梁的平面弯曲的简介
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
2、计算1-1 截面旳内力 FA
3、计算2-2 截面旳内力
M2
F=8kN
FS1
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2
FB
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
1.5 q 1.5 1.5 2
30kN m
2
1
例题
求下图所示简支梁1-1与2-2截面旳剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
3m
FB
解： 1、求支反力
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
梁任意横截面上旳剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上全部横向外力旳代数和。截面左 边向上旳外力(右边向下旳外力)使截面产生正旳 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上旳弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）全部外力（涉及外力偶）对该截面 形心之矩旳代数和。截面左边（或右边）向上旳 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
一、梁平面弯曲旳概念
1、平面弯曲旳概念
弯曲变形：作用于杆件上旳外力垂直于杆件旳轴线，使 杆旳轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁旳外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁旳轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。
q F
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
以弯曲变形为主旳直杆称为直梁，简称梁。 平面弯曲是弯曲变形旳一种特殊形式。
梁的平面弯曲的概念和计算简图
图4-3
1.3梁的计算简图
在进行梁的工程分析和计算时，不必把梁的复杂的工程图原原本 本地画出来，而是以能够代表梁的结构、荷载情况的，按照一定 的规律简化出来的图形代替，这种简化后的图形称为梁的计算简 图。一般应对梁作以下三方面的简化：
1 梁本身的简化 梁本身可用其轴线来代表，但要在图上注明梁的结构尺寸数据， 必要时也要把梁的截面尺寸用简单的图形表示出来。
梁是工程结构中应用得非常广泛的一种构件。例如图4-1［（a)、 (b)、(c）］所示的混凝土公路桥梁、房屋建筑的阳台挑梁，以 及水利工程的水闸立柱等。
图4-1
1.2梁的平面弯曲的概念
梁的轴线方向称为纵向，垂直于轴线的方向称为横向。梁的横 截面是指梁的垂直于轴线的截面，一般都存在着对称轴，常见的 有圆形、矩形、工字形和T形等。梁的纵向平面是指过梁的轴线 的平面，有无穷多个，但通常所说的纵向平面是指梁横截面的纵 向对称轴与梁的轴线所构成的平面，称为梁的纵向对称面。
图4-4
1.4静定梁的基本形式
1.4静定梁的基本形式 1 静定梁与超静定梁的概念 梁可以分为静定梁和超静定梁。如果梁的支座反力的数目等于梁 的静力平衡方程的数目，就可以由静力平衡方程来完全确定支座 反力，这样的梁称为静定梁，如图4-5（a）所示。
反之，如果梁的支座反力的数目多于梁的静力平衡方程的数目， 就不能由静力平衡方程来完全确定支座反力，这样的梁称为超静 定梁，如图4-5（b）所示。
2 静定梁的三种形式 静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁和外伸梁，其计算简图如图 4-6［（a）、（b）、（c）］所示。
图4-5
图4-6
材料力学
图。其中，公路桥梁本身用直线AB代表，左端的支承简化成固 定铰支座，有两个约束反力FAx和FAy，右端的支承简化成活动铰 支座，有一个约束反力FBy，正在行驶中的汽车简化成集中力F， 桥梁本身的自重简化成均布荷载q。
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
梁的弯曲
MB 0
MA 0
FAy＝ - M / l FBy＝ M / l
（2）列剪力方程和弯矩方程
弯曲内力
A
FAy＝ - M / l
a
x1 l
b B
C x2
FBy＝ M / l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
V x1＝FAy M / l 0 x1 a M x1＝FAyx1 Mx1 / l 0 x1 a
剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。横截面 沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪 力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力
二、剪力图和弯矩图
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变 化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图 形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
FBy
弯曲内力
总结与提示
截面法是求内力的基本方法。 (1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但 为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 (2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 (3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
弯曲内力
q>0
弯曲内力
FQ=0截面
弯曲内力
三、应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图
用规律作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力。 对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支 座反力。 (2) 将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布 荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。 (3) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的 剪力图和弯矩图的形状。 (4) 确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值， 并作图。
平面弯曲的概念
3-2 直梁弯曲时的内力分析
解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为：
Pb RA l
2）B处支座反力为：
Pa RB l
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为：
Pb Q1 l
(0 x1 a)
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、内力符号规定： 1）剪力： 横截面上的剪力Q使该截面的邻近 微段有作顺时针转动趋势时取正号；有 反时针转动趋势时取负号。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、 弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：
bb O O
OO
( y)d d d
3-1 平面弯曲的概念
1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外 力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线 由直线变成曲线的变形。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
2、梁：以弯曲变形为主的杆件。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
6、梁的类型： 梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁）
2008.9～2009.1
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
平面弯曲概念梁的类型
平面弯曲概念梁的类型平面弯曲是指在空间中只发生一维变形，即沿一条直线方向发生变形，而其他方向保持不变。
这种变形特点主要体现在梁的横向方向上，梁在横向方向的变形可以分为简支梁、悬臂梁和连续梁。
1. 简支梁：简支梁是指两个支点之间的梁，支点是指在梁两端支撑的点。
在简支梁中，当梁受到集中力作用时，沿梁的长度方向发生弯曲。
在弯曲的过程中，梁上任意一点的变形可以由梁的弯曲方程来描述。
一般情况下，简支梁在两个支点之间的部分是线性变形的，即沿着支点之间的区域变形相对均匀。
而支点周围的区域受到局部的力的作用，产生非线性变形。
2. 悬臂梁：悬臂梁是指一个端部固定在支点上，另一个端部自由悬挂的梁。
在悬臂梁中，只有一个支点，梁在支点处固定，而另一端自由悬挂。
当梁受到集中力作用时，悬臂梁会在支点处产生弯曲。
与简支梁不同的是，悬臂梁的悬臂区与支点之间的变形是非线性的，变形幅度较大。
3. 连续梁：连续梁是指由两个或多个简支梁或悬臂梁相连接组成的梁。
在连续梁中，两个相邻的梁通过节点连接在一起。
当梁受到集中力作用时，整个连续梁系统会发生弯曲。
在连续梁中，节点附近的区域变形相对较大，而两个节点之间的梁段产生线性变形。
总结起来，平面弯曲梁的类型主要包括简支梁、悬臂梁和连续梁。
这些梁在受到集中力作用时，会发生弯曲变形。
在简支梁和悬臂梁中，梁的变形是非线性的，而在连续梁中，梁的变形是线性的。
这些梁的变形特点对于工程设计和结构分析非常重要，需要考虑到梁的形状、材料、力的大小和作用位置等因素，来确定合适的梁的尺寸和支撑结构，以保证梁的强度和稳定性。
梁的平面弯曲及微分方程公式
第九章 梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。
承受弯曲作用的杆，称之为梁。
本章研究梁的应力和变形。
工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。
由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。
分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。
在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。
工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。
此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。
如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。
平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此(a ) 简支梁(b) 外伸梁(c) 悬臂梁图9.1 梁的分类纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。
这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。
平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。
与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。
§9.1 用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。
在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。
下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。
例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。
工程力学第八章 梁的平面弯曲
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
力学基础-(八) 梁的弯曲
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
13
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
2.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处
剪力图有突变，突变幅值等于力 的大小，方向与力同向。
x
（4）集中力偶作用处 剪力图不变化。
弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之 向下。
14
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示跨长为l的简支梁AB，中点C 作用集中力F，试用简便画法画
梁剪力图和弯矩图。
F
A
l/2 FA=F/ FQ 2 F/
C l/2
B FB=F/
MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
Fl
x
从上例可以得出
结论1：无荷载作用的梁段上 剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。
确定直线两点的坐标，A点的临近截 面A+的弯矩值
MA+=-Fl
B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F·=0
12
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
xC
FA
x
FQ
ql/
2
xM
l/2
ql/
第九章 梁的平面弯曲
x
左顺右逆，M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动 向上凹
内力图
剪力图—以杆件轴线为基线,Q为纵坐标,作出的反映Q沿
杆件轴线的变化规律的曲线
弯矩图—以杆件轴线为基线,M为纵坐标,作出的反映M 沿杆件轴线的变化规律的曲线
内力图作法:
以坐标x表示横截面的位置,通过平衡方程求出内力与x 的关系,称为内力方程,根据内力方程作图
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡；
在载荷无突变的一段杆的各截 面上内力按相同的规律变化；
控制截面的概念： 外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分 布载荷的起点和终点处的横截面,支座
。
截面法，确定各段Q、M 分布规律，以此列出各 段的内力方程（剪力方程、弯矩方程）。以此 作出剪力图和弯矩图。
q
A
FA
FQ qa
2a
B
2L
FB
qa
q(L-a) q(L-a)
M
qLa-qL2/2
q(L-a)2/2
根据给定的剪力图和弯矩图能否确定梁的受
力，能否确定梁的支承性质与支承位置？由给
平面弯曲的概念
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与 它到中性层的距离有关，在横截面的同 一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同 的，与它在横截面宽度上的位置无关。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
3、纵向对称平面：
工程上常见的梁，其横截面都具有一根 对称轴y。
纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成 的平面。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
4、平面弯曲： 梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯
曲。 5、载荷分类：
作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（N·m，KN·m）
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
解： （1）求支座反力，画弯矩图。
RA 3kN RB 11kN
M B 4kN m
M c 3kN m
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
2）CB段梁的剪力方程为：
Pa Q2 l
(a x2 l)
3）剪力图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：
M1
Pb l
x1
(0 x1 a)
2）CB段梁的弯矩方程为：
钢结构梁变形标准
钢结构梁变形标准
钢结构梁变形标准主要涉及到三种变形：弯曲变形、挤压变形和剪切变形。
1. 弯曲变形：是指钢梁在承受负荷后出现的弯曲变形。
根据标准要求，弯曲变形应符合L/300的标准，其中L为跨度。
也就是说，在台阶承载时，钢梁的弯曲变形不应超过跨度的1/300，否则可能会影响结构的正常使用。
2. 挤压变形：是指钢梁在受压力作用下的长轴方向出现的压缩变形。
根据标准要求，挤压变形应符合L/150的标准，其中L为跨度。
即在台阶承载时，钢梁的挤压变形不应超过跨度的1/150，否则会危及结构的安全。
3. 剪切变形：是指钢梁在承受横向力时发生的剪切变形，一般表现为上下翘起或者下垂。
根据标准要求，剪切变形应符合1/150的标准，即在台阶承载时，钢梁的剪切变形不应超过跨度的1/150，否则会影响结构的正常使用。
另外，对于钢梁平面弯曲，也有明确的允许偏差标准。
根据《建筑钢结构制作和安装技术规范》中的规定，钢梁平面弯曲允许偏差的标准为梁长的1/200或50mm，取其中较小值。
以上信息仅供参考，具体的钢结构梁变形标准可能因不同的设计规范、使用环境和结构要求而有所差异。
在实际应用中，需要参考相关的设计规范和标准，结合实际情况进行判断和评估。
梁弯曲
称为横力弯曲
(bending by transverse force)。
横截面上只有弯矩没有剪力。
例如：CD段。
称为纯弯曲(pure bendin而另一端为可动 铰支座的梁 悬臂梁：一端为固定端， 另一端为自由端的梁 外伸梁：简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁
载荷简化
（1）分布载荷q(x) ――连续作用在一段长度 的载荷。
例如：自重、惯性力、液压等， 单位： N/m。
q(x)
a d
b
x
（2）集中力P
dx
（3）集中力偶 M
剪力和弯矩
例 一悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图8-9所示，求截面1-1上的剪力和 弯矩。
解: 对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如 图 （b)所示。
如取1-1截面右段梁为研究对象，可得出同样的结果。
一、梁弯曲时的内力—剪力与弯矩 1、剪力Q和弯矩M---剪力是横截面切向分布内力的合力； 弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。 (1)用截面法，根 据静力平衡求内力
∑FY=0: Q=RA-P1
∑MA=0: M=P1.a+Q.x
=P1.a+(RA-P1).x
2．求弯矩的规律 计算弯矩时，对截面左(或右)段梁建立力矩方程，经过移项后可得
M MC左
或
M MC右
上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包 括力偶)对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁 段产生下凸弯曲变形时(即上部受压，下部受拉)，等式右方取正号；反之取负号， 此规律可记为“下凸弯矩正”。
梁的平面弯曲
3、纵向对称面— 通过梁的轴线和 横截面的对称轴 的平面。
材料力学梁的弯曲问题
F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
当变形为微小时，可采用变
形前尺寸进行计算。
MB
1、叠加原理：当梁在各项
A
荷载作用下某一横截面上
的弯矩等于各荷载单独作
用下同一横截面上的弯矩
的代数和。
2、区段叠加法作弯矩图：
设简支梁同时承受跨间荷
MB
载q与端部力矩MA、MB的作用 。其弯矩图可由简支梁受端部
力矩作用下的直线弯矩图与跨
平面弯曲梁
第九章平面弯曲梁§ 9-1弯曲变形的概念一、平面弯曲弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。
弯曲变形构件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。
变形的特点是：杆的轴线被弯曲为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。
在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，称为梁。
由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。
单跨静定梁，一般可分为三类：1、悬臂梁：即一端固定，一端自由的梁；2、简支梁：即一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁;3、外伸梁：即一端或两端伸出支座之外的简支梁。
梁在两个支座之间的部分称为跨，其长度则称为跨长或跨度。
恳X ~X§ 9-2梁的弯曲内力一剪力与弯距图一、梁的内力一剪力Q和弯矩M梁在横截面上的内力可用截面法求得。
（一）截面法求内力如图（a）所示的简支梁，受集中载荷P i、P2、P3的作用，为求距 A端x处横截面m-m上的内力，首先求出支座反力R A、F B,然后用截面法沿截面 m-m假想地将梁一分为二，取如图（b）所示的左半部分为研究对象。
因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q （或F s）,称为剪力。
它是与横截面相切的分布内力系的合力；同时左段梁上各力对截面形心O之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M表示，称为弯矩。
它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。
由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。
如图( b)。
由7丫=0 R A-R-Q=O解得Q =：R A - R由送m。
= 0 -R A X+ R(x—a)+m=0解得m = R A X— p (x —a )用截面法计算内力步骤是：1、计算支座反力2、用假象的截面将梁截成两段，任取某一端为研究对象。
何谓纯弯曲和平面弯曲
何谓纯弯曲和平面弯曲引言：弯曲是一种力学应变情况，常见于各种工程和结构设计中。
在力学学科中，有两种常见的弯曲形式：纯弯曲和平面弯曲。
本文将介绍这两种弯曲形式的概念、特点和应用领域。
一、纯弯曲的定义和特点1. 定义：纯弯曲指的是梁体或构件在受力作用下仅产生弯曲摩擦的力学现象。
在纯弯曲情况下，梁体或构件不发生剪切力和剪切应力。
纯弯曲可以用数学模型来描述，使用弯曲方程计算弯曲应力和变形。
2. 特点：纯弯曲具有以下特点：- 仅产生绕中性轴的弯曲变形，不会引起构件的拉伸或压缩；- 弯矩和弯曲应力大小与受力点的距离成正比；- 相对于构件来说，纯弯曲的强度需求较低。
二、平面弯曲的定义和特点1. 定义：平面弯曲是指梁体或构件在受力作用下产生弯曲力和剪切力的力学现象。
在平面弯曲情况下，梁体或构件既发生弯曲变形，同时也会产生剪切变形。
平面弯曲可以用复杂的数学模型来描述，需要考虑弯曲方程和剪切方程。
2. 特点：平面弯曲具有以下特点：- 产生绕中性轴的弯曲变形和平面内的剪切变形；- 弯矩和弯曲应力大小与受力点的距离成正比；- 相对于构件来说，平面弯曲的强度需求较高，需要考虑弯矩和剪力的耦合效应。
三、纯弯曲和平面弯曲的应用领域1. 纯弯曲的应用：纯弯曲常用于以下领域：- 建筑工程：如梁柱、悬挑结构等；- 桥梁工程：如悬索桥、拱桥等；- 机械工程：如飞机翼梁、汽车车身等。
2. 平面弯曲的应用：平面弯曲常用于以下领域：- 板材加工：如金属板材的弯曲加工；- 车体工程：如汽车车身的弯曲设计；- 船舶工程：如船体的强度设计。
结论：纯弯曲和平面弯曲在力学学科中都是重要的概念，应用于各种工程和结构设计中。
纯弯曲和平面弯曲的区别在于是否考虑剪切变形和剪切力的影响。
对于不同的工程和结构需求，工程师和设计师需要对纯弯曲和平面弯曲进行合理的分析和设计，以确保结构的强度和稳定性。
发生平面弯曲的条件弯曲中心剪切中心
从（a）式推导出z轴（中性轴）通过横 截面的形心。 从（b）式推导出Iyz →y、z轴是主轴。 根据平行移轴定理，只要y轴平行于过
形心的主轴，则y、z轴必定是主轴。
在纯弯曲中力偶的作用方向 y、z轴确定了力偶的作用方向（M绕z轴作用）
纯弯曲时发生平面弯曲的条件： 力偶矩的作用平面和形心主惯性平面平行。 形心主惯性平面 形心主轴和梁轴线决定的平面
75发生平面弯曲的条件弯曲中心剪切中心?纯弯曲?剪切弯曲?具有纵向对称面的梁可以发生平面弯曲
§7-5发生平面弯曲的条 件弯曲中心（剪切中心）
可以发生平面弯曲的情况
具有纵向对称面的梁，可以发生平面弯曲。 没有纵向对称面的梁，只要满足一定的条件，也可以发生平面弯曲。
纯弯 曲 直梁
具有任意形状的横截面。 在横截面上任意选一对轴y、z。 横截面上的弯矩M是绕z轴作用的。
P
P
Q
z
c
z
dA
y
yc
Mx y P Q
z
y
当梁发生平面弯曲时，根据弯
曲正应力的推导有
E
y
N dA 0 (a)
A
M y z dA 0 (b)
A
M z y dA M (c)
剪切弯曲
弯曲中心（剪切中心）
一个点。 在梁的横截面上。 当梁只发生弯曲而不发生扭转时，横截面上的剪应力的合力作用线必然通过该点。 这一个点称为弯曲中心。 实心截面的弯曲中心和形心重合。 薄壁截面的弯曲中心一般和形心不重合。
在剪切弯曲时发生平面弯曲的条件：
1) 载荷作用线平行于形心主轴。 2) 载荷作用线通过弯曲中心 。 条件 1）保证了My＝0。 条件 2）保证了梁不发生扭转。
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梁的平面弯曲的简介
在平面弯曲中，荷载与支反力构成一个平面平衡力系。对 于上述三种类型的梁，支反力未知数都只有三个，由静力学可 知，平面一般力系有三个独立的平衡方程，因此这些梁的支反 力可以用静力平衡条件确定，这种梁称为静定梁。
但在实际工作中，有时需要多加支座约束，以改善梁的强 度和刚度，提高承载能力，这时支反力未知数超过三个，单凭 静力平衡条件不能完全确定其支反力，这种梁称为超静定梁或 静不定梁。解超静定梁需要考虑梁的变形、列出补充方程，与 静力平衡条件联立求解， 静定梁的分类
梁在发生平面弯曲时，外力或外力的 合力都作用在通过梁轴线的纵向平面内， 为使梁在此平面内不致发生随意的移动和 转动，必须有足够的支座约束。按支撑的 情况，常见的梁有下述三种类型。
梁的平面弯曲的简介
（1）悬臂梁：梁的一端固定，另一端自由，如图8-4（a）所示。 （2）简支梁：梁的一端为固定铰链，另一端为活动铰链支座，如 图8-4（b）所示。 （3）外伸梁：梁的支撑情况同简支梁，但梁的一端或两端伸出支 座之外，如图8-4（c）所示。
工程力学
梁的平面弯曲的简介
1.1 梁的弯曲变形
工程实际中将以弯曲为主要 变形的构件称为梁。梁的弯曲变 形是工程实际中的一种基本变形， 如桥式起重机的横梁、列车车厢 的轮轴、建筑结构中的横梁、钢 架的横梁和立柱等。本章主要讨 论的是平面弯曲。平面弯曲的受 力特点是：在过轴线的纵向对称 面内，受到垂直于轴线的荷载作 用。如图8-1所示。
工程力学
图8-1
梁的平面弯曲的简介
梁的平面弯曲变形特点 是：杆的轴线在纵向对称面 内由直线变成一光滑连续曲 线。例如图8-2所示的火车 轮轴，其因在轴的两端分别 受到垂直轴线的集中力作用 而发生平面弯曲；
图8-2
梁的平面弯曲的简介
又如图8-3所示的建 筑物楼面梁和阳台挑梁， 它们都因受到楼面荷载和 梁自重的作用而发生平面 弯曲。