平面弯曲1-梁的内力

Me
q
A
C
B
a FRA 3a
FRB
解：(1)求支座反力
11
M 0 A
FRB 6 qa
Fy 0
7 FRA 6 qa
(2)作剪力图
FRA
7 6
qa
FRB
11 qa 6
(3)作弯矩图
x
76 qa q
7 6
a
Me
q
A C
a FRA 3a
7/6qa
FQ图
x
M图
B FRB
11/6qa
M max
Me
11qa11a q 11 a 11 a 121qa2
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面 (荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
2 梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面 平行的平面）内的力偶。
F Me
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。
F
F
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
3 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FRA a
l
FRB
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
MO 0
FQ 剪力 N或kN M 弯矩 N·m或kN·m
F2 M
F1
A
B
The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
桥式吊梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
>0 <0
★剪力为零的截面或其左、右侧剪力的正负号改变的
截面 结论：
FQ x 0
dM x 0
dx
⑴“+”→“-” 该截面的弯矩有极大值；
⑵“-”→“+” 该截面的弯矩有极小值。
FQ 0
M
x
FQ 0
M
★结论（规律）：
(1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩 图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
梁的内力
INTERNAL FORCES IN THE BEAM
1 工程实际中的弯曲问题 2 梁的荷载和支座反力 3 梁的内力及其求法 4 内力图 5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 6 叠加法作剪力图和弯矩图
1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
4 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQ FQ x 函数图形 弯矩方程： M M x
FRA 5ql FRB 4ql
5ql
FQ
x
4ql
4ql
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
F
Me
A(O)
C 12 D
B
12
FRA l/3 l
l/3 FRB
5ql
FQ图
4ql
M图
5ql2 3
ql2 3
4 ql2 3
结论：
●当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程 不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出 其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置 及分布荷载的起点和终点为界。
分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷 载的起点和终点为界 （ ? ）
解：(1)求支座反力
FRA 5ql
A(O)
F CD
Me
B
FRA
FRB 4ql
l/3 l
l/3 FRB
(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段
FQ x FRA 5ql
M x FRA x 5ql x
●内力的求法
A
FRA
a
Fy 0
M
FRA FQ 0 FQ FRA
FQ
MO 0
M FRA a 0 M FRA a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
顺时针转为正
M
⑵弯矩
M
上压下拉为正
FQ
FQ
逆时针转为负
M
M
上拉下压为负
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN，
FQ2 FRA F1 F2
FQ
F1
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
结论：
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
FR A 15kN FR B 29kN
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 FRA F 15 8 7kN
M1 FRA 2 F 2 1.5 26kN m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3 FRB 7kN
M1 q32.5 FRB 4 26kN m
M
e
M
x
lx 2
x2 2
q
l
a
l
x
F
x l
M
e
FQ
x
l 2
x
q
a l
F
1 l
M
e
M
x
lx 2
x2 2
q
la
l
ax
F
x l
Me
FQ
x
l 2
x
q
a l
F
1 l
M
e
M
x
lx 2
x2 2
q
la
l
ax
F
x l
1
M
e
将上面的剪力方程和弯矩方程写成如下的统一 形式：
FQ x 1q 2F 3Me
M x 1q 2F 3M e
结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、 Me分别单独作用时产生的内力之和。
a/2
F E
B
a/2
a
a
l
l
q qa q
qa a qa FQ
aa 2qa
qa
qa M qa 2 / 2
qa 2 / 2
2qa 2
q
2qa
C
A
B D
a
2a
a
qa
5qa
FQ
2qa
qa
M 2qa 2
3qa
2qa 2
6 叠加法作剪力图和弯矩图
F
q
A
C
D Me B
a b
l
FQ
x
l 2
x
q
l
l
a
F
1 l
CD段 DB段
FQ x FRA F 4ql
M x FRA x F x l 3 3ql2 4ql x
FQ x FRA F 4ql
M x FRA x F x l 3 Me 4ql2 4qlx
A(O)
F CD
Me
B
FRA
l/3 l
l/3 FRB
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
M B 0 F1 2.5 F2 1.5 FRA 3 0 Fy 0 FRA FRB F1 F2 0
FRA 15kN FRB 7kN
(2)求1-1截面上的内力
66
6 12 72
Mmax =121/72qa2
例 作用梁的内力图
P=3kN
M1=2kNm
M2=6kNm
q=1kN/m
A
FRA=5kN
B
FRB=4kN
2m
2m
2m
2m
FQ (kN)
3
2+
2+
2 8
6
6
6
4
M(kNm)
例8 试作出图(a)示简支梁的剪力图和弯矩图。
F/2
A(O)
F/2
l/2
B A(O) D
A FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
F1
A
FRA
F2 M2
FQ2
Fy 0 FQ2 FRA F1 F2 0 FQ2 7kN
FQ2 FRA F1 F2
FQ2 FRB
M 0 O
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5 0 M2 7kN m
M 2 FRA 2 F1 1.5 F2 0.5
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
弯矩图。
q
解：(1)求支座反力
A
B
FRA
FRA
FRB
ql 2
x
FRB
l
(2)列出剪力方程和弯矩方程
取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩
表达式分别为:
FQ
x
FRA
qx
q
l 2
x
M x
FRA
x
qx
x 2
q 2
xl
x
(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值
●剪力图和弯矩图一般是连续的，且左右两端的 剪力和弯矩为零（从零开始，到零结束） 。在集 中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中 力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力 偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集 中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。
5 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
一、弯矩、剪力、荷载集度之间的关系
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左 侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和 弯矩的表达式。
e
c
l
q
1 F1 FQ
d b
M1
Me
f
α
FRB
F2
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
用q(x)表示
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx
FRy
FR
MR
FRx FRy
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
FQ F1 ql F2 sin FRB
M
F1 e
ql e
c
l 2
Me
F2 sin f b FRB f
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
FRB
3m
1.5m
解：(1)求支座反力
MB 0 FRA 6 84.5 1231.5 M A 0 FRB 6 81.5 1234.5
可见计算结果完全相同。 F=8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
3m
FRB
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q1.5 FRB 11kN
M 2 q1.50.75 FRB 1.5 30kN m
F =8kN 1
0.5m F1 1
F2 2
1m
A
FRA 1
2
B FRB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
FQ1 FRA 1m
Fy 0 FRA F1 FQ1 0 FQ1 3kN
M O 0 M1 FRA 1 F1 0.5 0 M1 9kN m
(3)求2-2截面上的内力
0.5m F1 1 F2 2 1m
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
●按支座反力的求解方法
⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
F
Me
A(O) C D
B
l/3
l/3
l
dM
dx
x
FQ
x
dFQ x q x
dx
5ql x
M x 3ql2 4qlx
4ql2 4qlx
5ql
FQ x 4ql
4ql
qx 0
M(x)
M(x)+dM(x)
A
q(x) B
x
dx
l
FQ(x)
q(x)
dx
FQ(x)+dFQ(x)
Fy 0 FQ x FQ x dFQ x q xdx 0
q
A
B
FRA
FQ
x
q
l 2
x
x
FRB
l
M x q xl x
ql/2
2
FQ图
ql/2
M图
ql2/8
例5 简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作 用，试作出其剪力图和弯矩图。
A(O)
F C
12
D
3
Me
4
B
12 34
l/3
l/3
l
分析： 1-1、2-2截 面上的剪力
结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯 矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分 段 (分段点如何确定？) 列出其表达式。
(2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩
图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
q/2
q/2
A
BA
EI B
C EI l
C l q/2
FQ图
M图
三、画剪力图、弯矩图的简便方法
例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶
Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分 关系作梁的剪力图、弯矩图。
dFQ x q x
dx
即：剪力对x的导数等于梁上相应位置分布荷载的集度 。
MO 0
M
x
dM
x
M
Baidu Nhomakorabea
x
FQ
x
dx
q
x
dx
dx 2
0
dM
dx
x
FQ
x
d2M
dx2
x
q
x
即：弯矩对x的导数等于梁上相应位置截面上的剪力。
二、剪力图、弯矩图的规律
q
=0
FQ
>0
<0
M
直线段
FQ > 0
=0
M
<0
>0
<0