梁的平面弯曲及微分方程公式.
材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
平面弯曲
y a
变形几何关系： 变形几何关系： 取微段梁dx 取微段梁 1
b
2
a'
1
b'
2
dx
HOHAI UNIVERSITY
ab的线应变： ab的线应变： 的线应变
dθ
a′b′ − ab ε= ab
(ρ + y)dθ − ρdθ = ρdθ y = ——应变分布 ——应变分布
y
(ρ + y)dθ − dx = dx
q=20kN/m
q=20kN/m A 4m B 2m C
220 60 180
A
z 280
D
4m
B
2m
C
c
60 y
FQ(kN) 30 +
-
40 + 50 40
x
解：1.作FQ、M图 1.作 图 B、D截面为危险截面 、 截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
1.5m
-
x
+ 22.5 M(kN·m)
220 60
c yC=180
60
z
280 D截面 截面
y
HOHAI UNIVERSITY
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁 两个假设 1.切应力与横截面的侧边平行， 1.切应力与横截面的侧边平行， 切应力与横截面的侧边平行 与剪力方向一致； 与剪力方向一致； 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 2.切应力沿截面宽度均匀分布。 切应力沿截面宽度均匀分布
解： 1. 求最大弯矩 max 求最大弯矩M
Mmax
1 1 = Fl = × 20kN×6m = 30kN⋅ m 4 4
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
1
w1
Fb 6lEI
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
CB段 (a x l)
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
3x2 )
3l b
x
a
2
w2
Fb 6lEI
(l 2
b2
x2)x
l b
x
a
3
2.求最大挠度和最大转角
将 x = 0 和 x = l 分别代入转 角方程左右两支座处截面的 转角
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁中点处的挠度为
w x l 2
Fbl 2 16EI
0.0625 Fbl 2 EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲 线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度 值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.
EI 抗弯刚度---表征梁抵抗弯曲变形的能力。
用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则
解：1.求挠曲线方程和转 角方程
材料力学-弯曲变形
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁
段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和 最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
P125 例6-1
边界条件
x = 0 时： w0
w 0
M (x) F (l x) EIw M (x) F (l x)
C1x
D1
DB段（ a ≤x ≤l ）：
M 2 (x)
Fb l
x
F(x
a)
EIw2
Fb l
x
F
(x
a)
EIw2
EIq 2
Fb l
x2 2
F
(x a)2 2
C2
EIw2
Fb l
x3 6
F
(x
a)3 6
C2 x
D2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
等直梁： E I w ＝－ M(x)
E I 为常量 EIq M (x) dx C 积 分
EIw [ M (x) dx] dx Cx D 法
积分常数由边界条件、连续条件确定。
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0
qA ＝ 0
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
wB (q ) ＋ wB (FB ) ＝ 0
wB ＝
ql 4
8EI
－
FBl 3
3EI
＝
0
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
振动力学(梁的横向振动)
l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u
x2
A
2u t 2
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
EI ,
A
C sin
材料力学梁的弯曲变形第1节 挠曲线近似微分方程
二阶小量
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下
侧纤维受拉，弯矩 M > 0，曲线的二阶导数 y > 0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下
侧纤维受压，弯矩 M < 0，曲线的二阶导数 y<0；
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
结论
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即：
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
梁任一截面的曲率eixmx1??23211yyx???????曲线的曲率xfy?eixmyy1232??????挠曲轴线近似微分方程二阶小量eixmy????1如图a所示梁的挠曲轴线是一下凸曲线梁的下侧纤维受拉弯矩m0曲线的二阶导数y???0
第六章 梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
• 第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。
y f (x)
挠曲轴线方程 y f (x)
• 挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
• 转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
梁的平面弯曲及微分方程公式
第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。
承受弯曲作用的杆，称之为梁。
本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。
分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。
此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。
如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。
平面弯曲梁变形后，梁的轴线将(a ) 简支梁(b) 外伸梁(c) 悬臂梁图9.1 梁的分类在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。
与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。
在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。
下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。
第九章 梁的平面弯曲
x
左顺右逆，M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动 向上凹
内力图
剪力图—以杆件轴线为基线,Q为纵坐标,作出的反映Q沿
杆件轴线的变化规律的曲线
弯矩图—以杆件轴线为基线,M为纵坐标,作出的反映M 沿杆件轴线的变化规律的曲线
内力图作法:
以坐标x表示横截面的位置,通过平衡方程求出内力与x 的关系,称为内力方程,根据内力方程作图
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截 面上内力按相同的规律变化；
控制截面的概念： 外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分 布载荷的起点和终点处的横截面,支座
。
截面法，确定各段Q、M 分布规律，以此列出各 段的内力方程（剪力方程、弯矩方程）。以此 作出剪力图和弯矩图。
q
A
FA
FQ qa
2a
B
2L
FB
qa
q(L-a) q(L-a)
M
qLa-qL2/2
q(L-a)2/2
根据给定的剪力图和弯矩图能否确定梁的受
力，能否确定梁的支承性质与支承位置？由给
6第四章平面弯曲3--变形与刚度
EIw M x dx dx Cx D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即边 界条件确定。
如：
A
F B
边界条件： wA=0
F A
wB=0 边界条件：
wA=0 θA=0 边界条件：
F A C
D a B
△a
l
wA=0
wB=△a
EIw EI M x dx C
Fb( l 2 b2 ) Fb 2 F DB : w2 2 x ( x a )2 6EIl 2EIl 2EI
Fb( l 2 b2 ) Fb 3 F w2 x x ( x a )3 6EIl 6EIl 6EI
当a＞b时
wmax 在AD段。
由w1 0，x0
EIw M x dx dx Cx D
积分常数C,D的几何意义是什么？
EIw'(0)=EIθ0 =C EIw (0)=EIw0 =D
例：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转 角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A l B
思考题:作出图示梁弯矩图，并根据边界条 件和连续条件画出挠曲线大致形状.
F
Fl A
D
l y l
B
l
C
x
§4－10 奇异函数法计算梁的变形
一、弯矩的通用方程:
Me
A
F
D E
q
G
B
x
FA
am
C
aF aq1
FB
aq2
y
l
Me
A
F
D
E
q
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 单跨梁弯曲理论
第二章 单跨 梁弯曲理论
第二章 单跨梁的弯曲理论
• 2.1 梁的弯曲微分方程 • 2.2 梁的支座及边界条件 • 2.3 船体骨材几何要素的计算 • 2.4 梁的弯曲要素表及应力计算 • 2.5 剪应力的对弯曲变形的影响 • 2.6 梁的复杂弯曲 • 2.7 弹性基础的弯曲
本章课堂授课 8 课时
第二章 单跨 梁弯曲理论
加一项，有
υ
=υ 0
+
θ 0
x
+
M0x2 2EI
+
N0 x3 6EI
+
−M ( x − a)2
a 2EI
M
o
a
x
y
§2-1 梁的弯曲微分方程
第二章 单跨 梁弯曲理论
4. 弯曲微分方程的解
单跨梁（分布载荷）：
设在区间 [c, d ] 之间施加分布载荷 q ( x)，同理，在
后增加一项，有
∫ υ
=υ 0
EI
d 2υ
dx2
⇒
EIυ IV = q
对上式逐次积分，有
§2-1 梁的弯曲微分方程
4. 弯曲微分方程的解
第二章 单跨 梁弯曲理论
单跨梁（基础梁）：
∫ ∫ ∫ ∫ υ
=
1
x
x
x
x
qdx 4 +
Ax3
EI 0 0 0 0
6EI
+
Bx2 2EI
+
Cx
+D
由挠曲线方程可以得出结论：在外载荷确定的情况下，
A
M
=
EI
d 2υ
dx2
§2-1 梁的弯曲微分方程
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
平面弯曲梁的变形计算公式
平面弯曲梁的变形计算公式梁是工程结构中常见的构件，用于承担横向载荷和弯矩。
在实际工程中，梁的变形是一个重要的问题，因为变形会影响结构的稳定性和使用性能。
平面弯曲梁是一种常见的梁结构，其变形计算公式是工程设计和分析中的重要内容。
本文将介绍平面弯曲梁的变形计算公式及其应用。
平面弯曲梁的变形是由横向载荷和弯矩引起的。
在计算平面弯曲梁的变形时，需要考虑梁的截面形状、材料性质和受力情况。
根据梁的几何形状和材料性质，可以得到平面弯曲梁的变形计算公式。
下面将介绍平面弯曲梁的变形计算公式及其推导过程。
首先，考虑一根长度为L的平面弯曲梁，在横向载荷和弯矩的作用下发生弯曲变形。
假设梁的截面形状为矩形，材料为弹性材料，横向载荷为P，弯矩为M。
根据弹性力学理论，可以得到平面弯曲梁的变形计算公式如下：1. 梁的挠度计算公式。
梁的挠度是描述梁在弯曲变形下的位移情况的参数。
挠度计算公式可以通过梁的受力分析和材料力学理论推导得到。
对于矩形截面的平面弯曲梁，其挠度计算公式为：δ = (PL^3)/(3EI) + (ML^2)/(2EI)。
其中，δ为梁的挠度，P为横向载荷，L为梁的长度，E为弹性模量，I为梁的惯性矩，M为弯矩。
2. 梁的曲率计算公式。
梁的曲率是描述梁在弯曲变形下曲线形状的参数。
曲率计算公式可以通过挠度计算公式求导得到。
对于矩形截面的平面弯曲梁，其曲率计算公式为：κ = d²δ/dx² = M/(EI)。
其中，κ为梁的曲率，δ为梁的挠度，x为横向坐标，M为弯矩，E为弹性模量，I为梁的惯性矩。
3. 梁的最大挠度计算公式。
梁的最大挠度是描述梁在弯曲变形下最大位移情况的参数。
最大挠度计算公式可以通过挠度计算公式和曲率计算公式求解得到。
对于矩形截面的平面弯曲梁，其最大挠度计算公式为：δmax = (5PL^4)/(384EI) + (3ML^3)/(64EI)。
其中，δmax为梁的最大挠度，P为横向载荷，L为梁的长度，E为弹性模量，I为梁的惯性矩，M为弯矩。
第3讲 曲线梁桥基本微分方程
z
l
(4-5)
z
l
(4-6)
2012-6-18
38
3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答
将式（4-3）~(4-6)分别代入式（4-1）（4-2）中去，可以得到 、
ˆ ˆ Aw B ˆ ˆ Bw D ˆ q ˆ m
1 N q X 0 r z z
对z求2阶导
Y
M
3
(1-5)
Q X mY 0
Y
z
3
QX
2
z
2
mY
2
z
2
0
两式相减，即
MY
3
z
3
N z
1 r
q x z
mY
2
z
2
0
（a）
(1-5)
M z
Y
Q X mY 0
2012-6-18 24
3.2 曲线梁微元体几何方程
B’’’点角增量为：（按A‘’‘的角增量沿微段轴向变化规律来写出），即
B dv dz d v dz
2 2
dz
因此，微段沿弧长总的角增量为：
2 dv dv d v d dz 2 dz dz dz
2012-6-18 21
3.2 曲线梁微元体几何方程
为了建立截面内力与变形之间的关系，还须研究梁微段位移与 应变的几何关系。 该曲线梁相对与纵向轴线z轴的一般变形基本定义如下图所示：
坐标系仍为随动坐标系，x,y,z轴正方向符合“右手螺旋法则”。
O x (v)
梁弯曲变形的计算
第7章 梁弯曲变形的计算§7-1 挠度与转角及梁的刚度条件梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。
梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。
在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用v 表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用θ表示。
而dxx dv x )()(=θ，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程Y=f(x)。
梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件][][max max θθ≤≤v v式中的和][v ][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
§7-2 挠度曲线的近似微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 式（a）表明梁轴线上任一点的曲率)(1x ρ与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度)(x M EI 成反比。
如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程v 之间存在下列关系：)(xEIx M x )()(1=ρ （a） 232221)(1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±dx dv dx vd x ρ （b）将上式代入式（a），得到EIx M dx dv dx v d )(12322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+±（c） 小挠度条件下，1<<=θdxdv，式（c）可简化为： EI x M dxv d )(22=±（d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着22dx vd 的正值（图7-3a），负弯矩对应着22dxvd 的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值EI x M dx v d )(22= （8-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。
显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。
承受弯曲作用的杆，称之为梁。
本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。
分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。
此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。
如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。
平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
(a ) 简支梁(b) 外伸梁(c) 悬臂梁图9.1 梁的分类这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。
与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。
在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。
下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。
解：1）求固定端约束力。
图9.2 平面弯曲梁矩形截面 梯形截面圆形截面 工字形截面槽形截面梁轴线(a )固定端A 处有三个约束力，但因梁上无x 方向载荷作用，故F A x =0；只有F A y 、M A 如图所示。
列平衡方程有： ∑F y =F A y -F =0 ∑M A (F )=M A -Fl =0得到： F A y =F ； M A =Fl 2）求截面内力。
在距A 为x 处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。
在0≤x <l 内，有平衡方程： ∑F y =F A y -F Q =0 ∑M C (F )=M A +M -F A y x =0得到： F Q =F ； M =-F (l -x )注意，在x =l 的右端B 点，因为梁处于平衡，B 点右边截面之内力均为零。
梁二端点外内力为零，以后将不再赘述。
3) 画内力图。
在0≤x ≤l 内，剪力F Q ≡F ，剪力图为水平线，如图9.3(c)所示。
弯矩M 随截面位置线性变化；当x =0时，M =-Fl ；x =l 时，M =0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。
此悬臂梁在固定端A 处弯矩值最大。
例9.2 求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。
解：1）求约束力。
注意固定铰A 处F A x =0，故梁AB 受力如图所示。
列平衡方程有：∑M A (F )=F B y (2a +b)-Fa -F (a +b)=0图9.3 例9.1图M F M A F(a )(b)F B y 1 F A (a )(b)∑F y =F A y +F B y -2F =0得到： F A y =F B y =F ；2）求截面内力。
0≤x 1<a ；左段受力如图9.4(b)。
由平衡方程有：∑F y =F A y -F Q1=0；⇒ F Q1=F A y =F ；∑M C (F )=M 1-F A y x 1=0 ⇒ M 1=Fx 1 a ≤x 2<a +b ；左段受力如图9.4(c)。
由平衡方程有： F Q2=F A y -F =0M 2=F A y x 2-F (x 2-a )=Fa a +b ≤x 3<2a +b ；左段受力如图9.4(d)。
由平衡方程有： F Q3=F A y -2F =-FM 3=F A y x 3-F (x 3-a )-F (x 3-a -b)=F (2a +b)-Fx 3注意在x =2a +b 的右端B 点，截面之内力（F Q 、M ）必然回至零。
3) 画内力图。
剪力图如图9.4(e)所示。
注意在a ≤x ≤a +b 段内，F Q ≡0。
在0≤x <a 和a +b ≤x <2a +b 二段内，弯矩M 随截面位置x 线性变化；在x =0和x =2a +b 二端，M =0；二集中力作用处，即x =a 和x =a +b 处，有M =Fa ；在a ≤x <a +b 段内，M ≡Fa ；故弯矩图如图9.4(f)所示。
梁在a ≤x <a +b 段内，只有弯矩，没有剪力，这种情况称为纯弯曲。
2 F A (c)图9.4 例9.2图FF例9.3 求图9.5(a )所示外伸梁各截面内力并作内力图。
解：1）求约束力。
梁受力如图，列平衡方程有：∑M A (F )=2aF B sin45︒+Fa +M 0=0⇒ F F B 2-= ∑F y =F A y +F B sin45︒-F =0 ⇒ F A y =2F∑F x =F A x -F B sin45︒=0 ⇒ F A x =-F 2）求截面内力。
0≤x <a ；左段受力如图9.4(b)。
由平衡方程有：F N1=0； F Q1=-F ； M 1=-F xa ≤x <2a ；受力如图9.4(c)。
由平衡方程有：F N2=-F A x =F ；F Q2=F A y -F =F ；M 2=F A y (x -a )-Fx =F (x -2a ) 2a ≤x 3<3a ；受力如图9.4(d)。
由平衡方程有：F N3=F ；F Q3=F ； M 3= F A y (x -a )-Fx -M 0=F (x -3a )3) 画内力图。
轴力图如图9.5(e)所示。
在0≤x <a 段内，F N =0。
在a ≤x <3a 段内，F N ≡F 。
(a )1 (b) F (c)N2F (d)F N3 F 图9.5 例9.3图剪力图如图9.5(f)所示。
在0≤x≤a段内，F Q=-F。
在a≤x<3a段内，F Q≡F。
弯矩图如图9.5(g)所示。
在0≤x<a段内，M=-Fx，是斜率为负的直线。
在a≤x<2a 段内，M=F(x-2a)；即x=a时，M=-Fa，x→2a时，M→0，是图中斜率为正的直线。
在2a≤x<3a段内，M=F(x-3a)；即x=2a时，M=-Fa，x→3a时，M→0，也是斜率为正的直线。
注意求内力时是在梁上有载荷（外载荷和约束反力）作用处分段的，本题各段中的弯矩M随截面位置线性变化，故只要算出各分段控制点（以后简称控制点）的弯矩值后，在各段内用直线连接即可得到如图9.5(g)所示之弯矩图。
值得指出的是，在梁上有载荷(外载荷和约束力)作用而分段之点，有左边和右边内力的差别。
分段点载荷是集中力，则影响剪力(F Q)图；载荷是集中力偶，则影响弯矩(M)图。
例9.4已知q=9kN/m，F=45kN，C处作用的集中力偶M0=48kN∙m，求图9.6所示简支梁各截面上的内力。
解：1) 求反力。
梁受力如图9.6(a)所示，列平衡方程有：∑F x=F A x=0∑M A(F )=12F E+M0-8F-2×4q=0∑F y=F A y+F E-F-4q=0解得：F A y=49kN；F E=32kN2) 求截面内力。
图9.6(a) 例9.4图(a)求内力时，应在载荷发生变化处分段研究。
以A 为原点，建立坐标如图9.6(a )。
则应在B 、C 、D 处分段。
AB 段（0≤x 1<4m ）：在任一x 1处将梁截断，取左端研究，受力如图9.6(b) 。
注意到由∑F x =0已给出轴力为零，故截面1上只有剪力和弯矩。
列平衡方程有：∑F y =F A y -q x 1-F Q1=0⇒ F Q1=49-9x 1∑M c (F )=M 1+q x 12/2-Y A x 1=0⇒ M 1=49x 1-4.5x 12注意力矩方程均是以截面形心c 为矩心写出的，如此可直接得到截面弯矩。
BC 段(4≤x 2<6m)：受力如图9.6(c)所示 。
同样有：∑F y =F A y -4q -F Q2=0 ⇒ F Q2=F A y -4q=49kN -9(kN/m)⨯4m=13kN ∑M c (F )=M 2+4q(x 2-2)-F A y x 2=0 ⇒ M 2=13x 2+72(kN ∙m) CD 段（6≤x 3<8m ）：受力如图9.8(d)，有： ∑F y =F A y -4q -F Q3=0 ⇒ F Q3=13kN∑M c (F )=M 3+4q(x 3-2)+M 0-F A y x 3=0 ⇒ M 3=13x 3+24(kN ∙m) DE 段（8≤x 4<12m ）：受力如图9.6(e)，有：图9.6 例9.4图(d)F A(c)F A(e)FE(b)F A 1∑F y =F A y -4q -F Q4-F =0 ⇒ F Q4=-32kN∑ M c (F )=M 4+4q(x 4-2)+M 0+F (x 4-8)-F A y x 4=0 ⇒ M 4=384-32x 4(kN ∙m) 由截面法求内力时，无论取左右哪一端研究都应得到相同的结果。
如在DE 段截取右端研究，注意截面内力仍按正向假设，受力如图9.6(f)所示，有：∑F y =F Q4+F E =0∑M c (F )=-M 4+F E (12-x 4)=0同样得到：F Q4=-F E =-32kN ；M 4=384-32x 4 (kN ∙m)值得注意的是，同一截面上的内力，如图9.6(e)与图9.6(f)中的截面4，在物体不同的部分上互为作用力与反作用力，故应有相反的指向（如图中F Q4、M 4）。
前面给出的内力符号规定可使二者有同样的表达。
本例分四段给出了各截面的剪力方程和弯矩方程，依据这些内力方程画出的剪力图和弯矩图，如图9.7所示。
注意观察梁上作用载荷变化处，剪力图、弯矩图的变化。
综上所述，用截面法求内力的一般方法是：图9.7 例9.4之内力图F Q M /§9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图梁整体处于平衡时，截取其中任一部分研究，均应处于平衡。