平面弯曲梁

第九章平面弯曲梁

§9-1 弯曲变形的概念

一、平面弯曲

弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。弯曲变形构件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。变形的特点是：杆的轴线被弯曲为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，称为梁。

由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。

二、梁的分类

单跨静定梁，一般可分为三类：

1、悬臂梁：即一端固定，一端自由的梁；

2、简支梁：即一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁；

3、外伸梁：即一端或两端伸出支座之外的简支梁。

梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长或跨度。

§9-2梁的弯曲内力－剪力与弯距图

一、梁的内力—剪力Q和弯矩M

梁在横截面上的内力可用截面法求得。

（一）截面法求内力

如图（a）所示的简支梁，受集中载荷P1、P2、P3的作用，为求距A端x处横截面m-m 上的内力，首先求出支座反力R A、R B，然后用截面法沿截面m-m假想地将梁一分为二，取如图（b）所示的左半部分为研究对象。因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q（或F S），称为剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力；同时左段梁上各力

对截面形心O 之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M 表示，称为弯矩。它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。如图（b ）。

由

∑=0Y 01=--Q P R

A

解得 1P R Q A -= 由

0=∑o

m

()01=+-+-m a x P x R A

解得 ()a x P x R m A --=1 用截面法计算内力步骤是： 1、 计算支座反力

2、 用假象的截面将梁截成两段，任取某一端为研究对象。

3、 画出研究对象的受力图。

4、 建立平衡方程，计算内力。 （二）剪力Q 和弯矩M 的正负号规定

剪力与弯矩的符号规定：

剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。 弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。

例9－1 试求下图（a ）所示外伸梁指定截面的剪力和弯矩。

解： 如图（b ）求梁的支座反力。

由

0=∑B

m

20C A R a P a m -⨯-=

解得 P R C 3=

由

∑=0Y 0C

B R

R P +-=

解得 2B R P =-

如图 (c) 由

∑=0Y 1

0B

Q R

-+=

解得 P Q 21-=

由

1

0O m

=∑ ()1 1.30B A M R a a m ---=

解得 ()1 1.30.4B A M R a a m Pa =-+=

如图 (d) 由

∑=0Y 20C

B R

Q R -+=

解得 P Q =2

由

02

=∑O m

()2 2.50.50B C A M R a a R a M ---⨯-=

解得 ()2 2.50.50.5B A C M R a a m R a Pa =-++⨯=-

例9－2 如下图所示简支梁，在点C 处作用一集中力P=10kN,求截面n-n 上的剪力和弯矩。

解 ： 求梁的支座反力。

由

0=∑A

m

05.14=-P R B

解得 75.3=B R kN

由

∑=0Y 0=-+P R R

B A

解得 25.6=A R kN

取左段 25.6==A R Q kN

58.0=⨯=A R M kN ·m

取右段 25.6=-=B R P Q kN

()()58.05.18.04=---=P R M B kN ·m

（三）、用直接法计算梁内力的规律 1.剪力

横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力在平行于横截面方向投影的代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力，产生正的剪力；反之产生负的剪力。左上右下，Q 为正；左下右上，Q 为负。 2.弯矩

横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩。截面左侧顺时针转向外力偶，或右侧逆时针转向外力偶，产生正的弯矩；反之产生负的弯矩。上正下负；左顺右逆，M 为正。

§9-3 用内力方程法－绘制剪力图和弯距图

一、内力图

（一）剪力方程和弯矩方程

一般情况下，截面上Q、M是随截面位置变化的，若横截面的位置用x表示，则Q、M可写成x的函数：

x

Q

Q=

=，

M

M

)

(x

(

)

这种内力与x的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程，统称内力方程。

将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形来表示，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图，统称为内力图。其横坐标表示梁的横截面位置，纵坐标表示相应横截面上的剪力和弯矩。

（二）剪力图和弯矩图的绘制方法

通常规定：在画梁的内力图时，正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方，并标明正负号；正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方。

绘制梁的内力图的基本步骤：

1、正确求解支座反力。

2、分段。

3、判断各段梁的剪力图和弯矩图的形状。

4、计算特殊截面上剪力值和弯矩值，逐段绘制剪力图和弯矩图。

例9－3简支梁如图，在C处受集中载荷F作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩

方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解：

1、求支座反力。由平衡方程易求得：