第二章_二次函数综合题训练题型合集及答案(())

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第二章二次函数专题训练(三)求二次函数表达式的常见类型(含答案)

专题训练(三)求二次函数表达式的常见类型►类型一已知三点求表达式1．已知：如图3－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的表达式．图3－ZT－12．如图3－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．图3－ZT－2►类型二已知顶点或对称轴求表达式3．如图3－ZT－3，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图3－ZT－34．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的表达式．6．如图3－ZT－4，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当P A＋PB的值最小时，求点P的坐标．图3－ZT－4►类型三已知抛物线与x轴的交点求表达式7．抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－38．如图3－ZT－5，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则抛物线的表达式为______________．图3－ZT－59．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x轴有两个交点，两交点间的距离为6，求抛物线的表达式．► 类型四根据图形平移求表达式10．一个二次函数图象的形状与抛物线y ＝－2x 2相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为______________________________．11．将抛物线y ＝12x 2平移，使顶点的坐标为(t ，t 2)，并且经过点(1，1)，求平移后抛物线对应的函数表达式．12．把抛物线y ＝x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3－ZT －6所示的抛物线．(1)求此抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点M ，使△ABM 的面积为20，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －613．如图3－ZT －7，经过点A (0，－6)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B (－2，0)，C 两点．(1)求此抛物线的表达式和顶点D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移m (m >0)个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．图3－ZT －7详解详析1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以此抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2.∵抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入表达式，得a ＝1，故该二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3.5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －3)．把(0，3)代入表达式，得3＝3a ， ∴a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3.6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴此抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P . 设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3，∴直线AE 的表达式为y ＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37，∴当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．7．[解析] B 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋39．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)，所以设其表达式为y ＝a (x ＋2)(x －4)．将(1，9)代入表达式，得9＝a (1＋2)(1－4)，解得a ＝－1.所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋2)(x －4)，即y ＝－x 2＋2x ＋8.10．[答案] y ＝－2x 2＋8x －7或y ＝2x 2－8x ＋911．解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －t )2＋t 2.∵平移后的抛物线经过点(1，1)， ∴1＝12(1－t )2＋t 2，解得t ＝1或t ＝－13，∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －1)2＋1或y ＝12(x ＋13)2＋19，即y ＝12x 2－x ＋32或y ＝12x 2＋13x ＋16.12．解：(1)此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，B (－3，0)，∴AB ＝4.设点M 的坐标为(m ，n )． ∵△ABM 的面积为20， ∴12AB ·|n |＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m 2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴M (－1＋14，10)或M (－1－14，10)；当n ＝－10时，m 2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)． 13．解：(1)∵点A 的坐标为(0，－6)，∴y ＝12x 2＋bx －6.∵该抛物线过点B (－2，0)，∴12×(－2)2－2b －6＝0，解得b ＝－2， ∴此抛物线的表达式为y ＝12x 2－2x －6.∵y ＝12x 2－2x －6＝12(x －2)2－8，∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，－8)．(2)平移后所得新抛物线的表达式为y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ，即y 1＝12(x －1)2－8＋m ，∴顶点P 的坐标为(1，m －8)．对于y ＝12x 2－2x －6，令y ＝0，得12x 2－2x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2，∴C (6，0)，∴直线AC 的表达式为y ＝x －6，当x ＝1时，y ＝－5. ∵点P 在△ABC 内，∴⎩⎨⎧m －8＜0，m －8＞－5，解得3<m <8.。

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或34．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm26．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣67．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8D．98．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A 为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm∴S四边形P ABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．∵1＞0，∴当t＝3时，四边形P ABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．故选：C．7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴＝﹣2（x﹣2）2+8∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣解：二次函数对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小∴y3最小，y1最大，故选：A．二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是﹣1.5或．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是1，最大值是9．解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：y max＝9，当x＝﹣1时，y min＝1．故答案为1，9．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为﹣2或．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1∴m＝±，∴m＝；当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意故答案为：﹣2或．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是﹣4或2．解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝∵＝①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3解得：m＝﹣4；②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3解得：m＝（舍去）．③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2故答案为﹣4或2．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝1．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）＝x2﹣11x+24＝﹣∴当x≤时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．故答案为：0．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y （cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴∴∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大∵m＜m+1，∴y1＜y2．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+cy＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．。

26.3.4二次函数综合题(2)课文练习含答案解析

_________ ．
11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降
1 米时，水面的宽度为 _________ 米．
二．填空题（共 6 小题）
9．已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线
x=2，则线段 AB 的长为 _________ ．
10 如图，二次函数 y=ax2+bx+3 的图象经过点 A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程 ax2+bx=0 的根是
系．已知 OA=3，OC=2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将△BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的
点 F 处．
（1）直接写出点 E、F 的坐标；
（2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且 EF=PF，求该抛物线的解析式；
5．将抛物线 y=x2﹣2 平移到抛物线 y=x2+2x﹣2 的位置，以下描述正确的是（）
A．向左平移 1 单位，向上平移 1 个单位 B．向右平移 1 单位，向上平移 1 个单位
C．向左平移 1 单位，向下平移 1 个单位 D．向右平移 1 单位，向下平移 1 个单位
一．选择题（共 8 小题）
1．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；
④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）
A． ③④ B． ②③ C． ①④ D． ①②③

北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案(高分练习)

北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A.（0，7）B.（﹣1，7）C.（﹣2，7）D.（﹣3，7）2、若将函数y=a（x+3）（x-5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是( )A.（－3，0）和（5，0）B.（－2，b）和（6，b）C.（－2，0）和（6，0）D.（－3，b）和（5，b）3、将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A. B. C. D.4、若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣2m+2017的值为（）A.2019B.2018C.2016D.20155、下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A.y=x 2+2xB.y=x 2﹣2xC.y=x 2﹣2D.y=x 2﹣4x6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A.2B.4C.8D.167、记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A.y＝﹣（x﹣60）2+1825B.y＝﹣2（x﹣60）2+1850C.y＝﹣（x ﹣65）2+1900D.y＝﹣2（x﹣65）2+20008、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A.3 mB. mC.4 mD.9 m9、函数y＝2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1， y1），B（x2， y2），且|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则（）A.y1＜y2B.y1＝y2C.y1＞y2D.y1、y2的大小不确定10、在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A.0B.1C.2D.311、已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ．正确的是（）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤12、由二次函数，可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线C.当x<3时，y随x的增大而增大D.其最小值为113、抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（）A.直线x＝－1B.直线x＝1C.直线x＝2D.直线x＝－214、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根15、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________ .17、一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是________（只要求写出一个）.18、如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是________．19、已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=________时，函数取得最大值为________.20、已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为________．21、如果抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下，那么k的取值范围是________ ．22、抛物线y=x2﹣3x﹣15 与x 轴的一个交点是（m，0），则2m2﹣6m 的值为________．23、已知二次函数y=ax2（a≠0的常数），则y与x2成________ 比例．24、设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________．25、若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．27、某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。

第二章二次函数单元测试卷 2022-2023学年北师大版数学九年级下册(含答案)

第二章二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．。

难点详解北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评试题(含详细解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．正比例函数关系，二次函数关系2、用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系3、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（－1，3），与x轴的交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，以下结论：①abc＞0；②b2－4ac=0；③a+b+c＞0；④2a－b=0；⑤c－a=3；其中正确的有（）个A．2 B．3 C．4 D．54、抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2图象与y轴交点的坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（0，0）D．（﹣2，0）5、如图为二次函数2y x x2=--的图象，则函数值y<0时，x的取值范围是（）A．x<-1 B．x>2 C．x<-1或x>2 D．-1<x<26、某同学将如图所示的三条水平直线1m，2m，3m的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线4m，5m，6m的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数()2210=-+<的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（）y ax ax aA．1m，4m B．2m，5m C．3m，6m D．2m，4m7、抛物线y = a2x + bx + c的对称轴是（）A ．x = b aB ．x = - b aC ．x =2b aD ．x = - 2b a8、已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋1（a 为常数，且a ＞0）的图象上有三点A （－2，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 1 9、二次函数()=-+2y 2x 31的图象的顶点坐标是（）A ．()2,3B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,110、下列函数中，是二次函数的是（）A ．5y x =B ．2y xC ．21y x =+D ．2y x =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，抛物线y =-x 2+2．将该抛物线在x 轴和x 轴上方的部分记作C 1，将x 轴下方的部分沿x 轴翻折后记作C 2，C 1和C 2构成的图形记作C 3．关于图形C 3，给出如下四个结论：①图形C 3关于y 轴成轴对称；② 图形C 3有最小值，且最小值为0；③ 当x >0时，图形C 3的函数值都是随着x 的增大而增大的；④ 当-2≤x ≤2时，图形C 3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．2、已知某函数当0x >时，y 随x 的增大而减小，则这个函数解析式可以为________．3、二次函数()22y x h k =-+（h 、k 均为常数）的图象经过A （－2，y 1）、B （0，y 2）、C （2，y 3）三点，若y 2＜y 1＜y 3，则h 的取值范围是___________．4、抛物线2y ax bx c =++的对称轴及部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为______．5、用描点法画二次函数的图像需要经过列表、描点、连线三个步骤. 以下是小明画二次函数2y ax bx c =++图像时所列的表格：根据表格可以知道该二次函数图像的顶点坐标是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、对于二次函数223y x x =+-，请回答下列问题：（1）求出此函数图像的顶点坐标；（2）当22x -<<时，请直接写出y 的取值范围．2、小明对函数y ＝a |x 2+bx |+c （a ≠0）的图象和性质进行了探究．根据已知条件，列出了下表：（1）根据以上信息求出这个函数的表达式；（2）请将以上表格填全；（3）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）在同一直角坐标系中画出函数y ＝-x +1的图象，结合函数图象，写出方程a |x 2+bx |+c =-x +1的解：．3、已知：抛物线1l ：2y x 2x 3=-++交x 轴于点AB （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，抛物线2l 经过点A ，与x 轴的另一个交点为()6,0E ，交y 轴于点()0,3D -．（1）求抛物线2l 的函数表达式；（2）如图，N 为抛物线1l 上一动点，过点N 作直线MN y ∥轴，交抛物线2l 于点M ，点N 自点A 运动至点B 的过程中，求线段MN 长度的最大值．（3）P 为抛物线1l 的对称轴上一动点Q 为抛物线2l 上一动点，是否存在P 、Q 两点，使得B 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线的顶点为A (1，4)，抛物线与y 轴交于点B (0，3)，与x 轴交于C 、D 两点，（1）求此抛物线的解析式．（2）若点P 是对称轴上的一个动点，当△PBC 周长最小时，求点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点Q ，使点Q 到直线BD ？若存在，请直接写出Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线243y x x =-+．（1）求它的顶点坐标；（2）求它与x 轴的交点坐标．-参考答案-一、单选题1、C根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =-=-，即5y t =-()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．2、D【分析】根据题意可得矩形的一边长为x 米，则另一边长为222x -米，根据矩形的面积公式计算即可求得则S 与x 的函数关系【详解】解：设矩形的一边长为x 米，则另一边长为222x -米，则2222x S x x x -=⨯=-+ 则S 与x 的函数关系为二次函数关系故选D【点睛】本题考查了二次函数的识别，表示出矩形的另一边的长是解题的关键．3、B根据抛物线的图象与性质即可判断．【详解】解：根据题意画出图形如下：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝−1，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，−2b a＝−1，c ＞0， ∴b ＝2a ＜0，∴abc ＞0，结论①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b 2−4ac ＞0，故②错误；由于对称轴为x ＝−1，∴x ＝−3与x ＝1关于x ＝−1对称，∵x ＝−3时，y ＜0，∴x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故③错误；∵对称轴为x ＝−2b a＝−1， ∴2a −b ＝0，故④正确；∵顶点为B （−1，3），∴y ＝a −b ＋c ＝3，∴y ＝a −2a ＋c ＝3，即c −a ＝3，故⑤正确；故正确的有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系逐一分析五条结论的正误是解题的关键．4、C【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，当0x =时，计算y 的值，即可得到答案．【详解】当0x =时，()2212220y x =--=-=∴抛物线y ＝2（x ﹣1）2﹣2图象与y 轴交点的坐标是：（0，0）故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．5、D【分析】根据图象可得：处在x 轴下方的部分即0y <，即可得出自变量的取值范围．【详解】解：根据图象可得：处在x 轴下方的部分即0y <，此时自变量的取值范围为：12x -<<，故选：D ．【点睛】题目主要考查二次函数图象的基本性质及利用图象求不等式的解集，结合图象得出不等式的解集是解题关键．6、D【分析】由抛物线开口向上可知0a <，由抛物线配方为()2(1)10y a x a a =--+<，可得抛物线的对称轴为1x =，顶点纵坐标为1a -+，据此结合图象可得答案．【详解】解：抛物线()2(1)10y a x a a =--+<的开口向上下0a ∴<，2221(1)1y y ax ax a x a ==-+=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∴应选择的y 轴为直线4m ；顶点坐标为(1,1)a -+，抛物线()2(1)10y a x a a =--+<与y 轴的交点为(0,1)，而11a -+>，∴应选择的x 轴为直线2m ，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是理解掌握二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，同时注意数形结合思想的运用．7、D【分析】根据抛物线对称轴的计算公式判断．【详解】∵抛物线y = a 2x + bx + c 的对称轴是x = -2b a，故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，熟练抛物线对称轴的计算公式是解题的关键．8、D【分析】首先计算出抛物线的对称轴，然后结合开口方向，以及各点和对称轴的远近判断对应函数值大小即可．【详解】解：由题意，抛物线对称轴为：直线12b x a =-=， ∵a ＞0，则该抛物线开口向上，∴离对称轴越近的点，对应的函数值越小，越远的点，对应函数值越大， ∵()113112-<-<--， ∴231y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查比较二次函数值的大小，当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点，对应的函数值越小，越远的点，对应的函数值越大；相反，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，对应的函数值越大，越远的点，对应的函数值越小；掌握此方法是解题关键．9、D【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线解析式为()=-+2y 2x 31 ，∴ 其顶点坐标为(3，1)，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键．10、B【分析】根据二次函数的定义即可判断．【详解】 A. 5y x=是反比例函数，故此选项错误； B. 2y x 是二次函数，故此选项正确； C. 21y x =+是一次函数，故此选项错误；D. 2y x =是正比例函数，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的定义：形如2y ax bx c =++，其中0a ≠，且a 、b 、c 是常数，掌握二次函数的定义是解题的关键．二、填空题1、①②④【分析】画出图象C 3，根据图象即可判断．【详解】解：如图所示，①图形C 3关于y 轴成轴对称，故正确；②由图象可知，图形C 3有最小值，且最小值为0；，故正确；③当x >0时，图形C 3与x 轴交点的左侧的函数值都是随着x 的增大而减小，图形C 3与x 轴交点的右侧的函数值都是随着x 的增大而增大，故错误；④当-2≤x ≤2时，图形C 3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．2、y x =-或21y x =-或1y x=（答案不唯一）【分析】根据题意可得这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，再由函数的增减性即可得出函数解析式．【详解】解：某函数当0x >时，y 随x 的增大而减小，∵未明确是一次函数、二次函数还是反比例函数，∴这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，根据其性质可得：这个函数为y x =-或21y x =-或1y x=，故答案为：y x =-或21y x =-或1y x=（答案不唯一）．【点睛】题目主要考查一次函数和二次函数、反比例函数的基本性质，熟练掌握三个函数的基本性质是解题关键．3、1<<0h -【分析】首先判定出二次函数开口向上，对称轴为x h =，然后根据二次函数的增减性求解即可．【详解】解：∵二次函数()22y x h k =-+（h 、k 均为常数），∵2>0，∴二次函数开口向上，对称轴为x h =，∵图象经过A （－2，y 1）、B （0，y 2）、C （2，y 3）三点，由y 2＜y 1＜y 3可得，点A 离对称轴比点B 离对称轴远，点C 离对称轴比点A 离对称轴远， ∴20<222>2h h -+⎧⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，解得：1<<0h -．故答案为：1<<0h -．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．4、故答案为：-2；【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）；顶点式：y ＝a （x −h ）2＋k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h ，k ）；交点式：y ＝a （x −x 1）（x −x 2）（a ，b ，c 是常数，a ≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x 轴的两个交点坐标（x 1，0），（x 2，0）．3．11x =-，23x =【分析】利用图象法可得11x =-，再根据抛物线的对称性求得23x =，即可求解．【详解】解：∵根据图象可得：抛物线与x 轴的交点为1,0∴11x =-，∵对称轴为1x =∴()22113x =⨯--=∴方程的解为11x =-，23x =，故答案为：11x =-，23x =．【点睛】本题考查了用图象法解一元二次方程的问题，掌握图象法解一元二次方程的方法、抛物线的性质是解题的关键．5、（-2，-1）【分析】根据表格得出（-4，3）与（0，3）是二次函数图像上关于对称轴对称的两点，根据对称两点求对称轴的公式可求二次函数的对称轴为：4022x -+==-，根据图表得出二次函数的顶点坐标为（-2，-1）．【详解】解：∵x =-4与x =0时的函数值都为3，∴（-4，3）与（0，3）是二次函数图像上关于对称轴对称的两点， ∴二次函数的对称轴为：4022x -+==-， ∵（-2，-1）是对称轴与二次函数的交点，∴二次函数的顶点坐标为（-2，-1）．故答案为（-2，-1）．【点睛】本题考查二次函数表格数据的获取和处理，会从表格中找出关于二次函数对称轴对称的两点，会求对称轴，掌握对称轴与函数图像的交点是二次函数的顶点是解题关键．三、解答题1、（1）（-1，-4）；（2）45y -≤<【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式求解即可；（2）先求出抛物线对称轴为直线1x =-，推出当x >-1时，y 随x 增大而增大，当x <-1时，y 随x 增大而减小，然后分别求出当2x =-时，()22143y =-+-=-，当2x =时，()22145y =+-=，由此即可得到答案．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为()2222321414y x x x x x =+-=++-=+-，∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4）；（2）∵抛物线解析式为()2222321414y x x x x x =+-=++-=+-，10a =>∴抛物线对称轴为直线1x =-，抛物线开口向上，∴当x >-1时，y 随x 增大而增大，当x <-1时，y 随x 增大而减小，∴抛物线的最小值为-4，当2x =-时，()22143y =-+-=-，当2x =时，()22145y =+-=，∴当−2<x <2时，45y -≤<．【点睛】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，二次函数的函数值取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．2、（1）y ＝|x 2﹣4x |﹣3；（2）见解析；（3）见解析；（4）1231,1,4x x x =-==【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）将x =-1，2，5分别代入解析式计算即可；（3）描点，用平滑的曲线连接即可；（4）结合图形写出交点横坐标即可；【详解】解：（1）将（0，-3）（1，0）（3，0）代入y ＝a |x 2+bx |+c 得301093c a b c a b c ⎧-=⎪=++⎨⎪=++⎩解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以表达式为y ＝|x 2﹣4x |﹣3（2）当x =-1时，y =2；当x =2时，y =1当x =5时，y =2（3）如图：（4）y ＝-x +1与y ＝|x 2﹣4x |﹣3图象的交点即为方程a |x 2+bx |+c =-x +1的解，由图可知交点为：（-1，2）（1，0）（4，-3）即答案为：1231,1,4x x x =-==【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的关系解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．3、（1）215322y x x =--；（2）当32x =时MN 有最大值758；（3）存在，且坐标分别为()11,7P ，()12,4Q -或()21,8P -，()24,5Q -或()31,3P ，()32,6Q -．【分析】（1）根据题意，先求出抛物线1l 与x 轴的交点A ，抛物线2l 经过点A ，E 两点，设抛物线2l 解析式为()()16y a x x =+-，将点D 代入解析式求解即可确定抛物线2l 的解析式；（2）设()2,23N x x x -++，根据MN y ∥轴，可得点M 的坐标，MN 长即为两个点的纵坐标之差，代入化简为二次函数，根据x 的取值范围，即可确定其最大值；（3）根据题意，分三种情况讨论：①当11∥BD P Q ，且11P Q 、均在x 轴上方时，11BD PQ=；②当22∥BD P Q ，且22P Q 、均在x 轴下方时，22BD P Q =；③当BD 为平行四边形32P BQ D 的对角线时；三种情况均是通过全等三角形的判定定理和性质得出三角形的边相等，然后利用线段间的关系及函数解析式得出点的坐标．【详解】解：（1）令0y =，可得2230x x -++=，解得1x =-或3x =，∴A 点坐标为1,0，B 点坐标为3,0，∵抛物线2l ，经过点A ，E 两点，∴可设抛物线2l 解析式为()()16y a x x =+-，又∵抛物线2l 交y 轴于点()0,3D -，∴36a -=-，解得12a =， ∴()()2115163222y x x x x =+-=--， ∴抛物线2l 的函数表达式为：215322y x x =--；（2）由题意可设，设()2,23N x x x -++，∵MN y ∥轴，则215,322M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴()22221539337523362222228MN x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++---=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵13x -≤≤， ∴当32x =时，MN 有最大值758；（3）①当11∥BD P Q ，且11P Q 、均在x 轴上方时，11BD PQ=，如图所示：过点1Q 作11Q F PF ⊥，∴1Q GC BDO ∠=∠，∵对称轴1x =平行于y 轴，∴111Q GO Q PF ∠=∠， ∴11Q PF BDO ∠=∠，在ΔΔ1ΔΔ1与ΔΔΔΔ中，111111Q FP BOD Q PF BDO PQ BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔ1ΔΔ1≅ΔΔΔΔ，∴13Q F BO ==，13PF OD ==， ∴1312Q H =-=，点1Q 的横坐标为2-，将2x =-代入215322y x x =--，解得：4y =，1117Q PM PF y =+=， ∴()11,7P ，()12,4Q -；②当22∥BD P Q ，且22P Q 、均在x 轴下方时，22BD P Q =，如图所示：过点D 作2DF P F ⊥，过点B 作BG OB ⊥，过点2Q 作2Q G BG ⊥，∴2∥BG P F ，22∥P D BQ ，∴22Q BG DP F ∠=∠，在ΔΔ2ΔΔ与ΔΔΔΔ2中，222222Q GB DFP Q BG DP F BQ DP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔ2ΔΔ≅ΔΔΔΔ2，∴21Q G DF ==，2P F BG =，∴点1Q 的横坐标为：24OB Q G +=，将4x =代入215322y x x =--，解得：5y =-，∴25P F BG ==，28D P F y ∴+=，∴结合图象，可得：∴()21,8P -，()24,5Q -；③当BD 为平行四边形32P BQ D 的对角线时，过点D 作3DG PG ⊥，过点3Q 作3Q F BO ⊥， ∴33∥P G Q F ，33∥P D Q B ，∴33BQ F DPG ∠=∠，在ΔΔΔΔ3与ΔΔΔΔ3中，333333BFQ DGP BQ F DPG BQ DP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔΔΔ3≅ΔΔΔΔ3，∴1BF DG ==，∴312OF OB BF =-=-=，∴点3Q 的横坐标2，将2x =代入215322y x x =--，解得：6y =-，∴336Q F PG ==， ∴363P D y y =-=，∴结合图象，可得：∴()31,3P ，()32,6Q -；综上可得：存在点P 、Q ，且坐标分别为()11,7P ，()12,4Q -或()21,8P -，()24,5Q -或()31,3P，()32,6Q -．【点睛】题目主要考查二次函数与动点问题，包括确定函数解析式，最值问题，二次函数与平行四边形相结合等，理解题意，作出相应辅助线及图象是解题关键．4、（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4；（2）P （1,2）；（3）1234,,,Q Q Q Q ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y ＝a （x ﹣1）2+4，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解；（2）先求出抛物线对称轴为x =1，点C 坐标为（-1,0），点D 坐标为（3,0），根据BC 为定值，得到当PB +PC 的值最小时，△PBC 周长最小，连接BD ，交抛物线对称轴于点P ，此时，PB +PC 值最小，即△PBC 周长最小．求出直线BD 解析式为y =-x +3，把x =1代入y =-x +3即可求出点P 坐标为（1,2）；（3）过点Q 作QH ⊥x 轴，交BD 于F ，作QE ⊥BD 于E ，求出FQ =1，即可得到过点Q 且平行与BD 的直线解析式为4y x =-+或2y x =-+ ，分别于抛物线联立方程组，即可求出点Q 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为A （1，4），∴设抛物线的解析式y ＝a （x ﹣1）2+4，把点B （0，3）代入得，a +4＝3，解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+4；（2）如图1，由抛物线抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+4得对称轴为x =1，点C 与点D 关于对称轴对称，把y =0代入y ＝﹣（x ﹣1）2+4，得﹣（x ﹣1）2+4=0，解得121,3x x =-=，∴点C 坐标为（-1,0），点D 坐标为（3,0），∵BC 为定值，∴当PB +PC 的值最小时，△PBC 周长最小，连接BD ，交抛物线对称轴于点P ，此时，PB +PC 值最小，即△PBC 周长最小．设直线BD 解析式为y =kx +b （k ≠0），由题意得330b k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 解析式为y =-x +3，把x =1代入y =-x +3得y =-1+3=2，∴点P 坐标为（1,2）；（3）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，交BD 于F ，作QE ⊥BD 于E ，∵OB =OD =3，QH ⊥x 轴，∴∠HDF =∠HFD =45°，∴∠EFQ =∠DFH =45°，∵QE ⊥BD ，∴△QEF 为等腰直角三角形，∴QE =EF∴1FQ ，∵点Q 到直线BD ∴点Q 在与直线BD 平行的直线上，即将直线BD 向上或向下平移1个单位，可得到过点Q 的直线，∵直线BD 解析式为y =-x +3，∴过点Q 且平行于BD 的直线解析式为4y x =-+或2y x =-+ ，解方程组()2144y x y x ⎧=--+⎪⎨=-+⎪⎩得11x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解方程组()2142y x y x ⎧=--+⎪⎨=-+⎪⎩得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； ∴满足条件的点Q的坐标有四个，即1234,,,Q Q Q Q ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式，利用二次函数对称性解决将军饮马问题，勾股定理，函数与方程（组）关系等知识，综合性强，理解二次函数的性质和函数与方程组关系并根据题意灵活应用是解题关键．5、（1）()2,1-；（2）1,0,3,0.【分析】（1）把抛物线化为顶点式即可；（2）令0,y = 则2430,x x -+=再利用因式分解法解一元二次方程即可.【详解】解：（1）224321,y x x x所以抛物线的顶点坐标为：2,1.（2）令0,y = 则2430,x x -+=()()130,x x ∴--=10x ∴-=或30,x -=解得：121,3,x x ==所以抛物线与x 轴的交点坐标为：1,0,3,0.【点睛】本题考查的是求解抛物线的顶点坐标，抛物线与x 轴的交点坐标，掌握“把抛物线化为顶点式以及把0y =代入抛物线求解与x 轴的交点坐标”是解本题的关键.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0，解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12，当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确；故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4．解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值．答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ．（1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长；（3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值．答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值；（1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20；（3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。

北师大版九年级数学下册第2章二次函数章末综合题复习(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章末综合题复习1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE和矩形DCFE)，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S与x之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．5、已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝x＋2交于点(2，m)．(1)判断y＝ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；(2)设直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2的交点分别为A，B，如图所示．试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．6、如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数的关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△P AB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q.(1)抛物线的表达式为________；(2)当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值；(3)是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l与该抛物线两个交点分别为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．10、如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．11、如图，已知二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．12、如图，顶点为M的抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△P AB的面积最大时，求此时△P AB的面积及点P的坐标；(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5，与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK＋KB的最小值．参考答案1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．解：(1)根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－3，将(0，－5)代入，得a－3＝－5.解得a＝－2.∴抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2－3＝－2x2－4x－5.(2)y＝－2(x－1)2.(3)所求抛物线的表达式为y＝2(x－1)2.2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，∴现将其向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度可得原函数，即y＝2(x－4)2＋3.∴y＝2x2－16x＋35.∴b＝－16，c＝35.(2)由y＝2(x－4)2＋3，得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x＝4.3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y (万个)与销售单价x (元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 把(20，60)，(30，40)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝60，30k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋100.(2)∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%， ∴x ≤(1＋50%)×16＝24.设该公司每月获得的利润为w 万元，则 w ＝y (x －16) ＝(－2x ＋100)(x －16) ＝－2x 2＋132x －1 600 ＝－2(x －33)2＋578.∵图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝24时，w 最大，最大值为416.答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE 和矩形DCFE )，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB 长度为x 米，窗户总面积为S 平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB 的长度不少于2米，且边框AB 的长度小于BC 的长度，求此时窗户总面积S 的最大值和最小值．解：(1)由题意可得，S ＝x ·18－3x 2＝－32x 2＋9x .(2)由题意可得，2≤x ＜18－3x2，解得2≤x ＜3.6，∵S ＝－32x 2＋9x ，2≤x ＜3.6，∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272；当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝12.答：窗户总面积S 的最大值是272平方米，最小值是12平方米．5、已知二次函数y ＝ax 2的图象与直线y ＝x ＋2交于点(2，m )．(1)判断y ＝ax 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x ＞0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2的交点分别为A ，B ，如图所示．试确定A ，B 两点的坐标； (3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．解：(1)把点(2，m )代入y ＝x ＋2，解得m ＝4， ∴交点坐标为(2，4)．把点(2，4)代入y ＝ax 2，得 a ＝1.∴二次函数的表达式为y ＝x 2.∴抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大． (2)由题意，得x 2＝x ＋2，解得x 1＝2，x 2＝－1，则y 1＝4，y 2＝1. ∴A (2，4)，B (－1，1)．(3)设直线y ＝x ＋2与y 轴的交点为D ，则点D 坐标为(0，2)， ∴S △AOB ＝S △DOB ＋S △DOA ＝12×2×1＋12×2×2 ＝3.6、如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴交于点B . (1)求此二次函数的关系式和点B 的坐标；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A (4，0)代入二次函数，得 0＝－16＋4b ＋3，解得b ＝134.∴二次函数的关系式为y ＝－x 2＋134x ＋3.当x ＝0时，y ＝3， ∴点B 的坐标为(0，3)．(2)作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ，则BP ＝AP ，此时点P 即为所求．设BP ＝AP ＝x ，则OP ＝4－x ，在Rt △OBP 中，BP 2＝OB 2＋OP 2，即x 2＝32＋(4－x )2，解得x ＝258.∴OP ＝4－258＝78，即P (78，0)．∴在x 轴的正半轴上存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形，且点P 的坐标为(78，0)．7、如图是二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象，其顶点坐标为M (1，－4)． (1)求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △P AB ＝54S △MAB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋m )2＋k 的顶点坐标为M (1，－4)， ∴y ＝(x －1)2－4.令y ＝0，即(x －1)2－4＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．(2)∵△P AB 与△MAB 同底，且S △P AB ＝54S △MAB ，∴|y P |＝54|y M |＝54×4＝5，即y P ＝±5.又∵点P 在二次函数y ＝(x －1)2－4的图象上， ∴y P ≥－4.∴y P ＝5.令(x －1)2－4＝5，解得x 1＝4，x 2＝－2， ∴存在这样的点P ，其坐标为(4，5)或(－2，5)．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴的交点为A (0，3)，与x 轴的交点分别为B (2，0)，C (6，0)．直线AD ∥x 轴，在x 轴上位于点B 右侧有一动点E ，过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P ，Q .(1)抛物线的表达式为y ＝14x 2－2x ＋3；(2)当点E 在线段BC 上时，求△APC 面积的最大值；(3)是否存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋m ＝0，m ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝3.∴直线AC 的表达式为y ＝－12x ＋3.设△APC 的面积为S ，直线l 与AC 的交点为F . 设P (t ，14t 2－2t ＋3)(2≤t ≤6)，则F (t ，－12t ＋3)．∴PF ＝－14t 2＋32t .∴S ＝S △PF A ＋S △PFC ＝12PF ·t ＋12PF ·(6－t ) ＝12(－14t 2＋32t )×6＝－34(t －3)2＋274. ∴当t ＝3时，S 最大＝274，即△APC 面积的最大值为274.(3)存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．理由：连接AB ，则在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3，BO ＝2，设E (n ，0)(n ＞2)，则Q (n ，3)，P (n ，14n 2－2n ＋3)，当14n 2－2n ＋3＝3时，此时，点P ，Q 重合，即n ＝0(舍)或n ＝8，不能构成△APQ ，∴n ≠8. ①当2＜n ＜8时，AQ ＝n ，PQ ＝－14n 2＋2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝2－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝163.∴E (163，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA，即2n ＝3－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝2(舍)；②当n ＞8时，AQ ＝n ，PQ ＝14n 2－2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝214n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝323.∴E (323，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA ，即2n ＝314n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝14.∴E (14，0)．综上所述，存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点E 的坐标为(163，0)，(323，0)或(14，0)．9、已知直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线y ＝x 2－4x . (1)求证：直线l 与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l 与该抛物线两个交点分别为A ，B ，O 为原点，当k ＝－2时，求△OAB 的面积．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2－4x ，化简，得x 2－(4＋k )x －1＝0， ∴Δ＝(4＋k )2＋4＞0.∴直线l 与该抛物线总有两个交点． (2)当k ＝－2时，y ＝－2x ＋1. 设直线AB 交x 轴于点C .令y ＝0，则－2x ＋1＝0, ∴x ＝12.∴C (12，0)．∴OC ＝12.过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ，y ＝－2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1－22或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝22－1.∴A (1－2，22－1)，B (1＋2，－1－22)． ∴AF ＝22－1，BE ＝1＋2 2. ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC ·AF ＋12OC ·BE ＝12OC ·(AF ＋BE ) ＝12×12×(22－1＋1＋22) ＝ 2.10、如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴A (－1，0)，B (3，0)．在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，则y ＝3.∴C (0，3)．连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，连接AP ，则点P 即为所求．此时△P AC 的周长最小，等于AC ＋BC . ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)，∴AC ＝12＋32＝10，BC ＝32＋32＝3 2. ∴AC ＋CB ＝10＋3 2.∴△P AC 的周长最小为10＋3 2. 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋t .把点B (3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋t ＝0，t ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，t ＝3. ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. ∴y P ＝－1＋3＝2.∴存在点P (1，2)使△P AC 的周长最小，最小值为10＋3 2.11、如图，已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标．解：在y ＝x 2－4x ＋3中，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A (1，0)，B (3，0)．①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则AB ＝PF ＝2.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴点P 的坐标为(4，3)；当点P 在对称轴左侧时，点P 的坐标为(0，3)； ②当AB 是平行四边形的对角线时，如图2， AB 的中点坐标为(2，0)．设点P 的横坐标为m ，则PF 的中点坐标为(m ＋22，0)，∴m ＋22＝2，解得m ＝2.∴点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．图1 图212、如图，顶点为M 的抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3，0)，B (－1，0)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴M (1，4)．∴AM 2＝(3－1)2＋42＝20. 设点P 坐标为(0，p )，则AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2， MP 2＝12＋(4－p )2＝17－8p ＋p 2. ①若∠P AM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2. ∴20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2，解得p ＝－32.∴P (0，－32)．②若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2. ∴9＋p 2＋17－8p ＋p 2＝20，解得p 1＝1，p 2＝3. ∴P (0，1)或(0，3)．③若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2. ∴20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2，解得p ＝72.∴P (0，72)．综上所述，当点P 的坐标为(0，－32)或(0，1)或(0，3)或(0，72)时，△P AM 为直角三角形．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，∴y ＝a (x －3)2＋254＝ax 2－6ax ＋9a ＋254.∴9a ＋254＝4.∴a ＝－14.∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)①设C (m ，－14m 2＋32m ＋4)．∵AD ＝AE ，AD ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AD ＝AE ＝m . ∵OA ＝4，∴OE ＝m －4.∵点E 在y 轴的负半轴上，∴E (0，4－m )．设直线CE 的表达式为y ＝kx ＋b . 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4－m ，mk ＋b ＝－14m 2＋32m ＋4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14m ＋52，b ＝4－m.∴直线CE 的表达式为y ＝(－14m ＋52)x ＋4－m .联立两个函数表达式，得－14x 2＋32x ＋4＝(－14m ＋52)x ＋4－m .∴－14x 2＋(14m －1)x ＋m ＝0，x 2＋(4－m )x －4m ＝0，(x ＋4)(x －m )＝0，解得x 1＝－4，x 2＝m .∴定点F (－4，－6)．②如图，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，交DG 于点Q ，连接OQ ，由①知OE ＝m －4. ∵∠DAE ＝∠ADH ＝∠EHD ＝90°，AD ＝AE ，∴四边形AEHD 是正方形． ∴∠EDH ＝45°，AD ＝AE ＝DH ＝EH . ∵∠ODE ＝∠CDG ，∴∠ODE ＋∠EDQ ＝∠EDQ ＋∠CDG ＝45°，即∠ODQ ＝45°. ∴∠ADO ＋∠CDG ＝45°.在OA 的延长线上取AP ＝QH ，连接PD ，又∵∠P AD ＝∠QHD ＝90°，AD ＝DH ， ∴△P AD ≌△QHD (SAS )． ∴PD ＝DQ ，∠ADP ＝∠CDG . ∴∠ADP ＋∠ADO ＝45°＝∠ODQ . 又∵OD ＝OD ，∴△PDO ≌△QDO (SAS )．∴OP ＝OQ .∵EH ＝DH ，∠EHC ＝∠DHQ ，∠GEH ＝∠CDG ， ∴△EHC ≌△DHQ (ASA )．∴CH ＝QH ＝14m 2－32m －4－(m －4)＝14m 2－52m ＝AP .∴OQ ＝OP ＝OA ＋AP ＝4＋14m 2－52m .∵OE ＝m －4，EQ ＝EH －QH ＝m －(14m 2－52m )＝－14m 2＋72m ，在Rt △OEQ 中，由勾股定理，得OE 2＋EQ 2＝OQ 2， ∴(m －4)2＋(－14m 2＋72m )2＝(4＋14m 2－52m )2，m 3－10m 2－24m ＝0，解得m 1＝0(舍)，m 2＝12，m 3＝－2(舍)． ∴D (12，4)，Q (6，－8)．设直线DG 的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，则⎩⎪⎨⎪⎧12k′＋b′＝4，6k′＋b′＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝2，b′＝－20. ∴直线DG 的函数表达式为y ＝2x －20.14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)， ∴设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a . ∴－3a ＝3.∴a ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于点D ，则BD ＝2OD . ∵B (3，0)，∴OB ＝3.根据勾股定理，得BD 2－OD 2＝32， ∴4OD 2－OD 2＝9. ∴OD ＝3，BD ＝2 3.∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴C (0，3)．∴OC ＝3.∴CD ＝3＋ 3. 过点P 作PB ′⊥BD 于点B ′，在Rt △PB ′B 中，PB ′＝12PB ，∴PC ＋12PB ＝PC ＋PB ′.当点C ，P ，B 在同一条直线上时，PC ＋12PB 最小，最小值为CB ′，∵S △BCD ＝12CD ·OB ＝12BD ·CB ′，∴CB ′＝CD·OB BD ＝（3＋3）×323＝3（3＋1）2，即PC ＋12PB 的最小值为3（3＋1）2.∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°. ∴∠DBC ＝45°＋30°＝75°.∴∠BCP ＝90°－75°＝15°.∴∠OCP ＝30°. ∵OC ＝3，∴OP ＝ 3.∴P (3，0)．(3)如备用图，设M (m ，－m 2＋2m ＋3)， ∵以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形， ∴∠BMC ＝90°.∵点A 在x 轴负半轴上，且∠BOC ＝90°， ∴点M 在x 轴上方的抛物线上．过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，MF ⊥y 轴于点F ， ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°＝∠EOF . ∴四边形OEMF 是矩形． ∴∠EMF ＝90°.∴∠BME ＝∠CMF . 又∵∠BEM ＝∠CFM ＝90°， ∴△BEM ∽△CFM . ∴BE CF ＝MEMF，即3－m －m 2＋2m ＋3－3＝－m 2＋2m ＋3m .∴m ＝1±52或3(舍去)．∴M (1＋52，5＋52)或(1－52，5－52)．∵点N 是点M 关于点E (32，32)的对称点，∴点N 的坐标为(5－52，1－52)或(5＋52，1＋52)．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M 的坐标；(2)设P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标； (3)Q 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD (点Q 与点M 对应)时，求点Q 的坐标．解：(1)把点B (4，m )代入y ＝12x ＋12中，得m ＝52，∴B (4，52)．把点A (－1，0)，B (4，52)，C (0，－32)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝52，c ＝－32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，c ＝－32.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x －32. ∵y ＝12x 2－x －32＝12(x －1)2－2， ∴点M 的坐标为(1，－2)．(2)如图1所示，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P 的坐标为(m ，12m 2－m －32)，则H (m ，12m ＋12)， ∴PH ＝12m ＋12－(12m 2－m －32)＝－12m 2＋32m ＋2. ∵点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，∴－1＜m ＜4.∴S △P AB ＝12×HP ·(x B －x A )＝12×(－12m 2＋32m ＋2)×5＝－54(m －32)2＋12516. ∵－54＜0，∴当m ＝32时，S △P AB 最大，最大为12516，此时点P (32，－158)． (3)如图2所示，在y ＝12x 2－x －32中，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴D (3，0)． ∵M (1，－2)，A (－1，0)，∴△AMD 为等腰直角三角形．∵△QMN ∽△MAD ，∴△QNM 为等腰直角三角形，且∠MQN ＝90°，MQ ＝NQ .设点N 的坐标为(n ，12n 2－n －32)，易证：△QEN ≌△MFQ ，∴FQ ＝EN ＝2，MF ＝EQ ＝12n 2－n －32. ∴12n 2－n －32＋1＝n ＋2.解得n ＝5或－1(舍)． ∴点Q 的坐标为(7，0)．根据对称性可知，点Q 的坐标为(－5，0)时也满足条件，∵△ADM 是等腰直角三角形，∴当点Q 是AD 的中点，N 与A 或D 重合时，△QMN ∽△MAD ，此时Q (1，0)．综上所述，点Q 的坐标为(7，0)或(－5，0)或(1，0)．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5，与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；(4)若点K 为x 轴上一点，连接CK ，请你直接写出2CK ＋KB 的最小值．解：(1)∵点A (－1，0)，B (5，0)在抛物线y ＝ax 2＋bx －5上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令x ＝0，则y ＝－5，∴C (0，－5)．∴OC ＝OB ＝5.∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴AB ＝6，BC ＝52，AC ＝26.要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD. ①当AB CD ＝BC BC时，CD ＝AB ＝6， ∴D (0，1)．②当AB BC ＝BC CD 时，652＝52CD， ∴CD ＝253.∴D (0，103)． ∴点D 的坐标为(0，1)或(0，103)． (3)设H (t ，t 2－4t －5)，∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为－5.∵点E 在抛物线上，∴x 2－4x －5＝－5.∴x ＝0(舍)或x ＝4.∴E (4，－5)．∴CE ＝4.∵B (5，0)，C (0，－5)，∴直线BC 的表达式为y ＝x －5.∴F (t ，t －5)．∴HF ＝t －5－(t 2－4t －5)＝－(t －52)2＋254. ∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF .∴S 四边形CHEF ＝12CE ·HF ＝－2(t －52)2＋252. ∴当t ＝52时，四边形CHEF 的面积最大为252. 当t ＝52时，t 2－4t －5＝254－10－5＝－354， ∴H (52，－354)． (4)如图3，作点C 关于x 轴的对称点E (0，5)，将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BHF ，连接HK ，EF ，EK ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，∵B (5，0)，C (0，－5)，∴BO ＝CO ＝5.∴BC ＝52，∠CBO ＝45°.∵点C ，点E 关于x 轴对称，∴EK ＝CK .∵将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BHF ，∴BK ＝BH ，CK ＝HF ，BF ＝BC ＝52，∠KBH ＝60°＝∠CBF .∴△KBH 是等边三角形．∴KB ＝KH .∴2CK ＋KB ＝HF ＋EK ＋KH .∴当E ，K ，H ，F 四点共线时，2CK ＋KB 的值最小，最小值为EF 的长．∵∠FBM ＝180°－45°－60°＝75°，BF ＝52，∴BM ＝53－52，MF ＝53＋52.∴EF＝（53－52＋5）2＋（53＋52＋5）2＝53＋5，即2CK＋KB的最小值为53＋5.。

第二章《二次函数》2018-2019学年单元测试(含答案)

单元测试(二) 二次函数(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是(C )A .直线x ＝12B .直线x ＝－12C .y 轴D .直线x ＝2 2.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为(D )A .y ＝(x ＋1)2＋4B .y ＝(x ＋1)2＋2C .y ＝(x －1)2＋4D .y ＝(x －1)2＋2 3.若函数y ＝axa 2－2a －6是二次函数且图象开口向上，则a ＝(B )A .－2B .4C .4或－2D .4或34.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象可能是(D )A. B.C. D.5.二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移得到的(A ) A .向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B .向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C .向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D .向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y >0成立的x 的取值范围是(B )A .x <－4或x >2B .－4<x <2C .x ≤－4或x ≥2D .－4≤x ≤27.如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为(C )A .3 mB .2 6 mC .9 mD .4 3 m8.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D )A .2a －b ＝0B .a ＋b ＋c ＞0C .3a －c ＝0D .当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形9.若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为(A )A .x 1＝0，x 2＝4B .x 1＝－2，x 2＝6C .x 1＝32，x 2＝52D .x 1＝－4，x 2＝010.如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为(C )A.26B.24C.16D.14二、填空题(每小题3分，共15分)11.如果点A (－2，y 1)和点B (2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1＜y 2.(填“＞”“＝”或“＜”)12.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数表达式为y ＝－2(x －3)2＋4.13.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋13x ＋32(单位：m )，绳子甩到最高处时刚好通过站在x ＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为1.5__m .14.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是(－2，0).15.老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a ＝1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有小华、小彬、小明.(填写姓名即可)三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该二次函数的表达式；(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？解：(1)y ＝(x －2)2＋1. (2)当x ＝2时，y 有最小值1.17.(9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (2，0)，B (4，0)，且过点C (0，4). (1)求出抛物线的表达式和顶点坐标；(2)请你求出抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式.解：(1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝ 12x 2－3x ＋4.∵y ＝12x 2－3x ＋4＝12(x －3)2－12，∴顶点坐标为(3，－12).(2)抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式为y ＝12x 2＋1.18.(9分)如图，以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)经过A (4，0)和B (0，4)两点，其顶点为C.(1)求该抛物线的表达式及其顶点C 的坐标；(2)若点M 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内. ①设△ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； ②若S 为整数，则这样的M 点有3个.解：(1)∵对称轴为直线x ＝1，∴x ＝－b2a ＝1.∵抛物线经过点A (4，0)和B (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋c ，4＝c ，－b 2a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.当x ＝1时，y ＝－12×1＋1＋4＝92.∴顶点坐标为(1，92).(2)过点M 作MN ∥y 轴交AB 于点N . 设M (x ，－12x 2＋x ＋4)(0<x <4)，∵A (4，0)，B (0，4)∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4. ∴N (x ，－x ＋4).∴MN ＝－12x 2＋2x .∵S △ABM ＝S △AMN ＋S △BMN ＝12(－12x 2＋2x )(4－x )＋12(－12x 2＋2x )·x ＝12(－12x 2＋2x )·4＝2(－12x 2＋2x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.∵0<x <4，∴当x ＝2时，S △ABM 的最大值为4.19.(9分)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元.该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2＋bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元. (1)求y 的函数表达式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解：(1)由题意，x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴y ＝x 2＋x .(2)设第1年到第x 年利润为g 万元，则g ＝33x －100－x 2－x ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156.当g ＝0时，x 1＝16＋239，x 2＝16－239≈3.5，故当x ＝4时，即第4年可收回投资. 答：投产后，这个企业在第4年就能收回投资.20.(9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y (cm 2). (1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值.解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12x (18－2x )，即y ＝－x 2＋9x (0<x ≤4).(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814.∵当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.21.(10分)九年级七班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整. (1)操作发现在作函数y ＝|x |的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≥0），－x （x<0）.请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)类比探究作函数y ＝|x －1|的图象，可以转化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1（x≥1）－x ＋1（x<1），然后分别作出两段函数的图象.聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y ＝x －1在x 轴下面部分，沿x 轴进行翻折，与x 轴上及上面部分组成了函数y ＝|x －1|的图象，如图2所示； (3)拓展提高如图3是函数y ＝x 2－2x －3的图象，请在原平面直角坐标系作函数y ＝|x 2－2x －3|的图象； (4)实际运用①函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与x 轴有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝0有2个实根； ②函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝5有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝5有2个实根； ③函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝4有3个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝4有3个实根； ④关于x 的方程|x 2－2x －3|＝a 有4个实根时，a 的取值范围是0＜a ＜4.解：(1)如图所示. (3)如图所示.22.(10分)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y (本)与每本纪念册的售价x (元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本. (1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？解：(1)y ＝－2x ＋80(20≤x ≤28).(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意，得(x －20)y ＝150，即(x －20)(－2x ＋80)＝150.解得x 1＝25，x 2＝35(舍去). 答：每本纪念册的销售单价是25元.(3)由题意，得w ＝(x －20)(－2x ＋80)＝－2(x －30)2＋200. 当x ＝30时，w 最大.又∵售价不低于20元且不高于28元，－2＜0，∴x ＜30时，y 随x 的增大而增大，即当x ＝28时，w 最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元). 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.23.(11分)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，m )，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；(3)当△P AC 为直角三角形时，求点P 的坐标.解：(1)∵B (4，m )在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝6.∴B (4，6). ∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6). ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵a ＝－2＜0，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498，此时，P (94，174).∴存在符合条件的点P (94，174)，使线段PC 的长有最大值498.(3)显然，∠APC ≠90°，如图1，当∠P AC ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于E 点，与x 轴交于F 点， ∴E (0，2)，F (－2，0).∴△EFO 为等腰直角三角形，∠PFO ＝45°.又∵PC ⊥x 轴，∴∠FPC ＝45°.∴△P AC 为等腰直角三角形. 过A 作AM ⊥P C.∴PM ＝M C.设P (x ，x ＋2).∴M (x ，52)，C (x ，2x 2－8x ＋6).∵PM ＝MC ，∴x ＋2－52＝52－(2x 2－8x ＋6).即2x 2－7x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝12(舍去).当x ＝3时，x ＋2＝3＋2＝5.此时，点P 的坐标为(3，5). 如图2，当∠PCA ＝90°时，由A (12，52)知，点C 的纵坐标为52.令2x 2－8x ＋6＝52，解得x 1＝12(舍去)，x 2＝72.当x ＝72时，x ＋2＝72＋2＝112.此时，点P 的坐标为(72，112).综上可知，点P 的坐标为(3，5)或(72，112).。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷(word 含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2．如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34．下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5．点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为．12．已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。

九年级数学上册第二章《二次函数》测试卷-北师大版(含答案)

九年级数学上册第二章《二次函数》测试卷-北师大版（含答案）一、选择题（共10小题）1. 下列函数中是二次函数的是( )A. y=x−1B. y=1x2C. y=(x−2)2−x2D. y=x(x−1)2. 为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，黄山市某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=−n2+14n−24，则企业停产的月份为( )A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月3. 如果函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么函数y=kx2+b的大致图象是( )A. B.C. D.4. 若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式Δ=b2−4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是( )A. Δ=MB. Δ>MC. Δ<MD. 大小关系不能确定5. 已知抛物线y=(x+2)2−1向左平移ℎ个单位，再向下平移k个单位，得到抛物线y=(x+3)2−4，则ℎ和k的值分别为( )A. 1，3B. 3，−4C. 1，−3D. 3，−36. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝(x+1)(x−3)与x轴相交于A，B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1，C2，C3，使得△ABC1，△ABC2，△ABC3的面积都等于m，则m的值是( )A. 6B. 8C. 12D. 167. 若二次函数 y =x 2−x −2 的图象如图所示，则函数值 y <0 时 x 的取值范围是 ( )A. x <−1B. x >2C. −1<x <2D. x <−1 或 x >28. 定义运算“⋇”：a ⋇b ={ab 2,b >0−ab 2,b ≤0，如：1⋇(−2)=−1×(−2)2=−4，则函数 y =2⋇x 的图象大致是 ( )A. B.C. D.9. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC 垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )A. B.C. D.10. 设函数y=a(x−ℎ)2+k（a，ℎ，k是实数，a≠0），当x=1时，y=1；当x=8时，y=8，( )A. 若ℎ=4，则a<0B. 若ℎ=5，则a>0C. 若ℎ=6，则a<0D. 若ℎ=7，则a>0二、填空题（共7小题）11. 已知抛物线y=x2−6x+5，则满足y<0的x取值范围是．12. 已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0，b，c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为，成立的条件是，是函数．13. 二次函数y=5(x−3)2−2的图象可由函数y=5x2的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到．14. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为−3和1；④a−2b+c>0．其中正确的命题是（填序号）．15. 炮弹从炮口射出后，飞行的高度ℎ(m)与飞行时间t(s)之间的关系是：ℎ=v0tsinα−5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v0=300(m/s)，sinα=1时，炮弹飞行的最大2高度是米．的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横纵坐标都是整数16. 二次函数y=−(x−2)2+94的点有个．（提示：可在下图中画出图象进行分析）17. 已知二次函数y=(a−1)x2+2ax+3a−2的图象的最低点在x轴上，则a等于．三、解答题（共5小题）x2的图象，通过怎样的平移得到下列函数的图象：18. 试分别说明将抛物线y=12(x+1)2（1）y=12x2−4（2）y=12(x−1)2+5（3）y=1219. 已知二次函数y=x2−x−1满足当x=m时，y=0，求代数式m2−m+2020的值．20. 请回答下列问题：（1）将抛物线y=2x2+4向下平移5个单位，写出所得新抛物线的表达式．x2，把它的顶点移到点A(0,−3)的位置，写出所得新抛物线的表达式．（2）平移抛物线y=−1321. 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系不经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处距水面102米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距3水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；米，问此次跳（2）在某次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335水会不会失误?并通过计算说明理由．22. 不画出图象，你能说明抛物线y=−3x2与抛物线y=−3(x+2)2之间的关系吗?参考答案1. D2. D【解析】利润为 0 或小于 0 的月份停产．当 y =−n 2+14n −24=0 时，n =2 或 n =12；当 n =1 时，y <0．所以企业停产的月份为 1 月、 2 月和 12 月． 3. D 4. A【解析】t 是一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根，则 at 2+bt +c =0 ，所以 4a 2t 2+4abt +4ac =0 ， 4a 2t 2+4abt =−4ac ， 4a 2t 2+4abt +b 2=b 2−4ac ， (2at +b)2=b 2−4ac =Δ ． 5. A【解析】抛物线 y =(x +2)2−1 的顶点坐标是 (−2,−1)，则向左平移 ℎ 个单位，再向下平移 k 个单位后的坐标为 (−2−ℎ,−1−k )，∴ 平移后抛物线的解析式为 y =(x +2+ℎ)2−k −1． ∵ 平移后抛物线的解析式为 y =(x +3)2−4， ∴2+ℎ=3，−k −1=−4， ∴ℎ=1，k =3． 6. B【解析】∵ 抛物线 y =(x +1)(x −3) 与 x 轴相交于 A ，B 两点，∴ 点 A (−1,0)，点 B (3,0)，该抛物线的对称轴是直线 x =−1+32=1，∴AB =3−(−1)=4，该抛物线顶点的纵坐标是：y =(1+1)×(1−3)=−4，∵ 在抛物线上有且只有三个不同的点 C 1，C 2，C 3，使得 △ABC 1，△ABC 2，△ABC 3 的面积都等于 m ， ∴m =4×∣−4∣2=8．7. C8. C【解析】y =2⋇x ={2x 2,x >0−2x 2,x ≤0，当 x >0 时，图象是 y =2x 2 图象的对称轴右侧的部分；当 x ≤0 时，图象是 y =−2x 2 图象的对称轴上及其左侧的部分． 9. A【解析】由题可知，等边三角形 ABC 的边长为 2． ∵ME ⊥AB ，∠B =60∘，∴△BED 是直角三角形，∠BED =90∘，∠B =60∘，∠BDE =30∘， ∵BE =x ，∴BD =2x ，CD =2−2x ．又 ∵DK ⊥BC ，∠MDK =∠FDK ， ∴∠BDE =∠CDF =30∘． ∵∠C =60∘， ∴∠DFC =90∘， ∴△DFC 是直角三角形， ∴CF =12CD =2−2x 2=1−x ，∴cos∠CDF =DFDC =cos30∘=√32， ∴DF =√32DC =√32(2−2x )=√3−√3x ，∴y =12×DF ×CF =12(√3−√3x)(1−x )，即 y =√32x 2−√3x +√32，则 y 与 x 的函数关系图象是开口向上的二次函数，且过点 (0,√32)． 10. C【解析】当 x =1 时，y =1；当 x =8 时，y =8；代入函数式得：{1=a (1−ℎ)2+k,8=a (8−ℎ)2+k,∴a (8−ℎ)2−a (1−ℎ)2=7，整理得：a (9−2ℎ)=1，若 ℎ=4，则 a =1，故A 错误；若 ℎ=5，则 a =−1，故B 错误；若 ℎ=6，则 a =−13，故C 正确；若 ℎ=7，则 a =−15，故D 错误．11. 1<x <512. y =−a c x 2−bc x ，a ≠0，c ≠0，二次 13. 右，3，下，214. ①③15. 112516. 717. 218. （1）沿x轴向左平移1个单位（2）沿y轴向下平移4个单位（3）先沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移5个单位19. 202120. （1）y=2x2−1．（2）y=−13x2−3．21. （1）y=−256x2+103x；（2）会失误，因为这时候运动员距水面423米．22. 抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)；抛物线y=−3(x+2)2的顶点坐标为(2,0)．抛物线y=−3x2与抛物线y=−3(x+2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x=−2．抛物线y=−3(x+2)2是由抛物线y=−3x2向左平移2个单位长度而得到的．。

人教版《二次函数》综合题经典习题(含答案)

二次函数综合题训练题型集合1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线mxy+=与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图2，已知二次函数24y ax x c=-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离EBACP图1O xyDxyO 3－9－1－1AB图2P B A C O xy Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.7、（07海南中考）如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .CAM yBOxCAMyBOxCAM yBOx4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.x y D图5 E B A C O 1 xyE O 1 备用图-3 0 -1-21 234 S(万元) 图41 2 3 4 5 6 t(月)6、(07浙江中考)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

第二章二次函数【真题训练】(解析版)

人教版2020年第二单元《二次函数》真题再现一．二次函数的图象（共2小题）1．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．2．（2020•泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；故选：C．二．二次函数的性质（共1小题）3．（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为（1，8）．【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．三．二次函数图象与系数的关系（共6小题）4．（2020•威海）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．若点A 坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x ＝﹣1，则下列结论错误的是（）A ．二次函数的最大值为a ﹣b +cB ．a +b +c ＞0C ．b 2﹣4ac ＞0D ．2a +b ＝0【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴、y 轴的交点以及过特殊点时相应的系数a 、b 、c 满足的关系进行综合判断即可．【解答】解：抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （﹣4，0），对称轴为直线x ＝﹣1，因此有：x ＝﹣1＝﹣ab 2，即2a ﹣b ＝0，因此选项D 符合题意；当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c 的值最大，选项A 不符合题意；抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），当x ＝1时，y ＝a +b +c ＞0，因此选项B 不符合题意；抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2﹣4ac ＞0，故选项C 不符合题意；故选：D ．5．（2020•湘西州）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论： ①ab c ＞0，②b ﹣2a ＜0，③a ﹣b +c ＞0，④a +b ＞n （an +b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②由于a ＜0，所以﹣2a ＞0．又b ＞0，所以b ﹣2a ＞0，故此选项错误；③当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，故此选项错误；④当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故此选项正确；⑤当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且该抛物线对称轴是直线x ＝﹣a b 2＝1，即a ＝﹣2b ，代入得9（﹣2b ）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D ．6．（2020•广东）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①ab c ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③8a +c ＜0；④5a +b +2c ＞0，正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a ＜0，根据抛物线的对称轴在y 轴右边可得：a ，b 异号，所以b ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在正半轴可得：c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确；∵直线x ＝1是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴，所以﹣ab 2＝1，可得b ＝﹣2a ，由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b +c ＜0，∴4a ﹣2×（﹣2a ）+c ＜0，即8a +c ＜0，故③正确；由图象可知，当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＞0；当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＞0，两式相加得，5a +b +2c ＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B ．7．（2020•深圳）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（﹣1，n ），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A ．ab c ＞0B ．4ac ﹣b 2＜0C ．3a +c ＞0D ．关于x 的方程ax 2+bx +c ＝n +1无实数根【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可以对A 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点情况可对B 进行判断；x ＝1时，y ＜0，可对C 进行判断；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，可对D 进行判断．【解答】解：A ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣ab 2＝﹣1， ∴b ＝2a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故A 正确；B ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即4ac ﹣b 2＜0，故B 正确；C ．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0，∵b ＝2a ，∴3a +c ＜0，故C 错误；D ．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n ），∴函数有最大值n ，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n +1无实数根，故D 正确．故选：C ．8．（2020•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；②3a +c ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴﹣a b2＝1，∴b ＝﹣2a ，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．9．（2020•德州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小【分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）10．（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：y ＝x （4﹣x ）＝﹣x 2+4x ＝﹣（x ﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P 的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b ＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C ．11．（2020•温州）已知（﹣3，y 1），（﹣2，y 2），（1，y 3）是抛物线y ＝﹣3x 2﹣12x +m 上的点，则（）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2【分析】求出抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣()3212-⨯-＝﹣2， ∵a ＝﹣3＜0，∴x ＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y 3＜y 1＜y 2．故选：B ．五．二次函数图象与几何变换（共4小题）12．（2020•孝感）将抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为（）A ．y ＝﹣x 2﹣2B ．y ＝﹣x 2+2C ．y ＝x 2﹣2D ．y ＝x 2+2【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线C1的顶点为（1，2），∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，故选：A．13．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．14．（2020•绥化）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+4【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故选：C．15．（2020•哈尔滨）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y ＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．六．抛物线与x轴的交点（共1小题）16．（2020•荆门）若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况是（）A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根【分析】根据题意画出函数的图象，根据抛物线与x的交点情况即可判断．【解答】解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），画出函数的图象如图：由图象可知：关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，故选：C ．七．二次函数的应用（共2小题）17．（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x （元），每天的销售量为y （瓶）．（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【分析】（1）销售单价为x （元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则5.020x -为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y ；（2）设每天的销售利润为w 元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w 关于x 的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：y ＝80+20×5.020x -，∴y＝﹣40x+880；（2）设每天的销售利润为w元，则有：w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360，∵a＝﹣40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．18．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣3）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w 关于售价x 的函数解析式，再根据函数的性质，列出m 的不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b （k ≠0），把x ＝4，y 10000和x ＝5，y ＝9500代入得，⎩⎨⎧=+=+95005100004b k b k ，解得，⎩⎨⎧=-=12000500b k ， ∴y ＝﹣500x +12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≥60001200050053x x x ，解得，3≤x ≤12，设利润为w 元，根据题意得，w ＝（x ﹣3）y ＝（x ﹣3）（﹣500x +12000）＝﹣500x 2+13500x ﹣36000＝﹣500（x ﹣13.5）2+55125， ∵﹣500＜0，∴当x ＜13.5时，w 随x 的增大而增大，∵3≤x ≤12，∴当x ＝12时，w 取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价分别为12元；（3）根据题意得，w ＝（x ﹣3﹣m ）（﹣500x +12000）＝﹣500x 2+（13500+500m ）x ﹣36000﹣12000m ， ∴对称轴为x ＝﹣100050013500-+m ＝13.5+0.5m ，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3，∵1≤m≤6，∴1≤m≤3．八．二次函数综合题（共2小题）19．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，令x ＝0，得y ＝x ﹣6＝﹣6，∴D （0，﹣6），∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），把B 、C 点坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得⎩⎨⎧==++-60636c c b ，解得，⎩⎨⎧==65c b ，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+5x +6；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），则MN ＝﹣m 2+4m +12，∴△MDB 的面积＝21MN ×OB ＝﹣3m 2+12m +36═﹣3（m ﹣2）2+48，∴当m ＝2时，△MDB 的面积最大，此时，P 点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M （2，12），N （2，﹣4），当∠QMN ＝90°时，QM ∥x 轴，则Q （0，12）；当∠MNQ ＝90°时，NQ ∥x 轴，则Q （0，﹣4）；当∠MQN ＝90°时，设Q （0，n ），则QM 2+QN 2＝MN 2，即4+（12﹣n ）2+4+（n +4）2＝（12+4）2，解得，n ＝4±55，∴Q （0，4+55）或（0，4﹣55）．综上，存在以Q ，M ，N 三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q 点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4﹣55）．20．（2020•烟台）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线对称轴为直线x ＝，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；【分析】（1）点A 、B 的坐标分别为（2t ，0）、（﹣t ，0），则x ＝21＝21（2t ﹣t ），即可求解；（2）点D （m ，﹣m 2+m +2），则点F （m ，﹣m +2），则DF ＝﹣m 2+m +2﹣（﹣m +2）＝﹣m 2+2m ，即可求解；【解答】解：（1）设OB ＝t ，则OA ＝2t ，则点A 、B 的坐标分别为（2t ，0）、（﹣t ，0），则x ＝21＝21（2t ﹣t ），解得：t ＝1，故点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x +1）＝ax 2+bx +2，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2；（2）对于y ＝﹣x 2+x +2，令x ＝0，则y ＝2，故点C （0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；。

二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题（含答案）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( )A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位2．抛物线y＝2x2－5x＋3与坐标轴的交点共有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y24．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为( )A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0,2或－25．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( )A．b＞1 B．b＜1 C．b≥1 D．b≤16．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子如图所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE 等于( )A．17 B．11 C．8 D．77．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为 .8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是 .9. 二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是 .10. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1y2(填“＞”“＜”或“＝”)．11. 已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1,1)、B(2,4)两点，顶点坐标(m，n)，有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜12；④n≤1.则所有正确结论的序号是 .12. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0,2)，则二次函数的表达式为 .13. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2.14. 如图，抛物线的顶点为A(2,1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15. 某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B 数量相等．(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？(2)工厂安排65人制作A、B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B.现在在不增加工人的情况下，增加制作C.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式；(3)在(1)(2)的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．参考答案：1-6 BBBDDB 7. －5≤y ≤4 8. x ＞5或x ＜－1 9. (－1,8) 10. ＞11. ① ② ④12. y ＝(x ＋2)2－2 13. 11214. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，把(0,0)代入得4a ＋1＝0，解得a ＝－14.所以抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1，即y ＝－14x 2＋x ；(2)存在．因为抛物线的对称轴为直线x ＝2，则B(4,0)，设M(x ，－14x 2＋x)，根据题意得12×4×|－14x 2＋x|＝12×4×1×3，所以－14x 2＋x ＝3(舍)或－14x 2＋x ＝－3，解－14x 2＋x ＝－3得x 1＝－2，x 2＝6，此时M 点的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．15. (1) 解：设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利(105＋x)元，由题意得：30x ＝240x ＋105，解得：x ＝15，经检验，x ＝15是原方程的根，当x ＝15时，x ＋105＝120，答：制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元；(2) 解：设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 制作C ，于是有：y ＋x ＋2y ＝65，∴y ＝－13x＋653，答：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－13x ＋653； (3) 解：由题意得：W ＝15×2×y ＋[120－2(x －5)]x ＋2y ×30＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵y ＝－13x＋653， ∴W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1950，∵W ＝－2x 2＋100x ＋1950，对称轴为x ＝25，而x ＝25时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1950＝3198元，此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．。

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10、二次函数 y
ax 2 bx c 的图象过 A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点 D 在函数图象上，点 C、
D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点 B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围. 练习九 1、已知二次函数 y 二次函数与方程和不等式 . 11、已知抛物线y
7、已知二次函数y 6、抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线 y=3x-3 上，a<0,求此二次函数的解析式. 7、已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. （1）（2）求二次函数的图象的解析式；设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积. 8、画出二次函数 y 范围时 x
二次函数综合题训练题型集合
1、(06 年海南省中考)如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 y x m 与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴 y 上. （1）求 m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合），过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 h ，点 P 的横坐标为 x ，求 h 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. y y P D B O C 图1
, b=
, c= .
4、二次函数 y A、 a 5、 y
ax 2 bx c 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是（
B、 a
）
2、把抛物线 y=x2+2x-3 向左平移 3 个单位，然后向下平移 2 个单位，则所得的抛物线的解析式为 1、二次函数有最小值为为 4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与 y 轴交点的纵坐标为-3 （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4，且顶点坐标是（3，－2）；
直线 l 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由。
y
D
y
3 2
C
1 1
A
O 图5
E
B
x
O
E
x
③设 S 0 是②中函数 S 的最大值，那么 S 0 =
.
备用图
6、(07 浙江中考)如图 6，抛物线 y x 2 x 3 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），
2
8、（05 海南中考）如图 8，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点. (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 S△PAB=8,并求出此时 P 点的坐标； (3)设(1)中抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 图8
2、(07 年河北中考)如图 2，已知二次函数 y ax 2 4 x c 的图像经过点 A 和点 B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（m，m）与点 Q 均在该函数图像上（其中 m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m 的值及点 Q 到 x 轴的距离. 3、(07 年海口模拟一)如图 3，已知抛物线 y a x 2 b x c 经过 O(0,0)，A(4,0),B(3, 3 ) 三点，连结 AB，过点 B 作 BC∥ x 轴交该抛物线于点 C. （1）求这条抛物线的函数关系式. （2）两个动点 P、Q 分别从 O、A 两点同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度运动. 其 -1-
千克销售价(元)
3.5 0.5 0 2 7 月份
2、某企业投资 100 万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收 33 万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y（万元），且 y＝ax2＋bx，若第一年的维．．修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.
8.某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，若行车道总宽度 AB 为 6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到 0.1m）.
练习八
二次函数解析式
-3-
1、抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则 a=
2
= x 2 + px + q 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为(- 1,0)，求 p,q 的值 x 2 2 x 3 的图象，并利用图象求方程 x 2 2 x 3 0 的解，说明 x 在什么
2x 3 0 .
9、如图：（1 ）求该抛物线的解析式；根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0. （2 ）
B、-1 C、2 D、
A、0
1 4
6、若方程 ax 是直线（ A、 x ＝－3
2
bx c 0 的两个根是－3 和 1，那么二次函数 y ax 2 bx c 的图象的对称轴
B、 x ＝－2 C、 x ＝－1 D、 x ＝1
）
5、已知二次函数的图象经过(
1,1)、(2,1)两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式
校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之 3、 1 2 5 间的函数关系式为 y＝－ x2＋ x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度. 12 3 3
7、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m. （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式. （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)时，桥下水面的宽度为 d(m)，试求出用 d 表示 h 的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
7、（07 海南中考）如图 7，直线 y
4 x 4 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点和点 B 1 , 0 . （1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 M ，求四边形 AOCM 的面积；（3）有两动点 D 、E 同时从点 O 出发，其中点 D 以每秒个单位长度的速度沿折线 OAC 按 O → A → C 的路线运动，点 E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O → C → A 的路线运动，当 D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设 D 、E 同时从点 O 出发 t 秒时， ODE 的面积为 S . ①请问 D 、 E 两点在运动过程中，是否存在 DE ∥ OC ，若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
S(万元)
y
C B Q x O P ⌒ 图3 A
4 3 2 1
1 O
－
3
A
A
1
x
0 -1 -2 -3
1 2 3 4 5 6
t(月)
图4
E x
－
9
B
4、(07 年海南省调研)某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图 4 的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润 S（万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系）. 根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润 S 与时间 t 之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达 30 万元；（4）求第 8 个月公司所获利是多少元？
0, 0
0, 0
C、 a
0, 0
D、 a
0, 0
）
1 ，当x = 0 时，y = 1 ，它的图象的对称轴为x = 1 ，则函数的关系式 x 2 kx 1 与 y x 2 x k 的图象相交，若有一个交点在 x 轴上，则 k 为（
图2
－
中，点 P 沿着线段 0A 向 A 点运动，点 Q 沿着折线 A→B→C 的路线向 C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜ t ＜4)，△PQA 的面积记为 S. ① 求 S 与 t 的函数关系式； ② 当 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的 t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时 P、 Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.
5、(07 年海口模拟二)如图 5，已知抛物线 y a x 2 b x c 的顶点坐标为 E（1,0），与 y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式. （2） A、 B 是 x 轴上两个动点，且 A、 B 间的距离为 AB=4， A 在 B 的左边，过 A 作 AD⊥ x 轴交抛物线于 D，过 B 作 BC⊥ x 轴交抛物线于 C. 设 A 点的坐标为（t ,0），四边形 ABCD 的面积为 S. ① 求 S 与t 之间的函数关系式. ② 求四边形 ABCD 的最小面积，此时四边形 ABCD 是什么四边形？ ③ 当四边形 ABCD 面积最小时，在对角线 BD 上是否存在这样的点 P，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.