工程力学(梁的平面弯曲)解析
合集下载
材料力学第四章平面弯曲
ε=
a'b'-ab ab
=
(ρ+y)dθ dx
-dx
O1
a
O2
b
(ρ+y)dθ - ρd θ = ρd θ
1
2
dx
y
=ρ
y
dq
1
2
O1'
O2'
a'
b'
1
2
dx
2.物理关系 胡克定律
σ=Eε
y =E ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
3.静力学关系
FN=∫ AσdA
=
E∫ ρA
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
ql
FQ 2 +
单元体2:
ql
4
2
σσ ＝ max19q 6b2 lh2
ql2
32
-
3ql2
+
32
l/4
ql 4
- ql
2 ql2 32
-
z
b
单元体3: 3
单元体4:
1 l/4
q
2 h/4 4 3
l
l/4
4
σ
My Iz
3ql2 32bh3
τ FQS*z 9ql Izb 16bh
ql
FQ 2 +
ql 4
Iz
dA
(M +dM)
=
Iz
∫ y'dA
A*
(M +dM)
FN2=
Iz
Sz*
y'τ′
FN2 -FN1 = τ bdx
σ'
大学工程力学第7章平面弯曲2
主轴平面：如果梁的横截面没有对称轴，但是都有通过 横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
17
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
称 为 梁 的 主 轴 平 面 (plane including principal axes)。 由于对称轴一定是主轴， 所以对称面也一定是主轴 平面。
3
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ y
1 d dx
其中为中性面弯曲后的曲率半
径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率
半径。因为与y坐标无关，所以在 上述二式中，为常数。
16
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
应用弹性范围内的应力－应变关 系的虎克定律:
7
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
梁弯曲的若干定义与概念
中 性 层 与 中 性 轴
8
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲 §7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。
E
得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式
－ E y Cy
式中 C E / 为待定的比例常数，E为 材料的弹性模量。
17
水利土木工程学院工程力学课程组
第7章 平面弯曲
§7.3 梁横截面上的应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
－ E y Cy
这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
《工程力学》项目9平面弯曲
项目9 剪切与挤压
• 任务9.4 平面弯曲梁横截面上的应力 • 梁的横截面上只有弯矩而剪力为零的平面弯曲称为纯弯
曲，如图 9-20梁上CD段；而横截面上既有弯矩也有剪力 的平面弯曲称为横力弯曲或剪力弯曲，如图 9-20梁上AC、 DB段。
图 9-20
项目9 剪切与挤压
9.4.1纯弯曲时梁横截面上的应力 1.实验现象 2.假设及推理 • 研究纯弯曲时梁横截面上的应力，可
式（9-2），即可确定截面上的剪力和弯矩为
3
FS2
YA
qa 4
M2
YAa
3 qa2 4
项目9 剪切与挤压
• 3-3截面：将杆件截面右侧的所有的外力给屏蔽起来，如图
9-7（d）所示，取截面的左侧为研究对象，即可确定截面上
的剪力和弯矩为
FS3
YA
P
3 qa qa 4
1 4
qa
M3
YAa
P0
3 4
9-4（b）所示。 外伸梁：梁的支撑情况同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座
之外，如图 9-4（c）所示。
图9-4
项目9 剪切与挤压
• 任务9.2 梁弯曲的内力
• 9.2.1梁弯曲内力——剪力和弯矩
• 根据力系的平衡条件，可确定在留 下部分的截面上的内力为平行于横 截面的剪力和作用在纵向对称面内 的内力矩即弯矩。根据平衡方程可 得剪力与弯矩的大小，即
• 为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和 弯矩的变化情况，可绘制剪力图和弯矩图。对剪力 图，正值画在轴线的上侧，负值画在轴线的下侧； 对弯矩图正值画在轴线的下侧，负值画在轴线的上 侧，即弯矩坐标正向向下。
项目9 剪切与挤压
• 【例 9-2】图 9-8（a）所示的简支梁受均布荷载作用，试 作其剪力图和弯矩图。
工程力学第八章 梁的平面弯曲
在中性轴上，y=0，则正应力σ为零。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
工程力学-平面弯曲变形分析
yc
5ql4 Fl3 384 EI 48EI
洛 阳 职 业 技 术 学 院
五、提高梁的强度 和刚度的措施
提高强度
M max max [ ] WZ
降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷
合理布置支座
F
F
F
合理布置支座
合理布置载荷
F
采用变截面梁或等强度梁
提高刚度
M max max [ ] WZ
max
M 11 y max Iz 150 3.64 10 103 2 P a 12.94MP a 6 21.09 10
3
2.梁弯曲正应力的强度计算 梁的危险截面上的最大正应力
材料的许用应力
即
max
M max [ ] Wz
上式适用于横截面关于中性轴对称的截面。
∑Fy=0 FQ=FA ∑Mc（F）=0 －F AX＋M =0 M = FAX FQ（剪力）作用线通过截面形心，且平行于外力 M（弯矩) 位于纵向对称面内，使梁受弯曲作用的内力偶矩。 FA－FQ=0
剪力、弯矩符号规定：
剪力 左下右上为正 弯矩 上凹为正
下凹为负
弯矩方程和弯矩图
1、简支梁AB受集中力F作用，跨度为l，求最大弯矩，并画出 梁的弯矩图。
max
M
x
（3）设计截面尺寸。由强度条件 M max max Wz
M max 32 103 103 WZ m m3 203822 m m3 [ ] 157
由矩形截面抗弯截面模量
bh2 b(2b) 2 2 3 WZ b 6 6 3
3 203822 b m m 67.4m m 2
工程力学19 平面弯曲和梁的类型
阳台的挑梁
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
二、弯曲的概念
1. 弯曲（bending): 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常 称为梁(ECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
平面弯曲和梁的类型
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
一、工程中的弯曲构件
工厂厂房的吊车大梁：
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
火车的轮轴：
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
楼房的横梁
（1）活动支座
（2）固定铰支座
（3）固定端
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
2. 静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
谢 谢 观 赏！
3、 平面弯曲(plane bending)：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力 在同一平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
特点：构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
纵向对称面
A
P1
P2
梁的轴线
B
RA
RB
梁变形后的轴线
与外力在同一平
面内
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
工程力学-弯曲应力解析
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解]作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC段，其值为max7575000Q kN N==利用型钢表查得，56a号工字钢*247.7310z zS I m-=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C的切应力。
此时*zS是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022zS mm m-=⨯⨯-==⨯由型钢表查得465866zI cm=,腹板与翼板交界处的切应力为*max max maxmax23*max7500012600000126.47.731012.510zazzzQ S QMPII d dSτ--=====⨯⨯⨯⨯aMP6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
机械设计-平面弯曲
圆环截面的抗弯截面系数计算公式为:
3
=
1 − 4
32
式中，α=d/D。
提高梁的强度措施
由梁的强度条件公式max =
≤ []可知，要提高梁
的抗弯强度必须从以下三个方面考虑：
注意合理分配载荷在梁上的作用情况，降低最大弯矩
Mmax；
选择合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz；
取左段为研究对象,如图(b)所示,可列平衡方程
∑ = 0
∑ = 0
− 1 − = 0
+ 1 （ − ） − = 0
求得剪力 = − 1 ,弯矩 = −
1 ( − ), 为支座反力。
同理，也可取右段为研究对象，由平衡方程
求得剪力和弯矩,如图(c)所示。
平面弯曲
平
面
弯
曲
01
平面弯曲的概念
02
梁的弯曲内力
03
平面弯曲的强度条件
04
05
提高梁的强度措施
提高梁的刚度措施
在日常生活及工程实际中，弯曲的现象普遍
存在，如挑重物的扁担，火车的车轴，吊车
的主梁，以及汽车用的钢板弹簧等。本节课
了解平面弯曲的概念、平面弯曲的内力、强
度条件。
图2-4.1 吊车的主梁
(3)采用变截面梁 梁的截面形状尽量与弯矩图形状
接近，以节省材料。如汽车上的钢板弹簧、机械工程中常见
的阶梯轴。
提高梁的刚度措施
工程中除了要满足梁的强度要求外，还要满足刚
度的要求。刚度是梁抵抗变形的能力，刚度越大变形越小。
提高梁刚度的常用措施有：
1)缩短梁的长度。
2)在不能缩短梁的长度的情况下，增加梁的支撑
3
=
1 − 4
32
式中，α=d/D。
提高梁的强度措施
由梁的强度条件公式max =
≤ []可知，要提高梁
的抗弯强度必须从以下三个方面考虑：
注意合理分配载荷在梁上的作用情况，降低最大弯矩
Mmax；
选择合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz；
取左段为研究对象,如图(b)所示,可列平衡方程
∑ = 0
∑ = 0
− 1 − = 0
+ 1 （ − ） − = 0
求得剪力 = − 1 ,弯矩 = −
1 ( − ), 为支座反力。
同理，也可取右段为研究对象，由平衡方程
求得剪力和弯矩,如图(c)所示。
平面弯曲
平
面
弯
曲
01
平面弯曲的概念
02
梁的弯曲内力
03
平面弯曲的强度条件
04
05
提高梁的强度措施
提高梁的刚度措施
在日常生活及工程实际中，弯曲的现象普遍
存在，如挑重物的扁担，火车的车轴，吊车
的主梁，以及汽车用的钢板弹簧等。本节课
了解平面弯曲的概念、平面弯曲的内力、强
度条件。
图2-4.1 吊车的主梁
(3)采用变截面梁 梁的截面形状尽量与弯矩图形状
接近，以节省材料。如汽车上的钢板弹簧、机械工程中常见
的阶梯轴。
提高梁的刚度措施
工程中除了要满足梁的强度要求外，还要满足刚
度的要求。刚度是梁抵抗变形的能力，刚度越大变形越小。
提高梁刚度的常用措施有：
1)缩短梁的长度。
2)在不能缩短梁的长度的情况下，增加梁的支撑
平面弯曲梁
第九章平面弯曲梁§9-1 弯曲变形的概念一、平面弯曲弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。
弯曲变形构件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。
变形的特点是：杆的轴线被弯曲为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。
在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，称为梁。
由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。
二、梁的分类单跨静定梁，一般可分为三类：1、悬臂梁：即一端固定，一端自由的梁；2、简支梁：即一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁；3、外伸梁：即一端或两端伸出支座之外的简支梁。
梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长或跨度。
§9-2梁的弯曲内力－剪力与弯距图一、梁的内力—剪力Q和弯矩M梁在横截面上的内力可用截面法求得。
（一）截面法求内力如图（a）所示的简支梁，受集中载荷P1、P2、P3的作用，为求距A端x处横截面m-m 上的内力，首先求出支座反力R A、R B，然后用截面法沿截面m-m假想地将梁一分为二，取如图（b）所示的左半部分为研究对象。
因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q（或F S），称为剪力。
它是与横截面相切的分布内力系的合力；同时左段梁上各力对截面形心O 之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M 表示，称为弯矩。
它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。
由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。
如图（b ）。
由∑=0Y 01=--Q P RA解得 1P R Q A -= 由0=∑om()01=+-+-m a x P x R A解得 ()a x P x R m A --=1 用截面法计算内力步骤是： 1、 计算支座反力2、 用假象的截面将梁截成两段，任取某一端为研究对象。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
0 x4 B C Dc FQ4 FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kN1•1m)
DE段: 8mx4<12m FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kN•m)
取右边部分如何? DE段: 8mx4<12m
FQ4=-FE=-32kN M4=FE(12-x4)
3F
一般步骤
0
A
FAx
aa
FB 45 B F x0
a
M
FN x FQ
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
求解 内力
画内 力图
静力 平衡 方程
载荷 突变 处分 段。
内力 按正 向假 设。
矩心 取截 面形 心。
内 图形 力 应封 方 闭。 程
9
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN•m，
FAy q
M2
0 x2 B c FQ2
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
SFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
SFy=FAy-qx1-FQ1=0
FQ1=49-9x1
SMc(F )=M1+qx12/2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x12
10
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN•m，
FAy q
M0 F
求梁的内力。 2) 截面法求内力
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
BC段: 4mx2<6m
解：1）求约束力。
FAy
F
画受力图。由平衡方程得： MA A FAx l
B
FAx=0; FAy=F; MA=Fl
FAy
M
2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设，
MA A
x
c FQ
在0x<l内，有平衡方程： FQ
F
+
SFy=FAy-FQ=0
o
剪力图
x
SMC(F )=MA+M-FAyx=0
M
o_
x
得到： FQ=F； M=-F(l-x) Fl
FQ2=13; M2=13x2+72 CD段: 6mx<8m
4m 2m 2m 4m FE
分段处的剪力弯矩值：
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102
FQ3=13; M3=13x3+24 DE段: 8mx<12m
x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
2
10.1 基本概念
1、梁的分类
F
q
2、平面弯曲 梁的横截面 简支梁
悬臂梁
M
外伸梁
集中力，集中力偶，分布载荷
都有对称轴
纵向对称面
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。
3
用截面法作梁的内力图
截面法求内力的步骤： y
求约 束反 力
截取 研究 对象
受力图， 内力按正 向假设。
求解内力，负号 表示与假设反向
列平衡 方程
内力的符号规定
x
FQ 左上右下，FQ为正
x
左顺右逆，M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动 向上凹
4
例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。
=384-32x4
结果应当相同。 可以用于验算。
FAy q
M0 F
A BC
DE x
4m 2m 2m 4m FE
FAy q M0 F M4
0 x4 B C D c FQ4
M4
0
x4
FQ4 c
FE
内力同样要按正向假设!
12
内力方程:
FAy q
M0 F
AB段: 0x<4m
A BC
DE x
FQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x12 BC段: 4mx<6m
3P
45
内力与截面位置关系。
B
0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-F x
ax<2a: FN=-F； FQ=2F
M=F(2x-3a)
0
ห้องสมุดไป่ตู้FN
A FAx
x FB
-
Fx
FQ2F +
-FF -
x
2ax<3a: FN=-F ；FQ=-F M
Fa +
M=F(3a-x)
-
x
Fa
8
y
作梁的内力图的 F
FAy
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。 5
例2 求外伸梁AB的内力。y F FAy 3F
解：1）求约束反力： 受力如图。
0
A
FAx
aa
FB 45 B x
a
有平衡方程：
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0
2a x<3a: FN=-F； FQ=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)
=F(3a-x)
FM
FN 0 x FQ
F 3F M
FN 0 x F FQ
F 3F 3F
0
Fx
M
FN FQ
7
3) 画内力图：
内力图： 按内力方程绘出
内力方程：
各截面内力的图。
截面法给出的描述
F
FAy
FQ4=-32; M4=384-32x4 x48: FQD13
注意：集中力 (力偶)
第十章 梁的平面弯曲
10.1 基本概念 10.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 10.3 平面弯曲梁的正应力 10.4 梁的变形
1
回顾 承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压
扭转
弯曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
FB= 2F FAx=F FAy=3F
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FQ
6
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FQ=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a: FN=-F；FQ=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
求梁的内力。
FAy q
M0 F
解：1）求约束反力：
FAx=0 A B C
DE x
4m 2m 2m 4m FE
SFx=FAx=0 SFy=FAy+FE-F-4q=0
FAy q M1
MA(F )=12FE+M0-8F-2×4q=0
0 x1 c FQ1
FAy=49kN；FE=32kN
2) 截面法求内力
AB段: 0x1<4m