平面弯曲内力
4-1弯曲内力
FS <0
或者：左上右下为正、 右上左下为负
、弯矩 M： 上凹下凸形的为正
下凹上凸形的为负
M ≥0
M ≤0
15
弯曲内力
例 2 。求下图示梁1--1、2--2截面处的内力。 qL 1 1 a qL A x1 FS1
图（b)
2
q
解：截面法求内力∶
1--1截面处剪力、弯矩如图（b）
2
b 图（a） M1
M
弯曲内力
简 易 作 图 法 : 1 ，计算特殊点的内力值确定图的起点或中间点或终点； 2，利用内力和外力的微分关系判定线形； 3，计算特殊点的内力值判定图的正确性，是否封闭；
33
弯曲内力
特殊点:
1，梁的端点∶自由端、固定端、外伸端、中间铰，等等； 2，载荷的端点∶分布力的起终端、集中力(力矩)点，等等； 3，梁的支座∶固定端、固定铰，滚动铰、中间铰，等等； 4，内力的特殊点∶ FS =0的M有极值点，等等； 计算法∶
20
弯曲内力
q( x )
A
RA
qo
M ( x)
FS ( x )
x RB B
q0 x 2 1 1 2 M x RA x q( x ) x x (L x ) 6L 2 3
21
弯曲内力
§4－3 剪力方程、弯矩方程、剪力图和弯矩图 1、内力方程：内力与截
面位置坐标（x）间的函
FS ( Pi ) ( Pj )
弯曲内力
例 3 。求下图示梁 AB 、 BC 、 CD 段的的内力。
q
qa2
D C
A
B a qa a
a
FS 2 RA 2 qa q( x2 a )
第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
6 内力及内力图——弯曲
1.5m FAy 1.5m
1.5m
FBy
解 （1）求支座反力 ） ∑MB=0
FAy = 125kN (↑)
∑Fy=0 FBy=25kN (↓)
弯曲内力
（2）求1-1截面上的剪力和 ） 截面上的剪力和 弯矩 列平衡方程 ∑Fy=0 FQ1 ＋ FP=0
FQ1
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ） 截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 FQ2 ＋ FP－FBy－=0
C
FP=100kN 1 A2 1 2
M = 75kN·m 3 3 4 4 B
FQ2=－FP＋FBy － =－100＋125 － ＋ =25kN (正剪力) (正剪力 正剪力) ∑M2=0 M2＋ FP×a=0 M2=－FP a － =－100×1.5 － × = － 150KN·m (负弯矩 负弯矩) 负弯矩
FP=100kN 1 A2 1 1.5m 2
M = 75kN·m 3 3 4 4 B
1.5m FAy
1.5m
FBy
FQ3 M3 FQ4= FBy=25kN (正剪力 正剪力) 正剪力 ∑M4=0 M4 ＋ FBy×a=0 M4=－FBy×a=－25×1.5=－37.5kN·m (负弯矩 负弯矩) － － × － 负弯矩
弯曲内力
弯曲内力
房屋建筑中的楼（ 房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁 面梁、
弯曲内力
火车轮轴
弯曲内力
2. 平面弯曲 工程中常见的梁， 工程中常见的梁，其横截面大多为矩 工字形、 形 十字形、 形、工字形、T形、十字形、槽形等
它们都有对称轴， 它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的 轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面 轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面 。
平面弯曲1(内力及内力图)
ΙΙ. ΙΙ. 梁的计算简图
一、载荷和约束力的类 型
1.集中力 2.集中力偶 3.分布力
F
m
q
二、梁的支座类型
1.固定铰支座
2.活动铰支座
3.固定端
三、梁的类型
1.简支梁
2.外伸梁 3.悬臂梁
约束力不超过三个， 以上三种梁统称为 : 静定梁（约束力不超过三个， 可由平衡方程求解。） 可由平衡方程求解。） 2
11
由外力写内力
力引起正剪力； 1.相对于横截面来说，左 段向上、右段向下的外 力引起正剪力； 相对于横截面来说， 段向上、 反之则反。 反之则反。
2.相对于横截面来说，左 、右段向上的外力引起 正弯矩； 相对于横截面来说， 正弯矩； 反之则反。 反之则反。
3.相对于横截面来说，外 力矩或外力偶，左段顺 时针转， 相对于横截面来说， 力矩或外力偶， 时针转， 反之则反。 右段逆时针转引起正弯 矩；反之则反。
3 .根据方程作图
Pa (a<x<l) l Pa (a ≤ x ≤ l ) M = FB ( l − x ) = (l − x ) l
Pa l
x
0
+
M
Pab l
8
例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 例二、 作图示梁的剪力图和弯矩图，并标出控制点的数据。 解：
FA = FB = ql 2
18
例. 作图示梁的Fs、M图 作图示梁的F
y
解：
Fa Fa FA = (↓),FB = + F（↑） l l
x1
A
B
x2
C
FxBiblioteka axlAB段
Fa Fs = − l Fa M=− x l
材料力学第四章平面弯曲讲解
FN=∫
AσdA =
E ρ
∫
A
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴
M
z
M y
zdA
A
的面积矩为零，
中性轴过形心。
dA y z σdA
E
A
yzdA
0
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
Mz=∫ AσdA·y
=
E∫ ρ
A
y2dA
=
E ρ
Iz
1 ρ
=
Mz E Iz
中性层曲率公式
50103 186.56 106
972103 109 1012 60103
Pa
4.34MPa
2.腹板上切应力分布
FQ
S
* z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
S
* z1
70
60
220
924
103
mm
3
1
FQ
S
* z1
Izd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
例 将直径d=1mm的钢丝绕在直径D=2m的卷筒上，试求 钢丝中产生的最大正应力。已知钢丝的弹性模量E=200GPa。
材料力学9-弯曲内力
D 处有向上支座反力 RD 作用，剪力图在 D 处 有突变，突变值就是 RD=9KN 。D右 处的剪力 为：
QD右 7 9 2 KN
DE 段内无荷载作用， 剪力图为一水平线，从 D右 一直延伸到 E左 。 在 E 处有集中力 P2 向下作用，Q 图又回到零。
全梁的 Q 图见图示。
（三）作弯矩图 由于A 为铰支座， 又没有集中力偶作用， 所以 MA=0 ；弯矩从零 开始在 AB 段内 Q=7KN>0 ，所以 M 为 一上升斜直线。 B、A 两截面的弯矩 之差即为剪力图（ AB 段） 的面积。 即 MB M A 7 1 7 KN m
Fab l
M ( x2 ) FB ( l x2 )
(+)
3 作剪力图和弯矩图
FQ max Fb l M max
0
x
从 Q 图可看 C 截面：
QC 左 Pb Pa , QC 右 l l
Pb Pa P。 剪力图在 C 截面发生一突变，其大小为： l l
故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突 变值的大小等于该集中力的大小。
F F FQ F
F F FQ
(-)
F F
F
(+)
M
(+)
M
(-)
二、用截面法求内力的讨论
1、关于Q、M的符号问题 2、用截面法计算内力的规律 横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧） 梁上外力的代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力， 产生正的剪力；反之产生负的剪力。 横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧） 梁上外力对该截面形心的矩和外力偶的代数和。向上的外 力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩；截面左侧顺 时针转向的力偶,和截面右侧逆时针转向的力偶产生正值弯 矩,反之产生负值弯矩。可记为：左上右下，剪力为正；左 顺右逆，弯矩为正； 外力向上,弯矩为正。
5.1.2平面弯曲的内力和内力图
平面弯曲的内力图绘制和弯矩图。
解：任选一截面 x ，截面法求出剪力和弯矩 x()()l x q x x M <≤02/2＝l剪力方程弯矩方程q xF s (x )M (x )0,yF=∑0,CM=∑()()s 0F x qx x l ≤<＝8/2q l 和弯矩图。
解：任选一截面 x ，截面法求出剪力和弯矩x()()l x q x x M <≤02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图。
F sxMxql2/2q l l由内力图可见最大剪力和弯矩分别为剪力方程弯矩方程()()s 0F x qxx l ≤<＝2smax max /2F ql M ql ＝，＝例2：简支梁在C 截面处受集中力作用。
试作出其剪力图和弯矩图。
BAlF AyF Byx 2F sxMxl F b /lF a /lF a b /x 1C Fab解：由梁的平衡方程确定约束反力由截面法可以写出剪力和弯矩方程依方程画出剪力图和弯矩图。
AC :()()a x l F b x x M ≤≤1110/＝()()s 11/0F x Fb lx a <<＝00ABM M ∑∑＝，＝CB : ()()()l x alx l F a x M ≤≤-222/＝()()s 22/F x Fa l a x l -<<＝//Ay By F Fb l F Fa l＝，＝()-()+()+ BAlF A yF B yx 2lM a /x 1lM /lM b / CMab例3：简支梁在C 截面处受集中力偶作用。
试作出其剪力图和弯矩图。
0＝，＝∑∑B A M M 依方程画出剪力图和弯矩图。
解：由梁的平衡方程确定约束反力由截面法可以写出剪力和弯矩方程AC :()()a x lM x x M <≤1110/＝()()s 11/0F x M lx a <≤＝CB :()()bx lM x x M <≤-2220/＝()()s 22/0F x M lx b <≤＝/-/Ay By F M l F M l＝，＝。
第10章 弯曲内力
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
第七章平面曲内力
第七章平面弯曲内力一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念；⑵熟练掌握用截面法求弯曲内力；⑶熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图；⑷利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；⑸掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。
2、教学内容⑴平面弯曲等基本概念；⑵截面法及简便方法求弯曲内力；⑶剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；⑷用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图；⑸叠加法绘制剪力图和弯矩图。
二、重点难点1、平面弯曲的概念；2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；3、剪力图和弯矩图；4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。
三、学时分配：4学时一、平面弯曲概念和实例弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围；①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）图6-4②载荷作用在对称平面内在此前提下，可讨论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内：变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。
受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。
⑵何谓梁？凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。
⑶梁的种类：①简支梁②悬臂梁③外伸梁二、平面弯曲内力⑴梁的内力—剪力与弯矩①确定约束反力②内力分析用截面法沿m-m截面截开（任取一段）F,M。
按平衡的概念标上sF--与横截面相切—剪力sM—内力偶矩—弯矩③内力值的确定用静力平衡条件：0=∑y F 0=-Q A F F 得 A s F F =0=∑o M 0=-⋅M a F A 得 a F M A ⋅=（O-- 截面形心）⑵剪力、弯矩的正、负号规定：剪力：当截面上的FQ 使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。
弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向上时为正），反之为负。
小结①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。
六章弯曲内力
M Mo(一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 （力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
FAy 1m
1m
B
FBy
2m
1m
C
1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
B
C
1m 1m
FAy
B右截面：
2m FBy 1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
FQB右 FQB左 FBy 3 7 4KN
MB右 MB左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
3 控制截面的概念
所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中力 偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。
M0 8KN.m
A E
1m 1m
FAy
q=2KN/m
B
2m FBy 1m
P=2KN
F D
1m
因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界 点为各段梁的控制截面。
第六章 弯曲内力/三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图
i 1
i 1
i 1
i 1
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向 上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下 的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所 有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的 弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上 产生负号的弯矩。
第七章 平面弯曲内力
第七章平面弯曲内力7.1指定截面上的剪力和弯矩A图B图C图D图7.2画剪力图和弯矩图A图B图7.3梁的剪力图和弯矩图解：（1）由静力平衡方程得：F A=F，M A= Fa，方向如图所示。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在AB段内截面，大小为2F。
梁最大绝对值弯矩在C截面，大小为2Fa。
B图解：（1）由静力平衡方程得：F A=3q l/8（↑），F B=q l/8（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在A右截面，大小为3q l/8。
梁的最大弯矩绝对值在距A端3l/8处截面，大小为9q l2/128。
解：（1）由静力平衡方程得：F B=2qa，M B=qa2，方向如图所示。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在B左截面，大小为2qa。
梁的最大绝对值弯矩在距AC段内和B左截面，大小为qa2。
D图解：（1）由静力平衡方程得：F A=qa/2（↓），F B= qa/2（↓）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁的最大绝对值剪力在AC和DB 段内，大小为qa/2。
梁的最大弯矩绝对值在AB跨中间截面，大小为5qa2/8。
解：（1）由静力平衡方程得：F A=9qa/4（↑），F B= 3qa/4（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在A右截面，大小为5qa/4。
梁最大弯矩绝对值在A截面，大小为qa2/2。
F图解：（1）由静力平衡方程得：F A=F（↑），F B= 3F（↑）。
（2）利用M，F S，q之间的关系分段作剪力图和弯矩图。
（3）梁最大绝对值剪力在DB段内截面，大小为3F。
梁最大弯矩绝对值在D截面，大小为3Fa。
G图解：（1）由静力平衡方程得：F A=4.5qa（↑），F B= 0.5qa（↑）。
平面弯曲的概念弯曲的内力及符号规定弯曲内力图本节小结新版15
续例1
1-1截面：
L qL FQ1 FA q 4 4
L L L 3 2 M1 FA q qL 4 4 8 32
符号均为正
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例1
2-2截面：
FQ 2
L FA q 0 2
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
M、FQ与q的关系
取x处一小段dx长度梁 由平衡方程得： ∑Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 ∑MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后， 得
A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0
B点：x=L，FQB=-qL/2
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
弯矩图画法
弯矩方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
A点：x=0，MA=0
M B (F) 0， FAy 3a M 3qa a / 2 0
FAy=3.5kN；
Fy 0, FBy FAy 3qa 0
FBy=14.5KN
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例2—剪力图
如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN
平面弯曲梁求内力的方法
平面弯曲梁求内力的方法平面弯曲梁是一种常见的结构形式，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在设计和使用过程中，需要对其内力进行分析和计算，以保证结构的安全性和稳定性。
本文将介绍平面弯曲梁求内力的方法。
一、平面弯曲梁的基本概念平面弯曲梁是指在平面内受到弯曲作用的梁，其截面形状可以是任意形状，但要求在弯曲过程中截面形状不变。
平面弯曲梁的内力主要包括弯矩、剪力和轴力。
弯矩是指在梁的截面上由于弯曲作用而产生的力矩，其大小与梁的曲率半径和截面惯性矩有关。
剪力是指在梁的截面上由于剪切作用而产生的力，其大小与梁的截面形状和受力情况有关。
轴力是指在梁的轴线方向上由于拉伸或压缩作用而产生的力，其大小与梁的受力情况有关。
二、平面弯曲梁的内力分析方法平面弯曲梁的内力分析方法主要有两种，即弯矩法和剪力法。
下面将分别介绍这两种方法的基本原理和计算步骤。
1. 弯矩法弯矩法是指通过计算梁的弯矩分布来求解梁的内力。
其基本原理是根据梁的受力情况和截面形状，计算出梁的弯矩分布，并根据弯矩方程求解出梁的内力。
计算步骤如下：（1）确定梁的受力情况，包括支座反力和外载荷。
（2）根据梁的几何形状和受力情况，计算出梁的弯矩分布。
（3）根据弯矩方程求解出梁的内力。
弯矩方程是指在梁的任意一点处，弯矩与该点处的曲率半径和截面惯性矩之间的关系式。
对于一般的平面弯曲梁，弯矩方程可以表示为：M = EIκ其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩，κ为曲率。
2. 剪力法剪力法是指通过计算梁的剪力分布来求解梁的内力。
其基本原理是根据梁的受力情况和截面形状，计算出梁的剪力分布，并根据剪力方程求解出梁的内力。
计算步骤如下：（1）确定梁的受力情况，包括支座反力和外载荷。
（2）根据梁的几何形状和受力情况，计算出梁的剪力分布。
（3）根据剪力方程求解出梁的内力。
剪力方程是指在梁的任意一点处，剪力与该点处的截面形状和受力情况之间的关系式。
对于一般的平面弯曲梁，剪力方程可以表示为：V = dM/dx其中，V为剪力，M为弯矩，x为梁的坐标。
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7.2
§7.1 平面弯曲的概念与实例
7.1.2 梁的计算简图及分类
一、梁的计算简图 简化为一直杆并用梁的轴线来表示。
二、梁的分类 根据支座对梁约束的不同特点（支座可简化为三种形式：活动铰支
座、固定铰支座、固定端支座），简单的梁有三种类型： 1.简支梁 梁的一端为活动
铰支座，另一端为固定铰支座。 2.外伸梁 梁的一端或两
M ：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且 与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。
7.6
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反， 为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对 剪力和弯矩的正负符号做适当规定。 剪力的正负： 使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。 弯矩的正负： 使微段梁产生上凹下凸弯曲 变形的弯矩为正，反之为负。
N10 ×2 12 kN· m （由4-4截面右侧计算） ×1 M 4 q×2×1 FB ×2 4 ×2
7.10
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
从以上 1-1 、 2-2 截面的剪力值可以看出， 在集中力 作用处的两侧截面的剪力值将发 F 的大小； F
生突变，突变值就等于该集中力
2.代替：
在左半段的1-1截面处添画内 力FS 、 M，(由平衡解释)代替右半部分
对其作用。
7.5
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。 由 由
F
y
FA F1 FS 0
C
得
FS FA F1 M FAX F1 ( x a)
例如：为了减少简支梁的变形和提高其强度，在梁的跨中增设一活 动铰支座后，梁就成了一次超静定梁。 又如：为了减少悬臂梁的变形和提高其强度，在梁的自由端增设一 活动铰支座后，梁也就成了一次超静定梁。
7.4
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 7.2.1 截面法求内力
问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在 横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？ 例：欲求图示简支梁任意截面1-1 上的内力。 1.截开： 在1-1截面处将梁截分为左、右两部 分，取左半部分为研究对象。
7.1
§7.1 平面弯曲的概念与实例 梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为梁。 平面弯曲：如果梁有一个或几个纵向对称面 （梁的轴线应为该纵向对称面内的一条平面直线， 且该纵向对称面与各横截面的交线也是各横截面 的对称轴），当作用于梁上的所有外力（包括横 向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一纵 向对称面内时，使得梁的轴线由直线变为在纵向 对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形就称为 平面弯曲。
端伸出支座之外的简支梁。 3.悬臂梁 梁的一端为固
定端支座、另一端自由。 7.3
§7.1 平面弯曲的概念与实例 这三种梁承受载荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故一般 将它们统称为静定梁，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目 的梁，用静力平衡方程无法求得全部支座反力，这类梁称为超静定梁。
B A
解 （1）求支反力 由
M
A
0
及
M
B
0
可求得
FA 10 kN
FB 10 kN
（2）求指定截面的剪力和弯矩 7.9
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
FS1 FA 10 kN
M 1 FA×1 10×1 10 kN· m FS 2 FA F 10 12 2 kN m M 2 FA×1 F×0 10×1 0 10 kN· FS 3 q ×2 FB 4×2 10 2 kN
7.8
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩 弯矩公式中外力矩的正负规定：截面左段梁上的横向外力（或外力 偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或右段梁上的横向外力（或外力偶） 对截面形心的力矩为逆时针转向时，在该截面上产生的弯矩为正，反之 为负。以上也可归纳为一个简单的口诀“左顺、右逆为正”。 例7.1 简支梁如图所示。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。 设F 、 F 方向向上。
§7.1 平面弯曲的概念与实例 7.1.1 平面弯曲的概念与实例 弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。 例如：火车轮轴受力后的变形； 工厂车间里的行车受力后的变形； 还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变 形。 弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的横向外 力的作用（受力特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特点）。
而从 3-3 、 4-4 截面的弯矩值可以看出，在集 中力偶 作用处的两侧截面的弯矩值将发生 Me 的大小。 Me
突变，突变值就等于该集中力偶矩
归纳剪力和弯矩的计算公式： 7.7
§7.2 平面弯曲内力—剪力与弯矩
FS F
（截面上的剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。）
M M
C
（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力 矩的代数和。）
公式中外正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或 右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。 以上可归纳为一个简单的口诀“左上、右下为正”。
M
FAX F1 ( x a ) M 0 得
如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力 F 和 M，但
S
左、右半段求得的 F 及M 数值相等，方向（或转向）相反。
S
7.2.2
剪力和弯矩
FS ：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面1-1相切，故称
为截面1-1的剪力。
（由1-1截面左侧计算） （由1-1截面左侧计算） （由2-2截面左侧计算） （由2-2截面左侧计算）
（由3-3截面右侧计算） （由3-3截面 m M 3 M e q×2×1 FB ×2 4 4×2×1 10×2 8kN· 右侧计算） （由4-4截面右侧计算） FS 4 q×2 FB 4×2 10 2 k