平面弯曲梁

第九章平面弯曲梁§9-1 弯曲变形的概念一、平面弯曲弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。

弯曲变形构件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。

变形的特点是：杆的轴线被弯曲为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。

在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，称为梁。

由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。

二、梁的分类单跨静定梁，一般可分为三类：1、悬臂梁：即一端固定，一端自由的梁；2、简支梁：即一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁；3、外伸梁：即一端或两端伸出支座之外的简支梁。

梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长或跨度。

§9-2梁的弯曲内力－剪力与弯距图一、梁的内力—剪力Q和弯矩M梁在横截面上的内力可用截面法求得。

（一）截面法求内力如图（a）所示的简支梁，受集中载荷P1、P2、P3的作用，为求距A端x处横截面m-m 上的内力，首先求出支座反力R A、R B，然后用截面法沿截面m-m假想地将梁一分为二，取如图（b）所示的左半部分为研究对象。

因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q（或F S），称为剪力。

它是与横截面相切的分布内力系的合力；同时左段梁上各力对截面形心O 之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M 表示，称为弯矩。

它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。

由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。

如图（b ）。

由∑=0Y 01=--Q P RA解得 1P R Q A -= 由0=∑om()01=+-+-m a x P x R A解得 ()a x P x R m A --=1 用截面法计算内力步骤是： 1、 计算支座反力2、 用假象的截面将梁截成两段，任取某一端为研究对象。

3、 画出研究对象的受力图。

4、 建立平衡方程，计算内力。

（二）剪力Q 和弯矩M 的正负号规定剪力与弯矩的符号规定：剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。

弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。

例9－1 试求下图（a ）所示外伸梁指定截面的剪力和弯矩。

解： 如图（b ）求梁的支座反力。

由0=∑Bm20C A R a P a m -⨯-=解得 P R C 3=由∑=0Y 0CB RR P +-=解得 2B R P =-如图 (c) 由∑=0Y 10BQ R-+=解得 P Q 21-=由10O m=∑ ()1 1.30B A M R a a m ---=解得 ()1 1.30.4B A M R a a m Pa =-+=如图 (d) 由∑=0Y 20CB RQ R -+=解得 P Q =2由02=∑O m()2 2.50.50B C A M R a a R a M ---⨯-=解得 ()2 2.50.50.5B A C M R a a m R a Pa =-++⨯=-例9－2 如下图所示简支梁，在点C 处作用一集中力P=10kN,求截面n-n 上的剪力和弯矩。

解 ： 求梁的支座反力。

由0=∑Am05.14=-P R B解得 75.3=B R kN由∑=0Y 0=-+P R RB A解得 25.6=A R kN取左段 25.6==A R Q kN58.0=⨯=A R M kN ·m取右段 25.6=-=B R P Q kN()()58.05.18.04=---=P R M B kN ·m（三）、用直接法计算梁内力的规律 1.剪力横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力在平行于横截面方向投影的代数和。

截面左侧向上外力，或右侧向下外力，产生正的剪力；反之产生负的剪力。

左上右下，Q 为正；左下右上，Q 为负。

2.弯矩横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。

向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。

截面左侧顺时针转向外力偶，或右侧逆时针转向外力偶，产生正的弯矩；反之产生负的弯矩。

上正下负；左顺右逆，M 为正。

§9-3 用内力方程法－绘制剪力图和弯距图一、内力图（一）剪力方程和弯矩方程一般情况下，截面上Q、M是随截面位置变化的，若横截面的位置用x表示，则Q、M可写成x的函数：xQQ==，MM)(x()这种内力与x的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程，统称内力方程。

将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形来表示，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图，统称为内力图。

其横坐标表示梁的横截面位置，纵坐标表示相应横截面上的剪力和弯矩。

（二）剪力图和弯矩图的绘制方法通常规定：在画梁的内力图时，正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方，并标明正负号；正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方。

绘制梁的内力图的基本步骤：1、正确求解支座反力。

2、分段。

3、判断各段梁的剪力图和弯矩图的形状。

4、计算特殊截面上剪力值和弯矩值，逐段绘制剪力图和弯矩图。

例9－3简支梁如图，在C处受集中载荷F作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解：1、求支座反力。

由平衡方程易求得：2、列出剪立方程和弯矩方程。

以梁的左端为坐标原点，选取坐标系如图2-22a 。

集中力F 作用在C 点，梁在AC 和BC 两段内的剪力和弯矩都不能用同一方程来表示，应分段考虑。

在AC 段内取距左端为x 的任意横截面，根据平衡方程可得此横截面上的剪力和弯矩分别为()O A FbF x F l==(0x a <<) (1) ()A FbM x F x x l==（0x a ≤≤） (2) 即为AC 段内的剪力方程和弯矩方程。

同样可求得CB 段内的剪力方程和弯矩方程分别为3、作剪力图和弯矩图。

根据式（1）、（3）绘出剪力图如图2-22b 。

根据式（2）、（4）绘出弯矩图如图2-22c 。

由图可见，在集中力作用处（C 截面），其左、右两侧横截面上弯矩相同，而剪力则发生突变，突变值等于该集中力的大小。

§9-4 荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系一、)(x Q 、()x M 和()x q 间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。

如图1(a)所示的梁上作用的分布载荷集度()x q 是x 的连续函数。

设分布载荷向上为正，反之为负，并以A 为原点，取x 轴向右为正。

用坐标分别为x 和dx x +的两个横截面从梁上截出长为dx 的微段，其受力图如图1(b)所示。

图1由∑=0Y ()()()()[]0=+-+x dQ x Q dx x q x Q解得 ()()dxx dQ x q =（1）由0=∑Cm ()()()()()()[]0212=++---x dM x M dx x q dx x Q x M 略去二阶微量()()221dx x q 解得 ()()dxx dM x Q =（2） 将式(2)代入式（1） 得 ()()22dx x M d x q = ( 3 )式(1)、(2)和(3)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。

由此可知()x q 和)(x Q 分别是剪力图和弯矩图的斜率。

二、几何意义１．剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q 。

２．弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。

３．弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度q 。

§9-5 用叠加法画弯距图一、叠加原理当荷载引起的效应为荷载的线性函数时，则多个荷载同时作用所引起的某一效应等于每个荷载单独作用时所引起的该效应的代数和。

二、叠加法画弯距图1．荷载与内力关系的应用１）若某段梁上无分布载荷，即0)(=x q ，则该段梁的剪力)(x Q 为常量，剪力图为平行于x 轴的直线；而弯矩)(x M 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。

２）若某段梁上的分布载荷q x q =)(（常量），则该段梁的剪力)(x Q 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；而)(x M 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。

在本书规定的x M -坐标中，当 0>q （ q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 0<q （q 向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。

３)若某截面的剪力0)(=x Q ，根据0)(=dxx dM ，该截面的弯矩为极值。

2、 步骤利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：1）求支座反力；2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；3）求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 4）确定max Q 和maxM。

例：9－4外伸梁如图 (a)所示，试画出该梁的内力图。

解：（1）求梁的支座反力由0=∑B m ()2143202AP a R a m q a ⨯-⨯++= 解得 10A R =kN 由∑=0Y 02=-++-qa R RP B A解得 52=-+=A B R qa P R kN （2）画内力图：CA 段: 0=q kN ，剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。

3-=-==-+P Q Q A C kN0=C M , 8.1-=⨯-=a P M A kN ·mAD 段: 0=q kN ，剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。

8.1-=⨯-=a P M A kN ·m7=+-==+A D A R P Q Q kN 4.22=⨯+⨯-=-a R a P M A D kN ·mDB 段: 0<q （因其为方向向下） ，剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。

5-=-=-B B R Q kN ，()qx R x Q B +-= ()a x 20≤<令()0=x Q 得5.0==qR Bx m2.12-=-⨯+⨯-=+m a R a P M A D kN ·m25.12/5.05.02=⨯-⨯=q R M B E kN ·m ，0=B M根据-B Q 、+C Q 、-A Q 、+A Q 、D Q 的对应值便可作出图(b)所示的剪力图。

由图可见，在AD 段剪力最大，7m ax =Q kN 。

根据C M 、B M 、A M 、E M 、-D M 、+D M 、的对应值便可作出图(c)所示的弯矩图。

由图可见，梁上点D 左侧相邻的横截面上弯矩最大，4.2max ==-D M M kN ·m§9-6 梁弯曲时的应力及强度计算一、梁的正应力计算（一） 正应力分布规律在一般情况下，梁的横截面上即有弯矩，又有剪力，如图1 (a)所示梁的AC 及DB 段。