效果。
(3)提出对偶树复小波变换和贝叶斯估计确定阈值相结合的图像去噪方法。
与常用的离散小波变换相比，该方法具有逼近的移不变性和更多的方向选择性，有利于特征的跟踪、定位和保留。
结合贝叶斯估计技术和自适应分布参数确定方法，给出了有效的图像去噪算法。
结果表明，该方法去除噪声彻底，边界、纹理等特征保留较好。
PDE-一种基于偏微分方程的日志压缩超声图像去噪方法(IJIGSP-V3-N3-3)
Abstract—Speckle noise is widely existence in coherent imaging systems, such as synthetic aperture radar, sonar, ultrasound and laser imaging, and is commonly described as signal correlated. In this paper, we focus on speckle reduction problem in real ultrasound image. Unlike traditional anisotropic diffusion methods usually taking image gradient as a diffusion index, in this paper, we present a new texture based anisotropic diffusion method for speckle reduction in real ultrasound image. The results comparing our new method with other well known methods on both synthetic images and real ultrasound images are reported to show the superiority of our method in keeping important features of real ultrasound images.
A Log-compressed ultrasound image model is proposed in [14]:
基于PDE的图像去噪方法
２ ０ １ ５ 。 ５ １ （ １ ６ ） ： １ ４ ２ － １ ４ ５ ．
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｓ ｈ ｏ ｒ ｔ ｃ ｏ ｍｉ ｎ ｇ ｏ ｆ Ｐ。 Ｍ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕｓ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｌ ｆ － ｓ ｎ ａ ｋ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｄ ｕ ｒ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ
等 细 节信 息 。 关键 词 ： 图像 去 噪 ； 自蛇 模 型 ； 偏 微 分 方程 （ Ｐ Ｄ Ｅ ） ； 非线 性 扩 散
文献标志码 ： Ａ 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ７ ７ ８ ￣ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ２ ． ８ ３ ３ １ ． １ ４ ０ ６ — ０ ０ ６ ９
ｅ ｄ ｇ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｏ ｂｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ ｔ ｏ ａ ｇ ｏ ｏ ｄ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ． Ｆｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ，ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐｏ ｓ ｅ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｉ ｍａ ｇ ｅ ｄ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｉ ｎ ｇ ； ｓ ｅ ｌ ｆ － ｓ ｎ ａ ｋ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ； Ｐ ａ ｔｉ ｒ ａ ｌ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ （ Ｐ ＤＥ） ； ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ
偏微分方程(PDEs)在图像去噪中的运用
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类
在二维图像处理中， 自变量为像素坐标(x,y)， 涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方 程，其一般形式是[12]：
a11 u xx +2 a12 u xy + a 22 u yy +F (x, y, u x , u y )=0
2
(2)
0
记 Δ （x,y）= a12 - a11 a 22 ,可得二阶半线性两个方程在点 x ∈ Ω 的分类： 1) 双曲型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）>0。双曲型方程的第一标准型为
∂u ( x, y, t ) = Δu ( x, y, t ) ∂t
（初值为u 0 =u(x,y,0)）
(14)
式（14）中 Δu ( x, y , t ) 是图像的拉普拉斯算子。上式实际上是热传导方程。其解为：
u ( x, y, t ) = Gt * u ( x, y,0)
这里的 ∗ 表示卷积， G t ( x, y ) = Ct
0
∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u =A +B +Cu,第二标准型为 2 - 2 =A1 +B1 + C1 u. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂s ∂t ∂s ∂t
如波动问题. 2) 椭圆型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）<0。椭圆型方程的标准型为
0
2
因为在边界 ∂D 上函数v=0，方程（6）中第二个积分为零。而函数v=v(x,y)在域D内不为零， 要使方程（6）为零的必要条件是
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( )− ( ) =0 ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q
(7)
即函数u(x,y)使泛函（3）取极值的必要条件是满足偏微分方程（7） 。这就是具有两个独立
一种改进的基于小波偏微分方程的图像去噪方法
（ 哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150001 ） 摘 要： 提出一种基于小波分解和四阶偏微分方程相结合的方法用于图像去噪， 利用小波良好的时频局域化特
性和偏微分方程能够很好地保留图像的边缘和细节的特点对图像噪声进行消除 . 传统的二阶线性扩散方程计 易产生阶梯效应， 这里采用一种用拉氏锐化算子替代拉普拉斯算子的四阶偏微分方程模型 . 实验结 算效率低， 果表明， 本方法是一种高效的去除噪声并能很好地保持图像边缘的算法 . 关键词： 图像去噪； 小波变换； 偏微分方程 中图分类号： TN911. 73 文献标识码： A 文章编号： 1009 － 671X（ 2010 ） 01 － 0023 － 04
［ 3］
3
改进的基于小波 PED 的去噪模型
基于小波与 PDE 的去噪模型是结合小波变换
理论和偏微分方程的思想而构造出的一种新型的去 噪模型， 它具备了 2 种经典算法各自在图像处理领 6］ 域的优势. 文献［ 提出的去噪模型对于去除相干 6］ 斑噪声有很好的效果， 文中提出一种在文献［ 的
. 提出的 TV 模型如
［ 1］
. 小波分析具有快速
变换和在时域、 频域同时具有良好的局部化特性的 特点， 可以把图像的结构和纹理表现在不同分辨率 层次上. 而偏微分方程 （ PDE ） 去噪方法利用图像是 以图像的边缘为边 分片光滑的二元函数这一信息， 采用分片连续的函数逼近图像中的真实信号 ， 其 界，
0624. 收稿日期： 2009）， Email： xizhihong@ hrbeu. edu. cn. 作者简介： 席志红（ 1965女， 教授， 主要研究方向： 信号与信息处理，
边缘特征的各向异性扩散方法， 用保边界的具有方 向性的热扩散方程来代替高斯平滑滤波器 . 他们的 研究开辟了图像处理中偏微分方程理论和应用的很 多新领域. 1992 年， Rudin、 osher、 Fatemi 等人将 全 变 差 引 入图像处理领域， 以解决图像去噪问题. 全变差 （ total variation， TV） 极小化方法是一个在重建图像中能 很好地保持边缘的成功方法 下：
基于PDE图像去噪方法
边缘模糊 ,而较小的边缘阈值会使扩散速度很慢 ,所以把 k基
于时间 t函数的方程改为 :
k ( t) = km ·exp [ a / ( 1 + t) ]
(6)
[ / ] 由 lim exp a ( 1 + t) t→∞
= 1可知 , km 为叠代稳定时的边缘阈
值 ,可以通过基于 Canny[4 ]边缘估计的边缘阈值选取的方法
3 试验结果
从图 3中可以看出 ,这二种滤波方法的去噪图像中还有 少量的脉冲噪声 ,图 3 ( e)是使用阈值不变 P2M 算法迭代 100 次的结果 ,其相应的参数为 k = 30,λ = 0. 5。图像中一些梯度 值较大的噪声点仍然保留 ,图像边缘仍比较模糊 。图 3 ( f)是 使用式 (6)的边缘阈值 P2M 算法迭代 100 次的结果 ,相应的 参数为 km = 3, a = 17,λ = 0. 5。平滑后基本消除了图像中梯 度值较大的噪声点 。在图 3 ( b～f)的边缘保护指数 EPE[10 ]分 别为 2. 00 db、4. 27 db、4. 62 db、4. 53 db和 4. 83 db,从中可以 定量的看出本文改进的 P2M 对图像边缘的保护较佳 。在图 3 ( a)中加 入 25%的 高 斯 噪 声 的 基 础 上 分 别 加 入 1%、5%、 10%、15%和 20%的脉冲噪声的图像分别标为的 1、2、3、4 和 5。从表 1中可得本文改进的 P2M 去噪后的图像比 P2M 去噪 后的图像的峰值信噪比有所提高 。
trop ic diffusion [J ]. IEEE Transactions Patten Analysis and Machine
Intelligence, 1990, 12 (7) : 629 - 639. [3 ] BLACK M J, SAP IRO G, MAR IMONT D H, et al. Robust aniso2
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
{
d n f（ x） dn x dn 1 （ v － n） dn x Γ
v = n∈N
∫
t a
f n （ y） dy 0 ≤n － 1 ＜ v ＜ n （ x － y） n － v + 1
（ 3）
针对三种经典分数阶微积分定义 ， 国内外众多学者从不同 得到了不同形式的分 应用角度研究分析各种各样的实际问题 ， Liouville 定 数阶微积分定义表达式 。 分数阶微积分 Riemann义和 分 数 阶 微 积 分 Caputo 定 义 都 是 对 分 数 阶 微 积 分 GrümwaldLetnikov 定义 的 改 进。 分 数 阶 微 积 分 的 GrümwaldLetnikov 定义在数值实现时可以转换为卷积运算形式 ， 因此非 Li常适合在 信 号 处 理 中 的 应 用 ； 分 数 阶 微 积 分 的 Riemannouville 定义主要应用于计算一些较为简单函数的解析解 ； 分数 阶微积分的 Caputo 定义适用于分数阶微分方程初边值问题的 分析， 因此非常适合在工程领域中应用 。三种关于分数阶微积 在一定条件下可以相互转换 。 分定义之间存在着紧密的联系 ， 例如， 如果分数阶微积分阶次 v 满足 n － 1 ＜ v ＜ n， 当函数 f （ x ） ， 的 m + 1 阶 导 数 连 续 并 且 满 足 m =? n － 1 」 分数阶微积分 GrümwaldLetnikov 的定 义 与 分 数 阶 微 积 分 RiemannLiouville 的定义是完全等价的。 在满足相同条件下， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 GrümwaldLetnikov 定义等价。 当分数阶微积分阶次 v 为正整数和负实数时， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 RiemannLiouville 定义满足以 下关系：
基于PDE的图像降噪方法的研究综述
基于PDE的图像降噪方法的研究综述摘要：回顾了三种传统的PDE图像降噪方法，即j函数、基于散度的PDE 和基于拉普拉斯算子的扩散PDE这三种图像降噪方法，并指出可将扩散方程与自由薛定锷方程结合形成新的基于复扩散的图像降噪处理方法。
关键词：函数；拉普拉斯算子；PDE；复扩散1引言实际的图像常受一些误差的影响而发生退化，这种退化就称之为“噪声”，可将噪声视为“妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”[1~3]。
噪声一般由其概率特征来描述。
根据处理的目的一般有两种不同的降噪方法：一是平滑，其目的在于抑制噪声或其他小的波动，但平滑也会使含有图像重要信息的明显边缘变模糊。
二是梯度算子，梯度算子的作用是在图像中显现这些位置。
但如果在图像中使用梯度算子，也会同时抬高噪声水平。
很明显，平滑和梯度算子的目标相互抵触，因此需要寻找解决上述问题的方法。
自上个世纪80年代末，偏微分方程（PDE）开始用于解决传统的计算机视觉问题，像图像降噪问题等。
PDE可以描述高度非线性和迭代性的连续对象的演变如曲线、曲面或者向量场等。
用PDE表示的曲面、曲线或者向量场来模型化并进行演变已成为一种自然的图像处理方式。
2 图像降噪处理及变分PDE方法2.1 图像降噪处理可将图像降噪处理视为一个输入—输出系统，即是噪声图像或者模糊的图像。
I是降噪和增强后的图像。
是图像降噪处理器，可以表示为减少模糊和降噪。
u0 = Ku+n，u0是原始图像，K是模糊核，n是加性噪声。
u是降噪和增强后的图像。
由此可见，图像降噪处理解决两个问题：一是如何模型化和表示原始图像I0；二是模型化图像降噪处理器。
原始图像模型化的方法将影响图像降噪处理的方法。
对原始图像模型化和表示的方法有很多种，应用PDE方法进行图像处理时，往往基于Mumford和Shah的对象边缘模型和Rudin、Osher和Fatemi的BV模型。
其中BV模型[4]常用于数字图像处理。
该模型假设理想的图像是有界的总体变分，因此，图像的降噪处理器可以用变分优化的方法加以实现。
基于PDE的图像降噪方法
基于PDE的图像降噪方法
李小林;刘传才
【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(24)3
【摘要】回顾了3种传统的PDE图像降噪方法,即φ函数、基于散度的PDE和基于拉普拉斯算子的扩散PDE;指出了可将扩散方程与自由薛定锷方程结合,形成新的基于复扩散的图像降噪处理方法.
【总页数】5页(P249-253)
【作者】李小林;刘传才
【作者单位】福建农林大学,计算机与信息学院,福州350002;南京理工大学,计算机系,南京210094
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.4
【相关文献】
1.基于混合拉普拉斯模型和EM算法的图像降噪方法 [J], 张正杰
2.基于三维块匹配的红外图像降噪与缺陷量化方法 [J], 刘佳琪;张志杰;董宁琛;尹武良;赵晨阳
3.一种基于深度学习的非局部均值图像降噪方法 [J], 刘建宾;刘保中
4.基于生成对抗网络和噪声水平估计的低剂量CT图像降噪方法 [J], 张雄;杨琳琳;上官宏;韩泽芳;韩兴隆;王安红;崔学英
5.基于PDE方法的图像力触觉再现方法研究 [J], 田磊;宋爱国;王蔚
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Ｓｃｉ ｃｅ ｅｎ ａｎｄ Ｔｅｃｈ ｏｇｙ ｎ ｎｏｌ ｌ ｎｏｖ ｉ Ｈｅｒ ｄ ａｔ ｏｎ ａｌ
工 程 技 术
基 于偏 激 分方 程 （ 的图像 去噪 的 方法 综述 Ｐ Ｅ） Ｄ
刘 晓娜 冯培 娟 沈 小凤 （ 中央 民族 大学理 学院 北 京 １ ０ ８ ） ０ １ ０
１引言
模 图 像 去 噪 是 数 字 图 像 处 理 中 的一 个 经 典 问 题 。 着 数 字 图像 方 程 代 替 高斯 平 滑 滤 波 ， 型 为 ： － 随 处理技术的发展， 大量 数 字 图像 经 由信 道传 输 或 通 过 介 质 保 存 。 图
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摘 要： 偏微分 方：（ Ｅ） ￣ － ＰＤ 方法 ， 图像处理 中的一种较新 的方法 ， 着很 强的数 学基础 ， 图像处理 中的应 用发展 非常快 。 是 有 在 本文将近 几年 应 用较 多的几种 图像去噪方 法进 行 了系统 的概括总结 ， 出了该领域 的学者是如何 一 步步进行 改进得 到新 方法的 ， 指 并对该镊域 的发展做 了新 的 展 望 。 关键词 ： 图像 去噪 偏微 分方程 平 滑滤波 总变差 中 图分类号 ： Ｐ Ｔ ３ 文献 标 识码 ： Ａ 文章编号 ： ４ ０ （ ０ １０ （） Ｉ ０ ０ １ － ９ ｘ ２ １ ） ７ｂ一０ １ － ２ ６ ７ ｓ
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方法 ， 指 出 了 它们 之 间 的 联 系 。 并
２ 图像去噪模型
偏微 分 方 程 与 图像 去 噪 的结 合 产 生 了许 多模 型 ， 体上 可 以 分 大 为两大类： 一种 是 基 本 的迭 代 格式 ， 着时 间 的变 化 更新 ， 得 图像 随 使 向所 要 得 到 的 效 果 逐 步 逼 近 ， 种算 法 的 代 表 为 Ｐ ｒ＂ 和 Ｍａｉ［ 这 ｅｏ 口 ｌ ｋ】 的方 程 以及 对 其 改进 的 后 续 工作 。 方 法 在前 向扩 散 的 同时 具 有 向 该 后扩 散 的 功 能 ， 以具 有 平 滑 图 像 和边 缘 锐 化 的 能 力 ， 所 并且 扩 散 系 数有 很 大 的选择 空 间 。 但是 该 方 法是 病 态 问题 ， 在应 用 中 不稳 定 。 另 种 是 基 于 变 分 法的 思 想 ， 定 图 像 的能 量 函数 ， 确 通过 求 能 量 函数 的最 小 值 ， 得 图像 达 到 平滑 状 态 ， 在 得到 广 泛应 用 的 总 变差 Ｔ 使 现 Ｖ （ ｔｌ Ｔｏａ Ｖａｉｔ ｎ 模型“ 是这 一 类。 到合 适 的能 量方 程 ， ｒａｉ ） ｏ １ 就 找 保证 演 即对 进行了高斯正则化， Ｖ ｕｔ ）代替ｆ ｌ 克服了 用ｌ （ ｒ ， Ｖ ， 化 的稳 定性 获 得 理想 的 结 果 是这 类 方 法的 关 键所 在 。 比第 一 种方 它 “对 噪 声 敏 感 的 问题 。 则化 模 型 的 解 是存 在 唯 一 的 ， 且 关 于 正 并 法稳 定 ， 具 有 明确 的 理论 解 释 ， 且 是现 在普 遍 应 用的 方 法 。 变 分 不 全 具备 后 向扩 散 的 能 力 ， 理 的 图 像 模糊 ， 处 无边 缘 锐 化 。 文 以 Ｐ 本 Ｍ模 初 值 是 稳 定 的 。 Ｎｉ ｂ ｒ — ｈ ｏ ａ 出Ｐ ｔ ｅｇ ｓ ｉｔ给 ｚ Ｍ模 型 的 一个 时域 正 则 化 形 式 ： 型 和ＴＶ模 型 为基 础 ， 详 细介 绍对 其 改 进 的后 续 工 作 。 并 ２ １迭代去 噪模 型 ．
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像在 传 输 或 存 储 过 程 中 受 到 外 界物 理 条 件 的 限 制 ， 产 生 的 噪 声 所 这里 ‰ 是 原 始 图像 ， （ ＞０且 是 单 调递 减 函数 。 （ 称 为 扩 散 ｃ． ） ｆ・ ） 会 影 响 图 像 的 视 觉 效 果 。 在 众 多的 应 用 领 域 中 ， 需 要 清晰 的 、 系数， 而 又 与图像梯度成反比。 （．） １ 退化为热方程， 当ｃｖ Ｉ； 时， Ｉ ‘ 通过适 高 质 量 的 图 像 ， 此 ， 像 去 噪 是 一 类 重 要 的 图 像 处 理 问题 ， 因 图 同时 当 定 义 扩 散 率 函 数 ， Ｍ模 型既 可 以 去噪 又能 较 好 地 保 持 边 缘 。 Ｐ 也 是 其 它 图 像 处 理 的 重 要 预 处 理 过 程 ， 后 继 处 理 带 来 很 大 的 影 对 扩 散率函数应满足ｃ ） ０ 【栅） （ ：， 【佃） ０ 是单调减函 ， 数且 响 。 于 偏 微 分 方程 （ Ｄ ） 基 Ｐ Ｅ 的方 法 进行 图像 处 理 因具 有 各向 异 性 的 特性 ， 自适 应性 强 ， 够 在 平 滑 噪 声 的 同时 更 好 的 保 持 边 缘 与 纹理 能 ｃ ） Ｉｉ ｓ＝ （ ＝－ ｃ ） ０ … （ ｌ ｍ 等 细节 性 息 ， 在 过 去 的 二十 几年 中获 得 了 巨大的 发 展 。 个 领 域 故 这 ６ ）０ （ ＞ 的 实 质 性 的 创始 工 作 归 功 干 和 各 自独 立 的 研 究 。 们 严 格 地 介 绍 他