2013届高三新课标数学配套月考试题四

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2013届新课标高三数学上册配套月考试题(有答案)

2013届新课标高三数学上册配套月考试题（有答案）2013届高三新课标数学配套月考试题二A适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2012•哈尔滨第六中学三模）已知集合，，则为（）A.B.C.D.2.(2012•银川一中第三次月考)若,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.3.（理）2012•辽宁卷]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A.58B.88C.143D.176（文）2012•辽宁卷]在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（）A.12B.16C.20D.244.2012•山东卷]若，，则（）A.B.C.D.5.2012•课标全国卷]已知为等比数列，，，则（）A.7B.5C.-5D.-76.2012•山东卷]函数的最大值与最小值之和为（）A.B.0C.－1D.7.（理）（2012•太原三模）下列判断错误的是（）A.“”是””的充分不必要条件B.命题“”的否定是“”C.若均为假命题，则为假命题D.若，则（文）（2012•太原三模）下列判断正确的是（）A.若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.“”是“”的充分不必要条件D.命题“”的否定是“”8.（2012•长春三模）函数的零点个数为（）A.2B.3C.4D.59.(2012•银川一中第三次月考)函数（其中）的图象如图1所示，为了得到的图象，则只需将的图象()A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位图110.（2012•郑州质检）在△中，若，则△是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形11.(2012•石家庄二模)已知函数则满足不等式的的取值范围为()A.B.(-3,1)C.-3,0)D.(-3,0)12.(2012•石家庄二模)设不等式组表示的平面区域为表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=()A.1012B.2012C.3021D.4001第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13.2012•课标全国卷]已知向量a,b夹角为，且|a|=1，|2a－b|=，则|b|=________.14.(2012•石家庄二模)在△中，,,则的长度为_____.15.2012•课标全国卷]设满足约束条件：则的取值范围为.16.(2012•银川一中第三次月考)已知，若恒成立，则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）2012•北京卷]已知函数。

云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷四文科数学试题Word校对版

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据,,,x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}(1,2),(3,4)A =，则集合A 的真子集个数是A ．16B ．8C ．4D ．32．已知i 为虚数单位，则复数133ii-+的虚部是 A ．1- B ．1 C ．i - D ．i3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数4．已知平面向量a 和b ，||1a =，||2b =，且a 与b的夹角为120°，则|2|a b +等于A ．6B ．C ．4D ．25．球内接正方体的表面积与球的表面积的比为A ．6:πB ．4:πC ．3:πD ．2:π6．已知定义在R 上的函数2()sin xf x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．21y x =-B ．1y x =+C ．32y x =-D ．23y x =-+7．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．18．如图1给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．12?i >B ．11?i >C ．10?i >D ．9?i >9．若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，2()f x x =，函数()|lg |g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的个数为A ．10B ．9C ．8D ．710．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s ==C ．1212,x x s s =<D ．1212,x x s s =>11．已知一几何体的三视图如图3，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③12．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为A B C D.2第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在直角坐标系xOy 中，有一定点(2,1)A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是．14．已知角ϕ的终边经过点(1,1)P ，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，则()12f π＝．15．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程2y x a =-+，则a ＝．16．已知数列{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，则15S ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =，()9f C =，sin 2sin B A =，求,a b 的值．18．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 中点．（1）求证：平面1BEC ⊥平面11ACC A ；（2）若1AA =2AB =，求点A 到平面1BEC 的距离． 19．（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆221x y m n+=（常数,m n R ∈，且m n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且,M N 为短轴的两个端点，且四边形12F MF N 是面积为4的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）过原点且斜率分别为k 和(2)k k -≥的两条直线与椭圆221x y m n+=的交点为A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内），求四边形ABCD 的面积S 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln bf x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a > （1）求a 与b 满足的关系式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数22()3g x a x =+，若存在121,,22m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12|()()|9f m g m -<成立，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图6，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连续PB 交圆O 于点D ，小时)若MC BC =．（1）求证：△APM ∽△ABP ；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--．（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1cos 21π()2sin 21226x f x x x +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期是2ππ2T ==.……………………………………………………（6分）（Ⅱ）π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，∴022πC <<，∴ππ11π2666C -<-<，∴ππ262C -=，∴π3C =， ∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① 由余弦定理，得22222π2cos 33c a b ab a b ab =+-+-=，即，②由①②解得12a b ==，．………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴1,AA ABC ⊥平面 ∴1BE AA ⊥．∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴BE AC ⊥， ∴11BE ACC A ⊥平面，又∵1BE BEC ⊂平面，∴平面111BEC ACC A ⊥平面．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图3，作1AM C E ⊥交1C E 延长线于M ，由（Ⅰ）可证得AM 1BEC ⊥平面，∴AM 的长就是点A 到1BEC 平面的距离，由1Rt CEC △∽Rt MEA △，可解得AM∴点A 到1BEC 平面12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均学习时间为201+102+103+5450⨯⨯⨯⨯=1.8(小时)．…………………………………………………（6分）（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x ，乙开始学习的时刻为y ，试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x ，y )|18≤x ≤21，18≤y ≤20}，面积S Ω=3×2=6．事件A 表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A ={(x ，y )|20≤x ≤21，19≤y ≤20}，面积为S A =1×1=1，这是一Ω图 3个几何概型，所以P (A )=A S S =16．………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得m n n -=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴42m n =⎧⎨=⎩，，所求椭圆方程为2242x y +=1．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）设A (x ，y )，由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得A ⎛⎫, 根据题设直线图象与椭圆的对称性，知 S =4⨯⨯=21612kk + (k ≥2)．所以S =1612k k+ (k ≥2)，设M (k )=2k +1k ，则M ′(k )＝2-21k，当k ≥2时，M ′(k )＝2-21k>0，所以M (k )在k ∈[2，+∞)时单调递增，所以M (k )min =M (2)=92，所以当k ≥2时，S max =1692=329．………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()1a bf x x x '=--，由(1)0f '=得1b a =-．………………………………（3分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==．令()0f x '=，则11x =，21x a =-．3a >时，11a ->，所以()f x 单调递增区间为(01)，，(1)a -+∞，；单调递减区间为(11)a -，．……（9分）（Ⅲ）3a >时，由（Ⅱ）得()f x 在112⎫⎡⎪⎢⎣⎭，上为增函数，在(12]，上为减函数，所以()f x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为(1)20f a =-<.因为函数()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递增函数，所以()g x 的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 所以()()g x f x >在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.若存在1m ，2122m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，要使得12()()9f m g m -<成立，只需要1(1)92g f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即213(2)94a a +--<，所以84a -<<.又因为3a >，所以a 的取值范围是(34)a ∈，．………………………………………（12分）22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点，∴22MN PN NA NB ==⋅， ∴PN NANB PN=，又∵PNA BNP ∠=∠， ∴PNA △∽BNP △，∴APN PBN ∠=∠，即APM PBA ∠=∠. ∵MC BC =， ∴MAC BAC ∠=∠，∴MAP PAB ∠=∠，∴APM △∽ABP △．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）∵ACD PBN ∠=∠，∴ACD PBN APN ∠=∠=∠，即PCD CPM ∠=∠， ∴PM CD ∥.∵APM △∽ABP △，∴PMA BPA ∠=∠.∵PM 是圆O 的切线，∴PMA MCP ∠=∠，∴PMA BPA MCP ∠=∠=∠，即MCP DPC ∠=∠， ∴MC PD ∥，∴四边形PMCD 是平行四边形．………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：因为直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R )，所以直线l 的普通方程为y ，①…………………………………………………（3分）又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩， (α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y =12x 2(x ∈[-2，2])，②………………………………（6分）联立①②解方程组得00x y =⎧⎨=⎩，或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故点P 的直角坐标为(0，0).……………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）函数的定义域满足：|x-1|+|x-5|-a>0，即|x-1|+|x-5|>a=2.设g(x)=|x-1|+|x-5|，则g(x)=|x-1|+|x-5|=265 415 621x xxx x-⎧⎪<<⎨⎪-⎩，≥，，，，≤，g(x)min=4> a =2，f (x)min=log2(4-2)=1．………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4，|x-1|+|x-5|-a>0，∴a<4，∴a的取值范围是(-∞，4)．…………………………………………………（10分）。

平罗中学2013届高三第四次月考参考答案

平罗中学2012—2013学年度第一学期期末考试高三（理科）数学试卷知识点分布情况参考答案二、填空题 13．21-14．]12712[ππ， 15．2316．]20(，三、解答题17. 解：（I ）∵A c C a cos 3sin =∴ A C C A cos sin 3sin sin = ……………1分 ∵0sin ≠C ∴ 3tan =A ∴ 3π=A ……………3分=⋅AC AB A AC AB cos ||||⋅21=2=bc ∴4=bc ……………5分∴3sin 21==A bc S ……………7分（II ）∵1=b ，∴4=c ……………8分∴13cos 2222=-+=A bc c b a ……………10分 ∴13=a ……………12分18. 解：（I ）04222=+--+m y x y xF E D 422-+=20-m 40>5<m ……………2分圆心坐标为C （1，2） ……………3分（II ）∵0=⋅AN AM ∴AM ⊥AN∴直线l 经过C ……………4分∴34-=l k ……………5分 ∴直线l 的方程为：)1(342--=-x y即： 01034=-+y x ……………7分（Ⅲ）∵ 点B 在圆上 ∴ 020=+m20-=m ……………8分18-+x y 表示点圆上的任意点P ),(y x 与定点B )81(-，连线的斜率； ……………9分（画出图形） ……………10分由图可得18-+x y 的取值范围为： )3[]3(∞+--∞，， ……………12分19．解：（I ）当1=n 时，111a a -= ∴ 211=a ……………1分当2≥n 时，1111--+--=-=n n n n n a a S S a 12-=n n a a ∴ }{n a 是以21为公比的等比数列 ……………3分 ∴ nn a 21=……………4分 ∵ 6122b b b ⋅= ……………5分 ∴ )15()3(1121+⋅=+b b b∴ 11=b ……………6分 ∴ 23-=n b n ……………7分（II ） n n n n n b a c 21)23(⋅-=⋅= n n n n n T 21)23(21)53(......217214211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=-=n T 21 13221)23(21)53(................................214211+⋅-+⋅-++⋅+⋅n n n n ……8分 113221)23(213......21321321121+-⋅--⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T 11221)23(211)211(213211+-⋅----⋅+⋅=n n n ……………10分12432++-=n nnn n T 2434+-= ……………12分20. 解：【方法一】（I）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥=面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥面在面内， ……………3分（II ）∵DE ∥AB ，又PD ⊥平面A B C D . ∴平面PDC ⊥平面AB C D .过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，∴t a n F D ∠，∴∠60F D G =︒. 即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. ……………7分（Ⅲ）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ， ∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .又∵1,4,1,A DB CB F === ∴1,4P E B F PC B C ==∴14PE PC =，即3:1:=EC PE ……………12分【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. （建系：若坐标系正确，且图中有若干个点的坐标……………1分）（I ）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D PC a =--=--， ∵330BD P C ⋅=-=，∴B D P C ⊥. ……………4分（含建系得1分）（II ）由（1）知B D P D C D B⊥面就是，由条件知A （1，0，0），B （1，0），(0,3,0),(1,30)A B D B ==.设A B P D C 与面所成角大小为，则||si n 2||||23D B A B D B A B θ⋅===⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒，即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. ……………8分（含建系得1分）（Ⅲ）由（2）知C （－3，3，0），记P （0，0，a ），则030A B =（，，），(0,0,)D P a =，P A =1，a =--），设P E P Cλ=，所以P E =-（D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)(33a λλλ=+--，，3,.aa λ--）设n x y z =（，，）为平面P AB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.1z x a==取，得，进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，上是否存在点E ，使得DE ∥平面PAB ，此时3:1:=EC PE ………12分21.P EB C D A B（Ⅱ）由题意，01222=+-x ax 有两不同的正根，故0,0>>∆a .解得：210<<a -------------5分--------------10分由韦达定理，ax x 21221=+，a a a a a a a f 212321ln 21ln )21(2)21()21(2⋅-=+-=令,21t a=其中.1>t 设33()ln 22g t t t =-+ ，利用导数容易证明()g t 当1t >时单调递减，而(1)0g =，因此()0g t <，即)(x f 的极小值23)(2-<x f . -------12分22. 证明（I ）：∵,,A B A C A F A E ==∴C F B E=. 又∵,,C F CD B D BE ==∴.C D B D = 又∵△ABC 是等腰三角形，A B A C=,∴AD 是角∠CAB 的平分线. ∴内切圆圆心O 在直线AD 上. ……………5分（II ）连接DF ，由（I ）知，DH 是⊙O 的直径，90,90.D F H F D H F H D ∴∠=∴∠+∠= 90,G F H D ∠+∠=又.F D H G ∴∠=∠ ,O A C F 与相切于点 ,A F H G F C F D H ∴∠=∠=∠.G F C G ∴∠=∠ ,C G C F C D ∴==∴点C 是线段GD 的中点. ……………10分 23．解：（I ）圆的标准方程为2216x y +=.直线l 的参数方程为2cos 32sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） …………… 5分（II）把直线的方程1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2216x y +=，得221(2)(2)162t ++=，21)80t t +-=， BG C DH FA OE所以128t t =-，即=8PA PB ⋅． ……………10分24.解：（I ）根据条件311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，，当1x >时，5)(>x f 44315,1,;33x x x x ⇔+>⇔>>>又所以当11x -≤≤时，5)(>x f 352,1;x x x ⇔+>⇔>≤≤又此时无解-1，当1x <-时，5)(>x f 3152,1,2.x x x x ⇔-->⇔<-<-<-又所以综上，5)(>x f 的解集为4{|3x x >或2}x <-. ……………5分（II ）由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，，可得()f x 的值域为∞[2,+). 又不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，所以a ∞的取值范围是(-,2]. ……………10分。

湖南省师大附中2013届高三第四次月考数学理试题-含答案

湖南师大附中2013届高三月考（四）数学（理）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，集合2{|lg(1)},U A x y x C A ==-则=A ．(,1)-∞B ．[-1，1]C ．(1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞2．对于空间任意直线l 和平面α，下列命题中成立的是 A ．平面α内一定存在直线与直线l 平行 B ．平面α内一定存在直线与直线l 垂直 C ．平面α内一定没有直线与直线l 平行 D ．平面α内可能没有直线与直线l 垂直3．设不等式组00x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是A ．4π B ．22π- C ．44π- D ．22π-4．若复数(5sin 3)(5cos 4)z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为A ．43B ．34-C ．34D ．3344-或5．在如图的程序框图中，若输出的结果为60，则在图中空白处应填上A ．3a ≥B ．4a ≥C ．4a ≤D ．3a ≤6．已知3547110{},8,2,n a a a a a a a =-+=+=为等比数列则 A ．7B ．5C ．—5D ．—77．设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于另一点(,)B A B 可以重合，设线段AB 的长为()y f x =的图象可以为8．已知正数,,534,ln ln ,b a b c c a b c a c b a c c a-≤≤-≥+满足则的取值范围是A ．1[,]7eB ．7[,]2eC ．[,7]eD ．11[,]7e二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

2013届高三数学月考(4)(理)

天津南开中学2013届高三数学第四次月考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位，复数7i=3iz -+=（） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --2. 已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A. 01a ≤≤B. 13a ≤≤C. 1a ≤D. 3a ≥ 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．94. 数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()*1nn n b a n N =-∈，则数列{}n b 的前50项的和为（）A. 49B. 50C. 99D.1005. 二项式832x x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（） A. 28- B. 7- C. 7 D. 286. 为了得到函数13sin cos cos22y x x x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移12π个长度单位 B.向右平移12π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向右平移6π个长度单位开始输入 x|x|>1?1x x =-x=2x+1输出 x 结束是否7. 平面向量a r 与b r 的夹角为23π，()3,0a =r，2b =r ，则2a b +=r r （）A.13 B.37 C.7 D.38. 设()f x 是定义在R 上的周期函数，周期为4T =，对x R ∈都有()(),f x f x -=且当[2,0]x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A. ()1,2B. ()2,+∞C. ()31,4D.()34,2第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为人 10. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为11. 已知变量,x y 满足约束条件，则3z x y =+的最大值为12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩13. 如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，27CD =，3AB BC ==.则AC 的长为_______14. 若不等式|3ln ax x -|1≥对任意(0,1]x ∈都成立，则实数a 取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题13分）已知向量()sin ,1a x =-r ，13cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间（2）已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，23,4a c ==且()1f A =，求,A b 和△ABC 的面积S16. （本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这四个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率（2）记张师傅此行所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值17. （本小题13分）如图，已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60,2,ABC AB EC ∠===o2AE BE ==（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD （2）求二面角A EC D --的余弦值18. （本小题14分）已知数列{}n a 满足()*12111,3,43,2n n n a a a a a n N n +-===-∈≥，（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，有1212212n nb b b n a a na +++=+L 成立，求n S19. （本小题14分）设点P 是曲线()2:20C x py p =>上的动点，点P 到点()0,1的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54（1）求曲线C 的方程（2）若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为()0k k ≠的直线交C 与另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由20. （本小题14分）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值（2）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值（3）证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.天津南开中学2013届高三数学第四次月考试卷（答案）一．选择题1.B2.C3.C4.A5.C6.A7.A8.D 二．填空题9. 32 10. 48122+1112. (]1,3 13. 372 14. 2,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三．解答题15.解：（1）()()3122cos 2sin 226f x a b a x x x π⎛⎫=+⋅-=-=- ⎪⎝⎭r r r所以，最小正周期为22T ππ== 222262k x k πππππ-≤-≤+所以，单调减区间为()[2,2],63k k k Z ππππ-+∈ （2）()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，50,,2,,2666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2,,623A A πππ∴-==由2222cos a b c bc A =+-得2440b b -+=，解得2b = 故1sin 232S bc A ==16.解：（1）416511381P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭（2）记张师傅此行遇到红灯的次数为X ，则1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()441233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =，依题意，15Y X =+，则Y 的分布列为Y 的均值为()()()149151541533E Y E X E X =+=+=⨯+= 17.解：（1）证明：取AB 的中点O ，连接,EO CO 2AE EB ==∴Q △AEB 为等腰直角三角形,1EO AB EO ∴⊥=又,60AB BC ABC =∠=oQ ，∴△ABC 是等边三角形， 3,CO ∴=又2EC =，222,EC EO CO EO CO ∴=+∴⊥EO ⊥Q 平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面ABCD （2）以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系则()0,1,0A -，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1E ()()()3,1,0,3,0,1,0,2,0AC EC DC ==-=u u u r u u u r u u u r设平面DCE 的法向量为(),,1n x y =，则00EC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，即31020x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得： 33,0,130x n y ⎧⎛⎫=⎪∴= ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩r同理求得平面EAC 的一个法向量为3,1,13m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r27cos ,7n m n m n m⋅∴<>==r u rr u r r u r ，所以二面角A EC D --的余弦值为277 18.解：（1）由1143n n n a a a +-=-可得()11213,2n n n n a a a a a a +--=--=，{}1n n a a +∴-是Y 15 16 17 18 19P 16813281 827 881 181以2为首项，3为公比的等比数列()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+L()112131313n n ---=+=-（2）1n =时，11113,3,3b b S a === 2n ≥时()21212,nnb n n na =+--= 1223n n n b na n -==⨯ 21322323323n n S n -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L()0121213233331n n -=⨯+⨯+⨯++⨯+L 设01211323333n x n -=⨯+⨯+⨯++⨯L则()12313132333133n n x n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L()12312333332n nn n nx n n ---=⨯-+++=⨯-L13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭ 综上，13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭19.解：（1）依题意知5124p +=，解得12p =，所以曲线C 的方程为2y x = （2）由题意设直线PQ 的方程为：()11y k x =-+，则点11,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭由()211y k x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，210x kx k -+-=，得()()21,1Q k k --，所以直线QN 的方程为()()2111y k x k k--=--+ 由()()22111y k x k ky x ⎧--=--+⎪⎨⎪=⎩，()2211110x x k k k +-+--= 得2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线MN 的斜率为2211111111MNk k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 过点N 的切线的斜率为121k k ⎛⎫--⎪⎝⎭所以211121k k k k k ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-=-- ⎪⎝⎭，解得15k -±=故存在实数152k -=使命题成立20.解：(),a-+∞.f x的定义域为()。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷(四)理科数学

甲乙 9 0 86 5 5 4 1 3 5 5 71 2 2云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，{}||2M x x =>，{}2|430N x x x =-+<，则图1中阴影部分所表示的集合是A ．{}|2x x <B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|21x x -≤<D ．{}|12x x <≤2．已知i 为虚数单位，则复数133i i-+的虚部是A ．1-B ．1C ．iD ． i -3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数4．已知(0,0)a b t a b +=>>，t 为常数，且a b 的最大值为2，则t ＝A ．2B ．4C．D．5．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s ==C ．1212,x x s s =<D ．1212,x x s s =>6．若二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A ．2B ．5C ．7D ．107．已知定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．1y x =+B ．32y x =-C ． 21y x =-D ．23y x =-+8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19．如图1给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．12?i >B ．11?i >C ．10?i >D ．9?i >10．已知一几何体的三视图如图3，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[]0,8上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝A ．－12B ．－8C ．－4D ．412．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为主视图左视图俯视图A ．2 B．2C．2D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如果随机变量2~(1,)N ξσ，且(31)0.4P ξ-≤≤-=，则(1)P ξ≥＝． 14．在直角坐标系xOy 中，有一定点(2,1)A ，若线段O A 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量(1,2)n =-的直线（点法式）方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)n =--的平面（点法式）方程为．16．已知数列{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，则15S ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数21()2cos 22f x x x =--，x R ∈．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =()9f C =，sin 2sin B A =，求,a b 的值．18．（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学小时)习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．19．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是A C 中点．（1）求证：平面1B E C ⊥平面11AC C A ；（2）若12A A AB=，求二面角1E BC C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数()ln b f x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a >（1）求a 与b 满足的关系式；（2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ．（1）若2e =，求椭圆的方程；（2）设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1A F 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段M N 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上； ②设直线A B 的斜率为k，若k ≥e 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图6，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线N A B ，交圆于A 、B 两点，连接P A 并延长，交圆O 于点C ，连续P B 交圆O 于点D ，若M C B C =．（1）求证：△A P M ∽△A B P ；（2）求证：四边形P M C D 是平行四边形．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立ABCE B 1A 1C1平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos ,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P的直角坐标．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--．（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．0.1 14．54x =-15．220x y z +--= 16．211三、解答题 17．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由集合运算得结果.2．原式=10i 10-，则复数13i 3i-+的虚部是1-.3．全称命题的否定是特称命题. 4．当0,0a b >>时，有2()4a b ab +≤.5．115x =，215x =，由茎叶图得12s s <. 6．展开式的通项公式是T r ＋1=C r nx3n −3r x −2r=C r nx3n −5r，若二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则3n −5r = 0，即n 53r =(0r =，1，2，…，n )，故当3r =时，此时n 的最小值是5.7．令0x =，解得(0)1f =. 对()f x 求导，得()f x 'x e =+2x −1+cos x ，令0x =，解得(0)1f '=，故切线方程为1y x =+.8．在直角坐标系中画出不等式组1,10,220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≤≤ 所表示的平面区域如图1所示的阴影部分，x 2+y 2的最小值即表示阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线x −y +1=0与直线x =1的交点(1，2)到原点最近，故x 2+y 2的最小值为12+22=5. 9．该程序框图为求和运算，得C 选项.10．以长方体1111ABCD A B C D -为几何体的直观图. 当选择的四个点为B 1、B 、C 、C 1时，可知①正确；当选择B 、A 、B 1、C 时，可知②正确；当选择A 、B 、D 、D 1时，可知③正确. 11．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，由()f x 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =-对称且(0)f =，由(4)()f x f x -=-知图1(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为()f x 在区间[0，2]上是增函数，所以()f x 在区间[−2，0]上也是增函数. 如图2所示，那么方程()f x =m (m >0)在区间[−8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，由对称性知1262x x +=-，即x 1+x 2 = −12，同理：x 3+x 4 = 4，所以x 1+x 2+x 3+x 4 = −12+4 = −8.12．设O A =m −d ，A B =m ，O B =m +d ，由勾股定理，得 (m −d )2+m 2=(m +d )2．解得m =4d ．设∠AOF =α，则cos2α=35OA OB=．cos α，所以，离心率e=1cos 2α=.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．如果随机变量ξ～N (−1，σ2)，且P (−3≤ξ≤−1) = 0.4.∴P (ξ≥1) = P (ξ≤−3) = 0.5-0.4 = 0.1.14．OA 的垂直平分线的方程是y −12(1)2x =--，令y = 0得到x =54．所以该抛物线的准线方程为54x =-.15．设B (x ，y ，z )为平面内的任一点，由0AB n =得(1)(1)(2)(2)1(3)0x y z -⨯-+-⨯-+⨯-=，即220x y z +--=．16. 111()()22n n n n S S S S S +----==,即12(2)n n a a n +-=≥，数列{n a }从第二项起构成等差数列，15S =1+2+4+6+8+…+28=211.图2三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1cos 21π()2sin 212226xf x x x +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期是2ππ2T ==. ………………………………………………（6分）（Ⅱ）π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴022πC <<， ∴ππ11π2<666C -<-，∴ππ262C -=，∴3C π=，∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，①由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平均学习时间为20102103541.8()50⨯⨯+⨯+⨯=1+小时. ……………（6分）（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x ，乙开始学习的时刻为y ，试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x ，y )|18≤x ≤21，18≤y ≤20}，面积S Ω = 2×3=6.事件A 表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A ={(x ，y )|20≤x ≤21，19≤y ≤20}，面积为111A S =⨯=，这是一个几何概型，所以P (A )A S S Ω==16. …………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴1,AA ABC ⊥平面 ∴1BE AA ⊥.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴,BE AC ⊥ ∴11BE ACC A ⊥平面.图3又∵1BE BEC ⊂平面，∴平面111BEC ACC A ⊥平面. …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：如图4，作1CF EC F ⊥于，1FG BC ⊥于G ，连CG . ∵平面111BEC ACC A ⊥平面， ∴1CF BEC ⊥平面，∴FG 是CG 在平面1BEC 上的射影. ∴根据三垂线定理得，1CG BC ⊥， ∴∠CGF 是二面角1E BC C --的平面角，设AB a =，∵12A A AB=，则12A A =.在1Rt ECC △中，116EC CC CF EC ⋅==.在1Rt BCC △中，113BC CC CG BC ⋅==,在R t C FG △中，∵sin 2C F C G F C G∠==,∴45C G F ∠=︒.∴二面角1E BC C --的大小是45°. …………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()1a b f x x x'=--，由(1)0f '= 得1ba=-. ………………………（4分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x xxx-------'=--==．令()0f x '=，则11x =，21x a =-.3a >时，11a ->，图4所以单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ………（12分）21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2e =，c =2，得a =，b =2 ,所求椭圆方程为22184xy+=. ………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，故00+222x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫-⎪⎝⎭，.① 由题意，得0OM ON =.化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分）② 设00(,)A x y ，则002222200220022222222220000,1,111,(1)444y kx x k x x y k k a ba b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩. 将2c e aa==，222244b ac e=-=-，代入上式整理，得2242(21)2 1.k e e e -=-+因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->，所以 422221321e e ke -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得2142e <-≤1,2e <≤故离心率的取值范围是12⎤⎥⎝⎦. ……………………………………………（12分）22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）∵P M 是圆O 的切线，N A B 是圆O 的割线，N 是P M 的中点，∴22,MN PN NA NB ==⋅ ∴,PN N A N B PN = 又∵,P N AB N P ∠=∠ ∴PN A △∽BN P △， ∴,A P NP B N ∠=∠ 即,A P M P B A ∠=∠ ∵,M C B C = ∴,M A C B A C ∠=∠∴,M AP PAB ∠=∠∴A P M △∽ABP △． …………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）∵AC D PBN ∠=∠，∴AC D PBN APN ∠=∠=∠，即PC D C PM ∠=∠，∴//PM C D ，∵A P M △∽ABP △，∴PM A BPA ∠=∠，∵P M 是圆O 的切线，∴PM A M C P ∠=∠，∴PM A BPA M C P ∠=∠=∠，即,M C PD P C ∠=∠∴//,M C P D ∴四边形P M C D 是平行四边形． ……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：因为直线l 的极坐标方程为=()3θρπ∈R ，所以直线l 的普通方程为y =，① ………………………………………………（3分）又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为212y x =([2,2])x ∈-，② …………………………（6分）联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩ 或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0，0). ………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）函数的定义域满足：150x x a-+-->，即15x x a-+->，设()15g x x x=-+-，则()15g x x x=-+-=26,5, 4,15, 62,1,x xxx x-⎧⎪<<⎨⎪-⎩≥≤g (x)min= 4，f (x)min = log2 (4−2)=1. ………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()15g x x x=-+-的最小值为4.150x x a-+-->，∴a<4，∴a的取值范围是(−∞，4). ………………………………………………（10分）。

2013届高三数学配套月考试题(四)(B卷)新课标

2013届高三新课标数学配套月考试题四B适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）建议使用时间：2012年11月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2012·琼海模拟）已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件 2. [2012·广东卷]若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =（） A.(4,6) B.(4,6)-- C.(2,2)-- D.(2,2) .3. (2012·银川一中第三次月考)设0<2πx ≤，且x 2sin 1-=,cos sin x x -则（）A.0≤x ≤B.π4≤x ≤5π4 C. π4≤x ≤7π4 D. π2≤x ≤3π24.（理）（2012·哈尔滨第六中学三模）下列命题中正确命题的个数是（）（1）cos 0α≠是()π2π2k k α≠+∈Z 的充分必要条件；（2）若0,0a b >>且211a b+=，则4ab ≥; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若(1)P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-. A.4 B.3 C.2 D.1 （文）（2012·许昌新乡平顶山三调）一个总体分为A ,B ,C 三层，用分层抽样方法从总体中抽90 0.010 0.025 0.0050.015 0.035 50 4060 70 80 100 分数频率/组距取一个容量为50的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都为121，则总体中的个数为（）A.150B.200C.500D.6005.（2012·长春三模）数学文）现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A.13B.23C.12D.346.（理）[2012·湖北卷]设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（）A.0B.1C.11D.12 （文）（2012·琼海模拟）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图1，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A.60%，60B.60%，80C.80%，80D.80%，60图1 7. （2012·许昌新乡平顶山三调）已知数列{}n a 中，121a a ==,且21n n a a +-=，则数列{}n a 的前100项和为（）A.2600B.2550C.2651D.2652 8.（理）（2012·昆明一中二摸）某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（） A.()1P ξ= B.()1P ξ≤ C.()1P ξ≥ D.()2P ξ≤.（文）[2012·北京卷]设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A.π4 B. π-22 C. π6 D. 4-π49. [2012·山东卷]定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f (2 012)＝( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 01210.（2012·潍坊二模）已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则12PF PF ⋅等于（） A.24B.48C.50D.5611.（2012·许昌新乡平顶山三调）已知四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为（） A.31 B.32 C.33D.3212.（理）(2012·石家庄二模)已知长方形ABCD ，抛物线以CD 的中点E 为顶点，经过A 、B两点，记拋物线与AB 边围成的封闭区域为M .若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P .则下列结论正确的是（）A.不论边长,AB BC 如何变化，P 为定值B.若ABBC-的值越大，P 越大 C.当且仅当AB BC =时，P 最大 D.当且仅当AB BC =时，P 最小（文）(2012·银川一中第三次月考)曲线12-=x xy 在点()1,1处的切线为l ，则l 上的点到圆22430x y x +++=上的点的最近距离是( )第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13. [2012·湖南卷]不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．14.（理）（2012·昆明一中二摸）设曲线y x =，直线1,x x =轴所围成的平面区域为M ，01,{(,)|}0 1.x x y y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，向区域Ω内随机设一点A ，则点A 落在M 内的概率为 .（文）（2012·昆明一中二摸）小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华代妈妈进行统计，其中某种饮料的日销售量y （瓶）与当天的气温x （℃）的几组对照数据如下：根据上表得回归方程y bx a =+中的48a =，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为瓶.15.（理）（2012·北京海淀二模）已知()10210123111x a a x a x a x +=++++.若数列123,,,,k a a a a111,k k Z 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 .（文）（2012·北京海淀二模）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________. 16.（理）（2012·哈尔滨第六中学三模）将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球不能放入同一盒子中，则不同的方法共有种.（文）（2012·武汉调研）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图2所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 .（用“＞”连接）图2三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）（2012·韶关二模）数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2nn a a a .（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n b 的通项公式及前n 项和.18.（本小题满分12分）（2012·北京东城二模）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图3所示.（1）求A ，ω，ϕ的值；（2）已知在函数()f x 图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,3-，求sin MNP ∠的值.图319.（本小题满分12分）（理）[2012·广东卷]某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望.图4（文）[2012·广东卷]某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].图4（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x ∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶520.（本小题满分12分）（理）[2012·辽宁卷]如图5，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点.（1）证明：MN ∥平面A ′ACC ′；（2）若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值.图5（文）[2012·辽宁卷]如图5，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点.（1）证明：MN ∥平面A ′ACC ′；（2）求三棱锥A ′－MNC 的体积.（锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高）图521.（本小题满分12分）（2）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）（理）[2012·天津卷]已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值；（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.试卷类型：B2013届高三新课标原创月考试题四答案数学1.B 【解析】由AB B =可知A B ⊆，故命题甲是乙的必要不充分条件.2. A 【解析】()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.3. B 【解析】因为1sin 2sin cos sin cos x x x x x -=-=-，所以sin cos 0x x -≥.则π2sin 04x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得π2π2ππ4k x k ≤-≤+，所以()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z .又0<2πx ≤，所以取0k =得π5π44x ≤≤. 4.（理）C 【解析】（1）cos 0α≠的充要条件是ππ()2k k α≠+∈Z ，故此项错误；（2）当a>0, b>0时21218.ab a b ab=+≥⇒≥当且仅当2a b =时等号成立，故此项错误；（3）若i i aX b ξ=+，由方差的计算公式得2()()i i D a D X ξ=，故此项正确；（4）因为(1)(1)P P p ξξ>=<-=，所以121(10)22p P p ξ--<<==-.故此项正确. （文）D 【解析】设总体个数为n ，由分层抽样的定义得,12150=n 所以600n =.5.C 【解析】设两道题分别为A ，B 题，所以抽取情况共有：AAA ,AAB ,ABA , ABB ,BAA , BAB ,BBA ,BBB ，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种；故所求事件的概率为12. 6.（理）D 【解析】()()()20122201220121220122012201220125111341C 134C 134C 134a a a +=+-⨯=+-⨯+⨯++⨯,显然当()113a k k +=∈Z ,即()131a k k =-∈Z 时，201251a +的各项都是13的倍数，故能被13整除.又013a <<，所以12a =.故选D.（文）C 【解析】由频率分布直方图可知，及格率为()0.0250.0350.0100.0101080%+++⨯=，优秀人数为()0.0100.010*******+⨯⨯=.7. B 【解析】可知数列99531,,,,a a a a 和数列10042,,,a a a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以10013992410050491()()250125502S a a a a a a ⨯⨯⎛⎫=+++++++=⨯⨯+= ⎪⎝⎭.8.（理）B 【解析】()()()514514757757555121212C +C C C C C =+011C C C P P P ξξξ==+==≤. （文）D 【解析】题目中02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域如图正方形所示，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，故由几何概型得，所求概率为2122-π24-π4==224P ⨯⋅⨯.9. B 【解析】由f (x )＝f (x ＋6)知函数的周期为6，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f (6)＝1，所以f （1）＋f （2）＋…＋f (2 012)＝335[f （1）＋f （2）＋…＋f (6)]＋f （1）＋f （2）＝335×1＋3＝338.10. C 【解析】由双曲线C 的方程22145x y -=，得2,5,453a b c ===+=，所以21226PF F F c ===.又由双曲线的定义，得1224PF PF a -==，所以110PF =.所以22212121212121212cos ,502PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅===.11. C 【解析】设棱长都为1，连接AC ,BD 交于点O ，连接OE .因为所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 是菱形，所以O 是BD 的中点，且OE //PD ，故AEO ∠为异面直线AE 与PD 所成的角.易知11,22OE PD AE === 2233112,1122222AB OA AC ===+=.在OAE ∆中，由余弦定理得311442cos 31222AEO +-∠=⨯⨯3=.12.（理）A 【解析】以E 为原点，CD 为x 轴，过点E 垂直于CD 的直线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a ，宽为b ，则(,0),(,),(,),(,0)C a B a b A a b D a --，设抛物线方程为2y mx =，代入点B ，得2b m a=，所以22b y x a =.阴影面积23022042d 2|33a a b b abS b x x bx x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，矩形ABCD 的面积2S ab '=,故由几何概23S P S =='为常数.故选A. 型得，所求事件的概率为（文）B 【解析】因为()()222121'2121x xy x x --==---，所以1'|1x y ==-.所以曲线12-=x x y P A B C DE O在点()1,1处的切线方程为()11y x -=--，即l ：20x y +-=.圆22430x y x +++=的圆心为()2,0-，半径为1，且圆心()2,0-到直线l ：20x y +-=的距离为22222d --==，所以l 上的点到圆22430x y x +++=上的点的最近距离是221d r -=-.13. {x |2≤x ≤3}【解析】解不等式得 (x －2)(x －3)≤0，即2≤x ≤3，所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}．14.（理）23【解析】如图，M 的面积为3112022d 33x x x ==⎰，Ω的面积为111⨯=，故22313P ==.由几何概型得，所求的概率为（文）244【解析】由已知，得20x =，160y =，将点(),x y 代入回归方程y bx a =+中，得ˆ 5.6b=，所以回归方程为ˆ 5.648y x =+.所以当35x =时，ˆ244y =. 15.（理）6【解析】由二项式定理,得1098765110210310410510610C ,C ,C ,C ,C ,C ,a a a a a a ======4710C ,a =…,1010101110C ,C a a ==,因为1234567a a a a a a a <<<<<>,且数列123,,,,k a a a a …是一个单调递增数列,所以k 的最大值是6.（文）12【解析】设,E F 分别是,AD BC 的中点,则当点P 在线段EF 上或其上方区域时,满足PAB ∆的面积大于等于14,故由几何概型得,所求概率为1112112P ⨯==⨯. 16.（理）72【解析】将6个小球放入3个盒子，每个盒子中2个，有222642C C C 90=种情况.其中标号为1,2的球放入同一个盒子中有1234C C 18=种，所以满足题意的方法共有90-18=72种.（文）123s s s >>【解析】甲数据的平均值为=12500.0006500+17500.0004500+22500.0002x ⨯⨯⨯⨯⨯甲500+27500.0002500⨯⨯⨯+32500.0006500=2200⨯⨯，同理，乙数据的平均值为=2150x 乙，丙数据的平均值为=2250x 丙，可见甲、乙、丙三者的平均值都处在频率分布直方图的最中间一列，此时，若越靠近中间列所占的频率越大，则相应的方差越小，明显丙的中间列及附近列所占的频率最大，其次是乙，甲中间列及附近列所占的频率最小，故123s s s >>.17.解：（1）由已知得11nna a ，故数列{}n a 是等差数列，且公差1d =. ……………２分又32a =，得10a =，所以1n a n =-. ………………………………４分（2）由（１）得，113n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111123333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+. ………………………6分()()11111333122213n nn n n n n S -⎛⎫- ⎪++-⎝⎭=+=+-. …………………12分18. 解：（1）由图可知，1A =. ………1分()f x 的最小正周期428,T =⨯=所以由2π8T ω==，得π4ω=. ………3分又()π1sin 14f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42ϕ+=，解得π4ϕ=. …………6分（2）因为()()()10,11,30f f f -===，所以()()()1,0,1,1,3,0M N P -.设()1,0Q . …………7分在等腰三角形MNP 中，设MNQ ∠=α，则sin 5α=, cos 5α=，所以4sin sin 22sin cos 2555MNP ∠===⨯⨯=ααα. ……………13分19. （理）解：（1）由题设可知(3×0.006＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解之得x ＝0.018.（2）由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的数学期望E ξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12.（文）解：（1）由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1. 所以a ＝0.005.（2）该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.（3）由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：于是数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.20. （理）解：（1）(证法一)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱.所以M为AB′中点.又因为N为B′C′的中点.所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.(证法二)取A′B′中点P，连结MP，NP，M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN ∥平面A ′ACC ′.（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图1－5所示.图1－5设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1).所以M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，λ2，1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC →＝0，n ·MN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0.可取n ＝(－3，－1，λ).因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.（文）解：（1）(证法一)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，整理，得(4x 1－4)k m＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 解法二：（1）同解法一.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m ).假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上.取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0).以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )，从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m＋3＝0，故恒有MP →⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .（文）解：解法一：（1）依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝43，y ＝|OB |cos30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . （2）由（1）知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.假设以PQ 为直径的圆恒过定点M ，由图形的对称性知M 必在y 轴上，设M (0，y 1)，令MP →·MQ→＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1. 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0.即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1). 以下证明点M (0,1)就是所要求的点. 因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .22. （理）解：（1）f (x )的定义域为(－a ，＋∞). f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－a,1－a ) 1－a (1－a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x ) ↘ 极小值 ↗因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值，故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1.（2）当k ≤0时，取x ＝1，有f （1）＝1－ln2＞0；故k ≤0不合题意.当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －1－2k ]x ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时， 1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立，故k ≥12符合题意.②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0, 对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立，故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.（3）证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立.当n ≥2时，∑i ＝1n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22i －1＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤22i －1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22i －1 ＝∑i ＝1n22i －1－∑i ＝1n[ln(2i ＋1)－ln(2i －1)]＝∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1).在（2）中取k ＝12，得f (x )≤x 22(x ≥0)，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22i －1≤22i －12＜22i －32i －1(i ∈N *，i ＞2)，所以有∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1)＝∑i ＝1n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22i －1＝f （2）＋∑i ＝2n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22i －1＜2－ln3＋∑i ＝2n22i －32i －1＝2－ln3＋∑i ＝2n⎝⎛⎭⎪⎫12i －3－12i －1＝2－ln3＋1－12n －1＜2.综上，∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1)＜2，n ∈N *.（文）解：（1）f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a ).由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a ).（2）由（1）知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f －2＜0，f －1＞0，f 0＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. （3）a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由（1）知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增.①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减.因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者.由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t ).而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3].下面比较f (－1)，f （1），f (t )，f (t ＋3)的大小. 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f (－2)≤f (t )≤f (－1). f （1）≤f (t ＋3)≤f （2）.又由f （1）＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f （2）＝－13，。

2013课标版-数学配套月考题目四B

试卷类型：B2013届高三新课标原创月考试题四数学适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）建议使用时间：2012年11月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2012·琼海模拟）已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件 2. [2012·广东卷]若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =（） A.(4,6) B.(4,6)-- C.(2,2)-- D.(2,2) .3. (2012·银川一中第三次月考)设0<2πx ≤，且x 2sin 1-=,cos sin x x -则（）A.0≤x ≤B.π4≤x ≤5π4 C. π4≤x ≤7π4 D. π2≤x ≤3π24.（理）（2012·哈尔滨第六中学三模）下列命题中正确命题的个数是（）（1）cos 0α≠是()π2π2k k α≠+∈Z 的充分必要条件；（2）若0,0a b >>且211a b+=，则4ab ≥; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若(1)P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-. A.4B.3C.2D.1（文）（2012·许昌新乡平顶山三调）一个总体分为A ,B ,C 三层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都为121，则总体中的个数为（） A.150 B.200 C.500 D.6005.（2012·长春三模）数学文）现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A.13B.23C.12D.346.（理）[2012·湖北卷]设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（）A.0B.1C.11D.12（文）（2012·琼海模拟）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图1，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（） A.60%，60 B.60%，80 C.80%，80 D.80%，60图1 7. （2012·许昌新乡平顶山三调）已知数列{}n a 中，121a a ==,且21n n a a +-=，则数列{}n a 的前100项和为（）A .2600 B.2550 C.2651 D.26528.（理）（2012·昆明一中二摸）某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（） A.()1P ξ= B.()1P ξ≤ C.()1P ξ≥ D.()2P ξ≤.（文）[2012·北京卷]设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A. π4 B. π-22 C. π6 D. 4-π49. [2012·山东卷]定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f (2 012)＝( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 01210.（2012·潍坊二模）已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则12PF PF ⋅等于（）A.24B.48C.50D.5611.（2012·许昌新乡平顶山三调）已知四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为（） A.31 B.32 C.33 D.32 12.（理）(2012·石家庄二模)已知长方形ABCD ，抛物线l 以CD 的中点E 为顶点，经过A 、B 两点，记拋物线l 与AB 边围成的封闭区域为M .若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P .则下列结论正确的是（）A.不论边长,AB BC 如何变化，P 为定值B.若ABBC-的值越大，P 越大 C.当且仅当AB BC =时，P 最大 D.当且仅当AB BC =时，P 最小（文）(2012·银川一中第三次月考)曲线12-=x xy 在点()1,1处的切线为l ，则l 上的点到圆22430x y x +++=上的点的最近距离是( )第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13. [2012·湖南卷]不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．14.（理）（2012·昆明一中二摸）设曲线y =，直线1,x x =轴所围成的平面区域为M ，01,{(,)|}0 1.x x y y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，向区域Ω内随机设一点A ，则点A 落在M 内的概率为 .（文）（2012·昆明一中二摸）小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华代妈妈进行统计，其中某种饮料的日销售量y （瓶）与当天的气温x （℃）的几组对照数据如下：根据上表得回归方程y bx a =+中的48a =，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为瓶.15.（理）（2012·北京海淀二模）已知()10210123111x a a x a x a x +=++++.若数列123,,,,k a a a a()111,k k Z ＃?是一个单调递增数列，则k 的最大值是 .（文）（2012·北京海淀二模）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________. 16.（理）（2012·哈尔滨第六中学三模）将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球不能放入同一盒子中，则不同的方法共有种. （文）（2012·武汉调研）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图2所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 .（用“＞”连接）图2三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）（2012·韶关二模）数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n b 的通项公式及前n 项和.18.（本小题满分12分）（2012·北京东城二模）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图3所示. （1）求A ，ω，ϕ的值；（2）已知在函数()f x 图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,3-，求sin MNP ∠的值.图319.（本小题满分12分）（理）[2012·广东卷]某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. （1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望.（文）[2012·广东卷]某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.20.（本小题满分12分）（理）[2012·辽宁卷]如图5，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N分别为A ′B 和B ′C ′的中点.（1）证明：MN ∥平面A ′ACC ′；（2）若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值.（文）[2012·辽宁卷]如图5，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点. （1）证明：MN ∥平面A ′ACC ′；（2）求三棱锥A ′－MNC 的体积.（锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高）21.（本小题满分12分）（理）[2012·福建卷]如图6，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.（文）[2012·福建卷]如图6所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上.（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.22.（本小题满分12分）（理）[2012·天津卷]已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.（1）求a 的值；（2）若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值；（3）证明∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1)＜2(n ∈N *). （文）[2012·天津卷]已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；（3）当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值.试卷类型：B2013届高三新课标原创月考试题四答案数学1.B 【解析】由AB B =可知A B ⊆，故命题甲是乙的必要不充分条件.2. A 【解析】()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.3. B 【解析】因为sin cos sin cos x x x x =-=-，所以s i n c o s x x -≥.则π04x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得π2π2ππ4k x k ≤-≤+，所以()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z .又0<2πx ≤，所以取0k =得π5π44x ≤≤. 4.（理）C 【解析】（1）cos 0α≠的充要条件是ππ()2k k α≠+∈Z ，故此项错误；（2）当a>0, b>0时2118.ab a b =+≥⇒≥当且仅当2a b =时等号成立，故此项错误；（3）若i i aX b ξ=+，由方差的计算公式得2()()i i D a D X ξ=，故此项正确；（4）因为(1)(1)P P p ξξ>=<-=，所以121(10)22p P p ξ--<<==-.故此项正确. （文）D 【解析】设总体个数为n ，由分层抽样的定义得,12150=n 所以600n =. 5.C 【解析】设两道题分别为A ，B 题，所以抽取情况共有：AAA ,AAB ,ABA , ABB ,BAA , BAB ,BBA ,BBB ，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种；故所求事件的概率为12.6.（理）D 【解析】()()()20122201220121220122012201220125111341C 134C 134C 134a a a +=+-⨯=+-⨯+⨯++⨯,显然当()113a k k +=∈Z ,即()131a k k =-∈Z 时，201251a +的各项都是13的倍数，故能被13整除.又013a <<，所以12a =.故选D.（文）C 【解析】由频率分布直方图可知，及格率为()0.0250.0350.0100.0101080%+++⨯=，优秀人数为()0.0100.010*******+⨯⨯=.7. B 【解析】可知数列99531,,,,a a a a 和数列10042,,,a a a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以10013992410050491()()250125502S a a a a a a ⨯⨯⎛⎫=+++++++=⨯⨯+= ⎪⎝⎭.8.（理）B 【解析】()()()514514757757555121212C +C C C C C =+011C C C P P P ξξξ==+==≤. （文）D 【解析】题目中02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域如图正方形所示，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，故由几何概型得，所求概率为2122-π24-π4==224P ⨯⋅⨯.9. B 【解析】由f (x )＝f (x ＋6)知函数的周期为6，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f (6)＝1，所以f （1）＋f （2）＋…＋f (2 012)＝335[f （1）＋f （2）＋…＋f (6)]＋f （1）＋f （2）＝335×1＋3＝338.10. C 【解析】由双曲线C 的方程22145x y -=，得2,,53a b c ==，所以21226PF F F c ===.又由双曲线的定义，得1224PF PF a -==，所以110PF =.所以22212121212121212cos ,502PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅===.11. C 【解析】设棱长都为1，连接AC ,BD 交于点O ，连接OE .因为所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 是菱形，所以O 是BD 的中点，且OE //PD ，故AEO ∠为异面直线AE 与PD 所成的角.易知11,22OE PD AE ===122AB OA AC ====.在OAE ∆中，由余弦定理得311cos AEO +-∠==12.（理）A 【解析】以E 为原点，CD 为x 轴，过点E 垂直于CD 的直线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a ，宽为b ，则(,0),(,),(,),(,0)C a B a b A a b D a --，设抛物线方程为2y mx =，代入点B ，得2b m a =，所以22b y x a =.阴影面积23022042d 2|33a a b b ab S b x x bx x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，矩形ABCD 的面积2S ab '=,故由几何概型得，所求事件的概率为23S P S =='为常数.故选A .()()222121'2121x xy x x --==---，所以（文）B 【解析】因为1'|1x y ==-.所以曲线12-=x xy 在点()1,1处的切线方程为()11y x -=--，即l ：20x y +-=.圆22430x y x +++=的圆心为()2,0-，半径为1，且圆心()2,0-到直线l ：20x y +-=的距离为PA B C DE Od ==l 上的点到圆22430x y x +++=上的点的最近距离是1d r -=.13. {x |2≤x ≤3}【解析】解不等式得 (x －2)(x －3)≤0，即2≤x ≤3，所以不等式的解集是{x |2≤x ≤3}．14.（理）23【解析】如图，M的面积为31202233x x ==⎰，Ω的面积为111⨯=，故由几何概型得，所求的概率为22313P ==.（文）244【解析】由已知，得20x =，160y =，将点(),x y 代入回归方程y bx a =+中，得ˆ 5.6b=，所以回归方程为ˆ 5.648yx =+.所以当35x =时，ˆ244y =. 15.（理）6【解析】由二项式定理,得1098765110210310410510610C ,C ,C ,C ,C ,C ,a a a a a a ======4710C ,a =…, 1010101110C ,C a a ==,因为1234567a a a a a a a <<<<<>,且数列123,,,,k a a a a …是一个单调递增数列,所以k 的最大值是6.（文）12【解析】设,E F 分别是,AD BC 的中点,则当点P 在线段EF 上或其上方区域时,满足PAB ∆的面积大于等于14,故由几何概型得,所求概率为1112112P ⨯==⨯. 16.（理）72【解析】将6个小球放入3个盒子，每个盒子中2个，有222642C C C 90=种情况.其中标号为1,2的球放入同一个盒子中有1234C C 18=种，所以满足题意的方法共有90-18=72种.（文）123s s s >>【解析】甲数据的平均值为=12500.0006500+17500.0004500+22500.0002x ⨯⨯⨯⨯⨯甲500+27500.0002500⨯⨯⨯+32500.0006500=2200⨯⨯，同理，乙数据的平均值为=2150x 乙，丙数据的平均值为=2250x 丙，可见甲、乙、丙三者的平均值都处在频率分布直方图的最中间一列，此时，若越靠近中间列所占的频率越大，则相应的方差越小，明显丙的中间列及附近列所占的频率最大，其次是乙，甲中间列及附近列所占的频率最小，故123s s s >>.17.解：（1）由已知得11n n a a +-=，故数列{}n a 是等差数列，且公差1d =. ……………２分又32a =，得10a =，所以1n a n =-. ………………………………４分（2）由（１）得，113n n b n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()11111233n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111123333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+. ………………………6分()()11111333122213n n n n n n n S -⎛⎫- ⎪++-⎝⎭=+=+-. …………………12分 18. 解：（1）由图可知，1A =. ………1分 ()f x 的最小正周期428,T =⨯=所以由2π8T ω==，得π4ω=. ………3分又()π1sin 14f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42ϕ+=，解得π4ϕ=. …………6分（2）因为()()()10,11,30f f f -===，所以()()()1,0,1,1,3,0M N P -.设()1,0Q . …………7分在等腰三角形MNP 中，设MNQ ∠=α，则sin α=, cos α=，所以4sin sin 22sin cos 25MNP ∠====ααα. ……………13分19. （理）解：（1）由题设可知(3×0.006＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解之得x ＝0.018.（2）由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9，成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的数学期望E ξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12.（文）解：（1）由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1. 所以a ＝0.005.（2）该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.（3）由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：于是数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.20. （理）解：（1）(证法一)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱. 所以M 为AB ′中点.又因为N 为B ′C ′的中点.所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′. (证法二)取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ，M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图1－5所示.图1－5设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1).所以M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC →＝0，n ·MN →＝0得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0.可取n ＝(－3，－1，λ).因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.（文）解：（1）(证法一)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点，又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(证法二)取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， M 、N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN . 因此MN ∥平面A ′ACC ′. （2）(解法一)连结BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.(解法二)V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.21. （理）解：解法一：（1）因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m 得Q (4,4k ＋m ). 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上.设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立.因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 解法二：（1）同解法一.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m ). 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上.取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0).所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0).以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m－1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )，从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m＋3＝0，故恒有MP →⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . （文）解：解法一：（1）依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝43，y ＝|OB |cos30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .（2）由（1）知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.假设以PQ 为直径的圆恒过定点M ，由图形的对称性知M 必在y 轴上，设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1.由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0.即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1). 以下证明点M (0,1)就是所要求的点.因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .22. （理）解：（1）f (x )的定义域为(－a ，＋∞). f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘ ↗因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值，故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1.（2）当k ≤0时，取x ＝1，有f （1）＝1－ln2＞0；故k ≤0不合题意.当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝xx ＋1－2kx ＝－x [2kx －(1－2k )]x ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时， 1－2k 2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立，故k ≥12符合题意.②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0, 对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝⎛⎭⎫0，1－2k 2k 时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立，故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.（3）证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立.当n ≥2时，∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫22i －1＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22i －1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋22i －1 ＝∑i ＝1n22i －1－∑i ＝1n [ln(2i ＋1)－ln(2i －1)] ＝∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1). 在（2）中取k ＝12，得f (x )≤x 22(x ≥0)，从而f ⎝⎛⎭⎫22i －1≤2(2i －1)2＜2(2i －3)(2i －1)(i ∈N *，i ＞2)，所以有∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1)＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫22i －1＝f （2）＋∑i ＝2n f ⎝⎛⎭⎫22i －1＜2－ln3＋∑i ＝2n 2(2i －3)(2i －1)＝2－ln3＋∑i ＝2n⎝⎛⎭⎫12i －3－12i －1＝2－ln3＋1－12n －1＜2. 综上，∑i ＝1n22i －1－ln(2n ＋1)＜2，n ∈N *. （文）解：（1）f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a ).由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗ ↘ ↗故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a ).（2）由（1）知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间 (－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13. （3）a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由（1）知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增.①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减.因此，f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者.由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t ).而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53，所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43. ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3].下面比较f (－1)，f （1），f (t )，f (t ＋3)的大小. 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1).f （1）≤f (t ＋3)≤f （2）.又由f （1）＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f （2）＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f （1）＝－53，所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.。

河南省郑州市2013届高三数学第四次月考试题理新人教A版

北大附中河南分校2013届高三数学第四次月考试题理新人教A 版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设a 是实数，且11aiR i+∈+，则实数=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】B 【解析】因为11ai R i +∈+，所以不妨设1,1aix x R i+=∈+，则1(1)ai i x x xi +=+=+，所以有1x a x =⎧⎨=⎩，所以1a =，选B.2．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法【答案】C【解析】因为M P ⊆,所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合中的运算为乘法运算，选C.3．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则7112a a +的最小值为（）A ．16B ．8C ．D ．4【答案】B【解析】因为24148a a ==，即241498a a a ==，所以9a =。

则29711992228a a a a q a q +=+≥==，当且仅当29922a a q q =，即42q =，时取等号，选B.4．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值（）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负【答案】A【解析】因为函数满足()(4)f x f x -=-+，所以函数关于点(2,0)对称，由12(2)(2)0x x --<，知1222x x --与异号。

不妨设122,2x x ><，则由124x x +<得1224x x <<-，而2222(4)[(4)](44)()f x f x f x f x -=--=--+=-，当2x >时，函数单调递增，根据函数的单调性可知，12()(4)f x f x <-，即122()(4)()f x f x f x <-=-，所以12()()0f x f x +<，选A.5．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x =的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（） A ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据行列式的定义可知()sin 22=2sin(2)3f x x x x π=-，向左平移6π个单位得到()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=，所以()2sin(2)2sin 022g πππ=⨯==，所以(,0)2π是函数的一个对称中心，选B.6．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a S a S 中最大的项为A ．66a S B ．77a S Ｃ．99a S Ｄ．88a S【答案】D 【解析】由11515815()=1502a a S a +=>，得80a >.由116981615()15()=022a a a a S ++=<，得980a a +<，所以90a <，且0d <.所以数列{}n a 为递减的数列.所以18,a a 为正，9,n a a 为负，且115,0S S >，16,0n S S >，则990S a <，10100Sa <，880S a >，又8118,S S a a >>，所以81810S S a a >>，所以最大的项为88Sa ，选D.7．如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππ D ．),3[ππ【解析】由题意可设2'()(1)3,(0)f x a x a =-+>，即函数切线的斜率为2'()(1)33k f x a x ==-+≥，即tan 3α≥，所以32ππα≤<，选B.8．在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于1()n n a a n N +∈*的个位数，则2013a 的值是（） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】122714a a =⨯=，所以3a 的个位数是4，4728⨯=，所以所以4a 的个位数是8，4832⨯=，所以5a 的个位数是2，2816⨯=，所以6a 的个位数是6，7a 的个位数是2，8a 的个位数是2，9a 的个位数是4，10a 的个位数是8，11a 的个位数是2，所以从第三项起，n a 的个位数成周期排列，周期数为6，201333563=⨯+，所以2013a 的个位数和3a 的个位数一样为4，选C.9．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（） A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3-【答案】D【解析】由1xy =得1y x =。

云南师大附中2013届高考数学适应性月考卷(四)试题理新人教A版

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（四）理科数学（校对版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式 13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，{}||2M x x =>，{}2|430N x x x =-+<，则图1中阴影部分所表示的集合是A ．{}|2x x <B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|21x x -≤<D ．{}|12x x <≤【答案】D【解析】{22}M x x x =><-或，{}2|430{13}N x x x x x =-+<=<<由集合运算得结果知阴影部分为()U NM ,所以(){13}{22}{12}U N M x x x x x x ==<<-≤≤=<≤，选D.2．已知i 为虚数单位，则复数133ii-+的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ． i -【答案】A 【解析】原式=13(13)(3)103(3)(3)10i i i i i i i i ----===-++-，则复数13i3i-+的虚部是1-.选A.3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题.,所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”选C.4．已知(0,0)a b t a b +=>>，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝A ．2B ．4C ．22D ．25【答案】C【解析】当0,0a b >>时，有22()44a b t ab +=≤，当且仅当2t a b ==时取等号。

江西省南昌市2013届高三数学第四次月考试题理

2012~2013年南昌铁一中第四次月考理科数学试卷 2013-01-03一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上1．如果mi i+=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m ( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．02若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5c π=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位4在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．25 5．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 6已知||2||,||0a b b =≠，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（）A ．06π⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. (,]3ππ C ．2(,]33ππ D ． (,]6ππ 7把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）A ．12B 。

22C 。

24D 。

148．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①对任意的x R ∈都有(2)()f x f x +=-，②对于任意的1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <，③(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 ( )A ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<B ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<D ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<9．函数21ln ||1y y x x==-+与在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）10．定义在（—∞，0）⋃（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{n a }，{()n f a ）仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在（—∞，0）⋃（0，+∞）上的如下函数：①()f x =2x ：②()2x f x =；③()||f x x =;④()ln ||f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

贵州省遵义四中2013届高三上学期第四月考理科数学含答案

遵义四中2012～2013学年度高三第四次月考数学试题（理）本试卷满分150分考试时间120分钟一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2012201311i i+=-（）（A ）1i -- (B)1i -+ （C ） 1i - (D ） 1i + 2．如下图,矩形ABCD 中，点E 为边CD 上的任意一点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（）(A ）14（B)13（C ）12（D ）233.20.34log 4,log 3,0.3a b c -===，则（）（A)a c b << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<4．过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为（）（A ）40x y +-= （B)30x y -=(C ）40x y +-=或30x y += (D ）40x y +-=或30x y -=5. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（）(A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π6．()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（）（A ）—1 （B ）0 （C)1 (D ）27. 已知向量(2,1)a =，(1,)b k =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ）（A)()2,-+∞ （B ）11(2,)(,)22-+∞ （C ）(,2)-∞- (D ）(2,2)-8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A >部分图象如右图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象（）（A ）向右平移π6个长度单位 (B ）向右平移π12个长度单位（C)向左平移π6个长度单位（D ）向左平移π12个长度单位9。

湖南师大附中2013届高三数学第四次月考试卷文(含解析)新人教A版

2012-2013学年某某师大附中高三第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）如果复数z=（a+i）（1﹣i）为纯虚数，那么实数a等于（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的代数形式的乘除运算，解得z=（a+i）（1﹣i）=（a+1）+（1﹣a）i．再由复数z=（a+i）（1﹣i）为纯虚数，知，由此能求出实数a．解答：解：z=（a+i）（1﹣i）=a+i﹣ai﹣i2=（a+1）+（1﹣a）i．∵复数z=（a+i）（1﹣i）为纯虚数，∴，解得a=﹣1．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）函数f（x）=|x|﹣cosx在（﹣∞，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无究多个零点考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数可转化为函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．结合它们的图象特征即可作出判断．解答：解：函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数，即方程|x|﹣cosx=0的根的个数，也即函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数．当0≤x≤时，y=|x|=x从0递增到，y=cosx从1递减到0，所以两函数图象在[0，]上只有一个交点，当x＞时，y=|x|=x＞＞1，y=cosx≤1，所以两函数图象在（，+∞）上没有交点，所以y=|x|与y=cosx的图象在[0，+∞）上只有一个交点，又两函数均为偶函数，图象均关于y轴对称，所以它们在（﹣∞，0]上也只有一个交点，综上，函数y=|x|与y=cosx的图象交点的个数是2，故函数f（x）=|x|﹣cosx的零点个数为2．故选C．点评：本题考查函数的零点问题，即相应方程根的问题，注意体会转化思想与数形结合思想在本题中的运用．3．（5分）（2011•某某模拟）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（）A．12cm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由该几何体的三视图，我们易得到该几何体为圆锥，且该圆锥的底面直径为6，圆锥的母线长为5，由已知中的数据我们易求出底面积和侧面积，进而得到该几何体的表面积．解答：解：由几何体的三视图，我们可得：底面直径为6，底面半径为3圆锥的母线长为5，故几何体的表面积S=S底面积+S侧面积=32•π+3•π•5=24π故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，由三视图中的数据求出底面半径，进而求出底面面积和侧面积是解答本题的关键．4．（5分）（2012•某某区模拟）已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析： ①，由线面关系得出m∥α或m ⊂α；②，由垂直于同一直线的两个平面平行得到；③由面面平行的判定定理得到；④由面面垂直的性质定理得到．解答：解：对于①，若m∥n，n ⊂α，则m∥α或m ⊂α，①不正确；对于②，若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β，显然成立；对于③，若m ⊂α，n ⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，由面面平行的判定定理知它是不正确的；对于④，若α⊥β，α∩β=m，n ⊂β，n⊥m，则n⊥α，由面面垂直的性质定理知它是正确的；综上所述，正确命题的个数为2，故选B ．点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理．5．（5分）已知函数，则下列图象错误的是（）A ．y=f （x ﹣1）的图象 B ．y=f （|x|）的图象C ．y=f （﹣x ）的图象D ．y=f （x ）的图象考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先作出的图象，再根据A ，B ，C ，D 各函数的图象与f （x ）的图象的位置关系判断正误：对于A ，y=f （x ﹣1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位得到；对于B ，y=f （|x|）的图象由f （x ）的图象横向对折变换得到．对于C ，y=f （﹣x ）的图象与f （x ）的图象关于y 轴对称而得到．解答：解：先作出的图象，如图．对于A ，y=f （x ﹣1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位得到，故其正确；对于B ，当x ＞0时y=f （|x|）的图象与f （x ）的图象相同，且函数y=f （|x|）的图象关于y 轴对称，故其错误；对于C，y=f（﹣x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称而得到，故其正确；故选B点评：熟练掌握各种常用函数的图象变换是解决此类问题的关键．属于基础题．6．（5分）P是双曲线的右支上一点，点M，N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最小值．解答：解：双曲线的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的半径分别是r1=2，r2=1，∴|PM|min=|PF1|﹣2，|PN|max=|PF2|+1，∴|PM|﹣|PN|的最小值=（|PF1|﹣2）﹣（|PF2|+1）=6﹣3=3，故选C．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．7．（5分）（2012•某某模拟）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2B．C．f（x）=x2D．f（x）=sinx考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．解答：解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（）A．0＜x+y＜1 B．x+y＞1 C．x+y＜﹣1 D．﹣1＜x+y＜0考点：向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：如图所示由=，可得 x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、B．再由=x2+y2+2xy•，得1=x2+y2+2xy•cos∠AOB．当∠AOB=120°时，（x+y）2=1+3xy＞1，可得x+y＜﹣1，从而得出结论．解答：解：如图所示：∵=，∴x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、B．∵|OC|=|OB|=|OA|，∴=x2+y2+2x y•，∴1=x2+y2+2xy•cos∠AOB．当∠AOB=120°时，x2+y2﹣xy=1，即（x+y）2﹣3xy=1，即（x+y）2=1+3xy＞1，故 x+y＜﹣1，所以，x+y＜﹣1，故选C．点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题．9．（5分）如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是（）A．21 B．34 C．55 D．89考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，即可确定第n行与前两行的实心圆点的个数的关系．解答：解：根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，可得第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1=0+1；第4行的实心圆点的个数是2=1+1；第5行的实心圆点的个数是3=1+2；第6行的实心圆点的个数是5=2+3；第7行的实心圆点的个数是8=3+5；第8行的实心圆点的个数是13=5+8第9行的实心圆点的个数是21=8+13第10行的实心圆点的个数是34=13+21第11行的实心圆点的个数是55=21+34故选C点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．10．（5分）（2011•某某模拟）将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个为04，则剩下的四个依次是16、28、40、52 ．考点：系统抽样方法．专题：计算题．分根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生析：的从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：用系统抽样抽出的5个学生的从小到大成等差数列，随机抽得的一个为04则剩下的四个依次是16、28、40、52．故答案为：16、28、40、52点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．11．（5分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β，该小组已经测得一组，α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，据此算出H= 124 m．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD ﹣AB=DB即可得到H的表达式，代入tanα=1.24，tanβ=1.20，h=4m，可得答案．解答：解：∵=tanβ∴AD=，∵AB=∴BD=．∵AD﹣AB=DB，∴﹣=，∵tanα=1.24，tanβ=1.20，h=4m，∴H===124．因此，算出的电视塔的高度H是124m．故答案为：124点评：本题主要考查解三角形的知识，由已知构造出未知的边长对应的方程是解答的关键．12．（5分）在数列，设数列{a n}的前n项和为S n，则S2013= 2b ．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：数列{a n}中，由a1=a，a2=b，a n+2=a n+1﹣a n，分别求出a3，a4，，a6，a7，a8，得到数列{a n}是以6为周期的周期数列，由此能求出S2013．解答：解：数列{a n}中，∵a1=a，a2=b，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=b﹣a，a4=（b﹣a）﹣b=﹣a，=﹣a﹣（b﹣a）=﹣b，a6=﹣b﹣（﹣a）=a﹣b，a7=a﹣b﹣（﹣b）=a，a8=a﹣（a﹣b）=b，∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，∵a1+a2+a3+a4+a5+a6=a+b+（b﹣a）+（﹣a）+（﹣b）+（a﹣b）=0，2013=335×6+3，∴S2013=335×0+a1+a2+a3=0+a+b+（b﹣a）=2b．故答案为：2b．点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题的关键是推导出数列{a n}是以6为周期的周期数列，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0．13．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，a＞b＞c，则的取值X围是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，则a+b+c=0，a，b，c中：2正1负； 1正2负； 1正1负1零．根据a＞b＞c，分情况进行讨论，能判断出的取值X围．解答：解：函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0，则a+b+c=0，a，b，c中：2正1负； 1正2负； 1正1负1零．根据a＞b＞c，知：若 a＞b＞0＞c⇔a＞﹣（a+c）＞0＞c⇒1＞﹣1﹣＞0＞⇒﹣2＜＜﹣1；若 a＞0＞b＞c⇔a＞0＞﹣（a+c）＞c⇒1＞0＞﹣1﹣（）＞⇒﹣1＜＜﹣；若a＞b=0＞c⇔a＞﹣（a+c）=0＞c⇒1＞0≥﹣1﹣（）＞⇒．综上所述，的取值X围是（﹣2，，﹣）．点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．14．（5分）（2012•某某一模）设是奇函数，则使f（x）＜0的x 的取值X围是（﹣1，0）考点：函数奇偶性的性质；对数的运算性质．分析：根据若f（x）是奇函数且在x=0有定义，则f（0）=0，即可解出a．再根据对数函数的单调性解不等式得到答案．解答：解：依题意，得f（0）=0，即lg（2+a）=0，所以，a=﹣1，，又f（x）＜0，所以，，解得：﹣1＜x＜0．故答案为：（﹣1，0）．点评：本题主要考查函数的奇偶性和对数不等式的解法．在解对数不等式时注意对数函数的单调性，即：底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．15．（5分）（2011•某某模拟）设x n={1，2…，n}（n∈N+），对x n的任意非空子集A，定义f （A）为A中的最小元素，当A取遍x n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S n，则：①S3= 11 ，②S n= 2n+1﹣n﹣2 ．考点：数列的求和．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n﹣1次．即有2n﹣1个子集含1，有2n﹣2个子集不含1含2，有2n﹣3子集不含1，2，含3…有2k﹣1个子集不含1，2，3…k﹣1，而含k．所以S n=2n﹣1×1+2n﹣2×2+…+21×（n﹣1）+n，进而利用错位相减法求出其和．解答：解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n﹣1次．故有2n﹣1个子集含1，有2n﹣2个子集不含1含2，有2n﹣3子集不含1，2，含3…有2k﹣1个子集不含1，2，3…k﹣1，而含k．所以S n=2n﹣1×1+2n﹣2×2+…+21×（n﹣1）+nS n=n•1+（n﹣1）•2+…+2•2n﹣2+1•2n﹣1…①所以2S n=n•2+（n﹣1）•4+…+2•2n﹣1+1•2n…②所以①﹣②可得﹣S n=n﹣（2+4+…+2n﹣1+2n）所以S n=2n+1﹣n﹣2所以S3=11．故答案为①S3=11，②S n=2n+1﹣n﹣2．点评：解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）如图，一个几何体由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A，B，C在⊙O 的圆周上，E，A，D三点共线，已知AB⊥AC，AB=AC，AE=AD=1，BC=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得ED⊥AC，结合AC⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由线面垂直的性质得到AC⊥BD；（2）由V C﹣BDE=V E﹣ABC+V D﹣ABC，计算出底面ABC的面积，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）解：（2）V C﹣BDE=V E﹣ABC+V D﹣ABC又∵S△ABC=×2×1=1∴V E﹣ABC=×S△ABC×VA=V D﹣ABC=×S△ABC×DA=∴V C﹣BDE=点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面垂直的判定及性质是解答的关键．17．（12分）（2012•某某）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，∴数f（x）的值域为[﹣2，2]…6分（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==．∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（×+×）=…12分点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．18．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…（2分）若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…（4分）记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（6分）（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…（8分）事件A 构成的区域：由，得交点坐标为，…（10分）∴，∴事件A发生的概率为…（12分）点评：本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．19．（13分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．（1）试给出f（4），f（5）的值，并求f（n）的表达式（不要求证明）；（2）证明：．考点：数列的求和．专题：综合题．分析：（1）根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式（2）根据（1）中求得的f（n）可得的表达式，进而利用裂项的方法证明原式．解答：解：（1）f（4）=37，f（5）=61．由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f（1）=6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．（2）当k≥2时，．所以=．点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等．20．（13分）已知a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣2﹣lnx．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，某某数a的取值X围；（2）若上任意两个自变量x1，x 2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，某某数c的取值X围．（参考数据：ln3≈1.0986）考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导数：f′（x）=2x+a﹣，由函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而构造关于a的不等式，进而可求出实数a 的取值X围；（2）把a=1代入，结合（1）可判断出函数f（x）在区间[，1]上的值域，进而可得实数c的取值X围．解答：解：（1）∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f′（x）=2x+a﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=﹣2x，则函数g（x ）在[1，+∞）上为减函数∴当x=1时，函数g（x）取最大值﹣1∴a≥﹣1，即实数a的取值X围为[﹣1，+∞）（2）当a=1时，f（x）=x2+x﹣2﹣lnx．f′（x）=2x+1﹣=当x∈[，]时，f′（x）≤0，此时函数为减函数当x∈[，1]时，f′（x）≥0，此时函数为增函数故当x=时，f（x）取最小值ln2﹣当x=1时，f（x）取最大值0∴|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣ln2∴c≥﹣ln2点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数在最大值，最小值问题中的应用，熟练掌握导数的符号与函数单调性的关系是解答的关键．21．（13分）（2011•某某模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M 的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（I）根据可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；（II）先表示出然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；（III）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，设点Q （﹣1，t），根据QS2=QM2﹣4=t2+5，求出直线QS的方程，使直线与t无关，可求出定点坐标．解答：解：（Ⅰ）因为，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2分）设⊙M的半径为r，则，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4（5分）（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2（8分）所以当x=0时，有最小值为2（10分）（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）设点Q（﹣1，t），则QS2=QM2﹣4=t2+5，所以⊙Q的方程为（x+1）2+（y﹣t）2=t2+5（13分）从而直线ST的方程为3x﹣ty﹣2=0（*）（14分）因为一定是方程（*）的解，所以直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为（16分）点评：本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值和直线恒过定点问题，是一道综合题，有一定的难度．。

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2 8.（理）(2012·石家庄二模) x 1 − 的展开式中的常数项为（ x
A.-60 B.-50 C.50 D.60[来源:学,科,网]
6
）
（文）（2012·大连沈阳联考）若利用计算机在区间 (0,1) 上产生两个不等的随机数 a 和 b ，则方程 = x 2 2a − A.
，据此模型预报身高为 172 cm的高三男生的根据上表可得回归直线方程 = y 0.56 x + a
体重为（） B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg ）
A.70.09 kg
1 7.[2012·天津卷]设x∈R，则“x＞ ”是“2x2＋x－1＞0”的（ 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
）
11.（2012·琼海模拟）一只蚂蚁在边长分别为 3，4，5 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为（）
π π π C. 1 − D. 1 − 12 6 3 2 12.（2012·北京东城二模）设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : y = 8 x 上一点， F 为抛物线 C 的焦
x +1 M = { x | x ≥ 1} , N = x | ≥ 0 ，则 ð U (M N ) = （ x−2
A. (−∞, 2) B. (−∞, 2] C. (−1, 2]
） D. [−1, 2)
2.（2012·大连沈阳联考）图 1 中的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单 ) 位：元)，图中的数字 7 表示的意义是这台自动售货机的销售额为(
24 . 4 − 2r = 0 ，得 r = 2 .所以展开式中的常数项为 T3 = ( −1) 22 C2 4 =
2
（文）B【解析】因为函数 y = − x 2 + 1 在区间 [ −1, 0] 上单调递增,在区间 [ 0, 2] 上单调递增减, 且 f ( −1) = 0, f ( 0 ) = 1, f ( 2 ) = −3 , 所以函数 y = − x 2 + 1 在区间 [ −1, 2 ) 上的值域是 ( −3,1] . 故选 B. 4.A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r2 < r4 < 0 < r3 < r1 . 5. B 【解析】因为 a2 + a9 = a6 ①，又由等差中项公式得 a2 + a9 = a5 + a6 ②，由①②得
数； ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率. 20.（本小题满分 12 分）（理）[2012·广东卷]如图 5 所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在线段 PC 上，PC⊥平面 BDE. （1）证明：BD⊥平面 PAC；（2）若 PA＝1，AD＝2，求二面角 B－PC－A 的正切值.
x + y ≥ 0, 10. (2012·石家庄二模)若 x, y 满足约束条件 x − y + 4 ≥ 0, 则 = z 3x − y （ x ≥ 0,
A.有最小值 -8，最大值 0 C.有最小值 -4，无最大值 B. 有最小值 -4，最大值 0 D.有最大值 -4，无最小值
U
又所以 M = = M { x | x ≥ 1} ， N { x | x > 2} . { x | x > 2或x ≤ −1} ，
( M N ) = ( −∞, 2] .
r
2. C【解析】树干表示的是十位数字，故 7 表示为 27.
r 3. （理） D 【解析】展开式中的通项为 Tr +1 = C4 ( 2x) 4− r r 1 ( −1) 24−r Cr4 x 4−2 r ，令 − = x
相关系数为 r4
B. r4 < r2 < 0 < r1 < r3 D. r2 < r4 < 0 < r1 < r3 ） C.1 D.2
5.( 2012·银川一中第三次月考)等差数列 {an } 满足: a2 + a9 = a6 ,则 S9 =（
6.( 2012·石家庄二模)从某高中随机选取 5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
π 12
图3 15.（2012·北京东城二模）将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组，若第一组至第六组数据的频率之比为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 :1 且前三组数据的频数之和等于 27 ，则 n 的值为 .
16.（理）（2012·琼海模拟）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有个.
2 的值域是（
D. [1,5)
）
4.（2012·长春三模）数学文）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（）
相关系数为 r1
相关系数为 r2
相关系数为 r3 图2 A . r2 < r4 < 0 < r3 < r1 C. r4 < r2 < 0 < r3 < r1 A. −2 B.0
19.（本小题满分 12 分） (理)[2012·课标全国卷]某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 14 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 10 20 16 16 15 13 10 频数以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由. (文) [2012·课标全国卷]某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （1）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；[来源:学科网] （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量( 单位：枝)，整理得下表：[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 14 15 16 17 18 19 20 日需求量 n 10 20 16 16 15 13 10 频数 ①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润(单位：元)的平均
1 4
2b 有不等实数根的概率为（ x 1 3 B. C. 2 4
） D.
2 5
)
9.（2012·郑州质检）函数 y = 2sin x + A. x =

π π cos -x 图象的一个对称轴方程是( 4 4
π 2Βιβλιοθήκη D. x =ππ 8B. x =
π 4
C. x =
图5
（文）[2012·广东卷]如图 5 所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝ 1 AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝ AB，PH为△PAD中AD边上的高. 2 （1）证明：PH⊥平面 ABCD；（2）若PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB.
图5
21.（本小题满分 12 分） 1 [2012·安徽卷]设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0). ax （1）求 f(x)的最小值； 3 （2）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y＝ x，求a，b的值. 2 22.（本小题满分 12 分） x2 y2 （理）[2012·广东卷]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0) 的离心率e a b 2 ＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3 （1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1 与圆O ：x2＋y2＝1 相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由. x2 y2 （文）[2012·广东卷]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C 1 ： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左焦点为 a b
（文）(2012·石家庄二模)在区间[1，3]上随机选取一个数 x, e x (e为自然对数的底数）的值介于e到e 之间的概率为________. 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）（2012· 琼海模拟）如图 4 平面四边形 ABCD 中， AB=AD= a ， BC=CD=BD，设 ∠BAD = θ . （1）将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 θ 的函数；（2）求四边形 ABCD 面积 S 的最大值及此时 θ 值.
2013 届高三新课标数学配套月考试题四A 适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.（2012·哈尔滨第六中学三模）已知全集 U = R ，集合